人教版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題8.7二元一次方程組章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)(學(xué)生版+解析)

專題8.7二元一次方程組章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程的整數(shù)解】 1【題型2由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】 1【題型3解含參數(shù)的二元一次方程組】 2【題型4根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】 2【題型5整體思想解二元一次方程組】 2【題型6二元一次方程組的新定義問題】 4【題型7二元一次方程組的規(guī)律探究】 4【題型8二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 6【題型1二元一次方程的整數(shù)解】【例1】方程x+y=7的正整數(shù)解的對數(shù)是（

）A．5 B．7 C．6 D．無數(shù)對【變式1-1】二元一次方程2x+y=?6的負整數(shù)解是．【變式1-2】在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【變式1-3】如果將二元一次方程：y=?2x+7的一組正整數(shù)解x=1y=5寫成1,5的形式，并稱1,5為方程y=?2x+7的一個正整數(shù)點，請寫出方程y=?2x+7剩下的正整數(shù)點【題型2由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】【例2】（23·24七年級上·陜西西安·期中）甲、乙兩人都解方程組ax+y=22x?by=1，甲看錯a解得x=1y=2，乙看錯b解得x=1y=1【變式2-1】已知▲x+?y=1□x?7y=1是一個被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯了第二個方程中的x的系數(shù)，求出的解是【變式2-2】小朋同學(xué)在解方程組y?ax=by=?2x的過程中，錯把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為x=?1y=2．又已知方程y?ax=b的一個解是x=?2y=1，則b【變式2-3】一個星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2【題型3解含參數(shù)的二元一次方程組】【例3】已知方程組3x?y=5?2kx+3y=k+5，那么x+y=【變式3-1】整數(shù)a為時，方程組2x+ay=4x+4y=8【變式3-2】已知x，y是整數(shù)，且滿足x?y+3=0，ax?y?1=0，則整數(shù)a的所有可能值有（

）個A．4 B．5 C．6 D．8【變式3-3】已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7mx?y=2+m，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)m每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為【題型4根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a?b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0，當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為（

A．x=3y=?1 B．x=1y=?12 C．【變式4-1】關(guān)于x，y的二元一次方程y=kx?2k+3（k為常數(shù)），當(dāng)k取一個確定的值時就得到一個方程，所有這些方程有一個公共解，則這個公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【變式4-2】已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)mA．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=3【變式4-3】定義一種新的運算：a☆b=2a?b，例如：3☆?1=2×3??1=7．若a☆b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a+1x?by?a+3=0，當(dāng)a【題型5整體思想解二元一次方程組】【例5】若關(guān)于m，n的二元一次方程組3m?an=162m?bn=15的解是m=7n=3,那么關(guān)于x，y的二元一次方程組3【變式5-1】綜合與實踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：4x+3y3觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個整體，把(6x?y)看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16，解方程組，得探索猜想：（2）運用上述方法解下列方程組：32x+y【變式5-2】閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有“代入法”、“加減法”兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5①5x?2y=3②，我們分析x≠0，y≠0，可以采用“換元法”來解：設(shè)1(1)直接寫出滿足方程3x(2)解方程組3x【變式5-3】問題：已知關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8的解滿足方程x+2y=5，求m甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8，再求m乙同學(xué)說：可以先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個方程相加，再求m丙同學(xué)說：可以先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m…請用2種不同的方法解決上面的問題．