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文檔簡介

知識點一復數(shù)的概念【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.形如的數(shù)叫復數(shù),其中為虛數(shù)單位,、分別為復數(shù)的實部和虛部;2.對于復數(shù),當且僅當時為實數(shù),當且僅當時為實數(shù)0,當時為虛數(shù),當且時為純虛數(shù);3.平面直角坐標系可用來表示復平面,軸稱為實軸,軸稱為虛軸.實軸上的點都表示實數(shù),除原點外虛軸上的點都表示虛數(shù);4.復數(shù)與復平面上的點一一對應(yīng);5.復數(shù)與平面向量一一對應(yīng).的模稱為復數(shù)的?;蚪^對值,記作或,即;6.對于復數(shù),稱為復數(shù)的共軛復數(shù),記作.【例題分析】例1.(2024春?鐵東區(qū)校級月考)復數(shù)虛部是A. B.1 C. D.例2.(2024春?和平區(qū)校級月考)已知復數(shù)為純虛數(shù),則實數(shù)A. B. C.2 D.例3.(2024?香坊區(qū)校級四模)已知是虛數(shù)單位,若為純虛數(shù),則實數(shù)的值為A.0 B.1 C.2 D.例4.(2024春?臺州期中?多選)在復平面內(nèi),下列說法正確的是A. B. C.若,則 D.若復數(shù)滿足,則是虛數(shù)例5.(2024?開封模擬?多選)已知復數(shù),(其中是虛數(shù)單位,,,若為純虛數(shù),則A. B. C. D.【變式訓練】1.(2024春?浦東新區(qū)校級月考)已知為虛數(shù)單位,則復數(shù)的實部為.2.(2024春?忻城縣校級期中)復數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為A.2 B. C. D.3.(2024?新鄉(xiāng)三模)已知為純虛數(shù),則A.3 B. C. D.4.(2024春?重慶期中?多選)下列命題中,真命題為A.復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是 B.復數(shù)的共軛復數(shù)為 C.復數(shù)的虛部為 D.復數(shù),則5.(2024春?興化市期中?多選)對于復數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是A.若,則為純虛數(shù) B.若,則, C.若,則為實數(shù) D.若,則不是復數(shù)

知識點二復數(shù)的四則運算【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.對于復數(shù),(1);;(2)===;(3)=.【例題分析】1.(2024?新高考Ⅰ)若,則A. B. C. D.2.(2024?北京)若復數(shù)滿足,則A. B. C. D.3.(2024?甲卷)設(shè),則A. B.1 C. D.24.(2024?甲卷)設(shè),則A. B. C.10 D.5.(2023?新高考Ⅱ)在復平面內(nèi),對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.(2023?新高考Ⅰ)已知,則A. B. C.0 D.17.(2024?上海)已知虛數(shù),其實部為1,且,則實數(shù)為.8.(2023?天津)已知是虛數(shù)單位,化簡的結(jié)果為.

【變式訓練】1.(2023?北京)在復平面內(nèi),復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是,則的共軛復數(shù)A. B. C. D.2.(2023?甲卷)若復數(shù),,則A. B.0 C.1 D.23.(2023?乙卷)A.1 B.2 C. D.54.(2022?浙江)已知,,為虛數(shù)單位),則A., B., C., D.,5.(2022?北京)若復數(shù)滿足,則A.1 B.5 C.7 D.256.(2022?甲卷)若,則A. B. C. D.7.(2022?新高考Ⅰ)若,則A. B. C.1 D.28.(2022?乙卷)已知,且,其中,為實數(shù),則A., B., C., D.,

知識點三復數(shù)的幾何應(yīng)用、代數(shù)應(yīng)用與周期性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.在復數(shù)范圍內(nèi)解二次方程對于二次方程,,;若,則,如.2.周期性:若,則;;;.3.幾何意義:設(shè),則滿足的點的集合表示的圖形為以為圓心,半徑為的圓.【例題分析】例1.(2023?乙卷)設(shè),則A. B. C. D.例2.(2024?安康模擬)若滿足,對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱的點為,則對應(yīng)的為A. B. C. D.例3.(2024?襄城區(qū)校級模擬)已知復數(shù)是虛數(shù)單位,,則的最小值是A. B. C. D.1例4.(2024?吉林四模)已知復數(shù)滿足,則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點的軌跡為A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線例5.(2024?陽泉三模)已知是實系數(shù)方程的一個復數(shù)根,則A. B. C.1 D.9例6.(2024?江蘇模擬)已知是虛數(shù)單位)是方程的根,則A. B. C. D.

【變式訓練】1.(2023?甲卷)A. B.1 C. D.2.(2024?邵陽模擬)已知復數(shù)滿足:,其中是虛數(shù)單位,則的值為A. B.1 C.2 D.43.(2024?全國二模)已知復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.(2024?泰州模擬)若復數(shù)滿足,則的最小值為A. B. C.1 D.5.(2024?廣東模擬)已知,為方程的兩個虛根,則A. B. C. D.6.(2024?棗莊模擬)已知復數(shù)是方程的一個根,則實數(shù)A. B.5 C. D.6

知識點四復數(shù)的三角表示【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.復數(shù)的三角表示一般地,任何一個復數(shù)都可以表示成的形式.其中,是復數(shù)的模;是以軸的非負半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角,叫做復數(shù)之的輻角.叫做復數(shù)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來,叫做復數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.(任何一個不為零的復數(shù)輻角有無數(shù)多個,且相差的整數(shù)倍,我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值,記為).2.復數(shù)乘、除的三角表示及其幾何意義:對于復數(shù),(1);(2).【例題分析】例1.(2023·全國·高一專題練習)以下不滿足復數(shù)的三角形式的是(

)A. B.C. D.例2.(2023·江蘇·高一專題練習)復數(shù)化成三角形式,正確的是(

)A. B.C. D.例3.(2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二校考期末)歐拉公式(其中為虛數(shù)單位,)將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián),在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位,被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式,則(

)A.=0 B.為實數(shù)C. D.復數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限例4.(2023春·全國·高一專題練習)計算:.【變式訓練】1.(2023·高二課時練習)復數(shù)-i的三角形式是(

)A. B. C. D.2.(2022春·江西南昌·高一??计谥校蛿?shù)的三角形式是(

)A. B.C. D.3.(2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習)任何一個復數(shù)都可以表示成的形式,通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn):,我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.則(

)A.1 B. C. D.i4.(2023春·全國·高一專題練習)計算:(1);(2).

知識點五以復數(shù)為背景的綜合計算【例題分析】例1.(2024?山東模擬?多選)已知,為方程的兩根,則A. B. C. D.例2.(2024春?深圳月考?多選)已知復數(shù),,下列結(jié)論正確的有A.若,則 B.若,則 C.若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為圓 D.若是關(guān)于的方程的一個根,則例3.(2024春?耒陽市期中?多選)若復數(shù),則下列命題是真命題的是A. B. C. D.若是關(guān)于的方程的根,則例4.(2024春?聊城期中?多選)已知,為方程的兩個不相等的復數(shù)根,則A. B.時,較大的根為 C.時, D.例5.(2024?江門模擬?多選)下列說法正確的是A., B. C.若,,則的最小值為1 D.若是關(guān)于的方程的根,則例6.(2024?天河區(qū)校級模擬?多選)已知復數(shù),,則下列結(jié)論正確的是A.方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是圓 B.方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是橢圓 C.方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是雙曲線的一支 D.方程表示的在復平面內(nèi)對應(yīng)

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