2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）第6章 反比例函數(shù)（壓軸題專練）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（北師大版）

反比例函數(shù)（壓軸題專練）題型01：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題1．定義：把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點．如圖，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)相交于整點A，與一次函數(shù)相交于整點B、C，正比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于點D，線段與線段上的整點個數(shù)之比記作．

(1)當(dāng)時，求D點的坐標(biāo)和m值．(2)當(dāng)線段BC上的整點個數(shù)為7，時，求t的值．(3)當(dāng)時，請直接寫出t與m之間的關(guān)系式．【答案】(1)D（），(2)10(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】（1）聯(lián)立方程組求解可得，根據(jù)點為整點，可得，代入，求得，與聯(lián)立，可求得，再通過聯(lián)立求解可得，，即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得，必為整點，即為偶數(shù)，由，可得，，進(jìn)而推出，，建立方程求解即可得出答案；（3）當(dāng)時，線段上有2個整點：設(shè)D（d，d），，，進(jìn)而得出，建立方程求解即可求得；當(dāng)時，線段上只有1個整點，設(shè)，則線段上有個整點，線段上有個整點，得出，，可推出，再把點的坐標(biāo)代入，即可得出．【解析】（1），，由，解得：，，點為整點，且點的橫坐標(biāo)是小于2的正整數(shù)，點的橫坐標(biāo)為1，，把代入，得，解得：，，聯(lián)立得，解得：，，，由，解得：，，，線段上整點有1個：，線段上整點有4個：，，，．；（2）線段上的整點個數(shù)為7，，必為整點，為偶數(shù)，，，，，線段上有3個整點，，，，，解得：；（3）當(dāng)時，線段AD上整點個數(shù)為2，即A、D兩點，∴線段BC上整點個數(shù)為2m，由對稱可知，BD上整點個數(shù)為，設(shè)D（d，d），則，又∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時，線段AD上只有一個整點A，∴線段BC上整點個數(shù)為m，由對稱BD上整點個數(shù)為，設(shè)A（a，a），則B，∴，∴，∴，即；綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，抓住圖象中的交點及其他特殊點的坐標(biāo)和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與雙曲線交于點，點是雙曲線上的動點，橫坐標(biāo)為，作軸交直線于點，連接、．

(1)求a、b的值；(2)求的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；(3)當(dāng)四邊形為平行四邊形時，連接，并將直線向上平移個單位后與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，與直線交于點，設(shè)、、三點的橫坐標(biāo)分別為、、，是否存在正實數(shù)使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)，有最大值；(3)存在，．【分析】（1）將代入，求出的值，將代入，求的值即可；（2）由題意可得，，可求，則當(dāng)時，有最大值；（3）由四邊形為平行四邊形，求出，再由待定系數(shù)法求直線的解析式，則平移后的直線解析式為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，再聯(lián)立方程組，可求，則，由題意可得方程，求的值即可．【解析】（1）解：在直線上，，，將點代入，；（2）解：點橫坐標(biāo)為，，軸，，，，當(dāng)時，有最大值；（3）解：存在正實數(shù)使得等式成立，理由如下：四邊形為平行四邊形，，令，則，，，，解得或，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，平移后的直線解析式為，聯(lián)立方程組，整理得，，，，，聯(lián)立方程組，解得，，，，，解得或，是正實數(shù)，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．3．圖形的平移變換、對稱變換等是研究幾何圖形常用方法，小明同學(xué)用平移變換和對稱變換對直線和曲線進(jìn)行了探究：探究一：如圖1，當(dāng)直線l與曲線c有且只有一個交點時，n的值是多少？探究二：如圖2，直線l與曲線c交于A，B兩點，當(dāng)時，x的取值范圍是；直線與曲線c和直線l分別交于E，G兩點，則與的比值是多少？探究三：如圖3，將曲線c沿直線l翻折得另一曲線，直線與兩條曲線分別交于E，F(xiàn)兩點，若，則n的值是多少？請完成小明提出的以上三個探究，并寫出探究過程．

