備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(世紀(jì)金榜高中全程復(fù)習(xí)方略數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)版)課時作業(yè)五十八　直線和雙曲線

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。五十八直線和雙曲線(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·大連模擬)過雙曲線x2-y2=2的左焦點(diǎn)作直線l,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線l有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【解析】選D.由題意得雙曲線左焦點(diǎn)(-2,0),當(dāng)直線垂直于橫軸時,|AB|=22不符合題意,雙曲線漸近線方程為y=±x;故可設(shè)l:y=k(x+2)(k≠±1),A(x1,y1),B(x2,y2),與雙曲線聯(lián)立可得y=k(x+2)x2-y2=2?(1-kx1+x2=4k21-k2,x1由弦長公式知|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1·8(k2+1)|則k=±(2-1)或k=±(2+1).故存在四條直線滿足條件.2.(5分)(2024·福州模擬)已知雙曲線C的方程為x24-y2=1,點(diǎn)P,Q分別在雙曲線的左支和右支上,則直線PQ的斜率的取值范圍是(A.(-12,1B.(-2,2)C.(-∞,-12)∪(1D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】選A.雙曲線x24-y2=1的漸近線方程為y=±12x依題意,點(diǎn)P,Q分別在雙曲線的左支和右支上,所以直線PQ的斜率的取值范圍是(-12,123.(5分)(2024·昆明模擬)已知F為雙曲線C:x23-y2=1的左焦點(diǎn),過F的一條直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線C的漸近線交于D,E兩點(diǎn),若|AB||DE|A.±36 B.±34 C.±53 【解析】選A.據(jù)題意,設(shè)直線l:y=k(x+2),兩條漸近線滿足方程x23-y由y=k(x+2)x23-y2整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,Δ1=144k4+4(1-3k2)(12k2+3)=12k2+12,由y=k(x+2)x23-y2整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2=0,Δ2=144k4+48k2(1-3k2)=48k2,|AB|=1+k2·Δ1|1-3所以|AB||DE|=Δ1Δ2=4.(5分)(2024·北海模擬)已知直線y=x+1與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線交于A,B兩點(diǎn),且A在第一象限.O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OA|=2|A.5 B.10 C.2 D.5【解析】選B.因為|OA|=2|OB|,所以xA=-2xB,設(shè)B(m,m+1),則A(-2m,-2m+1),因為kOA+kOB=0,所以m+1m+解得m=-14,所以A(12,所以ba=3,則e=ca=1+b5.(5分)(多選題)(2024·石家莊模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0),若圓M:(x-2)2+y2=1與雙曲線CA.雙曲線C的漸近線方程為x±3y=0B.雙曲線C的實(shí)軸長為6C.雙曲線C的離心率e=2D.過雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線與圓M交于A,B兩點(diǎn),則弦長|AB|=2【解析】選ACD.雙曲線的漸近線方程為x±ay=0,圓M的圓心為(2,0),半徑為1,所以圓心到漸近線的距離d=21+a2=1,得a=3(負(fù)值舍去),所以雙曲線的漸近線方程為x±3y=0,故A正確;雙曲線方程為x23-y2=1,雙曲線C的實(shí)軸長為23,故B錯誤;c2=a2+b2=3+1=4,所以雙曲線的離心率e=c因為雙曲線的右焦點(diǎn)是圓M的圓心,所以弦長為直徑,所以|AB|=2,故D正確.6.(5分)(多選題)已知曲線C:x24+m+y21+m=1A.若曲線C為橢圓或雙曲線,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0)B.若曲線C是橢圓,則m>-1C.若m<-1且m≠-4,則曲線C是雙曲線D.直線kx-y-k=0k∈R與曲線【解析】選AB.若曲線表示橢圓,因為4+m>1+m,所以a2=4+m>0,b2=1+m>0,則m>-1,即橢圓焦點(diǎn)在x軸,則c2=a2-b2=3,得c=3,此時焦點(diǎn)坐標(biāo)為±3若曲線表示雙曲線,由4+m1+m此時雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+m則a2=4+m,b2=-1-m,即焦點(diǎn)在x軸,則c2=a2+b2=3,得c=3,此時焦點(diǎn)坐標(biāo)為±3由kx-y-k=0得kx-1-即直線過定點(diǎn)M1,當(dāng)曲線為雙曲線時,-4<m<-1,此時a2=4+m∈0,當(dāng)m=-2時,a2=2,此時,雙曲線右頂點(diǎn)為2,0,在點(diǎn)M此時直線與曲線C不一定有兩個交點(diǎn),故D錯誤.7.