專題08 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

數(shù)學(xué)八年級下暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題八二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版）【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一二次函數(shù)的最值】.........................................1【考點(diǎn)二根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式】...........................8【考點(diǎn)三二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】.....................................13【聚焦考點(diǎn)1】二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【典例剖析1】【典例1-1】已知二次函數(shù)y1＝ax2+4x+b與y2＝bx2+4x+a都有最小值，記y1、y2的最小值分別為m、n．（1）若m+n＝0，求證：對任意的實(shí)數(shù)x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，記M為m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)m+n＝0，可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以用用含a，b的代數(shù)式表示m、n，然后根據(jù)mn＝2，記M為m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝ax2+4x+b與y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分別為m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，∴m＝，∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，∴n＝，∵mn＝2，m，n均大于0，∴?＝2，解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，∴，∴m＝，n＝，∵M(jìn)為m，n中的最大者，∴當(dāng)0＜a＜2時(shí)，M＝＞，當(dāng)a＝2時(shí)，M＝，當(dāng)a＞2時(shí)，M＝由上可得，M的最小值是．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以將函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【典例1-2】如圖，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中點(diǎn)，點(diǎn)E以每秒2cm的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BS﹣SD﹣DC勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)F以每秒1cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CB運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)E、F出發(fā)t秒（0＜t＜6）時(shí)，△EBF的面積為ycm2．（1）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，y取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分點(diǎn)E在BS上、點(diǎn)E在SD上和點(diǎn)E在DC上討論解答即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論解答即可．【解答】解：（1）點(diǎn)E在BS上（當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)），，點(diǎn)E在SD上（當(dāng)2.5≤t≤4時(shí)），y＝12﹣2t；點(diǎn)E在DC上（當(dāng)4≤t≤6時(shí)），y＝t2﹣12t+36；（2）當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)，，對稱軸t＝3，y隨x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值為7；當(dāng)2.5≤t≤4時(shí)，y＝12﹣2t，是減函數(shù)，∴t＝2.5時(shí)，y有最大值為7；當(dāng)4≤t≤6時(shí)，y＝t2﹣12t+36，對稱軸為t＝6，y隨x的增大而減小，∴t＝4，y有最大值為4．綜上所述，t＝2.5時(shí)，y有最大值為7．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形面積、函數(shù)圖象問題等知識，讀懂圖象信息是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會設(shè)未知數(shù)列方程組解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，是數(shù)形結(jié)合的好題目，屬于中考選擇題中的壓軸題．針對訓(xùn)練1【變式1-1】當(dāng)k分別取﹣1，1，2時(shí)，函數(shù)y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值嗎？請寫出你的判斷，并說明理由；若有，請求出最大值．【分析】當(dāng)k分別取﹣1，1，2時(shí)，函數(shù)y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同類型的函數(shù)，需要分類討論，最終確定函數(shù)的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)為y＝﹣4x+4，是一次函數(shù)（直線），無最值；（2）當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)為y＝x2﹣4x+3，為二次函數(shù)．此函數(shù)開口向上，只有最小值而無最大值；（3）當(dāng)k＝﹣1時(shí)，函數(shù)為y＝﹣2x2﹣4x+6，為二次函數(shù)．此函數(shù)開口向下，有最大值．因?yàn)閥＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值為8．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值．需要根據(jù)k的不同取值進(jìn)行分類討論，這是容易失分的地方．【變式1-2】如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且CE＝CF．（1）設(shè)CF＝x，△AEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x為多少時(shí)△AEF面積能夠取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出BC＝DC，再根據(jù)△AEF的面積＝正方形面積﹣△ABE的面積﹣△ADF的面積﹣△CEF的面積，列出關(guān)系式整理即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及一般式的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出△AEF面積最大值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∵CE＝CF＝x，∴BE＝DF＝8﹣x，∴y＝64﹣（8﹣x）×2﹣x2＝﹣x2+8x（0＜x≤8）；（2）y＝﹣x2+8x（0＜x≤8），∵a＝﹣＜0，∴x＝8時(shí)，y有最大值，最大值是32，∴x為8時(shí)△AEF面積能夠取得最大值，最大值是32．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握這三個(gè)知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【能力提升1】【提升1-1】定義：對于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x＜0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y＝x﹣1，它們的相關(guān)函數(shù)為y＝．（1）已知點(diǎn)A（﹣5，8）在一次函數(shù)y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；（2）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣．①當(dāng)點(diǎn)B（m，）在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求m的值；②當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，求函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值．【分析】（1）寫出y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)，代入計(jì)算；（2）①寫出二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關(guān)函數(shù)，代入計(jì)算；②根據(jù)二次根式的最大值和最小值的求法解答．