北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題1.7整式的乘除章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)同步學(xué)案(學(xué)生版+解析)

專題1.7整式的乘除章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】 1【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】 1【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】 2【題型4巧用乘法公式求值】 3【題型5乘法公式的幾何背景】 4【題型6整式的乘除中的新定義問題】 7【題型7整式運(yùn)算中的定值問題】 7【題型8整式運(yùn)算中的整除問題】 9【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，（1）2c?b=（2）a，b，c之間滿足的等式關(guān)系為．【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）已知常數(shù)a，b滿足2a×22b=8【變式1-2】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值為（2）若x3n+1?y3n+1=64【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）愛動腦筋的小明在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時發(fā)現(xiàn)：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】【例2】（2023春·四川巴中·八年級四川省巴中中學(xué)?？计谥校┤?x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【變式2-1】（2023秋·甘肅武威·八年級校考期末）老師在黑板上布置了一道題：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展開了下面的討論：小亮：只知道x的值，沒有告訴y的值，這道題不能做；小新：這道題與y的值無關(guān)，可以求解；根據(jù)上述說法，你認(rèn)為誰說的正確？為什么？【變式2-2】（2023秋·河南周口·八年級?？计谀┮阎獂2+mx?32x+n的展開式中不含x的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是－6，則mn【變式2-3】（2023秋·福建泉州·八年級福建省泉州市培元中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x、y的代數(shù)式2x+5y32x?5y3?mx?3【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】【例3】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┫铝袌D像都是由相同大小的星星按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有4顆星星，第②個圖形中一共有11顆星星，第③個圖形中一共有21顆星星，……按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中星星的顆數(shù)為．

【變式3-1】（2023春·重慶·八年級?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，則（a+b）5的展開式＝．（2）a+bn（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）運(yùn)用：若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期．【變式3-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是．

【變式3-3】（2023春·北京昌平·八年級北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谥校╅喿x以下材料：(x?1)(x+1)=x(x?1)x(x?1)（1）根據(jù)以上規(guī)律，(x?1)xn?1+（2）利用（1）的結(jié)論，求1+5+5【題型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期中）使用整式乘法法則與公式可以使計(jì)算簡便，請利用法則或公式計(jì)算下列各題(1)已知a+1a=5(2)計(jì)算：2?2(3)設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，并且a5=b4，c3【變式4-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知x滿足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是．【變式4-2】（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎簒2+xy=10，y2+xy=6，x?y=?1，則：（1）x+y=．（2）求x，【變式4-3】（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）已知a?ba+b(1)2?12+1(2)求2+12(3)求23+1【題型5乘法公式的幾何背景】【例5】（2023秋·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）【知識生成】【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到a+b2【直接應(yīng)用】（1）若x+y=3，x2+y【類比應(yīng)用】（2）填空：①若x3?x=1，則x②若x?3x?4=1，則x?3【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【變式5-1】（2023春·全國·八年級期末）工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)間刻時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請解決以下問題．構(gòu)圖一：（1）如圖1是一張邊長為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個大長方形（陰影部分）．那么通過計(jì)算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證下列選項(xiàng)中的公式（填選項(xiàng)即可）；

A．a(chǎn)2?2ab+b2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①若x2?9y2=12,x+3y=4②計(jì)算：20192?2020×2018=構(gòu)圖二：如圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個邊長為1的小長方體后重新拼成一個新長方體．請你根據(jù)圖中兩個圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：．

構(gòu)圖三：某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民的生活質(zhì)量，要建造一個八邊形的居民廣場，如圖4，其中正方形MNPQ與四個相同的長方形（圖中陰影部分）的面積的和為a(a+4b)，正方形MNPQ的邊長為a，則八邊形ABCDEFGH的面積為．

