九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題型）（解析版）

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題型）【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】題型一：直接利用“A”字模型解題例1.如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD相交于點(diǎn)F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝．【分析】利用A字模型相似三角形進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB∴13∴AF＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋?靜安區(qū)期末）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AD＝4，∠ADE＝∠C時(shí)，＝．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．題型二：添加輔助線構(gòu)造“A”字模型解題例3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，點(diǎn)D在邊AC上，CD：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E在線段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝【分析】根據(jù)已知∠BCE＝∠A，想到構(gòu)造這兩個(gè)角所在的三角形相似，所以過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，可得△ABC∽△CEF，進(jìn)而可得CF＝2EF，然后設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，最后再證明A字模型相似△BFE∽△BCD，從而解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，AB=25∴AC=A∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴ACBC∴設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴BFBC∴2?2a2∴a=1∴EF=12，∴CE=E故答案為：52【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握A字模型相似是解題的關(guān)鍵．例4．如圖，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．【答案】．【解析】點(diǎn)作交于點(diǎn)． ，；，，，，，，的值為．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型．例5．如圖，在中，點(diǎn)D在線段BC上，，，AD=2，BD=2DC，求AC的長(zhǎng)．【答案】．【解析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)． ，； 又， ，， ． ，． 又，．．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)．題型三：“AX”字型解題例6.如圖，中，，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】．【解析】，，即，求得：．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．例7.如圖，在梯形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在上， 且，已知，．求的長(zhǎng)．【答案】2．【解析】由，可得：，故，由，，求得．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．題型四：雙A字模型例8.如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AC和BD相交于點(diǎn)E，EFBD， 垂足為F．求證：．AABCDEF【解析】ABBD，CDBD，EFBD， ， ，即．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)的應(yīng)用．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共3小題）1．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】根據(jù)題意可得AD：AB＝1：4，再證明△ADE∽△ABC，得，即BC＝4DE，根據(jù)平行線間的距離處處相等可得C到DE的距離為等于點(diǎn)D到BC的距離，以此即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝4DE，設(shè)點(diǎn)C到DE的距離為h1，點(diǎn)D到BC的距離為h2，∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，即S△DEC：S△DBC＝1：4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，則S△ADE：S四邊形DEGF：S四邊形FGCB＝（）A．1：2：5 B．1：4：25 C．1：3：25 D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后設(shè)△ADE的面積是a，則△AFG和△ABC的面積分別是3a，21a，即可求兩個(gè)梯形的面積，繼而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，設(shè)△ADE的面積是a，則△AFG和△ABC的面積分別是4a，25a，則S四邊形DFGE＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四邊形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，∴S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG＝1：3：21．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方．3．（2022秋?奉賢區(qū)期中）在△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB、AC上，，要使DE∥BC，可添加下列條件中的（）A． B． C． D．【分析】先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似推出∠ADE＝∠B，根據(jù)平行線的判定得出即可【解答】解：只有選項(xiàng)D正確，理由是：∵AD：BD＝3：2，∴AD：AB＝3：5，∴AE：AC＝3：5，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，根據(jù)選項(xiàng)A、B、C的條件都不能推出DE∥BC，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共13小題）4．（2023春?普陀區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC上的點(diǎn)，EF∥BC，如果，AD＝4，BC＝9，那么EF的長(zhǎng)為6．【分析】延長(zhǎng)BA，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，易證明△GAD∽△GBC，得到，進(jìn)而得到，再證明△GEF∽△GBC，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：延長(zhǎng)BA，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，如圖，∵AD∥BC，AD＝4，BC＝9，∴△GAD∽△GBC，∴，∵，∴，，∵EF∥BC，∴△GEF∽△GBC，∴，∵BC＝9，∴EF＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．5．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，△ABC中的一邊BC與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊重合，邊AB、AC分別與刻度尺的另一邊交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)B、C、D、E在刻度尺上的讀數(shù)分別為0、5、1、3，如果刻度尺的寬度為3，那么△ABC的面積是．