人教版高中數(shù)學(xué)教案選修2-3教案 全冊

高中數(shù)學(xué)選修2-3修訂教案

1.1基本計數(shù)原理

(第一課時)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

(2)會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

(2)會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

一次集會共50人參加，結(jié)束時一，大家兩兩握手，互相道別，請你統(tǒng)計

一下，大家握手次數(shù)共有多少？

某商場有東南西北四個大門，當(dāng)你從一個大門進(jìn)去又從另一個大門出

來，問你共有多少種不同走法？

二、講解新課：

問題1春天來了，要從濟(jì)南到北京旅游，有三種交通工具供選擇：長途汽車、

旅客列車和客機(jī)。已知當(dāng)天長途車有2班，列車有3班。問共有多少種走法?

設(shè)問1：從濟(jì)南到北京按交通工具可分一類方法？

第一類方法，乘火車，有一種方法；

第二類方法，乘汽車，有一種方法；

...從甲地到乙地共有種方法

設(shè)問2：每類方法中的每種一方法有什么特征？

問題2：春天來了，要從濟(jì)南到北京旅游，若想中途參觀南開大學(xué)，已知從

濟(jì)南到天津有3種走法，從天津到北京有兩種走法；問要從濟(jì)南到北京共有

多少種不同的方法？

從濟(jì)南到北京須經(jīng)—再由到北京有一個步驟

第一步，由濟(jì)南去天津有一種方法

第二步，由天津去北京有一種方法，

設(shè)問2：上述每步的每種方法能否單獨(dú)實(shí)現(xiàn)從濟(jì)南村經(jīng)天津到達(dá)北京的目的?

1分類計數(shù)原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K種途徑，由第1種

途徑有nl種方法可以完成，由第2種途徑有n2種方法可以完成，……由第

k種途徑有nK種方法可以完成。那么，完成這件工作共有nl+n2+……+nK

種不同的方法。

1.標(biāo)準(zhǔn)必須一致,而且全面、不重不漏！

2“類”與“類”之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的即：它們兩兩的交集為

空集！

3每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有nl種不同

的方法，完成第2步有n2種不同的方法，……，完成第K步有nK種不同的

方法。那么，完成這件工作共有nlXn2X……XnK種不同方法

1標(biāo)準(zhǔn)必須一致、正確。

2“步”與“步”之間是連續(xù)的，不間斷的，缺一不可;但也不能重復(fù)、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分

且必須依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成。

三、例子

例1.書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的

文藝書，第3層放有2本不同的體育書，

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

解：(1)從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取

1本計算機(jī)書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法;

第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理，不同

取法的種數(shù)是4+3+2=9種.

所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步

從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術(shù)書，有

3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，

從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是4x3x2=24種.

所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法.

例2.一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個

數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)號碼？

解：每個撥號盤上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理，4個撥號盤

上各取1個數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個數(shù)是N=10xl0xl0xl0=10000,

所以，可以組成10000個四位數(shù)號碼.

例3.要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種

不同的選法？

解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1

名上日班，再選1名上晚班兩個步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法;

上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法.根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的

選法數(shù)是N=3x2=6種，6種選法可以表示如下：

日班晚班

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法.

例4,若分給你10塊完全一樣的糖，規(guī)定每天至少吃一塊，每天吃的塊數(shù)不

限，問共有多少種不同的吃法？n塊糖呢？

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個重要的計數(shù)原理及簡單應(yīng)用

課堂練習(xí):

課后作業(yè):

1.1基本計數(shù)原理

（第二課時）

教學(xué)目標(biāo)：

會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)重點(diǎn)：

會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1、分類計數(shù)原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k種途徑，由第

1種途徑有m種方法可以完成，由第2種途徑有出種方法可以完成，……

由第k種途徑有取種方法可以完成。那么，完成這件工作共有m+n2+……

+nk種不同的方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有m種

不同的方法，完成第2步有火種不同的方法，……，完成第K步有nK種不

同的方法。那么，完成這件工作共有mX&X……Xnk種不同方法

二、講解新課：

例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英

語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的

取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

例2在1?20共20個整數(shù)中取兩個數(shù)相加,使其和為偶數(shù)的不同取法共

有多少種？

解:取a+b與取是同一種取法.分類標(biāo)準(zhǔn)為兩加數(shù)的奇偶性，第一類，偶偶

相加，由分步計數(shù)原理得(10X9)/2=45種取法,第二類,奇奇相加,也有(10義

9)/2=45種取法.根據(jù)分類計數(shù)原理共有45+45=90種不同取法.