【變式5-3】（2023春·浙江·八年級期中）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到a+b(1)寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：________________________．(2)根據(jù)上面的等式，如果將a?b看成a+?b，直接寫出n?1n+12(3)已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足以下兩個條件：a2+b2+【題型6整式的乘除中的新定義問題】【例6】（2023上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）設(shè)a，b是任意有理數(shù)，定義一種新運(yùn)算：a?b=a?b2．下面有四個推斷：①a?b=b?a；②a?b=a2?b2；③A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【變式6-1】（2023·重慶·八年級統(tǒng)考期中）已知x，y均為有理數(shù)，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“”，滿足下式：x?y=x(1)求出2?(?4)的值．(2)化簡(a?b)?(a+b)2，并求出當(dāng)【變式6-2】（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┒x運(yùn)算a?b=ab+a+b，比如1?2=1×2+1+2=5，1?a=1×a+1+a=2a+1，那么關(guān)于“*”運(yùn)算，以下等式成立的是．①a?b=b?a；

②a+1?b=a?b+1?b；

③【變式6-3】（2023春·湖南懷化·八年級溆浦縣第一中學(xué)校考期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種方法.它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形以及解決代數(shù)式最大、最小值等問題中.定義：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，解決問題：(1)已知13、28、37三個數(shù)中，“完美數(shù)”是_________________.(2)請將x2(3)試問當(dāng)k為何值時，S=x2+4y2+4x?12y+k（【題型7整式運(yùn)算中的定值問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系．如圖，大長方形GMAN由5個全等的長為a，寬為b的小長方形和另外兩個長方形拼成．記其中長方形ABCD的面積為S1，長方形EFGH的面積為S2，設(shè)CD=x，且當(dāng)x>b時，不論x取何值，S1?S2為定值，則【變式7-1】（2023上·浙江杭州·七年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┤鐖D，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?12；②陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為x?y+4；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當(dāng)x=20時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式7-2】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）將4塊相同的小長方形綠化帶按如圖所示的方式不重疊的放在長方形花壇ABCD內(nèi)AD>AB，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形面積分別為S1，S2，已知小長方形綠化帶的長為a米，寬為b米，且(1)當(dāng)AD=20米時，請用含a，b的式子分別表示S1=米2，S2=米2，S(2)由于空間有限，花壇的短邊AB長度為定值，而花壇的長邊AD可以延伸，將這4塊小長方形綠化帶按同樣的方式放在新的長方形花壇ABCD內(nèi)，要使未被覆蓋的部分分割的兩個長方形面積S1=S2，求【變式7-3】（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校╅喿x理解，若x滿足30?xx?10=160，求解：設(shè)30?x=a，x?10=b，則30?xx?10a+b=30?x30?x2歸納方法：首先，利用換元進(jìn)行式子簡化，再利用和（差）是定值，積是定值的特點(diǎn)與其平方和之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．解決問題：(1)若x滿足2021?xx?2016=2，則(2)若x滿足2021?x2+x?2018(3)如圖，在長方形ABCD中，AB=20，BC=12，點(diǎn)E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE=DF=x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為150平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少平方單位？【題型8整式運(yùn)算中的整除問題】【例8】（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）一個兩位正整數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，則將n的兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)得到一個新數(shù)n'．把n'放在n的后面組成第一個四位數(shù)，把n放在n'的后面組成第二個四位數(shù)，我們把第一個四位數(shù)減去第二個四位數(shù)后再除以11所得的商記為Fn，例如：n=23時，n'=32，F(xiàn)23=2332?322311=?81．對于兩位正整數(shù)s與t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤b<a≤9，1≤x，y≤9，且a，b，x，y為整數(shù)）．若Fs能被7整除，則a?b的值為【變式8-1】（2023下·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）若A、B、C均為整式，如果A?B=C，則稱A能整除C，例如由x+3x?2=x2+x?6，可知x?2能整除x2+x?6．若已知x?3A．?73 B．?23 C．【變式8-2】（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：整式A=m+1，B=m?1，(1)A?B+1的值可能為負(fù)數(shù)嗎？請說明理由；(2)請通過計(jì)算說明：當(dāng)m是整數(shù)時，A2【變式8-3】（2023下·貴州貴陽·七年級校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）因?yàn)閤+3x?2=x2+x?6，所以x2+x?6÷x?2=x+3．