習(xí)題課　指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)的綜合

習(xí)題課指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)的綜合第四章

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.會(huì)求指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、值域等問(wèn)題.2掌握判斷指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題二、對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題三、函數(shù)的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例1

(1)函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間是A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)√且y＝3u在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞).(2)判斷函數(shù)f(x)＝

的單調(diào)性，并求其值域.解令u＝x2－2x，易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝

在(－∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閡＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,3].解函數(shù)

的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，函數(shù)u＝－x2＋2x單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，函數(shù)u＝－x2＋2x單調(diào)遞減，又函數(shù)y＝2u在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)

在(－∞，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1].延伸探究1.把本例的函數(shù)改為“f(x)＝

”，求其單調(diào)區(qū)間.解函數(shù)y＝4x－2x＋1－3的定義域?yàn)镽，設(shè)t＝2x，則t>0.因?yàn)閥＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝t2－2t－3＝(t－1)2－4≥－4，所以函數(shù)y＝4x－2x＋1－3的值域?yàn)閇－4，＋∞).因?yàn)閥＝t2－2t－3在(－∞，1]上單調(diào)遞減，此時(shí)由t≤1得x≤0.又指數(shù)函數(shù)t＝2x在(－∞，0]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝4x－2x＋1－3的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0].同理，因?yàn)閥＝t2－2t－3在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)由t≥1得x≥0.又指數(shù)函數(shù)t＝2x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝4x－2x＋1－3的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞).2.若把本例改為y＝4x－2x＋1－3.求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.反思感悟

(1)求指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過(guò)考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性.(2)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為√欲求函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)u＝x2－2的單調(diào)遞增區(qū)間，而函數(shù)u＝x2－2的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)，故所求單調(diào)遞減區(qū)間為[0，＋∞).二、對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例2

求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.解由于方程x2－3x＋5＝0的判別式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，∴x2－3x＋5>0恒成立，即函數(shù)的定義域?yàn)镽.又

為減函數(shù)，解令t＝log0.4x，則它在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1]上單調(diào)遞減.由t＝log0.4x≥1得0<x≤0.4；由t＝log0.4x<1得x>0.4，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.4，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,0.4].反思感悟

函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略(1)定義法：一般步驟：設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論；(2)圖象法：如果函數(shù)f(x)是以圖象形式給出或函數(shù)f(x)的圖象易作出，結(jié)合圖象可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)y＝f(g(x))型函數(shù)：先將函數(shù)y＝f(g(x))分解為y＝f(t)和t＝g(x)，再討論這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判定.解由題意知1－x2>0，∴－1<x<1.令t＝1－x2，x∈(－1,1)，則當(dāng)x∈(－1,0]時(shí)，函數(shù)t＝1－x2單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減.∴當(dāng)x∈(－1,0]時(shí)，

單調(diào)遞減.同理，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，

單調(diào)遞增.故

的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0].跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.三、函數(shù)的綜合應(yīng)用解f(x)＝log2(4x)·設(shè)log2x＝t.當(dāng)t＝2時(shí)，ymin＝－2.反思感悟

求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.解f(x)的定義域?yàn)镽.∵3x>0，∴3x＋1>1.∵y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)og2(3x＋1)>log21＝0，∴f(x)的值域?yàn)?0，＋∞).跟蹤訓(xùn)練3求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)＝log2(3x＋1)；又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，當(dāng)log2x＝0，即x＝1時(shí)，f(x)取得最大值為2，1.知識(shí)清單：(1)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性.(2)求對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及值域問(wèn)題.(3)指數(shù)型或?qū)?shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用.2.方法歸納：換元法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：求對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性易忽視定義域.課堂小結(jié)隨堂演練A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)

C.(1，＋∞) D.(0,1)√123412342.函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是A.(－1,1] B.(－∞，1)

C.[1,3) D.(1，＋∞)√解析由題意，得要使函數(shù)

有意義，則滿足－x2＋2x＋3>0，即x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，即函數(shù)的定義域?yàn)?－1,3)，令g(x)＝－x2＋2x＋3，則函數(shù)g(x)表示開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為x＝1的拋物線，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(－1,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,3)上單調(diào)遞減，又由函數(shù)

在定義域上是減函數(shù)，所以

的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,3).123412343.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為A.(0,1) B.(1,2)