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為G，并延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H，根據(jù)題意得：DE＝2，BC＝5，GH＝3，DE∥BC，從而可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，然后證明A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出AH的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為G，并延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H，由題意得：DE＝2，BC＝5，GH＝3，DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：AH＝5，∴△ABC的面積＝BC?AH＝×5×5＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AD＝4，∠ADE＝∠C時(shí)，＝．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形是相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對(duì)應(yīng)邊的比相等和對(duì)應(yīng)角相等兩方面下定義；反過(guò)來(lái)，兩個(gè)三角形相似也有對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．7．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，CF＝3BF．如果S△ADE＝1，那么S四邊形DBCE＝15．【分析】根據(jù)題意可得，四邊形DEFB為平行四邊形，則，易證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，以此求出S△ABC＝16，由S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE即可解答．【解答】解：∵CF＝3BF，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DEFB為平行四邊形，∴DE＝BF，△ADE∽△ABC，∴，∴，∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝16，∴S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．8．（2022秋?黃浦區(qū)期中）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)N，則S△DMN：S四邊形DBCM＝1：15．【分析】由DE為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到DE平行于BC，且DE等于BC的一半，再由M為DE的中點(diǎn)，得到DM為DE的一半，可得出DM為BC的四分之一，由DM與BC平行，得到兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而確定出三角形DMN與三角形NBC相似，由相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出三角形DMN與三角形NBC面積之比，即可求出四邊形DBCM與三角形DMN的面積之比．【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠NDM＝∠B，∠NMD＝∠NCB，∴△NDM∽△NBC，∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴DM＝DE＝BC，即相似比為1：4，∴S△NDM：S△NBC＝1：16，則S△DMN：S四邊形DBCM＝1：15．故答案為：1：15．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋?寶山區(qū)期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且EF∥BC，如果AE：EB＝2：1，那么EF的長(zhǎng)為4．【分析】連接AC交EF于點(diǎn)P，先利用平行線分線段成比例定理求出、，再利用相似三角形的性質(zhì)求出EP、FP，最后利用線段的和差求出EF．【解答】解：如圖，連接AC交EF于點(diǎn)P．∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC．∴＝＝．∴＝，＝．∵AD∥EF∥BC，∴△AEP∽△ABC，△CFP∽△CDA．∴＝＝，＝＝．∵AD＝2，BC＝5，∴EP＝，PF＝．∵EF＝EP+PF＝+＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握“平行線分線段成比例定理”、相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如圖，AD∥BC∥EF，AE：AB＝2：3，AD＝8，BC＝14則EF＝12．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH∥DC，交EF于點(diǎn)G，利用平行四邊形的判定可得四邊形AGFD和四邊形AHCD都是平行四邊形，從而可得AD＝GF＝8，AD＝CH＝8，進(jìn)而可得BH＝6，然后證明A字模型相似三角形△AEG∽△ABH，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得EG＝4，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH∥DC，交EF于點(diǎn)G，∵AD∥BC∥EF，∴四邊形AGFD是平行四邊形，四邊形AHCD是平行四邊形，∴AD＝GF＝8，AD＝CH＝8，∵BC＝14，∴BH＝BC﹣CH＝6，∵EG∥BH，∴∠AEG＝∠B，∠AGE＝∠AHB，∴△AEG∽△ABH，∴＝，∴＝，∴EG＝4，∴EF＝EG+FG＝4+8＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?浦東新區(qū)期中）如圖、在△ABC，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，BC＝5，則CE＝2．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，從而可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可得DE＝2，最后再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△EDC是等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝2，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACD，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得等腰三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，AM：MB＝AN：NC＝1：3，則MN：BC＝1：4．【分析】首先根據(jù)已知條件可以證明MN∥BC，然后證明△AMN∽△ABC即可求解．【解答】解：∵AM：MB＝AN：NC＝1：3，∴MN∥BC，AM：AB＝1：4，∴△AMN∽△ABC，∴MN：BC＝AM：AB＝1：4．故答案為：1：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在AB，AC上，AH是BC邊上的高，BC＝10，AH＝6，EF：GF＝2：5，則矩形DEFG的面積為．【分析】據(jù)矩形的性質(zhì)可得出GF∥BC，進(jìn)而可得出△AGF∽△ABC，設(shè)EF＝2x，則GF＝5x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用矩形的面積公式即可求出矩形DEFG的面積．【解答】解：設(shè)EF＝2x，則GF＝5x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝．∵AH＝6，BC＝12，∴＝．解得x＝．