【答案】探究一：；探究二：；探究三：【分析】探究一：聯(lián)立直線l與曲線c解析式得到對應(yīng)的一元二次方程，根據(jù)只有一個交點得到一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此求解即可；探究二：利用圖象法求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出n的值，進(jìn)一步求出E，G的坐標(biāo)，利用勾股定理求出的長即可得到答案；探究三：如圖所示，設(shè)直線l分別與x軸，y軸，直線交于H，G，T，求出，進(jìn)而證明，再證明，得到，即，則E、F關(guān)于直線l對稱，進(jìn)而得到，設(shè)，推出，，則，即可求出，，再根據(jù)，得到，解方程即可得到答案．【解析】解：探究一：聯(lián)立得：，∵直線l與曲線c有且只有一個交點，∴關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得，當(dāng)時，原方程為，解得，不符合題意；當(dāng)時，原方程為，解得，符合題意；∴；探究二：設(shè)，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線l的函數(shù)圖象在曲線c的函數(shù)圖象上方時，自變量的取值范圍為，∵當(dāng)時，x的取值范圍是，∴，聯(lián)立得：，∵直線l與曲線c交于A，B兩點，∴方程的兩個實數(shù)根分別為，∴，∴直線l的解析式為，∴，∴；聯(lián)立，解得，∴；聯(lián)立，解得或，∴，∴，∴；探究三：如圖所示，設(shè)直線l分別與x軸，y軸，直線交于H，G，T，在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，又∵，∴，又∵直線平分，∴，∴，即，∴E、F關(guān)于直線l對稱，∴，設(shè)，聯(lián)立得：，聯(lián)立，解得，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得（此時直線l與曲線c只有一個交點）（舍去）或．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理，解一元二次方程，正確通過聯(lián)立對應(yīng)的解析式，從而表示出對應(yīng)的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知線段，，，現(xiàn)將線段沿y軸方向向下平移得到線段．直線過M、N兩點，且M、N兩點恰好也落在雙曲線的一條分支上，

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)①直接寫出不等式的解集；②若點P是y軸上一點，且的面積為8.5，請直接寫出點P的坐標(biāo)；(3)若點，在雙曲線上，試比較和的大?。敬鸢浮?1)y，；(2)①或；②或；(3)當(dāng)或時，；當(dāng)時，．【分析】（1）設(shè)線段沿y軸方向向下平移t個單位得到線段，則點M、N的坐標(biāo)分別為、，將點M、N的坐標(biāo)代入，得：，解得，再將點M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點M、N的坐標(biāo)，即可求解；②設(shè)直線MN與y軸的交點為C，先求出，再根據(jù)，求出的長，即可得到點P的坐標(biāo)；（3）將點C、D的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，，則，根據(jù)a的取值分情況討論即可求解．【解析】（1）設(shè)線段沿y軸方向向下平移t個單位得到線段，點M、N的坐標(biāo)分別為、，將點M、N的坐標(biāo)代入得：，解得：，點M、N的坐標(biāo)分別為、，，反比例函數(shù)的解析式為：y，將點M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，得，解得：，一次函數(shù)解析式為：；（2）①觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方部分即為不等式解集，不等式的解集為或；②設(shè)直線與y軸的交點為C，令，則，∴如圖，當(dāng)點P在點C上方時，,的面積為8.5，∴解得，；如圖，當(dāng)點在點C下方時，同理可得，，，綜上可知，點P的坐標(biāo)為或；

（3）將點，分別代入反比例函數(shù)，得：，，則，當(dāng)時，即或時，；當(dāng)時，即時，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．5．如圖所示，直線的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)交于的C，且B為線段的中點，向上平移直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點D，點E為x軸負(fù)半軸上一點，四邊形為平行四邊形．

(1)若，則點C的坐標(biāo)為_______，反比例函數(shù)的表達(dá)式為_______；(2)在（1）的條件下，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)平行四邊形的面積等于30時，求的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）首先根據(jù)直線的解析式求出和的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式可得點的坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)解析式；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，利用可得點的坐標(biāo)，再利用平移知，相同，從而解決問題；（3）根據(jù)的面積等于30，得的面積為30，由題意可得，，，再由（2）同理可得點的坐標(biāo)，從而表示出，進(jìn)而解決問題．【解析】（1）解：當(dāng)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，為線段的中點，，反比例函數(shù)過點，，，故答案為：，；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，則軸，