這說明x2+x?6能被（1）由x?2x+1=x2?x?2可知，當(dāng)x=（2）一般地，如果一個關(guān)于字母x的多項(xiàng)式M,當(dāng)x=a時，M的值為0，那么M與代數(shù)式x?a之間有一定的關(guān)系，這種關(guān)系是：_____；（3）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+kx?10能被x?2整除，試求專題1.7整式的乘除章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】 1【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】 4【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】 6【題型4巧用乘法公式求值】 9【題型5乘法公式的幾何背景】 14【題型6整式的乘除中的新定義問題】 20【題型7整式運(yùn)算中的定值問題】 24【題型8整式運(yùn)算中的整除問題】 29【題型1巧用冪的運(yùn)算逆向運(yùn)算】【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）已知2a=3，2b（1）2c?b=（2）a，b，c之間滿足的等式關(guān)系為．【答案】2a+c=2b【分析】（1）逆用同底數(shù)冪除法法則計(jì)算即可；（2）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對式子進(jìn)行整理即可．【詳解】解：（1）∵2b=6，∴2c?b故答案為：2；（2）∵2a×2c=∴2a+c∴a+c=2b,故答案為：a+c=2b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方與冪的乘方，熟練掌握積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）已知常數(shù)a，b滿足2a×22b=8【答案】2【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵2a∴2a+2b∴a+2b=3，∵(5a∴52a+4b?3ab∴2a+4b?3ab=0，∴2a+2b∴2×3?3ab=0，解得：ab=2．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知xn=2，（1）(xy)2n的值為（2）若x3n+1?y3n+1=64【答案】368【分析】1利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；2利用冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)∵xn=2∴(xy)=x=(x=2=4×9=36，故答案為：36；(2)∵x∴x∴(x∵xn=2∴2∴xy=8故答案為：827【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）愛動腦筋的小明在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時發(fā)現(xiàn)：若am=an(a>0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m=n(1)如果2×4x×(2)如果3x+2+3【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對式子進(jìn)行整理，從而可求解；（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對式子進(jìn)行整理，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因?yàn)?x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．【題型2整式乘法中不含某項(xiàng)問題】【例2】（2023春·四川巴中·八年級四川省巴中中學(xué)?？计谥校┤?x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【答案】9．【分析】根據(jù)展開式中不含x2和x3項(xiàng)，即x2【詳解】解：(x=x4=x4根據(jù)展開式中不含x2和xn?3=0m?3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查整式乘法和二元一次方程組，解題關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)時，這一項(xiàng)的系數(shù)為0列方程組．【變式2-1】（2023秋·甘肅武威·八年級?？计谀├蠋熢诤诎迳喜贾昧艘坏李}：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展開了下面的討論：小亮：只知道x的值，沒有告訴y的值，這道題不能做；小新：這道題與y的值無關(guān)，可以求解；根據(jù)上述說法，你認(rèn)為誰說的正確？為什么？【答案】小新的說法正確，原因見解析【分析】根據(jù)平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)化簡即可得到答案．【詳解】解：2x?y=4x=?4x∴這道題與y的值無關(guān)，可以求解，∴小新的說法正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟知整式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，注意去括號的時候的符號問題．【變式2-2】（2023秋·河南周口·八年級?？计谀┮阎獂2+mx?32x+n的展開式中不含x的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是－6，則mn【答案】6【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后令含x的一次項(xiàng)的系數(shù)為零以及常數(shù)項(xiàng)為?6即可求出答案．【詳解】解：x=2=2x∵x2+mx?32x+n∴mn?6=0?3n=?6∴mn=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2-3】（2023秋·福建泉州·八年級福建省泉州市培元中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x、y的代數(shù)式2x+5y32x?5y3?mx?3【答案】m=2，n=?12或m=?2，n=12．【分析】先對原式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)令含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，分情況求出m、n的值即可．【詳解】解：原式=4=4=4?∵代數(shù)式2x+5y32x?5∴4?m2=0∴m=±2，當(dāng)m=2時，由6m+n=0可得12+n=0，解得：n=?12，當(dāng)m=?2時，由6m+n=0可得?12+n=0，解得：n=12，∴m=2，n=?12或m=?2，n=12．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，求一個數(shù)的平方根，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【題型3多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題】【例3】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┫铝袌D像都是由相同大小的星星按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有4顆星星，第②個圖形中一共有11顆星星，第③個圖形中一共有21顆星星，……按此規(guī)律排列下去，第⑨個圖形中星星的顆數(shù)為．

