2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測二十三第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.2.2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測二十三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()A.y=f(|x|) B.y=f(x2)C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x【解析】選A、B、C.因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,又因?yàn)閒(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函數(shù);令F(x)=f(x2),則F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函數(shù),即B是偶函數(shù);令M(x)=x·f(x),則M(-x)=-x·f(-x)=x·f(x)=M(x),所以M(x)是偶函數(shù),即C是偶函數(shù);令N(x)=f(x)+x,則N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x),所以N(x)是奇函數(shù),即D是奇函數(shù).2.已知f(x)為奇函數(shù),在區(qū)間[3,6]上是單調(diào)遞增的,且在此區(qū)間上的最大值為8,最小值為-1,則2f(-6)+f(-3)= ()A.-15B.-13C.-5D.5【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)在[3,6]上是單調(diào)遞增的,所以f(6)=8,f(3)=-1,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.3.(2024·焦作高一檢測)設(shè)f(x)為偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)遞增的,f(-2)=0,則xf(x)<0的解集為 ()A.(-1,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)【解析】選C.依據(jù)題意,偶函數(shù)f(x)在(-∞,0)上為單調(diào)遞增的,又f(-2)=0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減的,且f(-2)=f(2)=0,函數(shù)f(x)的草圖如圖,又由xf(x)<0?QUOTE或QUOTE由圖可得-2<x<0或x>2,即不等式的解集為(-2,0)∪(2,+∞).【補(bǔ)償訓(xùn)練】若偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上是單調(diào)遞減的,則下列關(guān)系式中成立的是 ()A.fQUOTE<f(-1)<f(2)B.f(-1)<fQUOTE<f(2)C.f(2)<f(-1)<fQUOTED.f(2)<fQUOTE<f(-1)【解析】選B.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),因?yàn)閒(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,-2<-QUOTE<-1,所以f(-2)>fQUOTE>f(-1),所以f(2)>fQUOTE>f(-1).4.(2024·寧波高一檢測)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常數(shù)),且f(-3)=5,則f(3)= ()A.21 B.-21 C.26 D.-26【解析】選B.設(shè)g(x)=x5+ax3+bx,則g(x)為奇函數(shù).由題設(shè)可得f(-3)=g(-3)-8=5,得g(-3)=13.又g(x)為奇函數(shù),所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21.5.(2024·青島高一檢測)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是單調(diào)遞減的,若x1<0且x1+x2>0,則 ()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關(guān)系不確定【解析】選A.由題可知x2>-x1>0,f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞減的,所以f(x2)<f(-x1).又f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-x2)=f(x2),所以f(-x2)<f(-x1).6.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式xf(x)>0的解集為 ()A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-4,0)∪(4,+∞)C.(-∞,-4)∪(0,4)D.(-4,4)【解析】選A.因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x(x+4),當(dāng)x>0時(shí),xf(x)>0?f(x)>0?x2-4x>0?x>4,當(dāng)x<0時(shí),xf(x)>0?f(x)<0?-x(x+4)<0?x<-4,所以不等式xf(x)>0的解集為(-∞,-4)∪(4,+∞).二、填空題(每小題5分,共10分)7.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=________.

【解析】因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),且f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),即1-|-1+a|=1-|1+a|,所以|a-1|=|a+1|,所以a=0.答案:08.已知f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(1)=0,則不等式f(x)>0的解集為________.

【解析】依據(jù)題意,由于f(1)=0,則f(x)>0?f(x)>f(1),f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(x)>f(1)?f(|x|)>f(1)?|x|<1,解得-1<x<1,則不等式f(x)>0的解集為{x|-1<x<1}.答案:{x|-1<x<1}【補(bǔ)償訓(xùn)練】定義在R上的奇函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,則不等式f(2x+1)+f(x2-4)>0的解集為________.