∴，在平行四邊形中，，，∴，∴，又，，∴，，，由（1）知，，，，，，，把代入中，得，，設(shè)直線為，直線由直線平移得到，，將代入中，得，，直線的解析式為為；（3）的面積等于30，的面積為15，點是的中點，的面積為30，由可得：，，∵B為線段的中點，∴，將代入中，得：，同（2）可得，，把代入中，得：，，，，的面積為30，，即，．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，利用由特殊到一般類比的數(shù)學(xué)思想是解決問題（3）的關(guān)鍵．題型02：反比例函數(shù)與幾何-存在性問題6．如圖，直線與雙曲線交于A，兩點，點A的坐標(biāo)為，點是雙曲線第一象限分支上的一點，連結(jié)并延長交軸于點，且．

(1)求的值，并直接寫出點的坐標(biāo)；(2)點是軸上的動點，連結(jié)，，求的最小值和點坐標(biāo)；(3)是坐標(biāo)軸上的點，是平面內(nèi)一點，是否存在點，，使得四邊形是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，點P的坐標(biāo)為或【分析】（1）將代入直線解析式，可求出m，即可求出答案；(2)如圖1，作軸于點E，軸于點F，則，，利用相似三角形性質(zhì)即可求得，作點B關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸于點G，則即為的最小值，運用勾股定理即可求得答案；(3)分兩種情況討論：P在x軸上，P在y軸上，利用相似進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：將點A的坐標(biāo)為代入直線中，得，解得：，，，∴反比例函數(shù)解析式為，由，解得或，∴點B的坐標(biāo)為；（2）解：如圖，作軸于點E，軸于點F，則，

，，，，，，，，，作點B關(guān)于y軸的對稱點，連接交y軸于點G，則即為的最小值，，，，設(shè)的解析式為，，，解得：，解析式為，當(dāng)時，，；（3）解：存在．理由如下：當(dāng)點P在x軸上時，如圖，

設(shè)點的坐標(biāo)為，過點B作軸于點M，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，經(jīng)檢驗符合題意，∴點的坐標(biāo)為；當(dāng)點P在y軸上時，過點B作軸于點N，如圖2，設(shè)點的坐標(biāo)為，四邊形是矩形，，，，，，即，，經(jīng)檢驗符合題意，∴點的坐標(biāo)為，綜上所述，點P的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，軸對稱性質(zhì)，線段和的最小值問題，矩形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能利用軸對稱解決線段和的最小值問題，能用分類討論的思想解決問題．7．綜合與實踐如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，把線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點C作軸于點D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，與直線交于兩點E和F．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖2，若點E的橫坐標(biāo)是1，點F的縱坐標(biāo)是．①直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系和當(dāng)時，x的取值范圍；②連接和，求的面積；(3)當(dāng)點M在x軸上運動，點N在反比例函數(shù)的圖象上運動，以點A，D，M和N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①或；②15(3)或或．【分析】（1）證明，得到點，進(jìn)而求解；（2）①觀察函數(shù)圖象即可求解；②由的面積，即可求解；（3）當(dāng)是平行四邊形的對角線時，由中點坐標(biāo)公式和列出表達(dá)式，即可求解；當(dāng)是對角線時，同理可解．【解析】（1）對于，令，解得，令，則，即點、的坐標(biāo)分別為、，，，，，，，，，點，將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故反比例函數(shù)表達(dá)式得：；（2）當(dāng)時，，即點，同理可得，點，①由點、、的坐標(biāo)知，，即，觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)時，的取值范圍為：或；②延長交軸于點，設(shè)交軸于點，