【答案】144【分析】根據(jù)題意將每個圖形都看作兩部分，一部分是上面的構(gòu)成規(guī)則的矩形，另一部分是構(gòu)成下面的近似金字塔的形狀，然后根據(jù)遞增關(guān)系即可得到答案．【詳解】第①個圖形中星星的顆數(shù)4=2+1×2；第②個圖形中星星的顆數(shù)11=2+3+2×3；第③個圖形中星星的顆數(shù)21=2+3+4+3×4；第④個圖形中星星的顆數(shù)34=2+3+4+5+4×5；……∴第n個圖形中星星的顆數(shù)=2+3+4+5+?+n+=2+n+1=3∴當(dāng)n=9時，32∴第⑨個圖形中的星星顆數(shù)為144顆，故答案為：144【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，正確地得到每個圖形中小星星的數(shù)字變化情況是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·重慶·八年級校考期中）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+b）n（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開式中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展開式中的系數(shù)等等．（1）根據(jù)上面的規(guī)律，則（a+b）5的展開式＝．（2）a+bn（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）運(yùn)用：若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2【分析】（1）根據(jù)得出的系數(shù)規(guī)律，將原式展開即可；（2）直接根據(jù)得出的規(guī)律即可求解；（3）利用規(guī)律計(jì)算原式即可得到結(jié)果；（4）由8100=7+1【詳解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵a+bn∴a+bn的展開式共有n+1項(xiàng)，從規(guī)律可發(fā)現(xiàn)系數(shù)和為2（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；（4）8100=根據(jù)規(guī)律可知，7+1100∴若今天是星期二，經(jīng)過8100天后是星期三．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是．

