概率與統(tǒng)計(jì)文科學(xué)生版

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)

第一節(jié)概率及其計(jì)算

題型162古典概型

例題12.1［2014?新課標(biāo)全國(guó)卷H］甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的

運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

例題12.2［2014?全國(guó)新課標(biāo)卷I］將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成?

行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

例題12.3［2014?浙江卷］在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽

取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是.

例題12.4［2014?廣東卷］從字母a,b,c,d,e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率

為.

例題12.5［2014?湖北卷］隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率

記為P”點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為「2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為P3,貝"）

A.p\<pi<p-iB.pi<p\<pi

C.Pl<P3<P2D.P3<Pl<P2_____________________

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

例題12.6［2014?江蘇卷］從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的

乘積為6的概率是.

例題12.7［2014?江西卷］擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（）

A-18B9C6D12

例題12.82014?陜西卷］從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)

的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（）

A.1B.|C.|D.,

訓(xùn)練題1若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)

均等,則甲或乙被

錄用的概率為()

22仁19

A.-B.-D.—

3510

訓(xùn)練題2集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各取任意一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率()

21仁1D.L錯(cuò)誤！未找

A.-B.-錯(cuò)誤！未找到引用源。

336

訓(xùn)練題3從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()

A.錯(cuò)誤！未找到引用源。B.錯(cuò)誤！未找到引用源。C.-

4

訓(xùn)練題4從三男三女6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)相等)，則2名都是女同學(xué)

的概率等于.

訓(xùn)練題5若甲、乙、丙三人隨機(jī)地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率為

訓(xùn)練題6從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是o

訓(xùn)練題7從長(zhǎng)度分別為2,3,4,5的線段中任取三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角

形的概率是O

訓(xùn)練題8袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，

從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于

訓(xùn)練題9現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)

數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是▲.

訓(xùn)練題10從｛1,2,3,4,5｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從｛1,2,3｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b〉a

的概率是

4321

(A)-(B)-(C)-(D)-

5555

訓(xùn)練題11甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任

意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是

訓(xùn)練題12聯(lián)合國(guó)準(zhǔn)備舉辦一次有關(guān)全球氣候變化的會(huì)議，分組研討時(shí)某組有4代表參加，

A代表來自亞洲，B組代表來自歐洲C代表來自北美洲，D代表來自非洲，小組討論后將

隨機(jī)選出兩名代表發(fā)言。代表A被選中的概率是

訓(xùn)練題13從｛1,3,5.7｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為相，從｛1,2,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為〃，

則〃〉機(jī)的概率是()

訓(xùn)練題14甲、乙、丙、三個(gè)人按任意次序站成一排，則甲站乙前面，丙不站在甲前面的概

率為—

訓(xùn)練題15若2014=46+…+q6+4-5。，其中為，.eN,

0<%<5,%_2,…，％,%<5,現(xiàn)從。。嗎，…，心中隨機(jī)取兩個(gè)

數(shù)分別作為點(diǎn)尸的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)。落在橢圓169內(nèi)的概率是

2

A.25B.25C.25D.16

訓(xùn)練題16從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概

率為?

訓(xùn)練題17從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為（單位：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g?

501.5g之間的概率約為.

訓(xùn)練題18現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中

?次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為.

訓(xùn)練題19右邊莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損。

則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為

988337

110949

例題12.9袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次

摸取一個(gè)球

（I）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果；

（II）若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。

例題12.10為了了解《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門時(shí)

某校6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，6人得分情況如下：5,6,7,8,9,10。把這6名學(xué)生

的得分看成一個(gè)總體。（1）求該總體的平均數(shù)；（2）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生

中抽取2名，他們的得分組成一個(gè)樣本。求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不

超過0.5的概率。

3

例題12.11[2014?四川卷]一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片

除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字

依次記為a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.

