新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類第5講數(shù)列與不等式(2022-2023年高考真題)(原卷版+解析)

第5講數(shù)列與不等式一．選擇題1．（2023?天津）若，，，則A． B． C． D．2．（2022?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是A．20 B．18 C．13 D．63．（2022?乙卷）若，滿足約束條件則的最大值是A． B．4 C．8 D．124．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．5．（2023?甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．25 B．22 C．20 D．156．（2023?天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．1527．（2023?甲卷）已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則A．7 B．9 C．15 D．308．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．9．（2022?乙卷）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則A．14 B．12 C．6 D．3二．多選題10．（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則A． B． C． D．三．填空題11．（2023?乙卷）若，滿足約束條件，則的最大值為．12．（2023?甲卷）設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的最大值為．13．（2022?上海），，求的最小值．14．（2023?甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．15．（2023?乙卷）已知為等比數(shù)列，，，則．16．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．17．（2022?乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差．18．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．四．解答題19．（2023?乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（2023?甲卷）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．22．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．23．（2022?全國）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．24．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．25．（2022?天津）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；26．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．27．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．28．（2022?甲卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．29．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．第5講數(shù)列與不等式一．選擇題1．（2023?天津）若，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】，在上單調(diào)遞增，，故，所以，，在，上單調(diào)遞增，，故，即，所以．故選：．2．（2022?浙江）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是A．20 B．18 C．13 D．6【答案】【解析】實(shí)數(shù)，滿足約束條件則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，由已知可得，由圖可知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值，則的最大值是，故選：．3．（2022?乙卷）若，滿足約束條件則的最大值是A． B．4 C．8 D．12【答案】【解析】作出可行域如圖陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，且最大為8．故選：．4．（2022?上海）若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以，故正確，錯(cuò)誤，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故錯(cuò)誤，故選：．5．（2023?甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A．25 B．22 C．20 D．15【答案】【解析】等差數(shù)列中，，所以，，故，則，，則．故選：．6．（2023?天津）已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為A．3 B．18 C．54 D．152【答案】【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，，所以，，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，即，所以或（舍，所以，，則．故選：．7．（2023?甲卷）已知等比數(shù)列中，，為前項(xiàng)和，，則A．7 B．9 C．15 D．30【答案】【解析】等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，為前項(xiàng)和，，顯然，（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），可得，解得，即或，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．沒有選項(xiàng)．故選：．8．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．【答案】【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡(jiǎn)②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故選：．9．（2022?乙卷）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則A．14 B．12 C．6 D．3【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由題意，．前3項(xiàng)和為，，，，則，故選：．二．多選題10．（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：由可得，，令，則，，，故錯(cuò)，對(duì)，，，故對(duì)，錯(cuò)，方法二：對(duì)于，，由可得，，即，，，故錯(cuò)，對(duì)，對(duì)于，，由得，，，故對(duì)；，，，故錯(cuò)誤．故選：．三．填空題11．（2023?乙卷）若，滿足約束條件，則的最大值為．【答案】8．【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大，結(jié)合圖形可知，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，由可得，，即，此時(shí)取得最大值8．故答案為：8．12．（2023?甲卷）設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的最大值為．【答案】15．【解析】由題意，作出，滿足約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，由，可得，即，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，代入可得．故答案為：15．13．（2022?上海），，求的最小值．【答案】．【解析】如圖所示：由，，可知行域?yàn)橹本€的左上方和的右上方的公共部分，聯(lián)立，可得，即圖中點(diǎn)，，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)沿著與正方向向量的相反向量平移時(shí)，離開區(qū)間時(shí)取最小值，即目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，時(shí)，取最小值：．故答案為：．14．（2023?甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．【答案】．【解析】等比數(shù)列中，，則，所以，解得．故答案為：．15．（2023?乙卷）已知為等比數(shù)列，，，則．【答案】．【解析】等比數(shù)列，，解得，而，可得，即，．故答案為：．16．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】189．【解析】等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，．故答案為：189．17．（2022?乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則公差．【答案】2．【解析】，，為等差數(shù)列，，，解得．故答案為：2．18．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．【答案】98．【解析】等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項(xiàng)均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．四．解答題19．（2023?乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）在等差數(shù)列中，，．，即，得，，則．（2），即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（2023?甲卷）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，可得，，當(dāng)或時(shí)，，適合上式，的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，，，，．21．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的前項(xiàng)和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，故原式得證．22．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．【解析】（1），，根據(jù)題意可得，，，又，解得，，，；（2）為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)，則，且；或設(shè)，則，且，①當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，解得；②當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，此時(shí)無解，綜合可得．23．（2022?全國）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）已知是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，又，，成等比數(shù)列，則，即，又，即，則；（2）由（1）可得：，則，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即．24．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1），或．（2），，，，，，，為等差數(shù)列，，．逆命題：若，則，，，，，，，為等差數(shù)列是假命題，舉例：，，，，，，，，．（3）因?yàn)椋?，，，，以下用?shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當(dāng)，明顯成立，假設(shè)時(shí)命題成立，即，則，則，命題得證．回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：1．若，則矛盾，2．若，則，，，此時(shí)，，3．若，則，，，（由（2）知對(duì)任意成立），，事實(shí)上：矛盾．綜上可得．25．（2022?天津）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，，，解得，，．（2）證明：，要證明，即證明，即證明，即證明，由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系得：，．26．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)，公差，因?yàn)?，可得，即，，即，整理可得：，解得，所以，即；（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則，，整理可得：，則△恒成立在，整理可得，當(dāng)時(shí)，可得或，而，所以的范圍為；時(shí)，不等式變?yōu)?，解得，而，所以此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則符合要求，綜上所述，對(duì)于每個(gè)，的取值范圍為，，使，，成等比數(shù)列．27．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，故，化簡(jiǎn)得：，，，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．28．（2022?甲卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2