【答案】2【分析】圖（1）中只有一層，有4×0+1一個正方體，圖（2）中有兩層，在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了一層，第二層有4×1+1個．圖（3）中有三層，在圖（2）的基礎(chǔ)長增加了一層，第三層有4×2+1，依此類推出第n層正方體的個數(shù)，即可推出當(dāng)有n層時總的正方體個數(shù)．【詳解】解：經(jīng)分析，可知：第一層的正方體個數(shù)為4×0+1，第二層的正方體個數(shù)為4×1+1，第三層的正方體個數(shù)為4×2+1，……第n層的個數(shù)為：4n?1第n個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)為：1+=n+4=n+4×=n+2n=2n故答案為：2【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變換總結(jié)規(guī)律，由圖形變換得規(guī)律：每次都比上一次增加一層，增加第n層時小正方體共增加了4n?1+1個，將【變式3-3】（2023春·北京昌平·八年級北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谥校╅喿x以下材料：(x?1)(x+1)=x(x?1)x(x?1)（1）根據(jù)以上規(guī)律，(x?1)xn?1+（2）利用（1）的結(jié)論，求1+5+5【答案】（1）xn?1【分析】（1）仔細(xì)觀察上式就可以發(fā)現(xiàn)得數(shù)中x的指數(shù)是式子中x的最高指數(shù)減1，根據(jù)此規(guī)律就可求出本題.（2）不難看出所求式子是材料中等號左邊式子的一個因式，將所求式子轉(zhuǎn)化成(x?1)x【詳解】（1）(x?1)xn?1+所以(x?1)xn?1+（2）1+5+=14（5-1）（1+5+=5【點(diǎn)睛】仔細(xì)觀察式子，總結(jié)出運(yùn)算規(guī)律，是解決此類題的關(guān)鍵.【題型4巧用乘法公式求值】【例4】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期中）使用整式乘法法則與公式可以使計(jì)算簡便，請利用法則或公式計(jì)算下列各題(1)已知a+1a=5(2)計(jì)算：2?2(3)設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，并且a5=b4，c3【答案】(1)a(2)6(3)d?b=757【分析】（1）利用完全平方公式變形計(jì)算即可；（2）將原式變形為220（3）根據(jù)已知條件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根據(jù)c?a=19，得出dc+b2a2dc?b2a2=19，根據(jù)a，b，【詳解】（1）解：∵a+1∴a2（2）解：2?======???==4+2=6．（3）解：∵a5∴a=b∵c3∴c=d∵c?a=19，∴dc即dc∵a，b，c，d都是正整數(shù)，又∵a=b4a∴b2a2∴dc∵dc∴dc∵dc∴dc+b∴dc∴dc即d=10c，∵dc∴b2即b2∵a，b，c，d都是正整數(shù)，∴b=3a，∵d=10c，b=3a，a5=b∴c3解得：c=100，則d=10c=1000，∵c?a=19，∴a=c?19=100?19=81，∴b=3a=243，∴d?b=1000?243=757．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式4-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開學(xué)考試）已知x滿足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，則（x﹣2021）2的值是．【答案】4【分析】根據(jù)題意原式可化為[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再應(yīng)用完全平方公式可化為（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，應(yīng)用整體思想合并同類項(xiàng)，即可得出答案．【詳解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎簒2+xy=10，y2+xy=6，x?y=?1，則：（1）x+y=．（2）求x，【答案】?4x=?52【分析】由x2+xy?y2+xy可得x+yx?y=4，再根據(jù)x?y=?1，可得【詳解】解：∵x2+xy=10，∴x2+xy?∴x+yx?y∵x?y=?1，∴x+y=?4，可得x+y=?4x?y=?1，解得：即：x，y的值分別為x=?52，故答案為：?4；x=?52，【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式及其變形，由x2+xy?【變式4-3】（2023春·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期中）已知a?ba+b(1)2?12+1(2)求2+12(3)求23+1【答案】(1)15(2)232－1(3)0【分析】（1）根據(jù)平方差公式求出即可；（2）添加上(2?1)，重復(fù)根據(jù)平方差公式依次求出，即可得出答案；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，多次利用平方差公式即可得出答案．【詳解】（1）解：(2?1)(2+1)(2故答案為：15；（2）(2+1)(=(2?1)(2+1)(=(=(=(=(=2（3）2(3+1)(=(3?1)(3+1)(=(=(=(=(=(=3∵31=3，32=9，33=27可知3n的個位數(shù)呈3、9、7、1...64÷4=16，∴3∴3即2(3+1)(3【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是重復(fù)運(yùn)用平方差公式，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，有一定的難度．【題型5乘法公式的幾何背景】【例5】（2023秋·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）【知識生成】【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到a+b2【直接應(yīng)用】（1）若x+y=3，x2+y【類比應(yīng)用】（2）填空：①若x3?x=1，則x②若x?3x?4=1，則x?3【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD．若AD=16，S△AOC

