2024年七年級數(shù)學寒假提升學與練（滬教版）專題08鄰補角、對頂角、垂線（11個考點+10種題型）（原卷版）

專題08鄰補角、對頂角、垂線（11個考點+10種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系考點二：鄰補角的意義考點三：鄰補角的性質(zhì)考點四：對頂角的意義考點五：對頂角的性質(zhì)考點六：垂線的意義考點七：垂直的符號考點八：垂直公理考點九：中垂線考點十：垂線段的性質(zhì)考點十一：點到直線的距離題型一：鄰補角的定義理解題型二：找鄰補角題型三：利用鄰補角互補求角度題型四：對頂角的定義題型五：對頂角相等題型六：相交線題型七：垂線的定義理解題型八：畫垂線題型九：垂線段最短題型十：點到直線的距離考點一：平面上兩條不重合直線的位置關(guān)系 相交：兩條直線有一個交點； 平行：兩條直線沒有交點．考點二：鄰補角的意義 兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．考點三：鄰補角的性質(zhì) 互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．考點四：對頂角的意義 兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為對頂角．考點五：對頂角的性質(zhì) 對頂角相等．考點六：垂線的意義如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．考點七：垂直的符號記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交．考點八：垂直公理 在平面內(nèi)，過直線上或直線外的一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡記為：過一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直考點九：中垂線 過線段中點且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．考點十：垂線段的性質(zhì) 聯(lián)結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．考點十一：點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離．如果一個點在直線上，那么就說這個點到直線的距離為零．題型一：鄰補角的定義理解【例1】．（2023下·福建泉州·七年級?？计谥校┫铝袌D形中，與是鄰補角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1】．（2023下·江西新余·七年級新余四中?？计谥校┤鐖D，直線，，相交于點，則的鄰補角有個．

【變式2】．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）與互為鄰補角，且比的3倍還多，則的度數(shù)是°．題型二：找鄰補角【例2】．（2021上·黑龍江綏化·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（

）

A．4對 B．5對 C．6對 D．8對【變式1】．（2022上·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，直線AB、MN相交于一點O，，則∠COM的鄰補角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【變式2】．（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則的鄰補角是（

）A． B． C．和 D．和題型三：利用鄰補角互補求角度【例3】．（2023下·上?！て吣昙夒A段練習）如圖所示，直線、相交于，，則直線與直線所夾的銳角是．【變式1】．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）已知，與互為鄰補角，且，那么為度【變式2】．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝度．【變式3】．（2023下·上海嘉定·七年級校考期中）如圖，已知DE//BF，AC平分∠BAE，，那么∠ACF的度數(shù)是多少？（完成以下說理過程）解：因為（________），（已知），所以∠BAE＝________（等式性質(zhì)）．又因為AC平分∠BAE（已知），所以（_______），所以（等式性質(zhì)）．題型四：對頂角的定義【例1】．（2022下·上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）下列所示的四個圖形中，和是對頂角的圖形有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【變式1】．（2020下·七年級?？颊n時練習）下列說法中：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等．不正確的有（

）A．①② B．②③ C．②④ D．④③【變式2】．（2021下·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W?？计谥校?條不重合的直線相交于一點，構(gòu)成的對頂角共有對．題型五：對頂角相等【例5】．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點O，若∠AOD＝150°，則∠BOC＝度．【變式1】．（2023下·七年級單元測試）如果直線與直線交于點，且，，這兩條直線的夾角是度．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）如圖，AB、CD交于點O，若，射線OE平分∠AOC，那么∠EOD=度．【變式3】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）小明同學做一道幾何題時，不小心漏了一些內(nèi)容，請你把空缺之處填完整：題目如下：如圖，直線交于O，平分，求的度數(shù)．小徐的解答如下：解：∵，（已知）∴________（等式性質(zhì)）∵（

）∴__________________（等量代換）∵平分（已知）∴____________（角平分線的意義）∴（

）題型六：相交線【例6】．（2023上·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）平面上的三條直線最多可將平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【變式】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點的個數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45題型七：垂線的定義理解【例7】．（2023下·七年級單元測試）如圖，，垂足為，為過點的一條直線，若，則．【變式1】．（2023下·上海閔行·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，直線平分，則【變式2】．（2023下·上海徐匯·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線相交于點，，，那么的度數(shù)是度．【變式3】．（2023下·上海寶山·七年級?？茧A段練習）如圖，直線與相交于點，平分，．已知，求的度數(shù)．

