山東高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)教學(xué)案設(shè)計(jì)參考-古典概型含答案解析

第2講古典概型

［考綱解讀］1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式，能計(jì)算一些隨機(jī)事件包含基

本事件及其事件發(fā)生的概率.(重點(diǎn)、難點(diǎn))

2.了解隨機(jī)數(shù)意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

［考向預(yù)測(cè)］從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點(diǎn)之一.預(yù)測(cè)2021

年將會(huì)考查：①古典概型的基本計(jì)算；

②古典概型與其他知識(shí)相結(jié)合.題型以解答題為主，也可出選擇題、填空題,

與實(shí)際背景相結(jié)合，試題難度中等.

基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P185

1.基本事件的特點(diǎn)

⑴任何兩個(gè)基本事件都是退互用的.

⑵任何事件(除不可能事件)都可以表示成底基本事件的和.

2.古典概型

具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

⑴有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件G只有有限個(gè).

(2)等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性正相等.

3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相

等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是3；；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m

個(gè)，那么事件A的概率P(A)=Q2低.

4.古典概型的概率公式

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

()一基本事件的總數(shù)

診斷自測(cè)

1.概念辨析

(1)在一次試驗(yàn)中，其基本事件的發(fā)生一定是等可能的.()

(2)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本

事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.()

⑶擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)

結(jié)果是等可能事件.()

(4)從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測(cè)其重量，屬于古

典概型.()

答案(1)X(2)X(3)義(4)義

2.小題熱身

(1)同時(shí)拋擲兩枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是()

A6Bl

C.gD.|

答案A

解析記拋擲兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為mb,則可得到數(shù)組(a,b)共有36

組，其中滿足a+b=7的共有6組,分別為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),

(6,1),因此所求的概率為/.

(2)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位

數(shù)大于30的概率為()

A.；B.1

D1

答案A

解析從1,2,3,4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，有

12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中大于30

的兩位數(shù)有31,32,34,41,42,43,共6個(gè)，所以這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率「

=12=2'

（3）某中學(xué)要從師生推薦的參加講課比賽的3名男教師和2名女教師中，任選

2人參加講課比賽，則選取的2人恰為一男一女的概率為（）

23

A.§B.Q

C.1D.|

答案B

解析記3名男教師為a,b,c,2名女教師為A,B,任選2人有以下情況ah,

ac,aA,aB,be,bA,hB,cA,cB,AB,共10種等可能發(fā)生的情況，選取

的2人恰為一男一女有6種，故所求概率「=卷=|.

（4）將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書

相鄰的概率為（）

A.；B.g

C.TD.7

5o

答案c

解析記兩本數(shù)學(xué)書為1,2,一本語文書為a,則所有排列方法有

I2a,la2,21a,2al,al2,a2l,共6種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中兩本數(shù)學(xué)書相

鄰的排列方法為12a,21a,a12,。21,共4種，根據(jù)古典概型的概率公式知，

42

所求概率P=g=3-

經(jīng)典題型沖關(guān)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P185

題型一古典概型的簡單問題多維探究

【舉例說明】

1.（2019.全國卷II）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo).若

從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為（）

23

A-3B5

C.|D.|

答案B

解析設(shè)5只兔子中測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為g，。2,G,未測(cè)量過這項(xiàng)指

標(biāo)的2只為。1,岳，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為（山，

。3）,（a\,42,/71）,（。1,。2,bi）,（0,。3,h］）,（6Z1,。3,歷），（。1,b\,歷），

（。2,。3,bi）,3,。3,歷），（。2,bi,bi）,（。3,bi,bi）,共10種等可能發(fā)生

的情況.其中恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的可能情況為31,ai,bi）,（0,Q2,bi）,

（a\,Q3,b\）,（a\,。3,岳），（。2,43,bl）,（。2,。3,歷），共6種.故恰有2

只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為^=1.故選B.

2.（2019?廈門模擬）《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，右圖是易經(jīng)八卦圖（含

乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“一”表示

一根陽線，“一”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中

恰有三根陽線和三根陰線的概率為（）

r=2-8Du--■1■4―

答案D

解析由題意，知八卦中有三卦是兩根陽線，一根陰線，記它們?yōu)?,2,3；有

三卦是一根陽線，兩根陰線，記它們?yōu)閙b,c-,有一卦是三根陽線，記作4；

有一卦是三根陰線，記作A從八卦中任取兩卦，有以下可能出現(xiàn)的結(jié)果

12,13,la,lb,lc,1A,13,23,2a,2瓦2c,2A,23,3a,3為3G3A,33,ab9ac,aA,aB,he,

bA,bB,cA,cB,AB,共28種等可能的結(jié)果，這兩卦的六根線中恰有三根

陽線和三根陰線包括\a,\b,\c,2a,2b,2c,3a,3b,3c,AB,共10種情況，故所求

的赤山

概率為詆10=應(yīng)5?