∴EF＝，GF＝6，∴矩形DEFG的面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及解一元一次方程，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點(diǎn)D位于邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作邊BC的平行線交邊AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作邊AC的平行線交邊BC于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，四邊形CEDF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+8x．（不必寫(xiě)定義域）【分析】根據(jù)已知可證四邊形DECF是平行四邊形，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠C＝90°，進(jìn)而可得四邊形DECF是矩形，再證明A字模型相似三角形△AED∽△ABC，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得DE＝x，最后根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴矩形CEDF的面積＝DE?CE，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，故答案為：y＝﹣x2+8x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?金山區(qū)期末）如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD相交于點(diǎn)F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝1．【分析】利用A字模型相似三角形進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠ECB，∴△EAF∽△EBC，∴＝，∴＝，∴AF＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，點(diǎn)D在邊AC上，CD：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E在線段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【分析】根據(jù)已知∠BCE＝∠A，想到構(gòu)造這兩個(gè)角所在的三角形相似，所以過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，可得△ABC∽△CEF，進(jìn)而可得CF＝2EF，然后設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，最后再證明A字模型相似△BFE∽△BCD，從而解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴設(shè)EF為a，則CF為2a，BF為2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握A字模型相似是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）17．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G，且＝．（1）求證：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由AE2＝AG?AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG?AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC．如果S△ADE＝2，S△BCE＝7.5．求S△BDE．【分析】設(shè)S△BDE＝x，則可得出△ABE△BCE的面積之比，再將x的值代入即可得出答案；【解答】解：（1）設(shè)S△BDE＝x．∴＝，∴＝．∵DE∥BC，∴＝，∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，∴＝，解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．∴S△BDE＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理以及分式方程的應(yīng)用，難度較大．19．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，且DF∥BE，．（1）求證：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．【分析】（1）由DF∥BE得比例，結(jié)合已知比例，利用過(guò)渡比得出＝，證明結(jié)論；（2）首先可以證明＝，然后證明△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．【解答】（1）證明：∵DF∥BE，∴＝，∵＝，∴＝，∴DE∥BC；（2）解：∵＝，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝，∵S△ABC＝12，∴S△ADE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例．關(guān)鍵是利用平行線得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題．20．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，射線BA、CF相交于點(diǎn)E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，試用、表示向量．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，易證△AEF∽△DCF，則＝，由DF＝2AF即可求解；（2）先算出，再根據(jù)即可求解．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF＝2AF，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DF＝2AF，∴，∵，，∴，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平面向量，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．21．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，邊BC上的高AD＝2，tanB＝2，直線l平行于BC，分別交線段AB，AC，AD于點(diǎn)E、F、G，直線l與直線BC之間的距離為m．（1）當(dāng)EF＝CD＝3時(shí)，求m的值；（2）將△AEF沿著EF翻折，點(diǎn)A落在兩平行直線l與BC之間的點(diǎn)P處，延長(zhǎng)EP交線段CD于點(diǎn)Q．①當(dāng)點(diǎn)P恰好為△ABC的重心時(shí)，求此時(shí)CQ的長(zhǎng)；②聯(lián)結(jié)BP，在∠CBP＞∠BAD的條件下，如果△BPQ與△AEF相似，試用m的代數(shù)式表示線段CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)＝tanB＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG＝2﹣m，利用EF∥BC，可得＝，建立方程求解即可；（2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，進(jìn)而得出：AG＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA證明△PQD≌△PEG，即可求得答案；②分兩種情況：Ⅰ．當(dāng)△BPQ∽△FAE時(shí)，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．當(dāng)△BPQ∽△AFE時(shí)，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如圖1，在△ABC中，邊BC上的高AD＝2，tanB＝2，∴＝tanB＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值為；（2）①如圖2，∵將△AEF沿著EF翻折，點(diǎn)A落在△ABC的重心點(diǎn)P處，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此時(shí)CQ的長(zhǎng)為；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵將△AEF沿著EF翻折，點(diǎn)A落在兩平行直線l與BC之間的點(diǎn)P處，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，