【題型6二元一次方程組的新定義問題】【例6】定義：數(shù)對x，y經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對x'，y'，將該運算記作：dx，y=x，y（1）當(dāng)a=2，b=1時，d3，（2）如果組成數(shù)對x，y的兩個數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時，總有dx，y=?x，【變式6-1】定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“關(guān)聯(lián)方程”．如方程2x=4和3x+6=0為“關(guān)聯(lián)方程”．(1)若關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x?4=x+1是“關(guān)聯(lián)方程”，求a的值；(2)若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解的差為8，若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解分別為m、n，求m、n的值；(3)若關(guān)于x的方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是“關(guān)聯(lián)方程”，求b的值．【變式6-2】定義：若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個兩位數(shù)記為mn，即mn=10m+n(1)若2x?x3=?1(2)若x2+y3=45【變式6-3】對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x?y=ax+by，x?y=ax?by，其中a，b是常數(shù)．已知(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組x?y=4?mx?y=5m的解也滿足方程x+y=5，求m(3)若關(guān)于x，y的方程組2a1x?b1y=c12【題型7二元一次方程組的規(guī)律探究】【例7】下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對應(yīng)關(guān)系：序號123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【變式7-1】對下列問題，有三位同學(xué)提出了各自的想法：若方程組a1x+b1y=甲說：“這個題目的好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以4，通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，請你探索：若能求解，請求出它的解；若不能，請說明理由．答：．【變式7-2】閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組17x+19y=21①②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17①-④得：y=2，代入③得x=?1．所以這個方程組的解是x=?1y=2(1)請你運用小明的方法解方程組1997x+1999y=20012017x+2019y=2021(2)規(guī)律探究：猜想關(guān)于x、y的方程組ax+a+2【變式7-3】下面是按一定規(guī)律呈現(xiàn)的一組二元一次方程組和它的解（如下表）．序號二元一次方程組二元一次方程組的解①x+y=1x=②x+y=1x=2③x+y=1x=3………………根據(jù)上面表格中方程組及其解所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下面的問題：（1）方程組①的解為；（2）請依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，直接寫出第n個方程組和它的解．第n個方程組為，這個方程組的解為．（3）若方程組x+y=1x?ay=25的解是x=5y=?4，求【題型8二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】【例8】閱讀下列材料解決問題：兩個多位數(shù)整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，則稱這兩個多位數(shù)互為“調(diào)和數(shù)”，如37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別為3+7和8+2，顯然3+7=8+2=10故37和82互為“調(diào)和數(shù)”．(1)下列說法錯誤的是________A．123和51互為“調(diào)和數(shù)” B．345和513互為“調(diào)和數(shù)”C．2018和8120互為“調(diào)和數(shù)” D．兩位數(shù)xy和yx互為“調(diào)和數(shù)”(2)若A、B是兩個不等的兩位數(shù)，A=xy，B=mn，A和B互為“調(diào)和數(shù)”，且A與B之和是B與A之差的3倍，求證：【變式8-1】閱讀下列材料，解決問題．《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？