(5分)(2024·南京模擬)已知雙曲線C過點(diǎn)(3,2),且漸近線為y=±33x,則雙曲線C的方程為__________;若動直線y=k(x-2)與雙曲線C的同一支有兩個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為__________【解析】①根據(jù)題意可得,雙曲線的漸近線方程為y=±33x,設(shè)雙曲線的方程為x23-y2=λ因為雙曲線過點(diǎn)(3,2),所以323-(2)2=λ,解得λ=1,所以雙曲線的方程為x②設(shè)直線y=k(x-2)與雙曲線C交于A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-2)x23-y2=1?則1-3k所以k∈(-∞,-33)∪(33答案:x23-y2=1(-∞,-33)∪8.(5分)(2022·浙江高考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點(diǎn)Ax1,y1,交雙曲線的漸近線于點(diǎn)Bx2,【解析】過F且斜率為b4AB:y=b4a(x+c),漸近線l:y=b聯(lián)立y=b4a由|FB|=3|FA|,得A-5而點(diǎn)A在雙曲線上,于是25c281解得c2a2=8124,所以離心率答案:39.(10分)(2024·景德鎮(zhèn)模擬)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線實(shí)軸長為2,其一條漸近線斜率為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)因為雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b因為該雙曲線的實(shí)軸長為2,一條漸近線斜率為2,則2a=2b因此,該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y22(2)過點(diǎn)A(1,1)能否作直線l,使直線l與所給雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)A是弦PQ的中點(diǎn)?如果直線l存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.【解析】(2)假定直線l存在,設(shè)以A(1,1)為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2),則有x1+x2=2,y1+y2=2.根據(jù)雙曲線的對稱性知x1≠x2.由點(diǎn)P,Q在雙曲線上,得2x12-y12=2,2兩式相減得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以y1-y2x1-x2=2,即以A(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=2,故直線PQ的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.聯(lián)立2x2-因此直線l與雙曲線無交點(diǎn),故滿足條件的直線l不存在.【加練備選】已知雙曲線C:x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍,使:(1)直線l與雙曲線有兩個公共點(diǎn);【解析】(1)聯(lián)立y=消y整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*)因為直線l與雙曲線C有兩個公共點(diǎn),所以1-整理得1-解得:-233<k<-1或-1<k<1或1<k<所以k的取值范圍為{k|-233<k<-1或-1<k<1或1<k<2(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn);【解析】(2)當(dāng)1-k2=0即k=±1時,直線l與雙曲線的漸近線平行,方程(*)化為2x-5=0,故方程(*)有唯一實(shí)數(shù)解,即直線與雙曲線相交,有且只有一個公共點(diǎn),滿足題意.當(dāng)1-k2≠0時,因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點(diǎn),則Δ=4(4-3k2)=0,解得k=±23綜上,k=±1或k=±23(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn).【解析】(3)因為直線l與雙曲線C沒有公共點(diǎn),所以1-解得k>233或k<-所以k的取值范圍為{k|k<-233或k>2【能力提升練】10.(5分)(2023·漳州模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1,直線y=kx(k>0)與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),且∠PF1Q=2π3,PF1·F1QA.3 B.3 C.2 D.2【解析】選D.