3.（2017.全國卷II）從分別寫有12,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后

再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率

為（）

1

A±10B5

C&D?

e105

答案D

解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：

第一張12345

第二張1234512345123451234512345

基本事件總數(shù)為25,這25種基本事件發(fā)生的可能性是相等的.第一張卡片

上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10,..?所求概率「=患10=方2故選D.

條件探究將本例中的條件“放回后”改為“不放回”，其他條件不變，則

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.

答案2

解析畫出樹狀圖如圖：

第葭一張小1腦2公3|4公5公

所有的基本事件共有20個(gè)，這20個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的.滿足

題意的基本事件有10個(gè)，故所求概率

結(jié)論探究本例中的條件不變，則抽到第一張卡片上的數(shù)與第二張卡片上的

數(shù)的和為偶數(shù)的概率為.

答案i

解析所有基本事件共有25個(gè)，這25個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的.滿

足條件的基本事件有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),

(4,4),(5,1)，(5,3),(5,5),共13個(gè).故所求概率>=否

【據(jù)例說法】

1.求古典概型概率的步驟

(1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件4

(2)分別求出基本事件的總數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)利；

⑶利用公式P(A)=￡,求出事件A的概率.

2.基本事件個(gè)數(shù)的確定方法

方法適用條件

歹！1表此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成是坐

法標(biāo)法

樹狀樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的問題及較

圖法復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求

【鞏固遷移】

1.(2019.全國卷川)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相

鄰的概率是()

1

A1B

C.gD，2

答案D

解析設(shè)兩位男同學(xué)分別為4B,兩位女同學(xué)分別為b,則用“樹形圖”

表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示.

x/

?<B—b

b-I"\b-A/

B-a\y'一：J

b<a—HVa—IJ

B-a

4Va-B

A-a

a-A

A—liV

13—AJ

由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“”的

121

情況)共有12種，故所求概率為女與?故選D.

2.(2019.湖南雅禮中學(xué)模擬)甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人

中的一人，則甲、乙將賀年卡都送給丁的概率為()

A.gB.g

D1

答案C

解析所有的情況有(甲送給丙、乙送給丁)(甲送給丁，乙送給丙)(甲、乙都送

給丙)(甲、乙都送給丁)共四種，這4種情況發(fā)生的可能性是相等的.其中甲、

乙將賀年卡都送給丁的情況只有一種，所以甲、乙將賀年卡都送給丁的概率

是"

題型二古典概型的交匯問題多角探究

【舉例說明】

Q角度1古典概型與平面向量相結(jié)合

1.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,平面向量。=(m,n),b=(l,

—3).

(1)求使得事件(，albv發(fā)生的概率；

(2)求使得事件“|a|W|b|"發(fā)生的概率.

解由題意知，{1,2,3,4,5,6},nW{1,2,3,4,5,6},故(m,用所有可能的取法

共有36種.

(1)若。_1_4則有機(jī)-3〃=0,即機(jī)=3〃，符合條件的(加，力有(3,1),(6,2),共

21

2種，所以事件發(fā)生的概率為今=表.

JO1o

(2)若|Q|W步|,則有小+/W10,符合條件的(加，〃)有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(3,1),共6種，故所求概率為4

9角度2古典概型與函數(shù)、方程相結(jié)合

2.(2019?武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a

和江則方程加+-+1=0有實(shí)數(shù)解的概率是()

A.拓B，2

「19r5

C36D18

答案C

?eN*,

解析投擲骰子兩次，所得的點(diǎn)數(shù)。和方滿足的關(guān)系為/i*

...a和1的組合有36種,若方程以2+/zr+l=0有實(shí)數(shù)解，則/=》2—4a20,

二序》4a.

當(dāng)h=l時(shí)，沒有a符合條件；當(dāng)b=2時(shí)，a可取1；當(dāng)b=3時(shí)，a可取1,2；

當(dāng)。=4時(shí)，a可取1,2,3,4；當(dāng)6=5時(shí),a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)1=6時(shí),a可

取1,2,3,4,5,6.