例3如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,

允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種

數(shù)為()

A.180B.160C.96D.60.

①

③④

②

圖二

若變?yōu)閳D二，圖三呢？(240種,5X4X4X4=320種)

例575600有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)？

解:75600的約數(shù)就是能整除75600的整數(shù),所以本題就是分別求能整除

75600的整數(shù)和奇約數(shù)的個數(shù).

由于75600=21X33X52X7

(1)75600的每個約數(shù)都可以寫成2，.3,67的形式，其中

0</<4,O<j<3,0<k<2,0</<1

于是,要確定75600的一個約數(shù),可分四步完成,即“上/分別在各自的范

圍內(nèi)任取一個值,這樣i有5種取法，，有4種取法，k有3種取法，/有2種取

法,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5X4X3X2=120個.

(2)奇約數(shù)中步不含有2的因數(shù)，因此75600的每個奇約數(shù)都可以寫成

3,67的形式，同上奇約數(shù)的個數(shù)為4X3X2=24個.

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個重要的計數(shù)原理的應(yīng)用

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.2.1排列

（第一課時）

教學(xué)目標(biāo)：

理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)

教學(xué)重點(diǎn)：

理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1、分類計數(shù)原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k種途徑，由第

1種途徑有川種方法可以完成，由第2種途徑有屯種方法可以完成，……

由第k種途徑有取種方法可以完成。那么，完成這件工作共有n1+n2+……

+nk種不同的方法。

2,乘法原理：如果完成一件工作可分為K個步驟，完成第1步有小種

不同的方法，完成第2步有3種不同的方法，……，完成第K步有nK種不

同的方法。那么，完成這件工作共有niXeX……Xnk種不同方法

二、講解新課：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加（加4〃）個元素（這里的被取元素各不相同）

按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出機(jī)個元素的一個排列.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相

同.

2.排列數(shù)的定義:

從〃個不同元素中，任取用(機(jī)《〃)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個

元素中取出加元素的排列數(shù)，用符號父表示.

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，

任取加個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同

元素中，任取機(jī)(機(jī)<〃)個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號4"只

表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo):

求A："以按依次填加個空位來考慮A：=n(n-l)(n-2)---(n-m+l),

笫1位第2位笫3位第m位

排列數(shù)公式:

A：-n(n-1)(H-2)???(72-m+1)=--:——(m.nGN\m<n)

(n-m)\

說明：(1)公式特征：第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個

少1,最后一個因數(shù)是加+1,共有機(jī)個因數(shù)；

(2)全排列：當(dāng)〃=加時即〃個不同元素全部取出的一個排列.

全排列數(shù)：然=〃(〃-1)(〃-2).-2.1=〃！(叫做n的階乘).

4.例子:

例1.計算：(1)4；(2)屋；(3)父.

解：(1)解=16X15X14=3360；

(2)A：=6!=720；

(3)A：=6x5x4x3=360.

例2.(1)若&'=17xl6xl5x…x5x4,貝!j〃=,m=.

(2)若〃eN,則(55-n)(56-〃)…(68-〃)(69-〃)用排列數(shù)符號表示.

解：(1)〃=17,m=14.

(2)若”eN,貝|J(55—n)(56—〃)…(68—”)(69—〃)=A^_n.

例3.(1)從2,3,5,7,11這五個數(shù)字中，任取2個數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分

數(shù)共有多少個？

(2)5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？

(3)某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊

在主客場分別比賽1次，共進(jìn)行多少場比賽？

解：(1)A；=5x4=20;

(2)6=5x4x3x2x1=120;

(3)4=14x13=182.

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念，排列數(shù)公式的推導(dǎo)

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.2.1排列

(第二課時)

教學(xué)目標(biāo)：

掌握解排列問題的常用方法

教學(xué)重點(diǎn)：

掌握解排列問題的常用方法

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取機(jī)（加4〃）個元素（這里的被取元素各不相同）

按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出〃，個元素的一個排列.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相

同.

2.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取加（機(jī)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個

元素中取出加元素的排列數(shù)，用符號4”表示.

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，

任取機(jī)個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同

元素中，任取加（加個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù).所以符號千只

表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

=”（〃一1）（〃一2）…（〃一機(jī)+1）（m,neN",m<n）

全排列數(shù)：1）（〃-2）…2.1=〃?。ń凶鰊的階乘）.

二、講解新課：

解排列問題問題時，當(dāng)問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用分類

法；當(dāng)問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱

作直接法.當(dāng)問題的反面簡單明了時一，可通過求差排除采用間接法求解；另

外，排列中“相鄰”問題可以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”

等.