(1)[嘗試]若設(shè)母雞有x只，公雞有y只，①小雞有_______只，買小雞一共花費_____文錢（用含x，y的式子表示）；②根據(jù)題意，列出一個含有x，y的方程__________；(2)[探索]小軍對“百雞問題”增加一個條件：“母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，”求此時公雞?母雞?小雞的只數(shù)；(3)[拓展]小明對“百雞問題”增加兩個條件：“若買得公雞和母雞之和不超過20只，且買得公雞數(shù)不低于母雞數(shù)，”求此時公雞?母雞?小雞的只數(shù)．【變式8-2】閱讀材料：我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數(shù)和常數(shù)項有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項經(jīng)過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項排成一個矩陣的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1根據(jù)以上信息解決下列問題：(1)請求出矩陣41(2)若矩陣a?2371b【變式8-3】閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解，例：由2x+3y=12，得：y=12?2x3=4?23x（x、y為正整數(shù)），要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x為正整數(shù)，可知：x問題：(1)求方程3x+2y=8的正整數(shù)解．(2)已知一根木條長7m，現(xiàn)將木條截成2m長和專題8.7二元一次方程組章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二元一次方程的整數(shù)解】 1【題型2由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】 3【題型3解含參數(shù)的二元一次方程組】 5【題型4根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】 7【題型5整體思想解二元一次方程組】 10【題型6二元一次方程組的新定義問題】 14【題型7二元一次方程組的規(guī)律探究】 17【題型8二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 21【題型1二元一次方程的整數(shù)解】【例1】方程x+y=7的正整數(shù)解的對數(shù)是（

）A．5 B．7 C．6 D．無數(shù)對【答案】C【分析】要求方程x+y=7的正整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)變形，根據(jù)解為正整數(shù)確定其中一個未知數(shù)的取值，再進一步求得另一個未知數(shù)的值．【詳解】解：由已知，得y=7?x，要使x，y都是正整數(shù)，合適的x值只能是1，2，3，4，5，6，相應(yīng)的y=6，5，4，3，2，1．共6對．故選：C．【點睛】本題是求不定方程的整數(shù)解，先將方程做適當(dāng)變形，然后列舉出其中一個未知數(shù)的適合條件的所有整數(shù)值，再求出另一個未知數(shù)的值．【變式1-1】二元一次方程2x+y=?6的負整數(shù)解是．【答案】x=?1y=?4或【分析】要求2x+y=?6的負整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)?shù)淖冃?，根?jù)解為負整數(shù)，求解即可．【詳解】解：由2x+y=?6可得，y=?6?2x因為二元一次方程2x+y=?6的負整數(shù)解，則當(dāng)x=?1時，y=?4；當(dāng)x=?2時y=?2；當(dāng)x=?3時，y=0（不符合題意，舍去）則二元一次方程2x+y=?6的負整數(shù)解是x=?1y=?4或故答案為：x=?1y=?4或【點睛】此題考查了二元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是將一個未知數(shù)看作已知數(shù)求出另一個未知數(shù)．【變式1-2】在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【答案】x=16【分析】要求方程3x+5y＝143的正整數(shù)解，就要先將方程做適當(dāng)變形，確定其中一組解，進一步得到通解，然后確定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．【詳解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3?3x5∴x=1y=28是方程組的一個解，其通解為x=1?5ty=28+3t（∵x，y都是正整數(shù)，∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16故答案為x=16y=19【點睛】本題考查了絕對值、二元一次方程的正整數(shù)解，解題關(guān)鍵是確定二元一次方程的正整數(shù)解，再判斷符合題意值.【變式1-3】如果將二元一次方程：y=?2x+7的一組正整數(shù)解x=1y=5寫成1,5的形式，并稱1,5為方程y=?2x+7的一個正整數(shù)點，請寫出方程y=?2x+7剩下的正整數(shù)點【答案】(2，3)，(3，1)【分析】根據(jù)題意得出x，y的取值范圍，以及x，y為整數(shù)，找到符合條件的x的值，代入方程y=?2x+7，即可求解．【詳解】由題意可得：x>0y>0，即x>0?2x+7>0，且x，解得：0<x<3.5且x，y為整數(shù)，則x=1或2或3，當(dāng)x=1時，y=-2×1+7=5，當(dāng)x=2時，y=-2×2+7=3，當(dāng)x=3時，y=-2×3+7=1，那么方程y=-2x+7的正整數(shù)點為(1，5)，(2，3)，(3，1)．