例題12.12[2014?福建卷]根據(jù)世行2013年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國(guó)家；

人均GDP為1035?4085美元為中等偏下收入國(guó)家；人均GDP為4085~12616美元為中等

偏上收入國(guó)家；人均GDP不低于12616美元為高收入國(guó)家.某城市有5個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人

口占該城市人口比例及人均GDP如下表：

行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP(單位：美元)

A25%8000

B30%4000

C15%6000

D10%3000

E20%10000

(1)判斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)；

(2)現(xiàn)從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等

偏上收入國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的概率.

例題12.13[2014?山東卷]海關(guān)對(duì)同時(shí)從4,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢

測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些

商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).

地區(qū)ABC

數(shù)量50150100

(1)求這6件樣品中來自4B,C各地區(qū)商品的數(shù)量；

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相

同地區(qū)的概率.

4

例題12.14[2014?四川卷]一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片

除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字

依次記為a,b,c.

(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.

例題12.15[2014?天津卷]某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)4B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年

級(jí)情況如下表：

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).

(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；

(2)設(shè)M為事件”選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件

M發(fā)生的概率.

例題12.16小波」游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以0為起點(diǎn),再?gòu)?/p>

Ai,A3,A,,,AM上(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記住這兩個(gè)向量

的數(shù)量積為X,若X>0就去打球，若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.

y

省(-1,1)4

僅,T)

(I)寫出數(shù)量積X的所有可能取值

(2)分別求小波去下棋的概率和下去唱歌的概率

5

例題12.17現(xiàn)有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答.試求:

(D所取的2道題都是甲類題的概率；(II)所取的2道題不是同一類題的概率.

例題12.18某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品

的等級(jí).若SW4,則該產(chǎn)品為一等品.先從--批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣

本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：

產(chǎn)品編號(hào)4AiAs44

質(zhì)量指標(biāo)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)

(x,y,z)

產(chǎn)品編號(hào)4444

質(zhì)量指標(biāo)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)

(x,y,z)

(I)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；

(II)在該樣品的一等品中，隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品，

(1.)用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果；

(2.)設(shè)事件6為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件

6發(fā)生的概率.

6

例題12.19從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè),其重量（單位:克）的頻數(shù)分布表如下:

分組（重[80,85)[85,90)[90,95)[95,100

量）

頻數(shù)5102015

（個(gè)）

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在［90,95）的頻率；

（2）用分層抽樣的方法從重量在［80,85）和［95,100）的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在

［80,85）的有幾個(gè)？

（3）在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1個(gè)的

概率.

例題12.20某小組共有力、B、C、D、E五位同學(xué)，他們的身高（單位:米）以及體重指標(biāo)

（單位:千克/米2）

如下表所示：

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

體重指19.225.118.523.320.9

標(biāo)

（I）從該小組身高低于L80的同學(xué)中任選2人,求選到的2人身高都在1.78以下的概

率

（II）從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在

［18.5,23.9）中的概率

7

例題12.21袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)

號(hào)分別為1,2.

（i）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；

（H）現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片

顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.

例題12.22某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校

中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。

（I）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。

（H）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)?步數(shù)據(jù)分析，

（1）列出所有可能的抽取結(jié)果；

（2）求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率。

例題12.23如圖，從Ai(1,0,0)，A2(2,0,0).B,(0,1,0,)B2(0,2,0),G(0,0,1),C2(0,0,2)

這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)。

（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率;

（2）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率。

8

例題12.24從2、4、8、16、32、64、128、256這8個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，共有56種不同的

取法（兩種取法不同，指的是一種取法中至少有一個(gè)數(shù)與另?種取法中的三個(gè)數(shù)都不相同）.

（I）求取出的三個(gè)數(shù)能夠組成等比數(shù)列的概率；

（II）求取出的三個(gè)數(shù)的乘積為1024的概率.

