高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題3.4冪函數(shù)(講)原卷版+解析

專題3.4冪函數(shù)新課程考試要求1.了解冪函數(shù)的概念．掌握冪函數(shù)，的圖象和性質(zhì).2.了解冪函數(shù)的變化特征.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例1）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（例5--10）、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理（例10）、直觀想象（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題.除單獨(dú)考查外，多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.3.在分段函數(shù)中考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).【知識清單】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念例1.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù).【總結(jié)提升】形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項(xiàng)．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．【變式探究】（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3考點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象例2.（2020·四川省高一期末）若四個冪函數(shù)，，，在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則、、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．例3.若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，則與的取值情況為（）A.B.C.D.例4.（2021·浙江高一期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則________，_________．【總結(jié)提升】1.函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步解題.【變式探究】1．（2020·廣西壯族自治區(qū)南寧三中高二月考（文））函數(shù)的圖像大致是（）A． B．C． D．2．（2020·上海高一課時練習(xí)）如圖是冪函數(shù)的部分圖像,已知取這四個值,則于曲線相對應(yīng)的依次為()A． B．C． D．3．（2020·上海高一課時練習(xí)）下列四個結(jié)論中，正確的是（）A．冪函數(shù)的圖像過和兩點(diǎn) B．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)時，是增函數(shù) D．的圖像是一條直線考點(diǎn)三：冪函數(shù)的性質(zhì)例5.（2021·北京高三其他模擬）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．例6.（2021·貴州省思南中學(xué)高三一模（理））已知冪函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，試確定的值，并求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.例7.（2021·全國高一課時練習(xí)）已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是________．【方法技巧】1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當(dāng)冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.【變式探究】1.（2020·四川省高三二模（文））已知點(diǎn)（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，設(shè)，b＝f（lnπ），，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．（2020·上海高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像滿足，當(dāng)時，在直線的上方；當(dāng)時，在直線的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.3．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)________.考點(diǎn)四：冪函數(shù)綜合問題例8.（2021·江西高三其他模擬（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例9.（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為________．例10.（2020·江西省南康中學(xué)高一月考）已知冪函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)椋咳舸嬖?，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【變式探究】1．（2019·內(nèi)蒙古自治區(qū)高三月考（理））若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．-12.（2020·上海高一課時練習(xí)）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．專題3.4冪函數(shù)新課程考試要求1.了解冪函數(shù)的概念．掌握冪函數(shù)，的圖象和性質(zhì).2.了解冪函數(shù)的變化特征.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例1）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（例5--10）、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理（例10）、直觀想象（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.與二次函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、最值問題.除單獨(dú)考查外，多在題目中應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.3.在分段函數(shù)中考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).【知識清單】1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：冪函數(shù)的概念例1.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù).【答案】(1)m＝1.(2)m＝－1.(3)eq\f(－1±\r(13),2).(4)－1±eq\r(2).【解析】(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1,m2＋2m≠0))，∴m＝1.(2)若f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1,m2＋2m≠0))，∴m＝－1.(3)若f(x)為二次函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝2,m2＋2m≠0))，∴m＝eq\f(－1±\r(13),2).(4)若f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).【總結(jié)提升】形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項(xiàng)．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．【變式探究】（2021·全國高一課時練習(xí)）設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．【詳解】當(dāng)時，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)時，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)或時，滿足函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，故選：A.考點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象例2.（2020·四川省高一期末）若四個冪函數(shù)，，，在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則、、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，可得.故選：B.例3.若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，則與的取值情況為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在第一象限作出冪函數(shù)的圖象，在內(nèi)取同一值，

作直線，與各圖象有交點(diǎn)，則由“指大圖高”，可知

如圖，

故選D．例4.（2021·浙江高一期末）已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則________，_________．【答案】【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求解即可.【詳解】由題意知，，所以可得，所以，可知.故答案為：；【總結(jié)提升】1.函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(diǎn)(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當(dāng)α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點(diǎn)是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進(jìn)一步解題.【變式探究】1．（2020·廣西壯族自治區(qū)南寧三中高二月考（文））函數(shù)的圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，該函數(shù)的定義域?yàn)?，所以排除C；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以排除D；又，在第一象限內(nèi)的圖像與的圖像類似，排除B.故選A．2．（2020·上海高一課時練習(xí)）如圖是冪函數(shù)的部分圖像,已知取這四個值,則于曲線相對應(yīng)的依次為()A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一曲線過點(diǎn)，且在第一象限單調(diào)遞增，，為.顯然對應(yīng)，對應(yīng).曲線過點(diǎn)，且在第一象限單調(diào)遞減，，為.顯然對應(yīng)，對應(yīng).方法二令，分別代入，得，，所以曲線相對應(yīng)的依次為.故選：.3．（2020·上海高一課時練習(xí)）下列四個結(jié)論中，正確的是（）A．冪函數(shù)的圖像過和兩點(diǎn) B．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)時，是增函數(shù) D．的圖像是一條直線【答案】B【解析】冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn),但不一定過點(diǎn)，如，所以A錯；因?yàn)楫?dāng)時，所以冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限，即B對；當(dāng)時，不一是增函數(shù)，如在上單調(diào)遞減，所以C錯；的圖像是一條去掉一點(diǎn)的直線，所以D錯.故選:B考點(diǎn)三：冪函數(shù)的性質(zhì)例5.（2021·北京高三其他模擬）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出，得到函數(shù)的單調(diào)性，再利用對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)得到，即得解.【詳解】由題得.函數(shù)是上的增函數(shù).因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：A例6.（2021·貴州省思南中學(xué)高三一模（理））已知冪函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，試確定的值，并求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】，的取值范圍為【解析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可.【詳解】∵冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，∴，即∴=.解得=或=.又∵，∴=.∴，則函數(shù)的定義域?yàn)?，并且在定義域上為增函數(shù).由得解得.∴的取值范圍為.例7.（2021·全國高一課時練習(xí)）已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是________．【答案】2【解析】由在上是減函數(shù)，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得，又函數(shù)為偶函數(shù)，且，當(dāng)時，為奇函數(shù)當(dāng)時，為偶函數(shù)當(dāng)時，為奇函數(shù)；所以故答案為：2【方法技巧】1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷．準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當(dāng)冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.【變式探究】1.（2020·四川省高三二模（文））已知點(diǎn)（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，設(shè)，b＝f（lnπ），，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)（3，28）在函數(shù)f（x）＝xn+1的圖象上，則有28＝3n+1，解可得n＝3；則f（x）＝x3+1，易得f（x）在R上為增函數(shù)，又由1＜lnπ，則有c＜a＜b.故選：D.2．（2020·上海高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像滿足，當(dāng)時，在直線的上方；當(dāng)時，在直線的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【解析】當(dāng)時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，不滿足題意當(dāng)時，冪函數(shù)和直線重合，不滿足題意當(dāng)時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿足題意當(dāng)時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿足題意當(dāng)時，冪函數(shù)和直線第一象限的圖像如下由圖可知，滿足題意綜上，故答案為3．（2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)集寧一中高二月考（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)________.【答案】2【解析】∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案為2．考點(diǎn)四：冪函數(shù)綜合問題例8.（2021·江西高三其他模擬（文））已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)a、b，根據(jù)點(diǎn)在直線上得，有且，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.例9.（江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點(diǎn)A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點(diǎn)．若點(diǎn)P，A之間的最短距離為2，