安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第一初級中學(xué)九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第一初級中學(xué)20182019學(xué)年九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1.下列等式正確的是（）．A. B.2+3＝5C.·＝6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義和性質(zhì)及二次根式的乘法法則進(jìn)行判斷；【詳解】A.，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.2+3≠5，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.·＝，所以C選項(xiàng)正確；D.，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.2.如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（）A.10m B.15m C.18m D.20m【答案】C【解析】【詳解】∵樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13m，∴這棵樹原來的高度=BC+AC=5+13=18m．故選C．3.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根的判別式，根據(jù)方程的根的判別式且，計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程有實(shí)根，∴且，解得，故選A．4.我們給出一種運(yùn)算：對于xn，規(guī)定．例如：，則方程的解是()．A. B. C.x1=x2= D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知變形，得出一元二次方程，再求出方程的解即可．【詳解】∵，∴∴即，解得，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意將原式變形.5.已知a，b是方程x2+2017x+2=0的兩個(gè)根，則（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）的值為______．【答案】8．【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．【詳解】∵a，b是方程x2+2017x+2=0的兩個(gè)根，∴2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，∴（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）=（2+2017a+2a+a2）（2+2017b+2b+b2）=4ab=8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.下面是小明在一次測驗(yàn)中解答的填空題：①若x2=1，則x=1；②方程x(x1)=x1的解是x=2；③已知三角形兩邊分別為2和9，第三邊長是方程x214x+48=0的根，則這個(gè)三角形的周長是17或19；④方程的解是x=3，試卷中每個(gè)填空題5分，最后小明填空題的得分是（）．A.0分 B.5分 C.10分 D.15分【答案】A【解析】【分析】①開方得到x=1或x=1，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②將方程右邊式子整體移項(xiàng)到左邊，提取公因式x1，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程解即可得到原方程的解，即可作出判斷；③求出方程x214x+48=0的解，得到第三邊的長，求出三角形周長即可作出判斷；④將方程兩邊都乘x+1，即可得到二元一次方程，求得方程的解再檢驗(yàn)即可．【詳解】①若x2=1，則x=±1，故錯(cuò)誤；②方程x(x1)=x1，移項(xiàng)得：x(x?1)?(x?1)=0，即(x?1)(x?1)=0，可得x?1=0或x?1=0，解得：，故錯(cuò)誤；③x214x+48=0，因式分解得：(x?6)(x?8)=0，可得x?6=0或x?8=0，解得：，∴第三邊分別為6或8，若第三邊為6，三邊長分別為2，6，9，不能構(gòu)成三角形，舍去；若第三邊為8，三邊長為2，8，9，此時(shí)周長為2+8+9=19則這個(gè)三角形的周長是19，故錯(cuò)誤；④，等式兩邊均乘x+1，得，因式分解得：(x?3)(x?4)=0，解得：經(jīng)檢驗(yàn)均為方程的解，故錯(cuò)誤；則答案完全正確的數(shù)目為0個(gè)，故選A【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于掌握解一元二次方程因式分解法及直接開平方法.7.2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽如圖所示，它由四個(gè)相同的直角三角形拼成，若較長直角邊為4，較短直角邊為3，則圖中大正方形與小正方形的面積之比()A.16:9 B.16:1 C.25:9 D.25:1【答案】D【解析】【分析】要求正方形的面積，根據(jù)正方形的面積=邊長×邊長，即變?yōu)榍筮呴L，根據(jù)圖形，大正方形的邊長即是直角三角形的斜邊，由勾股定理可以求出；小正方形的邊長即是直角三角形兩個(gè)直角邊的差．【詳解】如圖，由勾股定理得大長方形邊長：，則大正方形的面積為：；∵小正方形的邊長為：3?2=1，則小正方形的面積為：.則圖中大正方形與小正方形的面積之比是25:1.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用勾股定理求直角三角形的斜邊長.8.下列各式中正確的個(gè)數(shù)是（）①=4a②==③④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行計(jì)算．【詳解】①=4a，故正確；②==，故錯(cuò)誤；③，故錯(cuò)誤；④，故正確.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.9.已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積問題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個(gè)三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個(gè)三角形的三邊長分別為5，6，7的面積，從而可以解答本題．【詳解】∵S=∴若一個(gè)三角形的三邊長分別為5，6，7，則面積是：S=，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡.10.的三邊長分別為a，b，c．下列條件：①；②；③；④，其中能判斷是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平方差公式，勾股定理逆定理．根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，即可判斷①③；根據(jù)平方差公式和勾股定理，即可判斷②；根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷④．【詳解】解：①∵由，∴，∴，是直角三角形．符合題意；②由，可得，是直角三角形，符合題意；③∵，∴，，，∴不是直角三角形，不符合題意；④∵，∴，∴根據(jù)勾股定理的逆定理可知是直角三角形，符合題意．綜上：其中能判斷是直角三角形的有①②④，共3個(gè)，故選：C．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11.如果最簡二次根式與是同類二次根式，則a=______________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出2a1=8a，求出即可．【詳解】∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴2a1=8a，解得：a=3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】此題考查同類二次根式，解題關(guān)鍵在于掌握同類二次根式的定義即可得出等式關(guān)系.12.已知關(guān)于x的方程x2+mx+2mn=0的一個(gè)根為2，且根的判別式為0，則n=____________．【答案】12【解析】【分析】先把x=2代入方程，列出一關(guān)于m、n的方程，再由根的判別式為0列出一個(gè)關(guān)于m、n的方程，兩方程聯(lián)立即可求出m、n的值．【詳解】∵一元二方程x2+mx+2mn=0有一個(gè)根為2，∴4+4m?n=0①，又∵根的判別式為0，∴，即②由①得：n=4+4m，把n=4+4m代入②得：，解得m=?4，代入①得：n=?12，所以m=?4，n=?12.故答案為：12.【點(diǎn)睛】此題考查根的判別式、一元二次方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握根的判別式的運(yùn)用.13.如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有少數(shù)人為了走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出一條不文明的“路”，其實(shí)他們僅僅少走了___________步路，卻踩傷了花草（假設(shè)2步為1米）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，“路”的長度，即步，是步，是步，共步，∴少走了步，故答案為：步．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14.觀察下列各式：，，，……請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算+++…+，其結(jié)果為_______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】由題意可得：+++…+=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=．故答案為．【點(diǎn)睛】：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．三、解答題(本大題共90分)15.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可；