1Q

故滿足條件的組合有19種，則方程以2+笈+1=0有實(shí)數(shù)解的概率「=崇，

JO

故選C.

3.(2019?遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)agl,3,5,7},be{2,4,6},則函數(shù)期)=10鼎

是增函數(shù)的概率為.

套案-

口采2

解析由已知條件，得方的所有取值種數(shù)為12.當(dāng)今1時(shí)，大尤)為增函數(shù)，符合

此條件的彳有|,|,看,,共6種，所以函數(shù)於)=log聲是增函數(shù)的概

率為五=》

Q角度3古典概型與幾何問題結(jié)合

4.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x—2)2

+y2=2有公共點(diǎn)的概率為.

7

答案12

解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組伍，》有

(1,1),(1,2),(1,3),…，(6,6),共36種等可能的結(jié)果，其中滿足直線人+塊

2a

=0與圓（X—2）2+y2=2有公共點(diǎn)，即滿足W啦，即。＜匕，則當(dāng)0=1

^/?2+/?2

時(shí)，b=l,2,3,4,5,6,共6種,當(dāng)。=2時(shí)，6=2,3,4,5,6,共5種，同理當(dāng)”=3

時(shí)，有4種，當(dāng)”=4時(shí)，有3種，當(dāng)。=5時(shí)，有2種，當(dāng)。=6時(shí)，有1種,

一217

故共有6+5+4+3+2+1=21（種），因此所求的概率等于石=五

9角度4古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合

5.（2019.綿陽模擬）目前有聲書正受到越來越多人的喜愛.某有聲書公司為了

解用戶使用情況，隨機(jī)選取了100名用戶，統(tǒng)計(jì)出年齡分布和用戶付費(fèi)金額（金

額為整數(shù)）情況如下圖.

有聲書公司將付費(fèi)高于20元的用戶定義為“愛付費(fèi)用戶”，將年齡在30歲

及以下的用戶定義為“年輕用戶”.已知抽取的樣本中有楙的“年輕用戶”是

O

“愛付費(fèi)用戶”.

（1）完成下面的2X2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認(rèn)為用戶“愛

付費(fèi)”與其為“年輕用戶”有關(guān)?

愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶合計(jì)

年輕用戶

非年輕用戶

合計(jì)

⑵若公司采用分層抽樣方法從“愛付費(fèi)用戶”中隨機(jī)選取5人，再從這5人

中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率.

Pg》ko)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

心=,〃=a+/?+c+d.

(a+b)(cc)(b+d)

解（1）根據(jù)題意可得2X2列聯(lián)表如下:

愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶合計(jì)

年輕用戶244064

非年輕用戶63036

合計(jì)3070100

由表中數(shù)據(jù)可得

________"(ad-be，______100X(24X30—40X6)2

^4.76>3.841,所以有

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)30X70X64X36

95%的把握認(rèn)為“愛付費(fèi)用戶”和“年輕用戶”有關(guān).

(2)由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，記為Ai,A2,A3,

A4.1人為“非年輕用戶”，記為江

則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有(4,4),(4,小)，(4,4),(4,

B),(A2,A3),(A2,4),(A2,B),(A3,4),依3,B),(4,B),共10個(gè)等可

能發(fā)生的基本事件.

其中滿足抽取的2人均是“年輕用戶”的事件有(4,A2),(Ai,A3),(Ai,4),

(A2,A3),俗2,AQ,(小，4),共6個(gè).所以從中抽取2人恰好都是“年輕用

戶”的概率為P=^=|.

【據(jù)例說法】

1.求解古典概型的交匯問題的步驟

⑴根據(jù)相關(guān)知識(shí)構(gòu)建事件滿足的條件.

⑵根據(jù)條件列舉所有符合的基本事件.

(3)利用古典概型的概率計(jì)算公式求概率.

2.破解概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合問題的“三步曲”

第一步能讀懂已知統(tǒng)計(jì)圖表所隱含的信息，并會(huì)

會(huì)賞圖進(jìn)行信息提.取

對(duì)文字語言較多的題.需要根據(jù)題目信息

第二步

耐心閱讀,步步實(shí)現(xiàn)文字語言與符號(hào)語言

會(huì)轉(zhuǎn)化

間的轉(zhuǎn)化

第三步對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表所反饋的信息進(jìn)行提取后.結(jié)

會(huì)運(yùn)算合古典慨型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算

【鞏固遷移】

1.把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a,第二

次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為"，向量機(jī)=(a,b),n=(l,2),則向量，〃與向量〃不共線的