【解答】解：（1）y＝ax﹣3的相關(guān)函數(shù)y＝，將A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關(guān)函數(shù)為y＝，①當(dāng)m＜0時(shí)，將B（m，）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+＝，解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，當(dāng)m≥0時(shí)，將B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣＝，解得：m＝2+或m＝2﹣．綜上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；②當(dāng)﹣3≤x＜0時(shí)，y＝x2﹣4x+，拋物線的對稱軸為x＝2，此時(shí)y隨x的增大而減小，∴此時(shí)y的最大值為，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣，拋物線的對稱軸為x＝2，當(dāng)x＝0有最小值，最小值為﹣，當(dāng)x＝2時(shí)，有最大值，最大值y＝，綜上所述，當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣的相關(guān)函數(shù)的最大值為，最小值為﹣．【點(diǎn)評】本題考查的是互為相關(guān)函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【提升1-2】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，求△MAN的面積的最小值．【分析】設(shè)DN＝x，BM＝y(tǒng)，將△DNA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF，證明△ANM≌△AFM（SSS），△DAN≌△EAN（AAS），在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，從而得出xy+x+y﹣1＝0，再用x和y表示的S△ANM，將②③代入①并整理可得④，解不等式即可求得S的最小值．【解答】解：設(shè)DN＝x，BM＝y(tǒng)，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，∴NM＝x+y．將△DNA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF，則NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．過點(diǎn)A作AE⊥NM，垂足為E，∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN為公共邊，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化簡得：xy+x+y﹣1＝0，①∴S△ANM＝（x+y）②．∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴將②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面積的最小值為﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用、二次函數(shù)與不等式的運(yùn)算等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【提升1-3】某商場購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高價(jià)格，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件，在此價(jià)格基礎(chǔ)上，若漲價(jià)5元，則每月銷售量將減少150件，若每月銷售y（件）與價(jià)格x（元/件）滿足關(guān)系y＝kx+b．（1）確定k，b的值；（2）為了使每月獲得利潤為1920元，問商品價(jià)格應(yīng)是每件多少元？1920元是最大利潤嗎？【分析】（1）可根據(jù)題意用待定系數(shù)法，求出k，b的值．（2）利潤＝單件的利潤×銷售的數(shù)量．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出利潤最大的方案．【解答】解：（1）由題意可知：，解得：k＝﹣30，b＝960．（2）由（1）可知：y與x的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是y＝﹣30x+960設(shè)利潤為W，由題意可得W＝（x﹣16）（﹣30x+960）＝﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣30＜0，∴當(dāng)x＝﹣＝24時(shí)利潤最大，W最大＝1920答：當(dāng)定價(jià)為24元時(shí)利潤最大，最大的利潤為1920元．【點(diǎn)評】考查了二次函數(shù)的最值，此類應(yīng)用題常出現(xiàn)于銷售、收費(fèi)、行程等實(shí)際問題當(dāng)中，利用函數(shù)求最值時(shí)，主要應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．【聚焦考點(diǎn)2】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識建立量與量的等式．【典例剖析2】【典例2-1】有一個(gè)拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m．現(xiàn)將它的圖形放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中．求這條拋物線的解析式．【分析】根據(jù)圖象可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和過x軸上的點(diǎn)（10，0），從而可以設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，進(jìn)而求得拋物線的解析式．【解答】解：由圖象可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4），過點(diǎn)（10，0），設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣5）2+4，則0＝a（10﹣5）2+4，解得，a＝﹣，即這條拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣5）2+4．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，設(shè)出拋物線的解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【典例2-2】某廠生產(chǎn)某種零件，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂貨，提供了如下信息：①每個(gè)零件的成本價(jià)為40元；②若訂購量不超過100個(gè)，出廠價(jià)為60元；若訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂1個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元；③實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當(dāng)一次訂購量為≥550個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)降為51元．（2）設(shè)一次訂購量為x個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出P與x的函數(shù)表達(dá)式．（3）當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個(gè)，利潤又是多少元？（工廠售出一個(gè)零件的利潤＝實(shí)際出廠價(jià)﹣成本）．【分析】（1）由題意設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x個(gè)，則x＝100+＝550進(jìn)而得出答案；（2）前100件單價(jià)為P，當(dāng)進(jìn)貨件數(shù)大于等于550件時(shí)，P＝51，則當(dāng)100＜x＜550時(shí)，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣得到P為分段函數(shù)，寫出解析式即可；（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，表示出L與x的函數(shù)關(guān)系式，然后令x＝500，1000即可得到對應(yīng)的利潤．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為x個(gè)，則x＝100+＝550，根據(jù)實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元，因此，當(dāng)一次訂購量為大于等于550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元．故答案為：≥550；（2）當(dāng)0＜x≤100時(shí)，P＝60當(dāng)100＜x＜550時(shí)，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣當(dāng)x≥550時(shí)，P＝51所以P＝；（3）設(shè)銷售商的一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為L元，則L＝（P﹣40）x＝，當(dāng)x＝500時(shí)，L＝22×500﹣＝6000（元）；當(dāng)x＝1000時(shí)，L＝11×1000＝11000（元），因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個(gè)，利潤是11000元．