則方程y=-2x十7的剩余的正整數(shù)點為(2，3)，(3，1)．故答案為：(2，3)，(3，1)．【點睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，以及一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是弄清題意，掌握正整數(shù)點的求解方法，找出符合條件的正整數(shù)點．【題型2由方程組的錯解問題求參數(shù)的值】【例2】（23·24七年級上·陜西西安·期中）甲、乙兩人都解方程組ax+y=22x?by=1，甲看錯a解得x=1y=2，乙看錯b解得x=1y=1【答案】x=【分析】根據(jù)甲看錯a則求得的解滿足b，乙看錯了b則求得的解滿足a，據(jù)此求出a、b的值進而得到原方程組，再利用代入消元法求解即可．【詳解】解：∵甲、乙兩人在解方程組ax+y=2①甲看錯了方程①中的a，解得x=1y=2∴2×1?2b=1，解得b=1∵乙看錯了方程②中的b，解得x=1y=1∴a+1=2，解得a=1，∴原方程組為x+y=2①由①得：x=2?y③把③代入②得22?y?1將y=65代入③得∴方程組的解為x=4故答案為：x=4【點睛】本題主要考查了二元一次方程組錯解復(fù)原問題，正確理解題意求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】已知▲x+?y=1□x?7y=1是一個被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯了第二個方程中的x的系數(shù)，求出的解是【答案】2x+5y=1【分析】設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點為b，正方形為c，利用方程組解的意義列出關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)被墨水污染的三角形為a，圓點為b，正方形為c，∵這個方程組的解是x=3y=?1∴3a?b=13c+7=1∴c=?2．∵看錯了第二個方程中的x的系數(shù)，求出的解是x=?2y=1∴?2a+b=1，∴?2a+b=13a?b=1解得：a=2b=5∴原方程組為2x+5y=1?2x?7y=1【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解以及解法，熟練掌握二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】小朋同學(xué)在解方程組y?ax=by=?2x的過程中，錯把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯，解得此方程組的解為x=?1y=2．又已知方程y?ax=b的一個解是x=?2y=1，則b【答案】9【分析】根據(jù)題意，把x=?1y=2代入y?ax=6，求出a的值，再把x=?2y=1和a的值代入【詳解】解：由題意，得：x=?1y=2是y?ax=6∴2+a=6，∴a=4，把a=4和x=?2y=1代入y?ax=b，得：1+2×4=b∴b=9；故答案為：9．【點睛】本題考查二元一次方程的解．熟練在為方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】一個星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2【答案】6084【分析】根據(jù)題意將小明所得方程組的解代入方程②，將小文所得方程組的解代入方程①，即可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：由題意得：?a+2b=163b+2a=2解方程組得a=?44∴a【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的知識，理解抄錯了方程①，得到方程組的解即只滿足方程②，同理抄錯了方程②，得到方程組的解即只滿足方程①，是解答本題的關(guān)鍵．【題型3解含參數(shù)的二元一次方程組】【例3】已知方程組3x?y=5?2kx+3y=k+5，那么x+y=【答案】3【分析】把k看做常數(shù)解二元一次方程組，求得x=2?12k【詳解】解：3x?y=5?2k由①×3+②，得解得：x=2?1把x=2?12k∴x+y=2?1故答案為：3．【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握用加減法求解二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】整數(shù)a為時，方程組2x+ay=4x+4y=8【答案】?4【分析】先求出方程組的解，再根據(jù)方程組有正整數(shù)解，求出a的值．【詳解】解：∵2x+ay=4①∴①?②×2，得a?8y=?12∴y=12將y=12x=8?48又∵方程組是正整數(shù)解，∴8?a=12時滿足x、y均為正整數(shù)，解得：a=?4，故答案為：?4．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】已知x，y是整數(shù)，且滿足x?y+3=0，ax?y?1=0，則整數(shù)a的所有可能值有（