概率是()

A-6

u12u18

答案B

解析易知所有基本事件有36個(gè)，若加〃〃，則￡=?，即b=2a.所以機(jī)與〃

共線包含的基本事件為(1,2),(2,4),(3,6),共3個(gè)，所以山與〃不共線的概

率為U

牛為13612-

2.已知函數(shù)氏0=$?+<02+〃%+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，

b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()

A.QB.o

C.^D.f

yJ

答案D

解析/(x)=f+2ax+〃，要使函數(shù)兀丫)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有/=(2a)2—

4b2>0,即5>比由題意知所有的基本事件有9個(gè)，即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),

(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示。的取值，第二個(gè)數(shù)表示

8的取值.滿足/>〃的有6個(gè)基本事件，即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),

(3,2),所以所求事件的概率為於全

3.在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合8={1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素

n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓*2+產(chǎn)=9內(nèi)部的概率為.

套案-

口木3

解析點(diǎn)、P(m,力共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6種等可能的

21

情況，只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓,+產(chǎn)=9的內(nèi)部，所求概率為旨=本

4.(2019?武威模擬)某市第三中學(xué)統(tǒng)計(jì)了高三年級(jí)學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測(cè)成

績(滿分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成績?nèi)缜o葉圖所示：

頻率/組距

甲乙0.035

21141350.030

542131I55790.025

8743212568880.020

6421112367

64310130.015

96190.010

0.005

O10011012013014015()Z的成績

(1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù)，并將同學(xué)乙的成績的頻率分

布直方圖填充完整；

(2)根據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)及穩(wěn)定程度(不要求計(jì)算

出具體值，給出結(jié)論即可)；

⑶現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個(gè)成績，記事件

A為“其中2個(gè)成績分別屬于不同的同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率.

解(1)甲的成績的中位數(shù)是119,乙的成績的中位數(shù)是128.乙成績的頻率分

布直方圖如下圖所示.

頻率/組距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.01()

0.005

0100110120130140150乙的成績

(2)從莖葉圖可以看出，乙的成績的平均數(shù)比甲的成績的平均數(shù)高，乙同學(xué)的

成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定集中.

⑶甲同學(xué)的不低于140分的成績有2個(gè)，設(shè)為a,b,乙同學(xué)的不低于140分

的成績有3個(gè)，設(shè)為c,d,e.

現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個(gè)成績有(a,b),(a,

c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10

種等可能的結(jié)果，其中這2個(gè)成績分屬不同同學(xué)的情況有(a,c),(a,d),(a,

e),S，c),(b,d),(b,e),共6種.因此事件A發(fā)生的概率P(A)=^=|.

課時(shí)作業(yè)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P284

A組基礎(chǔ)關(guān)

1.（2019.廣西五市聯(lián)考）在｛3,5｝和｛2,4｝兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位

數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被5整除的概率是（）

A.^B.§

0-￡>-

U6

答案C

解析所有基本事件為32,34,52,54,23,25,43,45,共8種，其中能被5整除的

21

是25,45,共2種，故這個(gè)數(shù)能被5整除的概率為

O4

2.從集合4=｛-2,—1,2｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a,從集合8=｛-1,1,3｝中

隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為6則直線以一y+8=0不經(jīng)過第四象限的概率為（）

21

--

A.93

1

Jc495D4

答案A

［。20，

解析（a,份所有可能的結(jié)果為9種.由ax~y+b=O得y=ar+/?,當(dāng)彳

時(shí)，直線不經(jīng)過第四象限，符合條件的3,份的結(jié)果為（2,1）,（2,3）,共2種，

所以直線ax-y+b=Q不經(jīng)過第四象限的概率P音,故選A.

3.（2019?武漢市高三調(diào)研）從裝有3雙不同鞋的柜子中，隨機(jī)取2只，則取出

的2只鞋不成對(duì)的概率為（）

144

A記B5

C.|D.1

答案B

解析設(shè)這3雙鞋分別為AIA2,B\Bi,C1C2,則隨機(jī)取出2只的基本事件有

{A1A2},{A1B1},{A1B2},{4G},{A1C2},{A2B1},{A2B2},{A2C1},{A2c2},

{B1B2},{B1C1},{B1C2},{B2C1},{B2C2},{C1C2},共15個(gè)，其中取出的2

只鞋不成對(duì)的基本事件有12個(gè)，所以所求概率2=蕓12=今4故選B.