解排列問題和組合問題，一定要防止“重復(fù)”與“遺漏”.

互斥分類——分類法

先后有序——位置法

反面明了——排除法

相鄰排列一一捆綁法

分離排列一一插空法

例1求不同的排法種數(shù)：

(1)6男2女排成一排，2女相鄰；

(2)6男2女排成一排，2女不能相鄰；

(3)4男4女排成一排，同性者相鄰；

(4)4男4女排成一排，同性者不能相鄰.

例2在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有多少個？

分析符合條件的奇數(shù)有兩類.一類是以1、9為尾數(shù)的，共有種選法，

首數(shù)可從3、4、5、6、7中任取一個，有PS，種選法，中間兩位數(shù)從其余的8

個數(shù)字中選取2個有Ps?種選法，根據(jù)乘法原理知共有P2RR2個；一類是以

3、5、7為尾數(shù)的共有P3RR2個.

，2112

解符合條件的奇數(shù)共有P2P5'PS+P3P1P8=1232個.

答在3000與8000之間，數(shù)字不重復(fù)的奇數(shù)有1232個.

例3某小組6個人排隊照相留念.

(1)若分成兩排照相，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？

⑵若分成兩排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須

在后排，有多少種排法？

⑶若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法？

⑷若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？

⑸若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相鄰有多少種

排法？

⑹若排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？

分析(1)分兩排照相實(shí)際上與排成一排照相一樣，只不過把第3?6個位子

看成是第二排而已，所以實(shí)際上是6個元素的全排列問題.

⑵先確定甲的排法，有P21種；再確定乙的排法，有P1種；最后確定其他人

的排法，有PJ種.因為這是分步問題，所以用乘法原理，有PJ?P「?P44種

不同排法.

(3)采用“捆綁法”，即先把甲、乙兩人看成一個人，這樣有P5,種不同排法.然

后甲、乙兩人之間再排隊，有P/種排法.因為是分步問題，應(yīng)當(dāng)用乘法原

理，所以有P』?Pz2種排法.

(4)甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各占一半，有P/種排法.

(5)采用“插入法”，把3個女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進(jìn)4張

椅子，如—女…女一女—，再把3個男生放到這4個位子上，就保

證任何兩個男生都不會相鄰了.這樣男生有P；種排法，女生有P3?種排法.因

為是分步問題，應(yīng)當(dāng)用乘法原理，所以共有P：?P；種排法.

(6)符合條件的排法可分兩類：一類是乙站排頭，其余5人任意排有P/種排

法；一類是乙不站排頭；由于甲不能站排頭，所以排頭只有從除甲、乙以外

的4人中任選1人有PJ種排法，排尾從除乙以外的4人中選一人有P7種排

法，中間4個位置無限制有PJ種排法，因為是分步問題，應(yīng)用乘法原理，

所以共有PJPJP；種排法.

6

解（l）P6=720U+）

（2）Pj?Pj?P4-2X4X24=192（^）

5

（3）P5?Pz2=120X2=240（種）

（4）PG6=360（種）

⑸P：?P3J24X6=144（種）

5l

（6）P5+PlP1'P4-l20+4X4X24=504（種）

5

或法二：（淘汰法）P6-2P5+P4-720-240+24=504（種）

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了排列、排列數(shù)的概念，排列數(shù)公式的推導(dǎo)

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.2.2組合

（第一課時）

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式；

2.能正確認(rèn)識組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別

教學(xué)重點(diǎn)：

理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加（加4〃）個元素（這里的被取元素各不相同）

按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出〃，個元素的一個排列.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相

同.

2.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取機(jī)（機(jī)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個

元素中取出“元素的排列數(shù)，用符號父表示.

注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，

任取加個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同

元素中，任取〃？（〃區(qū)〃）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號千只

表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.

3.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

A"'-"(〃一1)(〃一2)，??(〃―/"+1)(m,neN*,m<n)

全排列數(shù)：然=〃（〃-1）（〃-2）…2.1=〃?。ń凶鰊的階乘）.

二、講解新課：

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出加（加4〃）個元素并成一組，

叫做從〃個不同元素中取出機(jī)個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同.

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出加（〃?Wn）個元素的所有組合的個數(shù),

叫做從〃個不同元素中取出用個元素的組畬黎.用符號表示.

