復數(shù)講義高考數(shù)學一輪復習

知識點一復數(shù)的概念【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.形如的數(shù)叫復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，、分別為復數(shù)的實部和虛部；2.對于復數(shù)，當且僅當時為實數(shù)，當且僅當時為實數(shù)0，當時為虛數(shù)，當且時為純虛數(shù)；3.平面直角坐標系可用來表示復平面，軸稱為實軸，軸稱為虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點都表示虛數(shù)；4.復數(shù)與復平面上的點一一對應(yīng)；5.復數(shù)與平面向量一一對應(yīng).的模稱為復數(shù)的?；蚪^對值，記作或，即；6.對于復數(shù)，稱為復數(shù)的共軛復數(shù)，記作.【例題分析】例1．（2024春?鐵東區(qū)校級月考）復數(shù)虛部是A． B．1 C． D．例2．（2024春?和平區(qū)校級月考）已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)A． B． C．2 D．例3．（2024?香坊區(qū)校級四模）已知是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為A．0 B．1 C．2 D．例4．（2024春?臺州期中?多選）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是A． B． C．若，則 D．若復數(shù)滿足，則是虛數(shù)例5．（2024?開封模擬?多選）已知復數(shù)，（其中是虛數(shù)單位，，，若為純虛數(shù)，則A． B． C． D．【變式訓練】1．（2024春?浦東新區(qū)校級月考）已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部為．2．（2024春?忻城縣校級期中）復數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為A．2 B． C． D．3．（2024?新鄉(xiāng)三模）已知為純虛數(shù)，則A．3 B． C． D．4．（2024春?重慶期中?多選）下列命題中，真命題為A．復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是 B．復數(shù)的共軛復數(shù)為 C．復數(shù)的虛部為 D．復數(shù)，則5．（2024春?興化市期中?多選）對于復數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是A．若，則為純虛數(shù) B．若，則， C．若，則為實數(shù) D．若，則不是復數(shù)

知識點二復數(shù)的四則運算【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.對于復數(shù)，（1）；；（2）===；（3）=.【例題分析】1．（2024?新高考Ⅰ）若，則A． B． C． D．2．（2024?北京）若復數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．（2024?甲卷）設(shè)，則A． B．1 C． D．24．（2024?甲卷）設(shè)，則A． B． C．10 D．5．（2023?新高考Ⅱ）在復平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C．0 D．17．（2024?上海）已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為．8．（2023?天津）已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為．

【變式訓練】1．（2023?北京）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則的共軛復數(shù)A． B． C． D．2．（2023?甲卷）若復數(shù)，，則A． B．0 C．1 D．23．（2023?乙卷）A．1 B．2 C． D．54．（2022?浙江）已知，，為虛數(shù)單位），則A．， B．， C．， D．，5．（2022?北京）若復數(shù)滿足，則A．1 B．5 C．7 D．256．（2022?甲卷）若，則A． B． C． D．7．（2022?新高考Ⅰ）若，則A． B． C．1 D．28．（2022?乙卷）已知，且，其中，為實數(shù)，則A．， B．， C．， D．，

知識點三復數(shù)的幾何應(yīng)用、代數(shù)應(yīng)用與周期性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.在復數(shù)范圍內(nèi)解二次方程對于二次方程，，；若，則，如.2.周期性：若，則；；；.3.幾何意義：設(shè),則滿足的點的集合表示的圖形為以為圓心，半徑為的圓.【例題分析】例1．（2023?乙卷）設(shè)，則A． B． C． D．例2．（2024?安康模擬）若滿足，對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱的點為，則對應(yīng)的為A． B． C． D．例3．（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知復數(shù)是虛數(shù)單位，，則的最小值是A． B． C． D．1例4．（2024?吉林四模）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點的軌跡為A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線例5．（2024?陽泉三模）已知是實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則A． B． C．1 D．9例6．（2024?江蘇模擬）已知是虛數(shù)單位）是方程的根，則A． B． C． D．

【變式訓練】1．（2023?甲卷）A． B．1 C． D．2．（2024?邵陽模擬）已知復數(shù)滿足：，其中是虛數(shù)單位，則的值為A． B．1 C．2 D．43．（2024?全國二模）已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024?泰州模擬）若復數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C．1 D．5．（2024?廣東模擬）已知，為方程的兩個虛根，則A． B． C． D．6．（2024?棗莊模擬）已知復數(shù)是方程的一個根，則實數(shù)A． B．5 C． D．6

知識點四復數(shù)的三角表示【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.復數(shù)的三角表示一般地，任何一個復數(shù)都可以表示成的形式.其中，是復數(shù)的模;是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復數(shù)之的輻角.叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.（任何一個不為零的復數(shù)輻角有無數(shù)多個，且相差的整數(shù)倍，我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記為）.2.復數(shù)乘、除的三角表示及其幾何意義：對于復數(shù)，（1）；（2）.【例題分析】例1．（2023·全國·高一專題練習）以下不滿足復數(shù)的三角形式的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·江蘇·高一專題練習）復數(shù)化成三角形式，正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期末）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（

）A．=0 B．為實數(shù)C． D．復數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限例4．（2023春·全國·高一專題練習）計算：．【變式訓練】1．（2023·高二課時練習）復數(shù)－i的三角形式是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西南昌·高一?？计谥校蛿?shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習）任何一個復數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i4．（2023春·全國·高一專題練習）計算：(1)；(2).

知識點五以復數(shù)為背景的綜合計算【例題分析】例1．（2024?山東模擬?多選）已知，為方程的兩根，則A． B． C． D．例2．（2024春?深圳月考?多選）已知復數(shù)，，下列結(jié)論正確的有A．若，則 B．若，則 C．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓 D．若是關(guān)于的方程的一個根，則例3．（2024春?耒陽市期中?多選）若復數(shù)，則下列命題是真命題的是A． B． C． D．若是關(guān)于的方程的根，則例4．（2024春?聊城期中?多選）已知，為方程的兩個不相等的復數(shù)根，則A． B．時，較大的根為 C．時， D．例5．（2024?江門模擬?多選）下列說法正確的是A．， B． C．若，，則的最小值為1 D．若是關(guān)于的方程的根，則例6．（2024?天河區(qū)校級模擬?多選）已知復數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是A．方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓 B．方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓 C．方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是雙曲線的一支 D．方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)