訓(xùn)練題1為迎接建黨91周年，某班開展了一次“黨史知序號(hào)分姐（分?jǐn)?shù)段》

識(shí)(A*)

競(jìng)賽”，競(jìng)賽分初賽和決賽兩個(gè)階段進(jìn)行，在初賽1[0,60)a0J

后，把成績(jī)（滿分為100分，分?jǐn)?shù)均勻整數(shù)）進(jìn)

2[60,75)1503

行統(tǒng)計(jì)，制成如右圖的頻率分布表：

3[75,90)25b

（I）求a,b,c,d的值；

4[90.100]Cd

（II）若得分在之間的有機(jī)會(huì)進(jìn)入決賽，

已知其中男女比例為2:3,如果一等獎(jiǎng)只有兩名，-frit501

求獲得一等獎(jiǎng)的全部為女生的概率.

訓(xùn)練題2某學(xué)校為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，積極開展豐富多樣的社團(tuán)活動(dòng)，根據(jù)調(diào)查，學(xué)校在

傳統(tǒng)民族文化的繼承方面開設(shè)了"泥塑"、"剪紙"、"年畫"三個(gè)社團(tuán)，三個(gè)社團(tuán)參加的人數(shù)如

下表示所示：

社團(tuán)泥塑剪紙年畫

人數(shù)320240200

為調(diào)查社團(tuán)開展情況，學(xué)校社團(tuán)管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本,

已知從“剪紙”社團(tuán)抽取的同學(xué)比從“泥塑"社團(tuán)抽取的同學(xué)少2人.

（I）求三個(gè)社團(tuán)分別抽取了多少同學(xué)；

（II）若從“剪紙”社團(tuán)抽取的同學(xué)中選出2人擔(dān)任該社團(tuán)活動(dòng)監(jiān)督的職務(wù)，已知"剪紙"社團(tuán)

被抽取的同學(xué)中有2名女生，求至少有1名女同學(xué)被選為監(jiān)督職務(wù)的概率.

9

訓(xùn)練題32013年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：

居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超

過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平

均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

PM2.5濃度

組別頻數(shù)（天）頻率

（微克/立方米）

第一組(0,25]50.25

第二組(25,50]100.5

第三組(50,75]30.15

第四組(75,100)20.1

（I）從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機(jī)抽取2天，

求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率；

（II）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考

慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由.

訓(xùn)練題4某校從參加市聯(lián)考的甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)110分以上的同學(xué)中各隨機(jī)抽

取8人，將這16人的數(shù)學(xué)成績(jī)編成如下莖葉圖.

（I）莖葉圖中有一個(gè)數(shù)據(jù)污損不清（用△表示），若甲班抽出來的同學(xué)平

均成績(jī)?yōu)?22分，試推算這個(gè)污損的數(shù)據(jù)是多少？

（II）現(xiàn)要從成績(jī)?cè)?30分以上的5位同學(xué)中選2位作數(shù)學(xué).田、

（第18遂圖）

學(xué)習(xí)方法介紹，請(qǐng)將所有可能的結(jié)果列舉出來，并求選出的兩位

同學(xué)不在同一個(gè)班的概率.

甲乙

822118

7△0120468

10311325

141

訓(xùn)練題5某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名

電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：

文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)

20至40歲401858

_大于40歲152742

總計(jì)5545100

(I)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取

幾名？

(II)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.

訓(xùn)練題6某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測(cè)試該疫苗的有效性，公司選定2000

個(gè)流感樣本分成三組，測(cè)試結(jié)果如下表:

A組B組C組

疫苗有效673Xy

疫苗無效7790Z

若在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，恰好抽到B組疫苗有效的概率是0.33。

(1)求x的值；

(II)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個(gè)測(cè)試結(jié)果，問應(yīng)在C組抽取多少個(gè)？

(IH)若疫苗有效的概率小于90%,則認(rèn)為測(cè)試沒有通過，已知yN465,zN30,求這種

新流感疫苗不能通過測(cè)試的概率。

11

訓(xùn)練題7有關(guān)部門要了解甲型H1N1流感預(yù)防知識(shí)在學(xué)校的普及情況，命制了一份有10道題

的問卷到各學(xué)校做問卷調(diào)查.某中學(xué)46兩個(gè)班各被隨機(jī)抽取5名學(xué)生接受問卷調(diào)查，A

班5名學(xué)生得分為：5,8,9,9,9；8班5名學(xué)生得分為：6,7,8,9,10.