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

（1）一般地，求從〃個不同元素中取出勿個元素的排列數(shù)M，可以分如下

兩步：①先求從〃個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)C：;②求每一個組

合中勿個元素全排列數(shù)A；；,根據(jù)分步計數(shù)原理得：A：=C；：-A：；；.

（2）組合數(shù)的公式：

-…或仁=』—且….

例子:

1、計算：（1）6；（2）以；

7x6x5x4

(1)解：C”--------=3Q5r；

4!

10x9x8x7x6x5x4_

(2)解法1：C[=

7!

10x9x8

解法2：仁喘-------------1ZQUn?

3!

m+1cm+l

2、求證：C：

n-m

n\

證明：

m!(八一m)!

n-m11n-m(m+l)!(n-m-l)!(m+1)!(〃一團(tuán))(〃一加一1)!m!(n-m)!

?c"i_m+1?機(jī)+1

n-m

3、在52件產(chǎn)品中，有50件合格品，2件次品，從中任取5件進(jìn)行檢查.

(1)全是合格品的抽法有多少種？

(2)次品全被抽出的抽法有多少種？

(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少種？

(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少種？

4、名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實(shí)踐活動小組，問

組成方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別

有C：,c\-cl，

所以，一共有C：+C，C；+C：.C：=100種方法.

解法二：(間接法)c[c；=ioo?

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合的意義，組合數(shù)的計算公式

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.2.2組合

（第二課時）

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)；

2.進(jìn)一步熟練組合數(shù)的計算公式，能夠運(yùn)用公式解決一些簡單的應(yīng)用問

題.

教學(xué)重點(diǎn)：

掌握組合數(shù)的兩個性質(zhì)

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出〃［（加＜〃）個元素并成一

組，叫做從〃個不同元素中取出6個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同.

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出加（〃三〃）個元素的所有組合的

個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出機(jī)個元素的組合寥.用符號表示.

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

（1）一般地，求從〃個不同元素中取出勿個元素的排列數(shù)可以分如下

兩步：①先求從〃個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)C；;②求每一個組

合中勿個元素全排列數(shù)A；；,根據(jù)分步計數(shù)原理得：A：=

（2）組合數(shù)的公式：

C=丁=〃（〃-1）（〃-2）-6-加+1）或c，：=一一（〃命eN*,且腔〃）.

〃A：mlm\（n-tn）\

二、講解新課：

1.組合數(shù)的性質(zhì)1：c：=c；r.

一般地，從〃個不同元素中取出機(jī)個元素后，剩下”-m個元素.因為

從〃個不同元素中取出勿個元素的每一個組合，與剩下的n-加個元素的每

一個組合：二對廖，所以從〃個不同元素中取出〃個元素的組合數(shù)，等于從

這〃個元素中取出〃-勿個元素的組合數(shù)，即：C：=CL.在這里，主要體

現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想.

證明：cr=-------------=——

(n-fn)![n-(n-/n)]l加!(〃一“)！

Vrm4,/.C,n-Cn~m

說明：①規(guī)定：C°=1;

②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；

③C；=C；=x=y或x+y=〃.

2.組合數(shù)的性質(zhì)2：C；\=C：+C：i.

一般地，從即的，…，%+1這91個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)是

C；%,這些組合可以分為兩類：一類含有元素外,一類不含有外.含有外的

組合是從的,%，…，見川這n個元素中取出勿T個元素與小組成的，共有C：：i個;

不含有為的組合是從。2,%，…，??+1這n個元素中取出勿個元素組成的，共有C：

個.根據(jù)分類計數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì).在這里，主要體現(xiàn)

從特殊到一般的歸納思想，”含與不含其元素”的分類思想.

證明：C"+c,,,_|=〃！+______-______="!(〃-m+D+”!力

(m-l)![n-(m-l)]!ml(n-機(jī)+1)!

(n—m+\+m)nl(n+1)!_

=-----------=----------=Cn+l

ml(n-/n+l)!+

??c〃+i—c“十c”,

3.例子

1.(1)計算：C-：；

(2)求證：*=C；+2CE+C：2.

解：(1)原式=。：+或+。：=。；+。；=。［=。：)=210；

證明：(2)右邊=(C：+CW+C*=C3+C￡=CZ=左邊.

2.解方程：(1)G，=C，3；(2)解方程：。二+。比=%心3?

解：(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13,...x=4或x=5,

l<x+l<13

又由<l〈2x-3W13得2WxV8且xeN*,原方程的解為x=4或x=5.

XGN*

上述求解過程中的不等式組可以不解，直接把x=4和x=5代入檢驗，這樣運(yùn)

算量小得多.