設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故直線的表達(dá)式為：，即點；同理可得，直線的表達(dá)式為：，即點，則，，，則的面積；（3）設(shè)、，，當(dāng)是平行四邊形的對角線時，由中點坐標(biāo)公式和得：，解得；即點；當(dāng)是對角線時，同理可得：，解得，即點；當(dāng)是對角線時，同理可得：，解得：，故點；綜上，點的坐標(biāo)為：或或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解方程，三角形全等，面積的計算，待定系數(shù)法求解析式，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用知識．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點，點P是反比例函數(shù)的圖象上一動點，過點P作直線軸交直線于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，且，連接(1)求k，b的值.(2)當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點P的坐標(biāo).(3)設(shè)的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)或，【分析】（1）將點B代入求得進(jìn)而求得將A點坐標(biāo)代入求得n；（2）表示出的長，根據(jù)求得進(jìn)而得出點P的坐標(biāo)；（3）分為是邊，點D在x軸正半軸上和在負(fù)半軸上，以及為對角線．當(dāng)為邊時，點D在x軸正半軸上時，過點C作軸，作，證明，進(jìn)而得出，從而求得t的值，另外兩種情況類似方法求得．【解析】（1）∵直線過點，∴，∴，∵直線過點，∴，∴，∵過點，∴；（2）∵點P的橫坐標(biāo)為t，∴，∴∴，∵，又，∴，∴，∴；（3）如圖1，∵，，∴當(dāng)是邊，點D在x軸正半軸上，作于F，作于G，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），∴如圖2，當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時，由上知：，∴，∴，當(dāng)是對角線時，當(dāng)是對角線時，點D在x軸負(fù)半軸上時，可得：，∴，∴，∴，如圖4，，∴，∴，（舍去），當(dāng)時，，∴，綜上所述：或，.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)系．9．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點A的橫坐標(biāo)是，點A關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為點B，作直線．

(1)判斷點B是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(2)如圖1，過坐標(biāo)原點O作直線交反比例函數(shù)的圖象于點C和點D，點C的橫坐標(biāo)是4，順次連接，，和．求證：四邊形是矩形；(3)已知點P在x軸的正半軸上運動，點Q在平面內(nèi)運動，當(dāng)以點O，B，P和Q為頂點的四邊形為菱形時，請直接寫出此時點P的坐標(biāo)．【答案】(1)點B在反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析(2)證明見解析(3)點P的坐標(biāo)為或或【分析】（1）求出點的坐標(biāo)，判斷即可；（2）證明，，推出四邊形是平行四邊形，再證明，可得結(jié)論；（3）分三種情況：當(dāng)四邊形是菱形時，；當(dāng)四邊形是菱形時，；當(dāng)四邊形是菱形時，．【解析】（1）解：結(jié)論：點B在反比例函數(shù)的圖象上．理由：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，點A的橫坐標(biāo)是，∴，∵A，B關(guān)于原點對稱，∴，∵時，，∴點B在反比例函數(shù)的圖象上；（2）證明：由題意，，，∵C，D關(guān)于原點對稱，∴，∵A，B關(guān)于原點對稱，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴四邊形是矩形；（3）解：如圖，當(dāng)四邊形是菱形時，．當(dāng)四邊形是菱形時，．當(dāng)四邊形是菱形時，，綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．題型03：反比例函數(shù)與幾何-最值問題10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象交于點，其中，點A在x軸的正半軸上，點的坐標(biāo)為，過點C作軸于點H．

(1)已知一次函數(shù)的圖象過點O，B，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點P是線段上的一點，滿足，連接，過點作軸于點，記的面積為，設(shè)①用t表示T（不需要寫出t的取值范圍）；②當(dāng)T取最小值時，求m的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）①過點B作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，得到，設(shè)，易得，解，求出的長，進(jìn)而求出，的長，解，求出的長，即可得解；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點坐標(biāo)，即可得解．【解析】（1）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，∴，∴．（2）①過點B作，則：，，