（I）請(qǐng)你估計(jì)48兩個(gè)班中哪個(gè)班的問卷得分要穩(wěn)定一些；

（II）如果把8班5名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體，并用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從中抽取樣本

容量為2的樣本，求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不小于的概率.

訓(xùn)練題8市民李強(qiáng)居住在甲地,工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情

況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機(jī)

的.同-?條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，

再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班，

（1）寫出李生可能走的所有路線；（比如媯D

表示走〃路從甲到丙，再走〃路回到甲，然后走乙《----萬——

/路到達(dá)乙）;、7

第17題

（2）假設(shè)從丙地到甲地時(shí)若選擇走道路〃會(huì)

遇到擁堵，并且從甲地到乙地時(shí)若選擇走道路B也會(huì)遇到擁堵，其它方向均通暢，但李生不

知道相關(guān)信息，那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少？

12

訓(xùn)練題9有兩個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、

2、3、4.

（I）甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球，乙從另一個(gè)箱子摸出一個(gè)球，誰摸出的球上標(biāo)

的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），求甲獲勝的概率；

（II）摸球方法與（I）同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝，所標(biāo)數(shù)字

不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？

訓(xùn)練題10在某次模塊水平測(cè)試中，某同學(xué)對(duì)于政治、歷史、地理這三個(gè)學(xué)科每個(gè)學(xué)科是否

能達(dá)到優(yōu)秀水平的概率都為--記政治、歷史、地理達(dá)到優(yōu)秀水平的事件分別為4、4、

2

4,未達(dá)到優(yōu)秀水平的事件分別為彳、%、4.

（I）若將事件“該同學(xué)這三科中恰有兩科達(dá)到優(yōu)秀水平”記為“，試求事件”發(fā)

生的概率；

（II）請(qǐng)依據(jù)題干信息，仿照（I）的敘述，設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于該同學(xué)測(cè)試成績(jī)情況的事件N,

使得事件N發(fā)生的概率大于85%,并說明理由.

13

訓(xùn)練題11某工廠生產(chǎn)a8兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：大于或等于7.5為正品,

小于7.5為次品.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取這兩種元件各5件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果記錄如

下：

A777.599.5

B6X8.58.5y

由于表格被污損，數(shù)據(jù)看不清，統(tǒng)計(jì)員只記得x<y,且48兩種元件的檢測(cè)數(shù)

據(jù)的平均值相等，方差也相等.

(I)求表格中X與歹的值；

(II)若從被檢測(cè)的5件3種元件中任取2件，求2件都為正品的概率.

訓(xùn)練題12某學(xué)校為促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，積極開展豐富多樣的社團(tuán)活動(dòng)，根據(jù)調(diào)查，學(xué)校

在傳統(tǒng)民族文化的繼承方面開設(shè)了“泥塑”、"剪紙”、"年畫”三個(gè)社團(tuán)，三個(gè)社團(tuán)參加的

人數(shù)如下表示所示：

社團(tuán)泥塑剪紙年畫

人數(shù)320240200

為調(diào)查社團(tuán)開展情況，學(xué)校社團(tuán)管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣

本，已知從“剪紙”社團(tuán)抽取的同學(xué)比從“泥塑”社團(tuán)抽取的同學(xué)少2人.