⑵原方程可化為點(diǎn)亮心，即七一.?某米鵠，

.1_______1_______

?,120(%-2)!-10-x(x-l)-(x-2)!’

x2-x-12-0,解得x=4或x=-3,

經(jīng)檢驗：x=4是原方程的解.

3.有同樣大小的4個紅球，6個白球。

(1)從中任取4個，有多少種取法？

⑵從中任取4個，使白球比紅球多，有多少種取法？

(3)從中任取4個，至少有一個是紅球，有多少種取法？

⑷假設(shè)取1個紅球得2分，取1個白球得1分。從中取4個球，使總分不

小于5分的取法有多少種？

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合數(shù)的兩個性質(zhì)

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.2.2組合

（第三課時）

教學(xué)目標(biāo)：

1、進(jìn)一步鞏固組合、組合數(shù)的概念及其性質(zhì);

2、能夠解決一些組合應(yīng)用問題

教學(xué)重點(diǎn)：

解決一些組合應(yīng)用問題

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出〃個元素并成一

組，叫做從〃個不同元素中取出機(jī)個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同.

2.組合數(shù)的概念：從〃個不同元素中取出根（〃,4〃）個元素的所有組合的

個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出〃?個元素的組自數(shù).用符號表示.

3.組合數(shù)公式的推導(dǎo)：

（1）一般地，求從〃個不同元素中取出勿個元素的排列數(shù)M，可以分如下

兩步：①先求從〃個不同元素中取出勿個元素的組合數(shù)O②求每一個組

合中勿個元素全排列數(shù),根據(jù)分步計數(shù)原理得：A；：=

（2）組合數(shù)的公式：

C-：：4/（〃-1）（〃-2）一,（〃-力+1）或。,：=?!—（nm￡”,且團(tuán)<〃）.

"A：m\

4.組合數(shù)的性質(zhì)1:C；；,=C；~m.

5.組合數(shù)的性質(zhì)2：C：L=C：+C：i.

二、講解新課：

例子

1.（1）把n+1個不同小球全部放到n個有編號的小盒中去，每小盒至少有1

個小球，共有多少種放法？

（2）把n+1相同的小球，全部放到n個有編號的小盒中去，每盒至少有1個

小球，又有多少種放法？

⑶把n+1個不同小球，全部放到n個有編號的小盒中去，如果每小盒放進(jìn)

的球數(shù)不限，問有多少種放法？

2.從編號為1,2,3,…，10,11的共11個球中，取出5個球，使得這5

個球的編號之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？

解：分為三類：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有屐，

一共有C：C；+C；C；+C；=236.

3.現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名青年能勝任德

語翻譯工作（其中有1名青年兩項工作都能勝任），現(xiàn)在要從中挑選5名青

年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作,

則有多少種不同的選法？

解：我們可以分為三類：

①讓兩項工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有

②讓兩項工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有。笛；；

③讓兩項工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有

.,?一共有++種方法.

4.甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙

不值周六，問可以排出多少種不同的值周表？

解法一：（排除法）=42.

解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有

另一類為甲不值周一，但值周六，有

I.一共有C：C：+C；C；=42種方法.

5.6本不同的書全部送給5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？

解：第一步：從6本不同的書中任取2本“捆綁”在一起看成一個元素有點(diǎn)

種方法；

第二步：將5個“不同元素(書)”分給5個人有種方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，一共有c：A；=1800種方法.

6.從6雙不同手套中，任取4只，

(1)恰有1雙配對的取法是多少？

(2)沒有1雙配對的取法是多少？

(3)至少有1雙配對的取法是多少？

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了組合數(shù)的應(yīng)用

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.3.1二項式定理

教學(xué)目標(biāo)：

1、能用計數(shù)原理證明二項式定理；

2、掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式

教學(xué)重點(diǎn)：

掌握二項式定理及二項式展開式的通項公式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

(l)(a+b)2^a2+2ab+b2=C°a2+C\ah+Clb2；

(2)(a+4=/+3/〃+3。/+/=cfa3+C；a2b+Cjab2+C>3.

(3)(a+/?)4-(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各項都是4次式，

即展開式應(yīng)有下面形式的各項：a3b,a2h2,ab\b4,

展開式各項的系數(shù)：上面4個括號中，每個都不取人的情況有1種，即《種，

二的系數(shù)是《；恰有1個取的情況有C：種，的系數(shù)是C：,恰有2個取b的

情況有C：種，的系數(shù)是0：,恰有3個取6的情況有C；種，a/?的系數(shù)是C：,

有4都取人的情況有《種，/的系數(shù)是C：,

二.(a+b)4=C^a4+C；a3b+C；a2b2+C：/b+C>4.