4.（2019?安徽阜陽模擬）《易經(jīng)》是我國古代預(yù)測(cè)未來的著作，其中同時(shí)拋擲

三枚古錢幣觀察正反面進(jìn)行預(yù)測(cè)未知，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面一枚反面

的概率為（）

1

A1B

C-8D2

答案C

解析拋擲三枚古錢幣出現(xiàn)的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反

正正，正反反，反正反，反反正，反反反8種，其中出現(xiàn)兩正一反的共有3

種，故概率為1.故選C.

5.為了弘揚(yáng)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學(xué)廣播站在中國傳統(tǒng)節(jié)日：春節(jié)，元宵

節(jié)，清明節(jié)，端午節(jié)，中秋節(jié)5個(gè)節(jié)日中隨機(jī)選取3個(gè)節(jié)日來講解其文化內(nèi)

涵，那么春節(jié)和端午節(jié)至少有一個(gè)被選中的概率是（）

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

答案D

解析春節(jié)和端午節(jié)至少有一個(gè)被選中的對(duì)立事件是春節(jié)和端午節(jié)都沒被選

中，從5個(gè)節(jié)日中隨機(jī)選取3個(gè)節(jié)日，有10個(gè)基本事件，春節(jié)和端午節(jié)都沒

37

被選中，有3個(gè)基本事件，所以P=l—

6.（2019?山西長治模擬）中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一，古代

數(shù)學(xué)家稱直角三角形中較短的直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如

圖，現(xiàn)將一個(gè)勾3股4弦5的三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，在坐標(biāo)系

中任取一點(diǎn)M（x,y）,其中尤G（0,1,2,3,4},ye{0,1,2,3},則點(diǎn)M落在該三角

形內(nèi)(含邊界)的概率為()

C-2OD5

答案C

解析依題意可知點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為20個(gè)，落在三角形內(nèi)的有11個(gè)，故概率為

11

20-

7.已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)\a^M,b^M},A是集合N中任意一

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線QA與y=f+l有交點(diǎn)的概率是()

1

C1D

答案C

解析易知過點(diǎn)(0,0)與y=f+l相切的直線為y=2x(斜率小于0的無需考

慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使直線QA的斜率不小于2的有(1,2),(1,3),

41

(1,4),(2,4),共4個(gè)，故所求的概率為m=].故選C.

8.從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離

不小于該正方形邊長的概率為.

答案|3

解析如圖，從A,B,C,D,。這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)，共有10種取法，滿

足兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長的取法有(A,B),(A,O,(A,。)，(B,

O,(B,D),(C,0共6種，因此所求概率尸=磊=|.

9.如圖所示是某市2019年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)

量指數(shù)(AQ/)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重

度污染，某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留

3天.

該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率為.

答案n

解析某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3

天，基本事件總數(shù)〃=12,4月1日至4月12日空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)有5

天，即該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染包含的基本事件個(gè)數(shù)加=5,所以該

同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率P=^$.

10.(2019?江蘇蘇州模擬)若a,dG{0,l,2},則函數(shù)f(x)=ax2+2x+b有零點(diǎn)的概

率為.

2

較安—

口水3

解析a,be{0,1,2},當(dāng)函數(shù)f(x)=ax2+2x+b沒有零點(diǎn)時(shí)，aWO,且4=4

-4ab<0,即岫>1,：.(a,b)有3種情況：(1,2),(2,1),(2,2).

32

基本事件總數(shù)〃=9,函數(shù)“￥)=加+2%+/?有零點(diǎn)的概率為P=l—g=y

組能力關(guān)

1.如圖，在三棱錐s—ABC中，平面ABC,AB±BC,現(xiàn)從該三棱錐的

6條棱中任選2條，則這2條棱互相垂直的概率為()

C

B

1

A1B

A-34

2-2

C5D9

答案A

解析由已知SA，平面ABC,ABLBC,可推得SBLBC,從該三棱錐的6

條棱中任選2條，共有15種不同的選法，其中互相垂直的2條棱有(SA,AB),

(SA,BC),(SA,AC),(SB,BC),(AB,BQ,共5種情況，所以這2條棱互

相垂直的概率p=W.

2.(2019?定遠(yuǎn)縣三模)博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”

的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘

車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車

序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車，記方

案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P,Pi,則()

A.PI-P2=；B.PI=P2=；

C.PI+P2=1D.P\<P2

o

答案c

解析分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)"“3號(hào)''的三輛車，等可能隨機(jī)順序

前往酒店接嘉賓的基本事件有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),

共6種.方案一：坐到“3號(hào)”車包含的基本事件有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),

有3種，故方案一坐到“3號(hào)”車的概率P尸總=；；方案二：直接乘坐第一

輛車，則方案二坐到“3號(hào)”車的概率為P2=:綜上，所以P+P2=J+；=?