∵軸，軸，∴，∴，設(shè)，∵，∴，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②∵，∴當(dāng)時，取得最小值，∴，∴，∴．【點睛】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到等腰三角形性質(zhì)、解直角三角形、一次函數(shù)等知識，其中（2），確定點C的坐標(biāo)，是本題解題的關(guān)鍵．11．【思路點撥】：如圖1，點是點關(guān)于直線的對稱點，分別過點，作軸，軸的垂線，垂足為，，連結(jié)，，．可以利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明，從而由點的坐標(biāo)可求點的坐標(biāo)．【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點橫坐標(biāo)為，且在函數(shù)的圖象上．

(1)求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)．(2)若點的坐標(biāo)為，點是直線．上的任意一點，連結(jié)，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別過點，作軸，軸的垂線，垂足為，，連結(jié)，，．設(shè)交直線于點，作軸于點，由軸對稱的性質(zhì)得，，則，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，求得點的坐標(biāo)，即可求解；（2）連結(jié)，交直線于點，連結(jié)，此時為最小值，分別過點，作軸的垂線，垂足為，，過點作的垂線，垂足為．根據(jù)矩形的判定可得四邊形是矩形，推得，，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：（1）分別過點，作軸，軸的垂線，垂足為，，連結(jié)，，．設(shè)交直線于點．作軸于點，如圖1：

∵點，關(guān)于直線對稱，∴直線是線段的中垂線，∴，，∴，∵點在直線上，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵點的橫坐標(biāo)為，且點在函數(shù)的圖象上，故將代入，解得：，∴點坐標(biāo)為，∴，．∴點坐標(biāo)為．（2）解：如圖2，連結(jié)，交直線于點，連結(jié)，此時為最小值，分別過點，作軸的垂線，垂足為，，過點作的垂線，垂足為．

∵由（1）知點坐標(biāo)為，∴，．∵點的坐標(biāo)為，∴，∴．∵，∴四邊形是矩形．∴，，∴．即的最小值為．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04：反比例函數(shù)與幾何-動態(tài)幾何12．在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)后，小華在同一個平面直角坐標(biāo)系中畫出了和的圖像，兩個函數(shù)圖像交于兩點，在線段上選取一點P，過點P作y軸的平行線交反比例函數(shù)圖像于點Q（如圖1），在點P移動的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度隨著點P的運動而變化．為了進(jìn)一步研究的長度與點P的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，小華提出了下列問題：

(1)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，的長度為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為______；(2)為了進(jìn)一步研究（1）中的函數(shù)關(guān)系，決定運用列表，描點，連線的方法繪制函數(shù)的圖像：①列表：x123469y0m4n0表中m＝______，n＝______；②描點：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖2中描出各點；③連線：請在圖2中畫出該函數(shù)的圖像．觀察函數(shù)圖像，當(dāng)______時，y的最大值為______．(3)①已知某矩形的一組鄰邊長分別為m，n，且該矩形的周長W與n存在函數(shù)關(guān)系，求m取最大值時矩形的對角線長．②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，點M為反比例函數(shù)上的任意一點，過點M作軸于點C，軸于點D．求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)①，；②見解析；③3，4(3)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，點P的橫坐標(biāo)為x，PQ的長度為y，可得根據(jù)的長等于縱坐標(biāo)之差求解即可；（2）①根據(jù)表格數(shù)據(jù)分別將代入即可求得的值；②根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點即可；③根據(jù)函數(shù)圖象直接求解即可（3）由題意可知，，代入得：，即，根據(jù)的結(jié)論求得最大值，進(jìn)而求得對角線的長度；②先求出點，點坐標(biāo)，設(shè)點，可求,由四邊形面積列式，即可求解.【解析】（1）點P的橫坐標(biāo)為x，PQ的長度為y，可得；

故答案為：（2）①當(dāng)，當(dāng)時，故答案為：，；

②如圖所示，

③觀察函數(shù)圖象，當(dāng)時，有最大值為，故答案為:；（3）①根據(jù)題意可得代入中，可以得到，即，由可知函數(shù)在時,取得最大值為，∴當(dāng)時,,即取得最大值，，∴在取得最大值時，矩形的對角線長為②∵直線與坐標(biāo)軸分別交于點,∴點,點，設(shè)點，∴,點，，∵四邊形面積由得,當(dāng)時,有最大值為，即有最小值，∴四邊形面積的最小值為.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，畫函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，矩形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．已知點在反比例函數(shù)的圖像上，點在軸上，連接，如圖1，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至點，點正好落在軸上．