）個A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先聯(lián)立兩個方程組成方程組，再消去y可得x=4【詳解】解：由題意得：{x?y=?3②-①得：(a?1)x=4,當(dāng)a≠1時，x=4∵a,x都為整數(shù)，∴a=?3或a=?1或a=0或a=2或a=3或a=5,此時y=x+3也為整數(shù)，所以a的所有的可能的值有6個，故選C【點睛】本題考查的是二元一次方程組的整數(shù)解問題，掌握“二元一次方程組的解法及整數(shù)解的含義”是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7mx?y=2+m，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)m每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為【答案】x=5【分析】根據(jù)題意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．【詳解】解：x+my=7①x+my+mx-y=9+m，則x-y-9+mx+my-m=0，則x-y-9+m（x+y-1）=0，根據(jù)題意，這些方程有一個公共解，與m的取值無關(guān)，x?y?9=0x+y?1=0解得x=5y=?4故答案為：x=5y=?4【點睛】本題考查了二元一次方程組的解的問題和解二元一次方程組，解集本題的關(guān)鍵是理解題意，明確這些方程的解與m的取值無關(guān)．同時應(yīng)掌握二元一次方程組的基本解法——代入消元法和加減消元法．【題型4根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】【例4】若2a?b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0，當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為（

A．x=3y=?1 B．x=1y=?12 C．【答案】C【分析】由2a?b=0得：b=2a，把b=2a代入a?1x+by+5?2a=0得a?1x+2ay+5?2a=0，整理得：x+2y?2a?x+5=0，根據(jù)當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，得出x+2y?2=0?x+5=0，解關(guān)于【詳解】解：由2a?b=0得：b=2a，∴關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0a?1x+2ay+5?2a=0整理得：x+2y?2a?x+5=0∵當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，∴x+2y?2=0?x+5=0解得：x=5y=?故選：C．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)當(dāng)a取不同值時，方程都有一個公共解，得出x+2y?2=0?x+5=0【變式4-1】關(guān)于x，y的二元一次方程y=kx?2k+3（k為常數(shù)），當(dāng)k取一個確定的值時就得到一個方程，所有這些方程有一個公共解，則這個公共解是（

）A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3【答案】B【分析】由題意可令x=2時，代入進行求解即可．【詳解】解：由y=kx?2k+3可變形為y=kx?2∵當(dāng)k取一個確定的值時就得到一個方程，所有這些方程有一個公共解，∴當(dāng)x=2時，則y=3，∴這個公共解為x=2y=3故選B．【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)mA．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根據(jù)“當(dāng)m每取一個值時就有一個方程，而這些方程有一個公共解”，可知這個公共解與m無關(guān)，得到關(guān)于x和y的二元一次方程組，解之即可．【詳解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根據(jù)題意得：x+y+2=0解得x=?3y=1故選D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】定義一種新的運算：a☆b=2a?b，例如：3☆?1=2×3??1=7．若a☆b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a+1x?by?a+3=0，當(dāng)a【答案】x=?3【分析】根據(jù)公式求得b=2a，將方程轉(zhuǎn)化得到(x?2y?1)a=?3?x，由當(dāng)a，b取不同值時，方程都有一個公共解，得到x?2y?1=0?3?x=0【詳解】解：∵a☆b=0，∴2a?b=0，∴b=2a，則方程a+1x?by?a+3=0可轉(zhuǎn)化為a+1∴(x?2y?1)a=?3?x，∵當(dāng)a，b取不同值時，方程都有一個公共解，∴x?2y?1=0?3?x=0解得x=?3y=?2故答案為：x=?3y=?2【點睛】此題考查解二元一次方程組，正確理解由當(dāng)a，b取不同值時，方程都有一個公共解是解題的關(guān)鍵．【題型5整體思想解二元一次方程組】【例5】若關(guān)于m，n的二元一次方程組3m?an=162m?bn=15的解是m=7n=3,那么關(guān)于x，y的二元一次方程組3【答案】x=5【分析】把關(guān)于x、y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15看作關(guān)于x+y和x+y的二元一次方程組，利用關(guān)于m,n的二元一次方程組3m?an=162m+bn=15的解為m=7n=3,得到x+y=7，x?y=3，從而求出【詳解】解：∵關(guān)于m,n的二元一次方程組3m?an=162m+bn=15的解為m=7把關(guān)于x、y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15看作關(guān)于x+y和x+y