（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可.【詳解】解：（1）==；（2）===.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式．16.解方程：①2x25x+1=0(用配方法)；②5(y2y)=3(y21)（用因式分解）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】①按照配方法按照步驟進(jìn)行即可解答；②先移項(xiàng)，再提取公因式（y1）即可求解．【詳解】①2x25x+1=0方程化為，，，解得.②5(y2y)=3(y21)，解得【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于掌握配方法、因式分解法即可求解.17.印度數(shù)學(xué)家什迦羅在其著作中提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”此題的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被風(fēng)一吹，荷花傾斜，正好與湖面持平，且荷花與原來位置的水平距離為二尺，問湖水有多深．【答案】湖水深3.75尺．【解析】【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時(shí)恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件求解．【詳解】設(shè)水深x尺，則荷花莖長度為x+0.5，根據(jù)勾股定理得：解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列出方程．18.如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示a，b，化簡：【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸得出1<a<0<1<b，|a|<|b|，求出a+1＞0，1b＜0，ab<0，a＞0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值求出即可．【詳解】∵從數(shù)軸可知：?1<a<0<1<b，|a|<|b|，∴==故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)軸上a,b的位置判斷.19.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD=30°，∠ACD=45°，AB=8，求△ABC的周長和面積．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD的長，再由勾股定理求出AD的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出AD=CD，再由勾股定理可得出△ABC的周長；根據(jù)三角形的面積公式可得出△ABC的面積．【詳解】∵在△ABC中,AD⊥BC于D,∠BAD=30°，AB=8，∴BD=，∴.∵∠C=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=，∴；△ABC的周長=；△ABC的面積=【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、等腰直角三角形，解題關(guān)鍵在于掌握三角形周長及面積公式.20.百貨大樓服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“十·一”國慶節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】每件童裝應(yīng)降價(jià)20元．【解析】【分析】設(shè)每件童裝降價(jià)元，那么平均每天就可多售出元，根據(jù)平均每天銷售這種童裝盈利1200元，即銷量每件的利潤元，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)元，則，即：，解得：，，要擴(kuò)大銷售量，減少庫存，舍去．答：每件童裝應(yīng)降價(jià)20元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，要根據(jù)題意列出平均每天就可多售出的件數(shù)，再根據(jù)題意列出現(xiàn)在一天可售出的件數(shù)及每件盈利的總錢數(shù)，找出題中的等量關(guān)系列出方程求解即可．21.已知關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0．（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的一個(gè)根是1，請求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．【答案】（1）見詳解；（2）4＋或4＋.【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判別式的符號來證明結(jié)論.（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根.分類討論：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是2、3時(shí)，②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時(shí)，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：（1）證明：∵△=[（m＋2）]2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.∴關(guān)于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）∵此方程的一個(gè)根是1，∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，則方程的另一根為：m＋2－1=2+1=3.①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋.②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為1＋3＋=4＋.22.為了節(jié)省材料，某農(nóng)戶利用一段墻體為一邊(墻體的長為10米)，用總長為40m的圍網(wǎng)圍成如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．（1）求AE：EB的值；（2）當(dāng)BE的長為何值時(shí)，長方形ABCD的面積達(dá)到72m2？（3）當(dāng)BE的長為何值時(shí)，矩形區(qū)域①的面積達(dá)到最大值？并求出其最大值．【答案】（1）2:1；（2）3米；（3）BE=2.5米，25平方米..【解析】【分析】（1）根據(jù)三個(gè)矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三個(gè)矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設(shè)長方形ABCD的面積為y,BE=x，AE=2x，BC=204x,進(jìn)而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時(shí)x的值即可．【詳解】(1)∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，∴AE=2BE，∴AE:EB=2:1；(2)∵三塊矩形區(qū)域的面積相等,∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，∴AE=2BE，設(shè)長方形ABCD的面積為y,BE=x，則AE=2x，∴BC=∴∵，∴2.5≤x<5，則y=；當(dāng)y=72時(shí)，即解得（舍去）故BE=3m,時(shí)長方形ABCD的面積達(dá)到72m2(3)∵y=,且二次項(xiàng)系數(shù)為?12<0，∴當(dāng)BE=2.5米時(shí)，y有最大值，最大值為75平方米.此時(shí)矩形區(qū)域①的面積為平方米.【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意得出相應(yīng)的一元二次方程.23.【思考題】閱讀下面的情景對話，然后解答問題：老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．小華：等邊三角形一定是奇異三角形；小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？（1）①根據(jù)“奇異三角形”的定義，小紅得出命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”，請判斷小紅提出的命題是否正確，并填空：命題（填“