(1)求的值和點的坐標(biāo)；(2)若點在反比例函數(shù)圖像上，連接并延長至點，使得，連接、，①如圖2，連接并延長交軸于點，當(dāng)軸時，試說明平分；②如圖3，連接交于點，將沿著翻折，記點的對應(yīng)點為，若點恰好落在線段上，求與面積之比．【答案】(1)，(2)①見解析；②2【分析】（1）過點M作軸于點A，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，可證得，得出，進(jìn)而可得，求得，由，可得；（2）①過點E作軸于點F，過點H作于點G，則，由軸，可得，，由，可得，由，可得，再證得是等腰直角三角形，即，可得平分；②由折疊性質(zhì)可得，，證得四邊形是正方形，得出，，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，聯(lián)立方程組可得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得．【解析】（1）如圖1，過點M作軸于點A，則，

∵將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至點，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①證明：如圖2，過點E作軸于點F，過點H作于點G，則，

∵，軸，∴，，∴，∵連接并延長至點E，使得，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴平分；②解：∵將沿著翻折，點H的對應(yīng)點為恰好落在線段上，∴，，

∵，∴，∵，∴四邊形是正方形，∵，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：（舍去），，∴，∵，∴∵，∴．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形、正方形的判定和性質(zhì)，三角形面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．14．如圖1，在線段上找一點，把分成和兩段，且滿足，則我們稱點為線段的品質(zhì)點，他們的比們叫做品質(zhì)數(shù)，記為．即：．顯然，品質(zhì)數(shù)與線段的長度無關(guān)，是一個定值．

(1)求的值；(2)如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形的頂點與坐標(biāo)原點重合，邊分別在軸、軸上，點為線段中點，連接，點為線段上一點，使得沿所在直線折疊后點與上的點重合．求證：是線段的品質(zhì)點；(3)在（2）的條件下，如圖3，已知點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，并與過點的反比例函數(shù)分別交于兩點(其中)，若為線段的品質(zhì)點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）設(shè)，，則，根據(jù)題意建立方程即可求解；（2）連接，設(shè)，則，，在中，，在中，，解方程得出，則，即可得證；（3）依題意得出，反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，消去得，，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則是的兩個根，則，，得出，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行線分線段成比例得出，進(jìn)而得出，即，設(shè)，則，，得出，根據(jù)點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，得出，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）解：設(shè)，，則，∵，∴∴∵，∴解得：（舍去）或，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴；（2）解：如圖所示，連接，

∵正方形的邊長為，依題意，，∴，∵折疊，∴，，∴，設(shè)，則，，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴是線段的品質(zhì)點；（3）解：∵∴代入，∴反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，消去得，，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則是的兩個根，∴，∴如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為

∴，∴，∵為線段的品質(zhì)點，，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，，∴，∵點為線段上一動點，一次函數(shù)經(jīng)過點，由（2）可得，∴，∴，則，∵，，∵，∴；又∵，，∴，綜上所述，．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，坐標(biāo)與圖象，平行線分線段成比例，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，不等式的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型05：反比例函數(shù)新定義題15．中國象棋棋盤上雙方的分界處也稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻軍對壘的分界線，數(shù)學(xué)中為了對兩個圖形進(jìn)行分界，在平面直角坐標(biāo)系中，對“楚河漢界線”給出如下定義：點P是圖形上的任意一點，點Q是圖形上的任意一點，若存在直線L：滿足且，則稱直線L：是圖形與的“楚河漢界線”．例如：如圖1，直線l：是函數(shù)的圖象與正方形的一條“楚河漢界線”．