【解析】因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),且單調(diào)遞減,所以由f(2x+1)+f(x2-4)>0得f(2x+1)>f(4-x2);所以2x+1<4-x2;解得-3<x<1;所以原不等式的解集為(-3,1).答案:(-3,1)三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=1-QUOTE.(1)若g(x)=f(x)-a為奇函數(shù),求a的值.(2)試推斷f(x)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明.【解析】(1)由已知g(x)=f(x)-a,得g(x)=1-a-QUOTE,因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),即1-a-QUOTE=-QUOTE,解得a=1.(2)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)遞增的.證明如下:設(shè)0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.因?yàn)?<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,從而QUOTE<0,即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增的.10.設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)0≤x≤2時(shí),y=x;當(dāng)x>2時(shí),y=f(x)的圖象是頂點(diǎn)為P(3,4)且過點(diǎn)A(2,2)的拋物線的一部分.(1)求函數(shù)f(x)在(-∞,-2)上的解析式.(2)在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象.(3)寫出函數(shù)f(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)當(dāng)x>2時(shí),設(shè)f(x)=a(x-3)2+4.因?yàn)閒(x)的圖象過點(diǎn)A(2,2),所以a(2-3)2+4=2,所以a=-2,所以f(x)=-2(x-3)2+4.設(shè)x∈(-∞,-2),則-x>2,所以f(-x)=-2(-x-3)2+4.又因?yàn)閒(x)在R上為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2(-x-3)2+4,即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).(2)函數(shù)圖象如圖所示.(3)由圖象知f(x)的值域?yàn)閧y|y≤4}.單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3]和[0,3];單調(diào)減區(qū)間為[-3,0]和[3,+∞).(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.若f(x)是偶函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,+∞),且在[0,+∞)上是單調(diào)遞減的,則fQUOTE與fQUOTE的大小關(guān)系是 ()A.fQUOTE>fQUOTEB.fQUOTE<fQUOTEC.fQUOTE≥fQUOTED.fQUOTE≤fQUOTE【解析】選C.因?yàn)閍2+2a+QUOTE=(a+1)2+QUOTE≥QUOTE,又因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞減的,所以fQUOTE≤fQUOTE=fQUOTE.2.若f(x)和g(x)都是奇函數(shù),且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+∞)上有最大值8,則在(-∞,0)上F(x)有 ()A.最小值-8 B.最大值-8C.最小值-6 D.最小值-4【解析】選D.依據(jù)題意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因?yàn)閒(x)和g(x)都是奇函數(shù),所以f(x)+g(x)是奇函數(shù)且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,則F(x)在(-∞,0)上有最小值-6+2=-4.3.(多選題)定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是單調(diào)遞增的,則 ()A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱C.f(x)在[0,1]上是單調(diào)遞增的D.f(x)在[1,2]上是單調(diào)遞減的【解析】選A、B.由于f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期為2,故A正確;由于f(2-x)=f(-x)=f(x),圖象關(guān)于直線x=1對稱,故B正確;偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反,故C不正確;依據(jù)周期性,函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性與[-1,0]上的單調(diào)性相同,故D不正確.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,則f(5)+f(-5)的值為 ()A.4B.0C.2mD.-m+4【解析】選A.由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,則f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x),則當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=__________.

【解析】當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).答案:x(1+x)6.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=__________.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=QUOTE為奇函數(shù),所以f(-x)+f(x)=QUOTE+QUOTE=0,化簡可得a+1=0,解得a=-1.答案:-17.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且單調(diào)遞減,若f(2-a)+f(4-a)<0,則a的取值范圍為________.

【解析】因?yàn)閒(2-a)+f(4-a)<0,所以f(2-a)<-f(4-a).又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以-f(4-a)=f(a-4),所以f(2-a)<f(a-4).又因?yàn)閒(x)是單調(diào)遞減函數(shù),所以2-a>a-4,所以a<3.答案:a<38.已知函數(shù)f(x)為定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[0,1]上為單調(diào)遞增的,則f(2x+1)>fQUOTE的解集為________.

【解析】依據(jù)函數(shù)f(x)為定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[0,1]上為單調(diào)遞增的,則由f(2x+1)>fQUOTE,可得|2x+1|>QUOTE,①且|2x+1|≤1.②把①平方可得xQUOTE>0,所以x<-QUOTE或x>0.由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.綜合可得,-1≤x<-QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.設(shè)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+4x.(1)求f(x)的表達(dá)式.(2)證明f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x<0),所以f(x)=QUOTE(2)設(shè)隨意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=(QUOTE+4x2)-(QUOTE+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4).因?yàn)?<x1<x2,所以x2-x1>0,x2+x1+4>0,所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.10.已知函數(shù)f(x)=QUOTE是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),且fQUOTE=QUOTE.(1)確定函數(shù)f(x)的解析式.(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.【解析】(1)由題意,得QUOTE所以QUOTE故f(x)=QUOTE.(2)任取-1<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.因?yàn)?1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1+QUOTE>0,1+QUOTE>0.又-1<x1x2<1,所以1-x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).因?yàn)閒(x)在(-1,1)上是增函數(shù),所以-1<t-1<-t<1,解得0<t<QUOTE.所以不等式的解集為QUOTE.11.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿意:①對于隨意x,y∈(-1,1)