二、講解新課：

］、二項式定理：(a+好'=C：a"+C；a"b+……+C?"(/1eN*)

2、二項式定理的證明。

(a+b)"是n個(a+b)相乘，每個(a+b)在相乘時，有兩種選擇，

選a或b,由分步計數(shù)原理可知展開式共有2"項(包括同類項)，其中每一

項都是a/'T的形式，k=0,1,n;對于每一項a與i,它是由k個(a+b)

選了a,n-k個(a+b)選了b得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個(a+b)中

取k個a的組合數(shù)，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定

理。

3、它有〃+1項，各項的系數(shù)C；(r=O，L…〃)叫二項式系數(shù)，

4、6>"一方叫二項展開式的通項，用了山表示，即通項『川=€>"""

5、二項式定理中，設(shè)a=l,b=x,則(l+x)"=l+C*+…+CK+…+靖

三、例子

例1.展開(1+%.

X

4234+

解一:(l+-)=l+C*(l)+C；(-)+C：(-)+(-)=l+-+4+44--

XXXXXXXXX

解二:(1+與=(L)4(X+1)4=(與“+C>3+C>2+C>+1]

XXXL

14641

=1+-.

XXXX

例2.展開(2五-

解:(2五—2)6=5(21)6

=-1[(2x)6-C：(2x)5+Cl(2x)4-C；(2x)3+C：(2?-C：(2x)+1]

X

=641-192/+240160+竺-彳+4.

XXX

例3.求(x+aV的展開式中的倒數(shù)第4項.

解：的展開式中共13項，它的倒數(shù)第4項是第10項，

心=C,>l2-9o9==220x*.

例4.求(1)(2a+34,例)(3b+2a曠的展開式中的第3項.

解：(1)72+1=C；(2a)4(34=2160a%2,

(2).+i=C：(3b)4(2a)2=4860b42.

點(diǎn)評：(勿+比)6,(%+勿)6的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第廠項不相同.

例5.(1)求《+%)9的展開式常數(shù)項；

(2)求弓+十產(chǎn)的展開式的中間兩項.

解：???加=q(j)9-r(4=)r=c；吟,

二.(1)當(dāng)9-5=0"=6時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為7；=C；3=2268;

(2)仁+子)9的展開式共io項，它的中間兩項分別是第5項、第6項，

75=C；-3"T2=￡,7；=6.3皿4=378G.

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了二項式定理及二項式展開式的通項公式

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

1.3.2楊輝三角

教學(xué)目標(biāo)：

理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：

理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.二項式定理

(?+b)n=C,"'+C\a"b+???+C；,a"-rbr+■■■+eN*),

2.二項展開式的通項公式：加—方

二、講解新課：

1.二項式系數(shù)表(楊輝三角)

(a+b)”展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)〃依次取1,2,3…時、二項式系數(shù)表，表中每行

兩端都是1，除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和.

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)：

(1)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(:Cf).

(2)增減性與最大值.???G=1)(-2)…(〃T+1)=宵.itl,

k\k

???C：相對于c；T的增減情況由決定，it1>1ok<絲1,

Kk2

當(dāng)人<5時，二項式系數(shù)逐漸增大.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的,

2

且在中間取得最大值；

nn-1M+1

當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間一項白取得最大值；當(dāng)“是奇數(shù)時，中間兩項c?,cj

取得最大值.

(3)各二項式系數(shù)和：

...(1+尤)"=]+C,；x+…+C：/+…+x”,

令x=l,則2"=C：+C：+C；+…+C；+―-+C；?

三、例子

例1.在伍+b)”的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式

系數(shù)的和.

證明：在展開式(a+b)"=C'"+C：a"b+…+(?：/&+…+eN*)中，令

即0=(C：+C：+…)—(C：+<?；+???),

,?y+c"..=c：+c"..，

即在(a+b)”的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)

的和.

說明：由性質(zhì)(3)及例1知C：+C；+???=C：+C；+.??=2〃T.

2,

例2.已知(1一2%y=%+a}x+a2xH---Fa7x,求:

(1)q++,,,+%；(2)〃1+%+%+%；(3)|%|+|%|+…+|%I?

