預(yù)習(xí)02講空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）原卷版

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊(cè)）預(yù)習(xí)02講空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（精講+精練）①空間向量基本定理②空間直角坐標(biāo)系③空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、空間向量基本定理1.空間向量基本定理如果向量三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2.基底與基向量如果向量三個(gè)向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個(gè)集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個(gè)基底都叫做基向量．對(duì)基底正確理解，有以下三個(gè)方面：（1）空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底；（2）因?yàn)榭梢暈榕c任意一個(gè)非零向量共線，與任意二個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的，它是一個(gè)向量組；而一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是不同的概念．二、空間向量的正交分解1.單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示．2.正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量，均可以分解為三個(gè)向量，，使得.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標(biāo)．記作此時(shí)向量的坐標(biāo)恰是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)其中分別叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)．3.特殊向量的坐標(biāo)表示（1）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為，即（2）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)都為，即（3）當(dāng)向量平行于軸時(shí)，橫坐標(biāo)坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為，即（4）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，豎坐標(biāo)為，即（5）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，橫坐標(biāo)為，即（6）當(dāng)向量平行于平面時(shí)，縱坐標(biāo)為，即三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.(2)相關(guān)概念：叫做原點(diǎn)，都叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2.空間向量的坐標(biāo)表示（1）空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，且點(diǎn)的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)．（2）空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作.四、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積五、空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1.兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒有意義了.2.向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即3.兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則4.兩點(diǎn)間的距離公式已知，則①空間向量基本定理【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）直三棱柱中，若，則（

）A． B．C． D．2．（2223高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四面體OABC中，，點(diǎn)在線段OA上，且為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·福建廈門·期中）如圖，在平行六面體中，為的交點(diǎn).若，則向量（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．②空間直角坐標(biāo)系【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·甘肅·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·四川綿陽(yáng)·開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·廣東梅州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．6．（2324高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在x軸上的射影和在平面上的射影分別點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（

）A． B．C． D．7．（2324高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，則向量（

）A． B． C． D．8．（2223高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）在平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．9．（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．10．（2324高二下·甘肅·期中）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點(diǎn)重合)，在上，且平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．③空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·江蘇·期中）已知向量，，且，則（

）A． B． C．4 D．62．（2324高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·江蘇連云港·期中）設(shè)，向量且，則的值為（）A．1 B．1 C．2 D．34．（2324高二上·青海海東·階段練習(xí)）已知，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．（2324高二下·湖北·期中）已知向量，其中在同一平面的是（

）A．B．C．D．6．（2324高二上·北京·期中）已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（

）A． B． C．