C.(0,2) D.[2，＋∞)√解析∵y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調(diào)遞減，令u＝2－ax，又a>0，∴u＝2－ax在[0,1]上單調(diào)遞減，∴y＝logau在[2－a,2]上單調(diào)遞增，∴a>1.又2－ax>0在x∈[0,1]時(shí)恒成立，∴umin＝2－a×1＝2－a>0，即a<2，綜上，a的取值范圍為(1,2).12344.函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域?yàn)開(kāi)_________.解析令u＝x2＋2x＋4，則u＝(x＋1)2＋3≥3，∴l(xiāng)og3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，即函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域?yàn)閇1，＋∞).[1，＋∞)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.函數(shù)f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定義域上A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù)C.先增后減

D.先減后增√解析當(dāng)a>1時(shí)，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是減函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù).123456789101112131415162.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱D.y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱解析∵函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，∴f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx，即f(x)＝f(2－x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.√123456789101112131415163.函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為A.(－∞，2) B.(1,2)

C.(2,3) D.(2，＋∞)√因?yàn)閒(x)＝2g(x)在定義域上為增函數(shù)，令h(x)＝－x2＋4x－3，由二次函數(shù)單調(diào)性及二次根式有意義的條件可知1≤x≤2，即

的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,2]，也可寫(xiě)作(1,2).√1234567891011121314151612345678910111213141516A.是減函數(shù)且值域?yàn)?－1,1)B.是增函數(shù)且值域?yàn)?－1,1)C.是減函數(shù)且值域?yàn)?－∞，1)D.是增函數(shù)且值域?yàn)?－∞，1)√12345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函數(shù)f(x)＝

則關(guān)于函數(shù)g(x)＝[f(x)]的敘述中正確的是A.g(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在R上是增函數(shù)

D.g(x)的值域是{－1,0,1}√√12345678910111213141516∴g(－1)≠g(1)，則g(x)不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∴f(x)為奇函數(shù)，故B正確；又y＝2x在R上單調(diào)遞增，12345678910111213141516123456789101112131415167.已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是______.a≥1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則t＝|x－a|在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，又函數(shù)t＝|x－a|在區(qū)間(－∞，a]上單調(diào)遞減，所以(－∞，1]?(－∞，a]，故有a≥1.12345678910111213141516(1，＋∞)∴f(x)為奇函數(shù)，又f(x)在R上單調(diào)遞減，由f(2m－1)＋f(m－2)<0得f(2m－1)<－f(m－2)＝f(2－m)，∴2m－1>2－m，解得m>1.12345678910111213141516(1)求a的值；解∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，解得a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)a＝2符合題意.12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)的值域.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1).1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性；由于f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).12345678910111213141516(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12345678910111213141516解由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R恒成立，等價(jià)于f(x2－t2)≥f(t－x)對(duì)一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x對(duì)一切x∈R恒成立，12345678910111213141516綜合運(yùn)用11.若函數(shù)f(x)＝

在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為√12345678910111213141516解析由－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5.二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x＝2.由對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝

的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5).要使函數(shù)f(x)＝

在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，1234567891011121314151612.若3a－3b>2b－2a，則下列不等式正確的是①ln(a－b＋1)>0；②ln(b－a＋1)>0；③ea－b－1>0；④eb－a－1>0.A.①③

B.①④

C.②③

D.②④√解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x＋2x為增函數(shù)，3a－3b>2b－2a，即3a＋2a>3b＋2b，所以a>b，a－b>0，則a－b＋1>1，所以ln(a－b＋1)>0，故①正確；由b－a<0，得b－a＋1<1，所以ln(b－a＋1)<0，故②錯(cuò)誤；ea－b>e0＝1，所以ea－b－1>0，故③正確；eb－a<e0＝1，所以eb－a－1<0，故④錯(cuò)誤.故不等式正確的是①③.1234567891011121314151613.函數(shù)f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1,4]的值域?yàn)椤?2345678910111213141516解析令t＝log2x，則t∈(0,2]，∴原函數(shù)化為y＝t2－3t＋4，t∈(0,2]，當(dāng)t＝0時(shí)，y有最大值為4，但取不到.12345678910111213141516解析函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x)＝lnx，14.已知函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則f(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.(4，＋∞)拓廣探究1234567891011121314151615.定義運(yùn)算?：①對(duì)?m∈R，m?0＝0?m＝m；②對(duì)?m，n，p∈R，(m?n)?p＝p?(mn)＋m?p＋n?p.若f(x)＝ex－1?e1－x，則有A.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱B.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增C.函數(shù)y＝f(