【答案】（1）xy=2；（2）①7；②3；（3）30．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形可得答案；（2）①設(shè)x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，由x2②設(shè)x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1，a?b=1（3）設(shè)AO=p，DO=q，由題意可得，p+q=16，p2+q2=136【詳解】解：（1）∵x+y=3，∴x+y2∴x2∵x2∴xy=9?5答：xy=2；（2）①設(shè)x=m，3?x=n，則mn=1，m+n=3，∴==9?2=7，故答案為：7；②設(shè)x?3=a，x?4=b，則ab=x?3x?4=1∴=1+2=3，故答案為：3；（3）設(shè)AO=p，DO=q，∵AD=16，S△AOC∴p+q=16，12即p+q=16，p2∴2pq==16即pq=60，∴S答：一塊直角三角板的面積為30．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，掌握完全平方公式的變形是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·全國·八年級期末）工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積＝a2+6a；②拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）9.【分析】（1）①根據(jù)面積差可得結(jié)論；②根據(jù)圖形可以直接得結(jié)論；（2）分別計(jì)算S2和S1的值，相減可得結(jié)論．【詳解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的長方形的寬是：a+3﹣3=a，∴長為a+6，則拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）設(shè)AB=x，則BC=x+3，∴圖1中陰影部分的面積為S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），圖2中陰影部分的面積為S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案為9．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，此類題目根據(jù)圖形的面積列出等式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)間刻時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請解決以下問題．構(gòu)圖一：（1）如圖1是一張邊長為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖1剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖2的一個大長方形（陰影部分）．那么通過計(jì)算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證下列選項(xiàng)中的公式（填選項(xiàng)即可）；

A．a(chǎn)2?2ab+b2（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①若x2?9y2=12,x+3y=4②計(jì)算：20192?2020×2018=構(gòu)圖二：如圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個邊長為1的小長方體后重新拼成一個新長方體．請你根據(jù)圖中兩個圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：．

構(gòu)圖三：某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民的生活質(zhì)量，要建造一個八邊形的居民廣場，如圖4，其中正方形MNPQ與四個相同的長方形（圖中陰影部分）的面積的和為a(a+4b)，正方形MNPQ的邊長為a，則八邊形ABCDEFGH的面積為．