解：⑴當(dāng)x=l時，(1-2獷=(1-2)7=一1,展開式右邊為

。0+4+。2+…+。7

??劭+〃]+%+???+%=-1,

Tx=0時，4—19??4+%+,,,+%=—1—1——2，

(2)x94+q++?,,+%=-1(X)

x——1，a。—%+a,—%+%—〃5+〃6—〃7=37(2)

-(2):2(q+%+%+。7)=-1-3，,??Q]+%+。5+%=-----?

(3)由展開式知：4，%,。5，。7均為負(fù)，。0，。2，。4，。3均為正，

7

二.由(2)中①+②得：2(a0+a2+a4+a6)=-l+3>

?—1+3-

??%+%+。4+。6=.---,

??|UQ|+|Q]]+…+|%|=-Q]+出一〃3+〃4—%+一%

—(4+出+%+)一(。1+。3+〃5+%)=37?

例3.求(l+x)+(l+x￥+…+(l+xy°展開式中(的系數(shù).

解：(l+x)+(l+x>+…(l+x)J(l+x)"a+x)i°]=(x+l)J(x+D,

1-(1+X)X

???原式中/實(shí)為這分子中的f,則所求系數(shù)為c3

例4.在(x,+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù).

解：：(X2+3X+2)5=(X+1)5(X+2)5

.?.在（x+lF展開式中，常數(shù)項為1,含x的項為C：=5x,

在(2+x”展開式中，常數(shù)項為25=32,含x的項為C:2，X=80X

展開式中含X的項為1.(80x)4-5x(32)=240x,

此展開式中x的系數(shù)為240.

例5.已知(4-411的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3,

X

求展開式的常數(shù)項.

解：依題意C：:第=14:3n3C：=14C：

.\3n(n-l)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-l)/2!=>n=10.

010~5r

設(shè)第r+1項為常數(shù)項，又％=C；o(辰嚴(yán)(-W)r=(-2)「C；°x工

X

令與衛(wèi)=0=「=2,:.12+1=(4(-2)2=180.此所求常數(shù)項為180.

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了二項式系數(shù)的性質(zhì)

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

2.1.1離散型隨機(jī)變量

教學(xué)目標(biāo)：

理解取值有限的離散型隨機(jī)變量

教學(xué)重點(diǎn)：

理解取值有限的離散型隨機(jī)變量

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機(jī)事件及其概率：在每次試驗的結(jié)果中，如果某事件一定發(fā)生，則稱

為必然事件，記為U；相反，如果某事件一定不發(fā)生，則稱為不可能事件,

記為(p.

隨機(jī)試驗

為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們把各種科學(xué)實(shí)驗和對事物的觀測

統(tǒng)稱為試驗.如果試驗具有下述特點(diǎn)：

(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)每次試驗的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個；

(3)每次試驗之前不能預(yù)知將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機(jī)試

驗簡稱試驗。

2.樣本空間：

樣本點(diǎn)

在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行試驗，雖然每次試驗的結(jié)果中所有可能發(fā)生

的事件是可以明確知道的，并且其中必有且僅有一個事件發(fā)生,但是在試驗之

前卻無法預(yù)知究意哪一個事件將在試驗的結(jié)果中發(fā)生.試驗的結(jié)果中每一個

可能發(fā)生的事件叫做試驗的樣本點(diǎn)，通常用字母3表示.

樣本空間：

試驗的所有樣本點(diǎn)31，COz,33,…構(gòu)成的集合叫做樣本空間，通常用字

母。表示，于是，我們有。={3],(02,W3,...)

3.古典概型的特征：

古典概型的隨機(jī)試驗具有下面兩個特征：

(1)有限性.只有有限多個不同的基本事件；

(2)等可能性.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

概率的古典定義

在古典概型中，如果基本事件的總數(shù)為〃，事件/所包含的基本事件個

數(shù)為「（,則定義事件/的概率凡⑷為次.即

加二----取/ffSS-

二、講解新課：

1、隨機(jī)變量的概念

隨機(jī)變量是概率論的重要概念，把隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化可使我們對隨

機(jī)試驗有更清晰的了解，還可借助更多的數(shù)學(xué)知識對其進(jìn)行深入研究.

有的試驗結(jié)果本身已具數(shù)值意義，如產(chǎn)品抽樣檢查時的廢品數(shù)，而有些

雖本無數(shù)值意義但可用某種方式與數(shù)值聯(lián)系，如拋硬幣時規(guī)定出現(xiàn)徽花時用

I表示，出現(xiàn)字時用o表示.這些數(shù)值因試驗結(jié)果的不確定而帶有隨機(jī)性，

因此也就稱為隨機(jī)變量.