∴x+y=7x?y=3∴關(guān)于x,y的二元一次方程3(x+y)?a(x?y)=162(x+y)+b(x?y)=15的解為x=5故答案為：x=5y=2【點睛】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解，也考查了解二元一次方程組．【變式5-1】綜合與實踐問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：4x+3y3觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個整體，把(6x?y)看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16，解方程組，得探索猜想：（2）運用上述方法解下列方程組：32x+y【答案】（1）m3+n8【分析】（1）根據(jù)換元法和加減消元法可得答案；（2）利用換元法將原方程組變形，解關(guān)于m，n的方程組，然后得到關(guān)于x，y的新的二元一次方程組，再解方程組可得答案；【詳解】解：（1）設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為m3解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16所以4x+3y=186x?y=16解方程組，得x=3y=2故答案為：m3+n（2）設(shè)2x+y=m，x?2y=n，則原方程組可化為3m?2n=262m+3n=13解關(guān)于m，n的方程組，得m=8n=?1所以2x+y=8x?2y=?1解方程組，得x=3y=2【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法以及換元法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有“代入法”、“加減法”兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5①5x?2y=3②，我們分析x≠0，y≠0，可以采用“換元法”來解：設(shè)1(1)直接寫出滿足方程3x(2)解方程組3x【答案】(1)x=1y=2(2)x=1【分析】（1）根據(jù)方程解的定義，先假定x等于一個數(shù)，再求出對應(yīng)的y即可；（2）仿照例題，設(shè)1x=m，1y=n，，則原方程組可變形為關(guān)于m、n的方程組，求出【詳解】（1）解：當(dāng)x=1y=2時，3故方程的解可以是：x=1y=2故答案為：x=1y=2（2）設(shè)1x=m，1y解得m=1n=∴1x=1，1y【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于m，n的方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式5-3】問題：已知關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8的解滿足方程x+2y=5，求m甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8，再求m乙同學(xué)說：可以先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個方程相加，再求m丙同學(xué)說：可以先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m…請用2種不同的方法解決上面的問題．【答案】m=4【分析】解法1：利用加減法求出x=13?3my=2m?6，再代入x+2y=5，即可得到m解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，則x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到解法3：解方程組x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m?3【詳解】解法1：3x+7y=5m?3①×2?②×3解得y=2m?6，把y=2m?6代入②得，2x+32m?6解得x=13?3m，∴x=13?3my=2m?6∵x+2y=5，∴13?3m+22m?6解得m=4；解法2：3x+7y=5m?3①+②得，則x+2y=m+1，∵x+2y=5，∴m+1=5，解得m=4；解法3：x+2y=5①×2?②得，把y=2代入①得，x+4=5，解得x=1，∴x=1y=2把x=1y=2代入3x+7y=5m?33+14=5m?3，解得m=4．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握加減法是解題的關(guān)鍵．【題型6二元一次方程組的新定義問題】【例6】定義：數(shù)對x，y經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對x'，y'，將該運算記作：dx，y=x，y（1）當(dāng)a=2，b=1時，d3，（2）如果組成數(shù)對x，y的兩個數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時，總有dx，y=?x，【答案】7，5?【分析】（1）由題意可得：x'=2x+yy（2）由題意可得：3a+b=?33a?b=?1【詳解】解：（1）當(dāng)a=2，b=1時，∵x∴d（2）∵dx∴d3y∴3ay+by=?3y化簡得：3a+b=?33a?b=?1解得：a=?2故答案為：?23，【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法，弄清定義，能將所求的問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“關(guān)聯(lián)方程”．如方程2x=4和3x+6=0為“關(guān)聯(lián)方程”．(1)若關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x?4=x+1是“關(guān)聯(lián)方程”，求a的值；(2)若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解的差為8，若兩個“關(guān)聯(lián)方程”的兩個解分別為m、n，求m、n的值；(3)若關(guān)于x的方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是“關(guān)聯(lián)方程”，求b的值．