【答案】構(gòu)圖一：（1）B；（2）①3；②1；構(gòu)圖二：x3?x=x(x?1)(x+1)【分析】構(gòu)圖一：（1）根據(jù)圖1和圖2中陰影部分的面積不變，數(shù)形結(jié)合列出代數(shù)式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式變形，再整體代入求解；構(gòu)圖二：根據(jù)體積不變求解；構(gòu)圖三：先求出小長方形的短邊，再求解．【詳解】解：構(gòu)圖一：（1）圖1中陰影部分的面積為：a2?b2，圖2中陰影部分的面積為：故選：B；（2）①∵x2?9∴x?3y=3，故答案為：3；②20192故答案為：1；構(gòu)圖二：根據(jù)體積不變得x3構(gòu)圖三：由題意知小長方形的短邊為b，∴八邊形ABCDEFGH的面積為a(a+4b)+2b故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何圖形列代數(shù)式，平方差公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合，掌握列代數(shù)式準(zhǔn)確表示題中幾何圖形關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·浙江·八年級期中）我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到a+b(1)寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：________________________．(2)根據(jù)上面的等式，如果將a?b看成a+?b，直接寫出n?1n+12(3)已知實(shí)數(shù)a、b、c，滿足以下兩個條件：a2+b2+【答案】(1)a+b+c(2)n?1n+1(3)2或6．【分析】（1）把大正方形面積和小矩形面積之和表示出來，根據(jù)大正方形面積也等于各個小矩形面積之和寫出相應(yīng)關(guān)系式；（2）根據(jù)提示可得n?1n+12=（3）運(yùn)用換元法，簡化計(jì)算，有助于快速解出題目．【詳解】（1）大正方形面積＝a+b+c2，大正方形面積也等于各個小矩形面積之和即：a∴a+b+c2故答案為：a+b+c2（2）根據(jù)（1）中公式，n?=n2由題意得：n?1∵n2∴n?1∴n?1∴n?1∴n?1（3）∵a2∴a+12令A(yù)＝a＋1，B＝b?2，C＝c＋3，可得A2∴a＝A?1，b＝B＋2，c＝C?3，∴a＋b?c＝A?1＋B＋2?（C?3）＝A＋B?C＋4，（a＋1）（c＋3）＋（b?2）（c＋3）＝（a＋1）（b?2）變形得，A?C＋∴A+B?C2＝A∴A＋B?C＝?2或2，∴a＋b?c＝A＋B?C＋4＝2或6．【點(diǎn)睛】本題考查了靈活運(yùn)用完全平方式，以及運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)換變形是本題得關(guān)鍵．【題型6整式的乘除中的新定義問題】【例6】（2023上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）設(shè)a，b是任意有理數(shù)，定義一種新運(yùn)算：a?b=a?b2．下面有四個推斷：①a?b=b?a；②a?b=a2?b2；③A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【答案】D【分析】各式利用題中的新定義結(jié)合完全平方公式判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：①∵a?b=a?b2，∴a?b=b?a，故①正確；②∵a?b=a?b∴②錯誤；③∵?a?b=?a?b2∴?a?b=a?④∵a?b+c=a?∴a?b+c綜上，正確的是①③．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，正確理解新定義、熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·重慶·八年級統(tǒng)考期中）已知x，y均為有理數(shù)，現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“”，滿足下式：x?y=x(1)求出2?(?4)的值．(2)化簡(a?b)?(a+b)2，并求出當(dāng)【答案】(1)10(2)?4ab+2，10【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)新運(yùn)算整體代換，化簡求值即可．【詳解】（1）解：∵x?y=∴2?（2）解：原式=a?b===?4ab+2當(dāng)a=?2，b=1時，原式=?4×=10【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的有理數(shù)運(yùn)算和整式化簡求值，完全平方公式，正確理解新定義下的運(yùn)算方式和掌握相關(guān)運(yùn)算法則和公式是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）定義運(yùn)算a?b=ab+a+b，比如1?2=1×2+1+2=5，1?a=1×a+1+a=2a+1，那么關(guān)于“*”運(yùn)算，以下等式成立的是．①a?b=b?a；