2、隨機(jī)變量的定義：

如果對于試驗的樣本空間啟中的每一個樣本點(diǎn)?，變量/都有一個確定的實(shí)

數(shù)值與之對應(yīng)，則變量。是樣本點(diǎn)藥的實(shí)函數(shù)，記作我們稱這樣

的變量5為隨機(jī)變量.

3、若隨機(jī)變量片只能取有限個數(shù)值》?巧?。或可列無窮多個數(shù)值

，，?L，。…,則稱。為離散隨機(jī)變量，在高中階段我們只研究隨機(jī)變量廣取有

限個數(shù)值的情形

三、例子

例1.隨機(jī)變量「為拋擲兩枚硬幣時徽花向上的硬幣數(shù)，求：的可能取值

解：：的可能取值為0,1,2.

例2.某射手有五發(fā)子彈，射一次命中率為0.9,若命中了就停止射擊，若不

命中就一直射到子彈耗盡.求隨機(jī)變量的可能取值.

例3.寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)

試驗的結(jié)果.

(1)一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋

內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)?；

(2)某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)n.

解：⑴，可取3,4,5.

&=3,表示取出的3個球的編號為1,2,3；

&=4,表示取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4；

&=5,表示取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,

3或34,5.

(2)n可取0,1,…，n,….

n=i,表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,….

例4.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的

點(diǎn)數(shù)的差為,,試問：“&>4”表示的試驗結(jié)果是什么？

答:因為一枚骰子的點(diǎn)數(shù)可以是1,2,3,4,5,6六種結(jié)果之一，由

已知得-5W&W5,也就是說“&>4"就是“&=5知所以，“&>4”表示第一

枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn).

例5某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km,則按10元

的標(biāo)準(zhǔn)收租車費(fèi).若行駛路程超出4km,則按每超出1km加收2元計費(fèi)(超出

不足1km的部分按1km計).從這個城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為

15km.某司機(jī)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以

及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按1km路

程計費(fèi))，這個司機(jī)一次接送旅客的行車路程;是一個隨機(jī)變量，他收旅客

的租車費(fèi)可也是一個隨機(jī)變量.

(1)求租車費(fèi)n關(guān)于行車路程&的關(guān)系式；

(II)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km,問出

租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃鄡悍昼姡?/p>

解：⑴依題意得n=2(&-4)+2,即n=2&+2.

(II)由38=23+2,得&=18,5X(18-15)=15.

所以，出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃?5分鐘.

課堂小節(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量

課堂練習(xí)：

課后作業(yè)：

2.1.2離散型隨機(jī)變量的分布列

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解離散型隨機(jī)變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機(jī)

變量的分布列；

2、掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一些

簡單的問題.

教學(xué)重點(diǎn):

1、理解離散型隨機(jī)變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機(jī)

變量的分布列；

2、掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一

些簡單的問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的

變量叫做隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用希臘字母;、n等表示.

2.離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量5只能取有限個數(shù)值兩用一或可列

無窮多個數(shù)值小巧一百…?則稱:為離散隨機(jī)變量，在高中階段我們只研究隨

機(jī)變量:取有限個數(shù)值的情形.

二、講解新課：

1.分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量S可能取得值為

Xi9X29???，濟(jì)，?*?,

t取每一個值石（片1,2,…）的概率為2自=七）=〃,.，則稱表

X\X2???Xi???

PP\Pz???Pi???

為隨機(jī)變量孑的概率分布，簡稱f的分布列.

2.分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：04尸（4”1,并

且不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1.由此你可以得出離散型隨

機(jī)變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：

⑴月N0,7=1,2,…;

(2)A+￡+…=1.

對于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值

的概率的和.即尸修2與）=尸（4=4）+＞（。=%1）+….

3.二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列為：

10

PPq

三、例子

例1.一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個

數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一

個球，若取出紅球得1分，取出黃球得。分，取出綠球得一1分，試寫出從

該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)5的分布列.

分析：欲寫出f的分布列，要先求出f的所有取值，以及f取每一

值時的概率.

解：設(shè)黃球的個數(shù)為〃，由題意知

綠球個數(shù)為2〃，紅球個數(shù)為4〃，盒中的總數(shù)為7〃.

??尸（"1）=哭=3P6=O）弋="，-1）逮得.

所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)f的分布列為

10—1

412

P———

777

說明：在寫出§的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為1.

例2.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)f的分布列如下：

45678910

P0.020.040.060.090.280.290.22

求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)27”的概率.

分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)N7”是指互斥事件“f=7”、“f=8”、“&

=9"、