(1)在直線①，②，③，④中，是圖1函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”的有___________（填序號）：(2)如圖2，第一象限的等腰直角的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點D的坐標(biāo)是，與的“楚河漢界線”有且只有一條，求出此“楚河漢界線”的表達(dá)式；(3)正方形的一邊在y軸上，其他三邊都在y軸的右側(cè)，點M是此正方形的中心，若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“楚河漢界線”，求t的取值范圍．【答案】(1)①、④(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義，結(jié)合圖象，可判斷出與雙曲線及正方形有一個公共點的直線為，沒有公共點的直線為，根據(jù)“楚河漢界線”定義，即可解答；（2）先作出以原點O為圓心且經(jīng)過的頂點D的圓，再過點D作的切線，求出該直線的解析式即可；（3）先由拋物線與直線組成方程組，則該方程組有唯一一組解，再考慮直線與正方形有唯一公共點的情形，數(shù)形結(jié)合，分類討論，求出t的取值范圍．【解析】（1）如圖所示，

從圖中可知與雙曲線及正方形沒有公共點，與雙曲線及正方形只有一個公共點，、不在雙曲線及正方形之間，根據(jù)“楚河漢界線”定義可知，直線、是雙曲線及正方形的“楚河漢界線”，故答案為①、④；（2）如圖1，連接，以O(shè)為圓心，長為半徑作，作軸于點G，過點D作的切線，則，∵D的坐標(biāo)是，∴，∴直線是與的“楚河漢界線”，∵，∴，，∴，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴與的“楚河漢界線”的表達(dá)式是；（3）由得，∵直線與拋物線有唯一公共點，∴，∴，解得；，∴此時的“楚河漢界線”為，當(dāng)正方形在“楚河漢界線”上方時，如圖：

∵是此正方形的中心，∴頂點，∵頂點不能在直線下方，∴，即，當(dāng)正方形在“楚河漢界線”下方時，如圖：

對于函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴直線恰好經(jīng)過點和點，對于直線，當(dāng)時，，由不能在直線上方，，即，綜上所述，或．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元二次方程組．一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限中，當(dāng)，為正整數(shù)時：

將反比例函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點叫做“雙曲格點”，記作，例如，點表示圖象上橫坐標(biāo)為的點，故點的坐標(biāo)為．把的圖象沿著軸平移或以平行于軸的直線為對稱軸進(jìn)行翻折，將得到的函數(shù)圖象叫做它的“派生曲線”，例如，圖中的曲線是圖象的一條“派生曲線”．(1)①“雙曲格點”的坐標(biāo)為；②若線段的長為，則．(2)若“雙曲格點”，的縱坐標(biāo)之和為，求線段的長；(3)圖中的曲線是圖象的一條“派生曲線”，且經(jīng)過點，則的函數(shù)表達(dá)式為；(4)已知圖象的“派生曲線”經(jīng)過“雙曲格點”，且不與的圖象重合，試在圖中畫出的位置(先描點，再連線)【答案】(1)①，②7(2)4(3)(4)見解析【分析】（1）①]表示圖象上橫坐標(biāo)為的點，即可解決問題．②根據(jù)兩點間距離公式即可解決問題．（2）列出方程即可解決問題．（3）由題意曲線是圖象的向上平移所得，設(shè)向上平移個單位，曲線解析式為，把代入得到，，即可求解．（4）由題意圖象的“派生曲線”是由沿直線翻折得到，由此畫出圖象．【解析】（1）解：①∵]表示圖象上橫坐標(biāo)為的點，∴的坐標(biāo)為．②由題意，∵是正整數(shù)，∴，故答案為，．（2）由題意的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，∴解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解．∴的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，∴線段的長為．（3）∵曲線是圖象的一條“派生曲線”，且經(jīng)過點，∴曲線是圖象的向上平移所得，設(shè)向上平移個單位，∴曲線解析式為，把代入得到，，∴f的函數(shù)表達(dá)式為．（4）∵圖象的“派生曲線”經(jīng)過“雙曲格點”，且不與的圖象重合，∴圖象的“派生曲線”是由沿直線翻折得到，∴圖象的“派生曲線”經(jīng)過，，∴圖象的“派生曲線”的圖象如圖所示，