題型八：畫垂線【例8】．（2023下·七年級單元測試）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對【變式】．（2023下·上海寶山·七年級?？茧A段練習）作圖：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）如圖，外有一點，畫出點到三角形三邊的垂線分別交于點、、．

題型九：垂線段最短【例9】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，A是直線l外一點，過點A作AB⊥l于點B，在直線l上取一點C，連結(jié)AC，使AC＝2AB，P在線段BC上連結(jié)AP．若AB＝3，則線段AP的長不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【變式1】．（2023下·七年級單元測試）如圖，把水渠中的水引到水池C，先過C點向渠岸AB畫垂線，垂足為D，再沿垂線CD開溝才能使溝最短，其依據(jù)是．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸B處開始挖渠才能使水渠的長度最短，請作出圖形，并說明這樣做依據(jù)的幾何學原理．【變式3】．（2023下·七年級單元測試）按照要求完成下列問題：如圖，直線和相交于點，點為上一點．（1）過點作的垂線，交于點；（2）過點作的垂線，交于點；（3）比較線段和的大?。篲_____．題型十：點到直線的距離【例10】（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）下列圖形中，線段的長表示點到直線的距離是（）A． B． C． D．【變式1】．（2023下·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是邊上一點，且，下列說法中，錯誤的是（

）

A．直線與直線的夾角為60° B．直線與直線的夾角為90°C．線段的長是點D到直線的距離 D．線段的長是點B到直線的距離【變式2】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）如圖，點A到直線的距離是線段的長度，直線到直線的距離是線段的長度．

【變式3】．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，已知于，于，，，，，．則：(1)點到直線的距離為_________；(2)點到直線的距離為_________；(3)點到直線的距離為_________；(4)點到直線的距離為_________；(5)點到直線的距離為_________．【變式4】．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谥校┌聪铝幸螽媹D并填空：如圖，

(1)過點A畫出直線a的垂線，與直線a交于點C；過點B畫出直線a的垂線，與直線b交于點D；(2)如果直線，那么線段、長度的大小關(guān)系是：______（用“＞”、“＝”、“＜”連接），它們的長度都可以表示直線a、b之間的______．一、單選題1．（2023下·七年級單元測試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說法中，錯誤的是(

)A．點到的距離是線段的長 B．點到的距離是線段的長C．點到的距離是線段的長 D．點到的距離是線段的長2．（2023下·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，，點D到線段的距離指的是下列哪條線段的長度（

）

A． B． C． D．3．（2023下·七年級單元測試）如圖，直線AC和直線BD相交于點O，若∠1＋∠2＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（

）．A．100° B．115° C．135° D．145°4．（2023下·七年級單元測試）下列說法正確的是（

）A．相等的角是對頂角； B．鄰補角一定互補；C．互補的兩角一定是鄰補角； D．兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；5．（2023下·七年級單元測試）如圖AB，交于點O，，，平分，則下列結(jié)論：①圖中的余角有四個；②∠AOF的補角有2個；③為的平分線；④．其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④6．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）下列說法：①對頂角相等；②相等的兩角一定是對頂角；③如果兩個角不是對頂角，那么它們一定不相等；其中正確的說法有(

)A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題7．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，直線AB、CD相交于點O，EF⊥AB于點O，∠COE=50°，那么∠BOD=．8．（2023下·上海徐匯·七年級上海市第二初級中學?？茧A段練習）如圖，直線的夾角的度數(shù)是

9．（2023下·上海黃浦·七年級統(tǒng)考期中）若與是對頂角，與互余，且，那么．10．（2023下·上海奉賢·七年級校考期中）直線和相交于點，，那么這兩條直線的夾角是度11．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點D，那么點B到直線AD的距離是線段的長度．12．（2023下·七年級單元測試）若與是對頂角，與互余，且，那么．13．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，直線與直線交于點O，平分，已知∠，那么度．14．（2023下·七年級單元測試）若與是對頂角，與互余，且，那么．15．（2023下·上海·七年級專題練習）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝°．16．（2023下·上海松江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線、交于點，，，則．17．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，直線相交于點O．已知把分成兩個角，且，將射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，若時，的度數(shù)是．18．（2023下·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤舻膶斀鞘?，的鄰補角是，的余角是，若，則．三、解答題19．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖：直線AB和CD相交于點O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）