(I)求三個(gè)社團(tuán)分別抽取了多少同學(xué)；

(II)若從“剪紙”社團(tuán)抽取的同學(xué)中選出2人擔(dān)任該社團(tuán)活動(dòng)監(jiān)督的職務(wù)，已知“剪紙”

社團(tuán)被抽取的同學(xué)中有2名女生，求至少有1名女同學(xué)被選為監(jiān)督職務(wù)的概率.

14

訓(xùn)練題13為調(diào)查民營(yíng)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況，某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法從A、B、C三個(gè)城市

中，抽取若干個(gè)民營(yíng)企業(yè)組成樣本進(jìn)行深入研究，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表：(單位：個(gè))

城市民營(yíng)企業(yè)數(shù)量抽取數(shù)量

A282

B14X

C3

(I)求x、y的值；

(II)若從城市A與C抽取的民營(yíng)企業(yè)中再隨機(jī)選2個(gè)進(jìn)行跟蹤式調(diào)研，求這2個(gè)都來自

城市C的概率.

訓(xùn)練題14已知A、B、C三個(gè)箱子中各裝有2個(gè)完全相同的球，每個(gè)箱子里的球，有一個(gè)

球標(biāo)著號(hào)碼1，另一個(gè)球標(biāo)著號(hào)碼2.現(xiàn)從A、B、C三個(gè)箱子中各摸出1個(gè)球.

(I)若用數(shù)組(x,〃力中的x、y、z分別表示從4、B、C三個(gè)箱子中摸出的球的號(hào)碼，

請(qǐng)寫出數(shù)組(x,y,z)的所有情形，并回答一共有多少種：

(H)如果請(qǐng)您猜測(cè)摸出的這三個(gè)球的號(hào)碼之和，猜中有獎(jiǎng).那么猜什么數(shù)獲獎(jiǎng)的可能性

最大?請(qǐng)說明理由.’

15

訓(xùn)練題15從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下:

分組（重量）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)（個(gè)）5102015

（I）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在［90,95）的頻率；

（II）用分層抽樣的方法從重量在［80,85）和［95,100）的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在

［80,85）的有幾個(gè)?

（III）在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1個(gè)的

概率。

訓(xùn)練題16一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車，福類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)

量如下表（單位:輛）:

轎車A轎車B轎車C

舒適型100150Z

標(biāo)準(zhǔn)型300450600

按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.

⑴求z的值.

（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體，從

中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；

（3）用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下94,8.6,

9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求

該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過05的概率.

16

訓(xùn)練題17某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:

初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)

女生373X

男生377370Z

已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.

(1)求x的值；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？

⑶已知y>245,z>245,求初三年級(jí)中女生比男生多的概率.

訓(xùn)練題18在等差數(shù)列佃｝和等比數(shù)列他｝中，ai=bi=l,b4=8,佃｝的前10項(xiàng)和SK)=55.

(I)求％和%

(II)現(xiàn)分別從｛a。｝和｛%｝的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)

的值相等的概率。

17

訓(xùn)練題19設(shè)平頂向量=(m,1),“=(2,n),其中m,ne(1,2,3,4).

（I）請(qǐng)列出有序數(shù)組（m,n）的所有可能結(jié)果；

（ID記”使得%_L<am-bn）成立的（m,n）”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。

題型163幾何概型

例題12.25在區(qū)間［-2,4］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|4及的概率為*,則

6

m=.

例題12.26利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生。?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)。，則事件發(fā)生的概率為

例題12.27在區(qū)間［0,可上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件"sinx+cosx〉號(hào)'發(fā)生的概率為（B）

A.IB.IC.1D.2

4323

例題12.28［2014?福建卷］如圖1-5所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180

粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為.

