2024-2025學年湖北重點學校高二數(shù)學上學期9月聯(lián)考試卷附答案解析

-2025學年湖北重點學校高二數(shù)學上學期9月聯(lián)考試卷時長：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.2.平行六面體中，為與交點，設(shè)，用表示，則（）A.B.C. D.3.被譽為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個莫愁村最高的建筑，登樓遠跳，可將全村風景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（）A2400 B.1520 C.1530 D.24104.某同學參加學校組織的化學競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學參加這兩項測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）A. B. C. D.5.已知，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.76.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（）A.8 B.4 C.16 D.127.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立8.現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達點，另一只從沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達點，則此時線段長（單位：厘米）為（）A. B. C.6 D.12二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)?中位數(shù)?標準差?極差分別記.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，其平均數(shù)?中位數(shù)?標準差?極差分別記為，則（）A.B.C. D.10.設(shè)是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為的三條數(shù)軸，向量分別與軸?軸.軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在斜坐標系（為坐標原點），記作，則下列說法正確的有（）A.已知，則B.已知，則向量C.已知，則D.已知，則三棱錐的外接球體積11.在圓錐中，為高，為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為，母線長為，點為的中點，圓錐底面上點在以為直徑的圓上（不含兩點），點在上，且，當點運動時，則（）A.三棱錐的外接球體積為定值B.直線與直線不可能垂直C.直線與平面所成的角可能為D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，則實數(shù)的值為__________.13已知向量滿足，則______.14.內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為______.四?解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若點在上，且滿足，求面積的最大值.16.某地區(qū)有小學生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）成績位列前10%的學生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的成績至少為多少分；（3）已知落在60,70內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差.（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.（1）求甲在一局中得2分的概率；（2）求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；（3）求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率.19.在空間直角坐標系中，己知向量，點.若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；（3）（i）若集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合.記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.【答案】1.B【分析】化簡得，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.【詳解】解：因為，又因為此復數(shù)在第二象限，所以，解得.故選：B.2.D【分析】由平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運算即可求解；【詳解】如圖：由平行六面體的性質(zhì)可得，故選：D.3.B【分析】根據(jù)題意，利用棱臺的體積公式，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，正四棱臺上底面邊長約為8米，下底面邊長約為12米，高約為15米，可得正四棱臺的上底面面積為平方米，下底面面積為平方米，則塔樓主體的體積約為立方米.故選：B.4.C【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.【詳解】根據(jù)題意可得該同學在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：．故選：C.5.B【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.【詳解】若不能構(gòu)成空間的一個基底，共面，存在，使，即，解得，故選：.6.A【分析】先根據(jù)，結(jié)合余弦定理求，再根據(jù)，結(jié)合面積公式得到，進而求出的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求.【詳解】因為，所以，所以，

由，所以，化簡得到，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以的最小值為.故選：A．7.D【分析】分別寫出事件、、、所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A，B；根據(jù)獨立事件的定義判斷C，D.【詳解】解：由題意可知；；；；對于A，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于B，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于C，因為，，，所以事件與事件不相互獨立，故錯誤；對于D，因為，，，所以事件與事件相互獨立，故正確.故選：D.8.A【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長得出角及點的坐標，最后應(yīng)用空間向量兩點間距離計算.【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，所以，則，同理，過向圓O作垂線垂足為P1，則，所以.故選：A.9.ACD【分析】根據(jù)新舊數(shù)據(jù)間樣本的數(shù)字特征的關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，平均數(shù)，中位數(shù)，標準差，極差，所以ACD選項正確，B選項錯誤.故選：ACD10.AB【分析】先明確，.根據(jù)求，判斷A的真假；根據(jù)判斷B的真假；計算判斷C的真假；判斷三棱錐的形狀，求其外接球半徑及體積，判斷D的真假.【詳解】由題意：，.對A：因為，所以.故A正確；對B：因為，，所以，所以.故B正確；對C：，，因為，故C錯誤；對D：由題意，三棱錐是邊長為1的正四面體.如圖：過作平面，垂足為，則在的中線上，且，因為，，所以，.設(shè)正四面體外接球球心為，則點在上，且亦為正四面體內(nèi)切球球心，設(shè)，.則，所以正四面體外接球的體積為：.故D錯誤.故選：AB11.AD【解析】【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明點為三棱錐的外接球球心，判斷A，證明平面，由此證明，判斷B；證明平面，由此可得為直線與平面所成的角，解三角形求其正弦，判斷C，證明，解三角形求，結(jié)合基本不等式求其范圍，判斷D.詳解】連接，對于A，易知平面，平面，所以，因為點在以為直徑的圓上（不含、），所以，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，為的中點，，所以，所以點為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的半徑為r=1，所以三棱錐的外接球體積為定值，A正確；由已知，，，，所以所以為等腰三角形，連接，又為的中點，故，又，，平面，平面，則平面，又平面，所以，故B錯誤．因為平面，又平面，所以，又，，平面，平面，則平面，所以在平面上的射影為，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，則，又，所以，所以，令，則，解得，即，與矛盾，C錯誤；對于D中，因為平面，平面，所以，又，，所以，所以，，由基本不等式可得，即，所以，D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決多面體的外接球問題的關(guān)鍵在于由條件確定其外接球的球心的位置，由此確定外接球的半徑.12.【分析】將代入方程求解即可.【詳解】代入方程，得，化簡得，故，解得，故填：13.##【分析】先利用坐標運算求解，根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合模的公式列式求得，從而利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，所以.故答案為：14.【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.【詳解】由可得，即，由于，故，由于，故，因此，故，，的面積為，故，由于，，故，將代入可得，化簡得，將其代入，且可得，則，解得，或，（舍去）故最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由可得有實數(shù)根，利用判別式求解.15.（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小問2詳解】，，，又，，，，當且僅當時，等號成立，的面積，即面積的最大值為.16.（1）平均數(shù)為，眾數(shù)為.（2）.（3）平均數(shù)為，方差為.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐標的中點，據(jù)此求解.（2）依題意可知題目所求是第分位數(shù)，先判斷第分位數(shù)落在哪個區(qū)間再求解即可；（3）先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.【小問1詳解】一至六組的頻率分別為，平均數(shù).由圖可知，眾數(shù)為.以樣本估計總體，該地區(qū)所有學生中知識問答成績平均數(shù)為分，眾數(shù)為分.【小問2詳解】前4組頻率之和為，前5組的頻率之和為，第分位數(shù)落在第5組,設(shè)為x，則，解得.“防溺水達人”的成績至少為分.【小問3詳解】)的頻率為，)的頻率為，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設(shè)內(nèi)的平均成績和方差分別為，依題意有，解得，解得，所以內(nèi)的平均成績?yōu)?，方差?17.1）（2）當時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【解析】【分析】（1）以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設(shè)，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，當點在棱的中點時，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，當時，取得最小值，最小值為.18.（1）13（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一局乙丙得負一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分，④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.【小問2詳解】游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：則乙第一局得負1分，第二局得1分；則丙第一局得負1分，第二局得1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）此時概率為種情況，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負1分，則乙第一局得1分，第二局得負1分；則丙第一局得1分，第二局得負1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、此時概率為，綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.【小問3詳解】游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，記事件為A，則；②有2人得分為3分，記事件為B，③僅1人得4分，記事件C：