3.(2019?廣州模擬)已知等差數(shù)列{z},S〃為其前n項(xiàng)和，54=兀(其中n為圓周

率)，44=202,現(xiàn)從此數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦

值為負(fù)數(shù)的概率為（）

1415

A-3OB30

1617

C'3OD'3O

答案A

解析..'S"為等差數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和，S4=7t（其中兀為圓周率），。4=26，

二.,4X3,

04=4<7|+--a—71,7171,71mt

..12解得?|=J=—,1）X-|Q=-,

a\+3d=2（ai+J）,

前30項(xiàng)中，第6項(xiàng)至第14項(xiàng)和第26項(xiàng)至第30項(xiàng)的余弦值是負(fù)數(shù)，，現(xiàn)從

此數(shù)列的前30項(xiàng)中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為負(fù)數(shù)的概率為P

14

=30-

X2，

4.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則構(gòu)成橢圓7+左=1且離

心率e>乎的概率是.

答案1

解析同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組共有36種情況，當(dāng)a>b

時(shí)，e=1-A〉坐6符合a>2b的情況有：當(dāng)"=1時(shí)，有“

=3,4,5,6四種情況；當(dāng)8=2時(shí)，有a=5,6兩種情況.總共有6種情況，則

概率是2=；.同理當(dāng)a<b時(shí)，e>嘩的概率也為［.綜上可知e>乎的概率為1.

3。。Zo23

5.（2019.全國卷I）某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名

女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)

表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率;

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：K2=(a+b)(^+d)(a+c)(b+d)-

P(K22))0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為能=0.8,因此男顧

客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為08

女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為3巖()=0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意

的概率的估計(jì)值為06

3七100X(40X20—30X10)2

(2)K-的次瀏值k=50X50X70X30%.762.

由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差

異.

C.組素養(yǎng)關(guān)

1.(2019?上饒模擬)研究機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生往返校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明：該校學(xué)生

居住地到學(xué)校的距離M單位：千米)和學(xué)生花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間貝單位：分

鐘)有如卜關(guān)系.

到

學(xué)

校

的

1.82.63.14.35.56.1

距

離

式千

米)

花

費(fèi)

17.819.627.531.336.043.2

的

時(shí)

間

M分

鐘）

如果統(tǒng)計(jì)資料表明y與x有線性相關(guān)關(guān)系，

⑴判斷y與X是否有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；

（相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，精確

到0.01）

（2）求線性回歸方程；=猿+：（精確到0.01）；

⑶將;<27的時(shí)間數(shù)據(jù);，?稱為美麗數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù);，?中任取2個(gè)，

求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為美麗數(shù)據(jù)的概率.

666__6

參考數(shù)據(jù)：?，=175.4,以沙=764.36,Z8—1）（8—7）=80.30,Z（方

z=lZ=1z=li=1

—x)2=14.30,Z>)2=471.65,、/6

Z(kX)2(

z=l\li=l

6__

Z(XLX)(JLy)

參考公式：-=??節(jié)i=\?,

\ZX)2(yi-y)2

6__

Z(XL尤)U'Ly)

AZ=1

b—.

6

Z(8——%)2

i=1

6__

X(H—九)(y-y)

鈿小_________________mo

解⑴，/682.13^0.98>0.75,

\2bL7)2

與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

__]6

⑵依題意，得x=3.9,歹=d2＞產(chǎn)29.23,

i=1

6__6_

Z(xi-x)(yi-y)=80.30,X(尤lX)2=14.30,

i=lz=l

X(XL%)(y-y)

?,Ai^\________________8030…

所以VI。-6_-14.30262.

S(x-x)2

i=l

A—A—

又。=y-bx?29.23-5.62X3.9^7.31,

故線性回歸方程為j=5.62x+7.31.

AA

(3)由(2)可知，當(dāng)x=3.1時(shí)，”=24.732<27,當(dāng)x=4.3時(shí)，*=31.476>27,

所以滿足;<27的美麗數(shù)據(jù)共有3個(gè)，設(shè)3個(gè)美麗數(shù)據(jù)為a,b,c,另3個(gè)不

是美麗數(shù)據(jù)的為A,B,C,則從6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，共有15種情況，即

aA,aB,aC,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac,be,其中，

抽