數(shù)學(xué)（選修45）課件22解含絕對(duì)值的不等式舉例

第2章絕對(duì)值不等式2.2解含絕對(duì)值的不等式舉例1．含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集不等式|x|＜a的解集是{x|－a＜x＜a}嗎？提示：當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|－a＜x＜a}；當(dāng)a≤0時(shí)，不等式的解集為?.2．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c＞0)型不等式的解法：先化為_(kāi)_______________，再利用不等式的基本性質(zhì)求出原不等式的解集．(2)|ax＋b|≥c(c＞0)的解法：先化為_(kāi)_________或______________，再進(jìn)一步利用不等式的基本性質(zhì)求出原不等式的解集．－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－c當(dāng)c＜0時(shí)，不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分別是什么？提示：當(dāng)c＜0時(shí)，|ax＋b|≤c的解集為?；|ax＋b|≥c的解集為R.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)可以利用絕對(duì)值不等式的__________.(2)利用分類(lèi)討論的思想，以絕對(duì)值的“______”為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間，然后確定各個(gè)絕對(duì)值中的多項(xiàng)式的__________，進(jìn)而去掉_____________.(3)可以通過(guò)__________，利用__________，得到不等式的解集．幾何意義零點(diǎn)符號(hào)絕對(duì)值符號(hào)構(gòu)造函數(shù)函數(shù)圖象當(dāng)|a－b|＞c時(shí)，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？提示：因?yàn)閨x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|，所以當(dāng)|a－b|＞c時(shí)，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集為R.不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是(

)A．(－∞，4)

B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)解析：①當(dāng)x＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，所以x＜1.②當(dāng)1≤x≤5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(5－x)＜2，即x＜4，所以1≤x＜4.③當(dāng)x＞5時(shí)，原不等式等價(jià)于x－1－(x－5)＜2，即4＜2，無(wú)解．綜合①②③知x＜4.答案：A

(1)下列不等式中，解集為{x|－1＜x＜3}的是(

)A．1＜|1＋x|≤2 B．1＜|1－x|≤2C．|1－x|＜2 D．|2－x|＞3解析：由題意知，解集是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，所以排除選項(xiàng)A，B．∵|1－x|＜2，即|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，則－1＜x＜3.故選項(xiàng)C正確．∵|2－x|＞3，即|x－2|＞3，∴x－2＞3或x－2＜－3，則x＜－1或x＞5.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：C|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型不等式的解法【點(diǎn)評(píng)】解|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)型的不等式，就是利用等價(jià)命題法將其絕對(duì)值符號(hào)去掉，即當(dāng)a＞0時(shí)，|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a，分別求出相應(yīng)的不等式的解集，即可達(dá)到解題目的．1．解下列不等式：(1)|6－2x|＞4；(2)2≤|x－4|＜3；(3)|x＋1|＞2－x.解：(1)|6－2x|＞4?|2x－6|＞4?2x－6＞4或2x－6＜－4，整理，得2x＞10或2x＜2，解得x＞5或x＜1.∴原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．

(1)不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(

)A．[－5,7]B．[－4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法解法一：當(dāng)x≤－3時(shí)，原不等式可化為5－x－x－3≥10，即2x≤－8，∴x≤－4，此時(shí)不等式的解集為{x|x≤－4}．當(dāng)－3＜x≤5時(shí)，原不等式可化為5－x＋x＋3≥10，此時(shí)無(wú)解．當(dāng)x＞5時(shí)，原不等式可化為x－5＋x＋3≥10，解得x≥6，此時(shí)不等式的解集為{x|x≥6}．綜上可知，原不等式的解集為{x|x≤－4或x≥6}．解法二：不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集的幾何意義是：數(shù)軸上到－3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離與到5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和不小于10的點(diǎn)．點(diǎn)－4和6到點(diǎn)－3與5的距離之和都為10，如圖所示，故滿足|x－5|＋|x＋3|≥10的解集為(－∞，－4]∪[6，＋∞)．答案：D(2)解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.解法一：|x＋7|－|x－2|可以看成數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)(坐標(biāo)為x)到－7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離的差，先找到這個(gè)差等于3的點(diǎn)，即x＝－1.由圖知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解為x≤－1，即解集為{x|x≤－1}．解法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.當(dāng)x＜－7時(shí)，不等式變?yōu)椋瓁－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立．∴x＜－7.當(dāng)－7≤x≤2時(shí)，不等式變?yōu)閤＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1.∴－7≤x≤－1.當(dāng)x＞2時(shí)，不等式變?yōu)閤＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立．∴x∈?.∴原不等式的解集為{x|x≤－1}．【點(diǎn)評(píng)】

(1)如果一個(gè)不等式中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)考慮用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)，這實(shí)質(zhì)上是將原不等式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不等式組，把每個(gè)不等式組的解集求出后，取它們的并集得到原不等式的解集．(2)對(duì)于|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型的不等式，有三種解法：①零點(diǎn)分段法；②圖象法；③幾何法．其中零點(diǎn)分段法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡(jiǎn)單的情況．其中幾何法解題的關(guān)鍵是要理解絕對(duì)值的幾何意義．2．解下列不等式：(1)|2x－1|＜|x|＋1；(2)|x－3|－|x＋1|＜1.解：(1)①當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為－2x＋1＜－x＋1，解之得x＞0，與x＜0矛盾，此時(shí)無(wú)解；

已知關(guān)于x的不等式|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法解法二：|x＋2|＋|x－1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)A(x)到B(－2)和C(1)兩點(diǎn)的距離之和，而|BC|＝3，∴A到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為3.即對(duì)一切x∈R，總有|x＋2|＋|x－1|≥3.∵|x＋2|＋|x－1|≤a的解集為?，∴只需a＜3即可．∴a的取值范圍是a＜3.[互動(dòng)探究]若本例條件變?yōu)椤耙阎P(guān)于x的不等式|x＋2|－|x－1|≥a的解集為R”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解法二：|x＋2|－|x－1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)A(x)到點(diǎn)B(－2)和C(1)兩點(diǎn)的距離之差，而|BC|＝3，∴A到點(diǎn)B與到點(diǎn)C的距離之差的最大值為3，最小值為－3.∵|x＋2|－|x－1|≥a的解集為R，∴a＜－3.【點(diǎn)評(píng)】

(1)含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法與不含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解法完全相同，但要注意對(duì)參數(shù)取值的討論．(2)對(duì)已知含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解集情況或恒成立情況，求參數(shù)值或取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)其解集或恒成立的式子構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程、不等式或函數(shù)，再去求解．3．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式f(x)≤4.(2)設(shè)f(x)＝|x－1＋a|，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．1．含絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對(duì)于a∈(0，＋∞)，有|x|＜a?－a＜x＜a；|x|＞a?x＜－a或x＞a.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)．(3)零點(diǎn)分段法(或定義法)：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫(huà)出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)