不妨設(shè)P位于第一象限,雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2,連接PF2,F2Q,因為O為PQ,F1F2的中點(diǎn),所以四邊形PF1QF2為平行四邊形,所以PF2=F1Q,∠F1PF設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m,n>0),則m-n=2a,由PF1·F1Q=4得:PF1·PF2=mn在△PF1F2中,|F1F2|2=m2+n2-2mncosπ3=(m-n)2+mn所以b2=c2-a2=2,所以12a2+b2a2=a22+2所以當(dāng)12a2+b2a2取得最小值時,雙曲線C的離心率e=11.(5分)(多選題)(2024·江門模擬)已知曲線C:x2sinα+y2cosα=1(0≤α<π),則下列說法正確的是()A.若曲線C表示兩條平行線,則α=0B.若曲線C表示雙曲線,則π2<αC.若0<α<π2,則曲線CD.若0<α<π4,則曲線C表示焦點(diǎn)在x【解析】選BD.對于A選項,若曲線C表示兩條平行線,則有sinα=0或cosα=0,且0≤α<π.若sinα=0,則α=0,此時曲線C的方程為y2=1,可得y=-1或y=1,合乎題意,若cosα=0,則α=π2,此時曲線C的方程為x2=1,可得x=-1或x對于B選項,若曲線C表示雙曲線,則sinαcosα<0,由于0≤α<π且sinα≠0,則sinα>0,可得cosα<0,則π2<α對于C選項,若曲線C表示橢圓,則sinα>0cosα>00≤α<πsin對于D選項,若0<α<π4,則0<sinα<cosα,則1sinα>1cosα>0,曲線C的方程可化為x21sin12.(5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1作圓x2+y2=a2的切線,交雙曲線右支于點(diǎn)M,若∠FA.y=±(3+3)x B.y=±2xC.y=±3+33x D.y=±(1+3【解析】選C.如圖,作OA⊥F1M于點(diǎn)A,F2B⊥F1M于點(diǎn)B,因為F1M與圓x2+y2=a2相切,所以|OA|=a,|F2B|=2|OA|=2a,|F1B|=2b,在Rt△BMF2中,∠F1MF2=60°,所以|BM|=|F2B|tan60°=2a3=又點(diǎn)M在雙曲線上,由雙曲線的定義可得:|F1M|-|F2M|=|F1B|+|BM|-|F2M|=2b+23a3-4整理得:b=3+33a,所以ba所以雙曲線的漸近線方程為y=±3+313.(5分)(2024·宜賓模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為233,過F2作漸近線y=bax的垂線交C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,若|AF2【解析】因為e=ca=233,所以c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=43,所以b2a2=13,則漸近線y=設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB:x=2m-y3聯(lián)立x23m2-y2m2=1所以y1=3m-3m4,所以|AF2||BF2|=所以|AB|=|AF2|+|BF2|=3=1+13|y1-y2|=1+13·3m2,所以m=3,所以a=3,所以AF1+BF1+AB=2(AF2+答案:1814.(10分)(2024·武威模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,C的離心率為2,直線l過F2與C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|OM|=|OF2|時,△(1)求雙曲線C的方程;【解析】(1)因為|OM|=|OF1|=|OF2|,所以∠F1MF2=90°.則|MF1|2+|MF2|2=(2c)2,(|MF1|-|MF2|)2所以|MF1|·|MF2|=2b2,△MF1F2的面積S=12|MF1|·|MF2|=b2=3又C的離心率為ca=1+b2a2所以雙曲線C的方程為x2-y23(2)已知M,N都在C的右支上,設(shè)l的斜率為m.①求實(shí)數(shù)m的取值范圍;②是否存在實(shí)數(shù)m,使得∠MON為銳角?若存在,請求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】(2)①根據(jù)題意F2(2,0),則直線l:m(x-2)-y=0,由x2-y23=1y=mx-2m,得(3-m2)得m2≠3,Δ>0恒成立.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4m2m2-3,x因為直線l與雙曲線C的右支相交于M,N不同的兩點(diǎn),所以x1+x所以m2>3,解得m∈(-∞,-3)∪(3,+∞).②假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使∠MON為銳角,所以O(shè)M·ON>0,即x1x2+y1y2>0,因為y1y2=(mx1-2m)(mx2-2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0,由①得(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0,即7m2+3-12m2>0解得m2<35,m2<35與m215.(10分)(2022·