②a+1?b=a?b+1?b；

③【答案】①③/③①【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義、整式的加法與乘法法則進(jìn)行計(jì)算，逐個判斷即可得．【詳解】解：a?b=ab+a+b，b?a=ba+b+a=ab+a+b，則等式①成立；a+1?b=a?b+1?b=ab+a+b+1?b+1+b=ab+a+3b+1，則等式②不成立；a?b==abc+ac+bc+ab+a+b+c，a?=a=abc+ab+ac+a+bc+b+c，則等式③成立；綜上，等式成立的是①③，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加法與乘法，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·湖南懷化·八年級溆浦縣第一中學(xué)?？计谥校┡浞椒ㄊ菙?shù)學(xué)中重要的一種方法.它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形以及解決代數(shù)式最大、最小值等問題中.定義：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，解決問題：(1)已知13、28、37三個數(shù)中，“完美數(shù)”是_________________.(2)請將x2(3)試問當(dāng)k為何值時，S=x2+4y2+4x?12y+k（【答案】(1)13和37；(2)x?22(3)當(dāng)k=13時，S是“完美數(shù)”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x?22（3）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵13=22+∴13和37是“完美數(shù)”，故答案為：13和37；（2）∵x2∴x2又∵x?22∴x?22∴x2（3）解：當(dāng)k=13時，S是“完美數(shù)”，理由如下：S===∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y?3也是整數(shù)，∴S是一個“完美數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【題型7整式運(yùn)算中的定值問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系．如圖，大長方形GMAN由5個全等的長為a，寬為b的小長方形和另外兩個長方形拼成．記其中長方形ABCD的面積為S1，長方形EFGH的面積為S2，設(shè)CD=x，且當(dāng)x>b時，不論x取何值，S1?S2為定值，則【答案】a=2b【分析】根據(jù)圖形，將S1和S2的表達(dá)式寫出，根據(jù)“當(dāng)x>b時，不論x取何值，S1【詳解】解：根據(jù)題意可得：AB=x,bc=2b,HE=a,EF=DF?DE=a+x?3b∴S1S2∴S=2bx?=2b?a∵當(dāng)x>b時，不論x取何值，S1∴2b?a=0，即a=2b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形，列出正確代數(shù)式．【變式7-1】（2023上·浙江杭州·七年級杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┤鐖D，長為y(cm)，寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為①小長方形的較長邊為y?12；②陰影A的一條較短邊和陰影B的一條較短邊之和為x?y+4；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當(dāng)x=20時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為y?12cm，說法①符合題意；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為2x?y+4cm，說法②不符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計(jì)算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為22x+4，結(jié)合x為定值可得出說法③符合題意；由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計(jì)算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為xy?20y+240【詳解】解：∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為4cm，∴小長方形的長為y?3×4=y?12∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為y?12cm∴陰影A的較短邊為x?2×4=x?8陰影B的較短邊為x?y?12∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x?8+x?y+12=2x?y+4∵陰影A的較長邊為y?12cm，較短邊為x?8陰影B的較長邊為3×4=12cm∴陰影A的周長為2y?12+x?8陰影B的周長為212+x?y+12∴陰影A和陰影B的周長之和為2x+y?20∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③符合題意；∵陰影A的較長邊為y?12cm，較短邊為x?8陰影B的較長邊為3×4=12cm∴陰影A的面積為y?12x?8陰影B的面積為12x?y+12∴陰影A和陰影B的面積之和為xy?12x?8y+96+12x?12y+144=xy?20y+240當(dāng)x=20時，xy?20y+240=240cm綜上所述，正確的說法有①③④，共3個，【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的混合運(yùn)算，根據(jù)圖形分別表示出相關(guān)邊長并能熟練運(yùn)用整式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）將4塊相同的小長方形綠化帶按如圖所示的方式不重疊的放在長方形花壇ABCD內(nèi)AD>AB，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形面積分別為S1，S2，已知小長方形綠化帶的長為a米，寬為b米，且(1)當(dāng)AD=20米時，請用含a，b的式子分別表示S1=米2，S2=米2，S(2)由于空間有限，花壇的短邊AB長度為定值，而花壇的長邊AD可以延伸，將這4塊小長方形綠化帶按同樣的方式放在新的長方形花壇ABCD內(nèi)，要使未被覆蓋的部分分割的兩個長方形面積S1=S2，求【答案】(1)40b?2ab，20a?2ab，40b?20a(2)a=2b【分析】（1）由題意可得，根據(jù)長方形面積公式表示S1和S2，即可得（2）設(shè)AD=y，由題意可得，根據(jù)長方形面積公式表示S1和S2，使S1=S【詳解】（1）解：由題意可得：S1的長邊為AD?a，S1的短邊為2b，S2的長邊為AD?2b，S根據(jù)長方形面積公式得S1S2那么S1故答案為：40b?2ab；20a?2ab；40b?20a．（2）解：設(shè)AD=y，由題意可得，S1的長邊為AD?a，S1的短邊為2b，S2的長邊為AD?2b，S根據(jù)長方形面積公式得：S1S2因?yàn)镾1=S即a=2b，要使未被覆蓋的部分分割的兩個長方形面積S1=S2，a，【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法法則以及列代數(shù)式等問題，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中）閱讀理解，若x滿足30?xx?10=160，求解：設(shè)30?x=a，x?10=b，則30?xx?10a+b=30?x30?x2歸納方法：首先，利用換元進(jìn)行式子簡化，再利用和（差）是定值，積是定值的特點(diǎn)與其平方和之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．解決問題：(1)若x滿足2021?xx?2016=2，則(2)若x滿足2021?x2+x?2018(3)如圖，在長方形ABCD中，AB=20，BC=12，點(diǎn)E、F是BC、CD上的點(diǎn)，且BE=DF=x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為150平方單位，則圖中陰影部分的面積和為多少平方單位？【答案】(1)21(2)?(3)364平方單位【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法，進(jìn)行計(jì)算即可．（2）根據(jù)題意可得，a2+b2=2020，a+b=（3）根據(jù)題