【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用方程的思想思考問題．17．類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，某數(shù)學(xué)實驗小組嘗試探究“的函數(shù)圖像與性質(zhì)”，進(jìn)行了如下活動．(1)【小組合作：討論交流】同學(xué)甲說：“我們可以從表達(dá)式分析，猜想圖像位置．”同學(xué)乙回應(yīng)道：“是的，因為自變量的取值范圍是，所以圖像與軸不相交．”同學(xué)丙補(bǔ)充說：“又因為函數(shù)值大于0，所以圖像一定在第象限．”……(2)【獨立操作：探究性質(zhì)】在平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖像．

結(jié)合圖像，描述函數(shù)圖像與性質(zhì)：①函數(shù)的圖像是兩條曲線；②該函數(shù)圖像關(guān)于______________對稱；③圖像的增減性是__________________；④同學(xué)丁說：“將第二象限的曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后，與第一象限的曲線重合．”請你判斷同學(xué)丁的說法是否正確？若錯誤，舉出反例；若正確，請說明理由．(3)【拓展探究：綜合應(yīng)用】直接寫出不等式的解集是____________________．【答案】(1)；一、二(2)畫圖見解析；軸；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減少；同學(xué)丁的說法是正確的，證明見解析(3)或或【分析】（1）根據(jù)的的取值進(jìn)行解答即可；（2）通過列表、描點、連線即可得出函數(shù)圖像，再根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行解答即可②③，通過取第二象限的曲線點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，過作軸于，軸于，可得，，，即可得出在的第一象限的曲線上；（3）通過解方程組，再結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案．【解析】（1）解：∵，∴，∴因為自變量的取值范圍，所以圖像與軸不相交．因為函數(shù)值大于0，所以圖像一定在第一、二象限．”故答案為：；一、二；（2）列表得：描點并連線得：

根據(jù)函數(shù)圖像可得：①函數(shù)的圖像是兩條曲線；②該函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱；故答案為：軸；③圖像的增減性是：當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減少；故答案為：當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減少；④同學(xué)丁的說法是正確的，理由如下：取第二象限的曲線點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，過作軸于，軸于，

∴，，，，∴∴，∴，∴，∴，∴在的第一象限的曲線上，故將第二象限的曲線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后，與第一象限的曲線重合，說法正確．（3）∵，∴或或，∴不等式的解集是：或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的畫法，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、旋轉(zhuǎn)等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是___________；(2)點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點A，B是拋物線上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A，B的坐標(biāo)，再求出頂點C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【解析】（1）∵矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢之點”滿足，，∴點，是矩形“夢之點”，點不是矩形“夢之點”，故答案為：，；（2）∵點是反比例函數(shù)圖象上的一個“夢之點”，∴把代入得，∴，∵“夢之點”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢之點”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點A，B是拋物線上的“夢之點”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．題型06：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用19．綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．

【問題提出】小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)．如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線：的交點坐標(biāo)為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．

（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由．【問題延伸】當(dāng)木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應(yīng)用】小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，求出交點坐標(biāo)，即可解答；（2）根據(jù)得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；（4）根據(jù)存在交點，得出方程有實數(shù)根，根據(jù)根的判別式得出，再得出反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，，則當(dāng)與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據(jù)圖象，即可寫出取值范圍．【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)，直線：，∴聯(lián)立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點坐標(biāo)為和，當(dāng)木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數(shù)圖象沒有交點，∴不能圍出面積為的矩形；（3）如圖中直線所示，即為圖象，將點代入，得：，解得；

（4）根據(jù)題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題，即方程有實數(shù)根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，把代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點，令，，過點，分別作直線的平行線，由圖可知，當(dāng)與圖象在點A左邊，點B右邊存在交點時，滿足題意；

把代入得：，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意得出等量關(guān)系，掌握待定系數(shù)法，會根據(jù)函數(shù)圖形獲取數(shù)據(jù)．20．某果農(nóng)今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市．根據(jù)其它相似產(chǎn)品的銷售經(jīng)驗，若設(shè)該水果上市第t天的銷售單價為（元/千克），則與之間滿足如下關(guān)系：t123456…P（元/千克）1206040302420…而該水果每天的銷售量（千克）與