【答案】(1)a=25(2)m=4n=?4或(3)b=2【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義求解即可；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義和已知條件得到m?n=8或n?m=8，再結(jié)合m+n=0，解方程組即可；（3）分別求出方程的解，再由“關(guān)聯(lián)方程”的定義解答．【詳解】（1）解：解方程2x?4=x+1得：x=5，將x=?5代入方程5x+a=0得：5×?5解得：a=25；（2）解：由題意得：m+n=0m?n=8或m+n=0解兩個二元一次方程組得：m=4n=?4或m=?4∴m、n的值為：m=4n=?4或m=?4（3）解：解方程2x+3b?2=0得：x=?3b+2解：方程3x?5b+4=0得：x=5b?4∵方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是關(guān)于x的“關(guān)聯(lián)方程”，∴?3b+22解得：b=2．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的應(yīng)用，和解二元一次方程組的應(yīng)用，正確掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程組的方法，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】定義：若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個兩位數(shù)記為mn，即mn=10m+n(1)若2x?x3=?1(2)若x2+y3=45【答案】(1)x=2(2)x=3【分析】（1）先按定義列出方程化成一元一次方程求解即可；（2）先按定義列出二元一次方程組求解即可．【詳解】（1）解：∵2x?∴2×10+x?x×10?3=?1，解得：x=2．（2）解：∵x2+∴x×10+2+y×10+3=45x?y=2，即x+y=4x?y=2，解得：【點睛】本題主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程組等知識點，理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x?y=ax+by，x?y=ax?by，其中a，b是常數(shù)．已知(1)求a，b的值；(2)若關(guān)于x，y的方程組x?y=4?mx?y=5m的解也滿足方程x+y=5，求m(3)若關(guān)于x，y的方程組2a1x?b1y=c12【答案】(1)a=2(2)m=(3)x=【分析】（1）根據(jù)定義新運算得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，再解方程組即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，求出方程組的解，再代入方程x+y=5求解即可；（3）根據(jù)定義新運算得出相關(guān)方程組，根據(jù)方程組的解的定義，利用整體代入的方法解答即可．【詳解】（1）解：由題意得a+b=13a?2b=8解得：a=2b=?1（2）解：依題意得2x?y=4?m2x+y=5m解得：x=m+1y=3m?2∵x+y=5，∴m+1+3m?2=5，解得：m=3（3）解：由題意得：方程組2a1x?∴由方程組a1x+yx?∴方程組2a1x+y解得x=9【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、定義新運算、“整體思想”等知識；熟練掌握“整體思想”，找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型7二元一次方程組的規(guī)律探究】【例7】下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對應(yīng)關(guān)系：序號123……n方程組{{{方程組解{{{按此規(guī)律，第n個方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）.【答案】{2x+y=2n+1x?2ny=4【詳解】試題分析：仔細分析所給方程組可得第一個方程的左邊不變，均為，右邊為從3開始的連續(xù)奇數(shù)，第二個方程的x項的系數(shù)均為1不變，y項的系數(shù)是從-2開始的連續(xù)負偶數(shù)，方程組的解中x的值是從2開始的連續(xù)偶數(shù)，y的值是從-1開始的連續(xù)負奇數(shù)，根據(jù)得到的規(guī)律求解即可.解：由題意得第n個方程組為{2x+y=2n+1x?2ny=4n考點：找規(guī)律-式子的變化點評：解答此類問題的關(guān)鍵是仔細分析所給式子的特征得到規(guī)律，再把得到的規(guī)律應(yīng)用于解題.【變式7-1】對下列問題，有三位同學(xué)提出了各自的想法：若方程組a1x+b1y=甲說：“這個題目的好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以4，通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，請你探索：若能求解，請求出它的解；若不能，請說明理由．答：．【答案】{【詳解】試題分析：把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以4可得，再根據(jù)方程組的解是可得，從而求得結(jié)果.把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以4可得由題意得，解得{x=5y=13.考點：解二元一次方程組點評：解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到規(guī)律，正確利用題中所提供換元法解題.