圖1-5

例題12.29［2014?湖南卷］在區(qū)間［―2,3］上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則XW1的概率為（）

18

C.|D.|

例題12.30[2014?遼寧卷]若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖1-1所示的長(zhǎng)方形中，其中

=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是（）

例題12.31[2014?重慶卷]某校早上8：00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30~

7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分

鐘到校的概率為.（用數(shù)字作答）

例題12.32已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取?點(diǎn)P,使4APB的最大邊是AB”發(fā)生

的概率為則"=

例題12.33在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB

的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20cm2的概率為

例題12.34如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個(gè)半圓。在

19

扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是

第toism

22

A.2nD.R

例題12.35設(shè)不等式組I,表示平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此

0<y<2

點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是

71萬一2兀4—71

(A)-(B)-------(C)-(D)-------

4264

例題12.35已知復(fù)數(shù)Z=Q+bi(其中為虛數(shù)單位)，若區(qū)1且|力區(qū)1,貝力Z區(qū)1的概率

為.

訓(xùn)練題1從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間

5

的距離為2—的概率是

2

訓(xùn)練題2如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)

Q,則點(diǎn)Q取自4ABE內(nèi)部的概率等于

C.2D.3

訓(xùn)練題3在棱長(zhǎng)為2的正方體NBC?！?81GA中，點(diǎn)。為底面45。的中心,在正方體

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離大于1的概率為()

A.—BA-—C.-DA--

121266

訓(xùn)練題4右圖的矩形，長(zhǎng)為5,寬為2.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分

的黃豆數(shù)為138顆.則可以估計(jì)出陰影部分的面積約為

20

第1題圖。

()

23232323

A.C.D.

To5611

訓(xùn)練題5在長(zhǎng)為IOC/M的線段AB上任取一點(diǎn)C,現(xiàn)作一個(gè)矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC、

CB的長(zhǎng)，則該矩形的面積大于245r的概率是（）

1]_]_]_

B.D.

6543

訓(xùn)練題6如圖，把一個(gè)單位圓八等分，某人向圓內(nèi)投鏢，則他投中陰影區(qū)域的概率為

2123

ABCD.

8438

（第2題圖）

訓(xùn)練題7如圖，矩形的長(zhǎng)為6,寬為3,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在影陰部分

的黃豆為125顆，則我們可以估計(jì)出影陰部分的面積約為.

訓(xùn)練題8若在區(qū)間［0,5］內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在區(qū)間［0,5］

內(nèi)的概率是（）

訓(xùn)練題9右圖的矩形，長(zhǎng)為5,寬為2.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分

的黃豆數(shù)為138顆.則可以估計(jì)出陰影部分的面枳約為

23232323

A.C.D.

10T~6TT

第1題圖p

21

訓(xùn)練題10若尸為A48C內(nèi)-點(diǎn)，且方+定+2強(qiáng)=0,在A48C內(nèi)隨機(jī)撒一顆豆子,

則此豆子落在APSC內(nèi)的概率為（)

]_1

A.B.-D

23ci-1

訓(xùn)練題11一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持

與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全匕行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為

1

A.B.-

816

1D.2

C.

278

訓(xùn)練題12已知集合也={x|-2<x<8},A^={X|X12-3X+2<0},在集合〃中任取一?

個(gè)元素x，則"xe"C1N”的概率是

111

A.——B.-D.-

106C52

訓(xùn)練題13設(shè)函數(shù)f(x)=x2-5x+6,XG[0,5],若從區(qū)間［0,5］內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)玉），則所

選取的實(shí)數(shù)X。滿足/（%）40的概率為

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

訓(xùn)練題14如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)在正方形的內(nèi)切圓內(nèi)部的概

率為

7T4一"714一乃

A.一B.------C-.-------D.-------

471

（第2題圖）

訓(xùn)練題15如圖，在A46C中，0、E分別在邊Z8、NC上，且力=2而，AE^-EC,

2

點(diǎn)〃隨機(jī)的在A48c內(nèi)部出現(xiàn)，則點(diǎn)M出現(xiàn)在A4OE內(nèi)部的概率是

10五32

A.-B.-----C.一D.-

2389

22

訓(xùn)練題16在面積為S的矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取?點(diǎn)P,則\PBC的面積小于一的概率是（