高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第17講指、對、冪的大小比較(微專題)(原卷版+解析)

第17講指、對、冪的大小比較（微專題）比較大小的基本思路：1.求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同，那么可通過冪(或真數(shù))的大小與指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的大小關(guān)系．要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．2.利用特殊值作“中間量”：在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”)；也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較．3.利用函數(shù)單調(diào)性比較大小．題型一、求同存異(化為同底或同指數(shù))例1(1)(2022·懷化一模)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a(2)(2022·唐山期末)設(shè)a＝log23，b＝log34，c＝log48，則()A.b<c<a B.c<b<aC.a<c<b D.a<b<c變式1、(2022·湛江二模)若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，則()A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>c題型二、利用特殊值作“中間量”例1、（2020年天津卷）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.變式1、（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．變式2、（2022·江蘇海門·高三期末）已知，c＝sin1，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b變式3、（2022·江蘇通州·高三期末）已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，則（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b變式4、（2021·山東青島市·高三二模）（多選題）下列不等式成立的是（）A． B．C． D．題型三、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3、（2020·河北邯鄲市·高三期末）（多選題）設(shè)，則（）A． B．C． D．變式1、（2022·山東棗莊·高三期末）已知，則（）．A． B． C． D．變式2、（2022·江蘇常州·高三期末）已知函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．第17講指、對、冪的大小比較（微專題）比較大小的基本思路：1.求同存異：如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同，那么可通過冪(或真數(shù))的大小與指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的大小關(guān)系．要熟練運(yùn)用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．2.利用特殊值作“中間量”：在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍，各個(gè)擊破”)；也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù)，從而便于比較．3.利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。}型一、求同存異(化為同底或同指數(shù))例1(1)(2022·懷化一模)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))∈(0,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,\f(1,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\r(3,\f(1,3))，所以b>a，故c>b>a.(2)(2022·唐山期末)設(shè)a＝log23，b＝log34，c＝log48，則()A.b<c<a B.c<b<aC.a<c<b D.a<b<c【答案】A【解析】log34＝log2764＝eq\f(1,log6427)，log48＝log1664＝eq\f(1,log6416)，函數(shù)y＝log64x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log6427>log6416>0，所以eq\f(1,log6427)<eq\f(1,log6416)，即log34<log48，即b<c.因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，log23＝log49>log48，所以c<a.綜上，a>c>b.變式1、(2022·湛江二模)若a＝lg0.2，b＝log32，c＝log64，則()A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>c【答案】A【解析】因?yàn)閍＝lg0.2＝lgeq\f(2,10)＝lg2－1<0，c＝log64＝logeq\r(,6)2>log32＝b>0，所以c>b>a.題型二、利用特殊值作“中間量”例1、（2020年天津卷）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所?故選：D.變式1、（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到.【詳解】∵，，，∴．故選：C.變式2、（2022·江蘇海門·高三期末）已知，c＝sin1，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算法則求出a,然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的單調(diào)性分別對b,c進(jìn)行放縮，最后求得答案.【詳解】由題意，，，，則.故選：D.變式3、（2022·江蘇通州·高三期末）已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，則（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】，，，，，易知，所以，即，所以．故選：A．變式4、（2021·山東青島市·高三二模）（多選題）下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A.，，，，故A不正確；B.,,，故B正確；C.要判斷，即判定，即判定，即，即，即成立，故C正確；D.，，，且，，，故D正確.故選：BCD題型三、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3、（2020·河北邯鄲市·高三期末）（多選題）設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)椋傻煤瘮?shù)均是減函數(shù)，可得，，所以CD不正確；又由函數(shù)是增函數(shù)，是減函數(shù)，可得，且，所以，所以故A正確；因?yàn)?，可得，所以函?shù)是增函數(shù)，可得，所以B正確.故選：AB.變式1、（2022·山東棗莊·高三期末）已知，則（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，得到，得出，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，令，可得，當(dāng)