【變式7-2】閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組17x+19y=21①②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③③×17得：17x+17y=17①-④得：y=2，代入③得x=?1．所以這個方程組的解是x=?1y=2(1)請你運用小明的方法解方程組1997x+1999y=20012017x+2019y=2021(2)規(guī)律探究：猜想關(guān)于x、y的方程組ax+a+2【答案】(1)x=?1y=2(2)x=?1y=2【分析】（1）根據(jù)題意，利用例題方法求解即可；（2）根據(jù)題意，利用例題方法求解即可得．【詳解】（1）解：{1997x+1999y=2001②?①得：20x+20y=20，即x+y=1③×1997得：1997x+1997y=1997，①?④得：2y=4，即將y=2代入③得x=?1，所以這個方程組得解是{x=?1（2）解：{ax+(a+2)y=a+4②?①得：(b?a)x+(b?a)y=b?a，即x+y=1③×a得：ax+ay=a，①?④得：2y=4，解得將y=2代入③得：x=?1，所以這個方程組得解是{x=?1故答案為：{x=?1【點睛】題目主要考查二元一次方程組的求法，理解題意，熟練掌握運用二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵．【變式7-3】下面是按一定規(guī)律呈現(xiàn)的一組二元一次方程組和它的解（如下表）．序號二元一次方程組二元一次方程組的解①x+y=1x=②x+y=1x=2③x+y=1x=3………………根據(jù)上面表格中方程組及其解所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下面的問題：（1）方程組①的解為；（2）請依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，直接寫出第n個方程組和它的解．第n個方程組為，這個方程組的解為．（3）若方程組x+y=1x?ay=25的解是x=5y=?4，求【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x?ny=n2，【分析】（1）根據(jù)加減消元法，即可求解；（2）找出方程組及其解的變化規(guī)律，即可得到答案；（3）把x=5y=?4代入5+4a=25，求出a【詳解】解：（1）x+y=1①x?y=1②①+②得：2x=2，解得：x=1，①-②得：2y=0，解得：y=0，∴方程組的解：x=1y=0（2）由方程組的變化規(guī)律可知：第n個方程組為x+y=1x?ny=n2故答案是：x+y=1x?ny=n2（3）∵方程組x+y=1x?ay=25的解是x=5∴5+4a=25，∴a=5，此時，方程組為x+y=1x?5y=25，它的解為x=5【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解以及加減消元法，掌握方程組及其解的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型8二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】【例8】閱讀下列材料解決問題：兩個多位數(shù)整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，則稱這兩個多位數(shù)互為“調(diào)和數(shù)”，如37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別為3+7和8+2，顯然3+7=8+2=10故37和82互為“調(diào)和數(shù)”．(1)下列說法錯誤的是________A．123和51互為“調(diào)和數(shù)” B．345和513互為“調(diào)和數(shù)”C．2018和8120互為“調(diào)和數(shù)” D．兩位數(shù)xy和yx互為“調(diào)和數(shù)”(2)若A、B是兩個不等的兩位數(shù)，A=xy，B=mn，A和B互為“調(diào)和數(shù)”，且A與B之和是B與A之差的3倍，求證：【答案】(1)B(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“調(diào)和數(shù)”的定義，逐項判斷即可求解；（2）根據(jù)A和B互為“調(diào)和數(shù)”，且A與B之和是B與A之差的3倍，可得x+y=9?2x+m，從而得到x+y是9的倍數(shù)，再由A、B【詳解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，∴123和51互為“調(diào)和數(shù)”，故本選項正確，不符合題意；B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，∴345和513不是“調(diào)和數(shù)”，故本選項錯誤，符合題意；C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，∴2018和8120互為“調(diào)和數(shù)”，故本選項正確，不符合題意；D．∵x+y=y+x，∴兩位數(shù)xy和yx互為“調(diào)和數(shù)”，故本選項正確，不符合題意；故答案為：B（2）解：根據(jù)題意得：x+y=m+n10x+y+10m+n=3解得：19x+y=9m，∴x+y=9?2x+m∴x+y是9的倍數(shù)，∴x+y=9或18，∵A、B是兩個不等的兩位數(shù)，∴x+y=9，即y=?x+9．【點睛】此題主要考查了整除的問題，新定義，解題的關(guān)鍵在于理解新定義，運用整除的思想解決問題．【變式8-1】閱讀下列材料，解決問題．《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？(1)[嘗試]若設(shè)母雞有x只，公雞有y只，①小雞有_______只，買小雞一共花費_____文錢（用含x，y的式子表示）；②根據(jù)題意，列出一個含有x，y的方程_________