【點(diǎn)評】本小題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分段函數(shù)的應(yīng)用，注意利用自變量取值范圍得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．針對訓(xùn)練2【變式2-1】為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【分析】根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于二次函數(shù)解析式；根據(jù)墻長、x、y所表示的實(shí)際意義來確定x的取值范圍．【解答】解：由題意得：y＝x×＝﹣x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25．【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式，注意在求自變量x的取值范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)中自變量所表示的實(shí)際意義來確定．【變式2-2】如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）若墻的最大可用長度為9米，求此時(shí)自變量x的取值范圍．【分析】（1）花圃的面積＝AB×（籬笆長﹣3AB），根據(jù)邊長為正數(shù)可得自變量的取值范圍；（2）結(jié)合（1）及AD不大于9可得自變量的公共取值．【解答】解：（1）S＝BC×AB＝（24﹣3x）x＝﹣3x2+24x由題意得：0＜x＜8（2）∵24﹣3x≤9∴x≥5結(jié)合（1）得，5≤x＜8．【點(diǎn)評】考查一次函數(shù)的應(yīng)用；得到AD邊長的關(guān)系式是解決本題的突破點(diǎn)；得到自變量的取值是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．【能力提升2】【提升2-1】如圖1，某灌溉設(shè)備的噴頭B高出地面1.25m，噴出的拋物線形水流在與噴頭底部A的距離為1m處達(dá)到距地面最大高度2.25m，試在恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系中求出與該拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式．學(xué)生小龍?jiān)诮獯饒D1所示的問題時(shí)，具體解答如下：①以水流的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)的水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系；②設(shè)拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2；③根據(jù)題意可得B點(diǎn)與x軸的距離為1m，故B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）；④代入y＝ax2得﹣1＝a?1，所以a＝﹣1；⑤所以拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2．?dāng)?shù)學(xué)老師看了小龍的解題過程說：“小龍的解答是錯(cuò)誤的”．（1）請指出小龍的解答從第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是什么？（2）請你寫出完整的正確解答過程．【分析】（1）第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，B點(diǎn)坐標(biāo)錯(cuò)誤；（2）以水流的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)的水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，通過最高點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)求得函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，B點(diǎn)坐標(biāo)錯(cuò)誤；（2）以水流的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，過原點(diǎn)的水平線為橫軸，過原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系；設(shè)拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2；根據(jù)題意可得B點(diǎn)與x軸的距離為1m，故B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；代入y＝ax2得﹣1＝a?（﹣1）2，所以a＝﹣1；所以拋物線水流對應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2．【點(diǎn)評】本題考查了同學(xué)們根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)關(guān)系式的能力．【提升2-2】在一塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，制成一面鏡子．鏡子的長與寬的比是2：1．已知鏡面玻璃的價(jià)格是每平方米120元，邊框的價(jià)格是每米30元，另外制作這面鏡子還需加工費(fèi)45元．設(shè)制作這面鏡子的總費(fèi)用是y元，鏡子的寬度是x米．（1）求y與x之間的關(guān)系式．（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長和寬．【分析】（1）依題意可得總費(fèi)用＝鏡面玻璃費(fèi)用+邊框的費(fèi)用+加工費(fèi)用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化簡即可．（2）根據(jù)共花了195元，即玻璃的費(fèi)用+邊框的費(fèi)用+加工費(fèi)＝195元，即可列出方程求解．【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120＝240x2+180x+45；（2）由題意可列方程為240x2+180x+45＝195，整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）∴x＝0.5，∴2x＝1，答：鏡子的長和寬分別是1m和0.5m．【點(diǎn)評】本題是一道一元二次方程的應(yīng)用題，解這類題關(guān)鍵是理解題意，建立恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式予以求解．【聚焦考點(diǎn)3】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【典例剖析3】【典例3-1】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿(mào)易公司開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)啬撤N農(nóng)產(chǎn)品，已知該農(nóng)產(chǎn)品成本為每千克10元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中10＜x≤30）（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）由圖象知，當(dāng)10＜x≤14時(shí)，y＝640；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx+b，將（14，640），（30，320）解方程組即可得到結(jié)論；（2）分兩種情況求出函數(shù)最值，然后比較得出結(jié)論即可．【解答】解：（1）由圖象知，當(dāng)10＜x≤14時(shí)，y＝640；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx+b，將（14，640），（30，320）代入得，解得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+920；綜上所述，y＝；（2）設(shè)每天的銷售利潤為w元，當(dāng)10＜x≤14時(shí)w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴w隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝14時(shí)，w＝4×640＝2560元；當(dāng)14＜x≤30時(shí)，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∴當(dāng)x＝28時(shí)，w有最大值，最大值為6480，∵2560＜6480，∴當(dāng)銷售單價(jià)x為28元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是6480元．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，得到每天的銷售利潤的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵；利用配方法或公式法求得二次函數(shù)的最值問題是常用的解題方法．【典例3-2】某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)墻的長度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6時(shí)，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時(shí)x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．【典例3-3】如圖1的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點(diǎn)20米時(shí)達(dá)到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點(diǎn)A，點(diǎn)A與點(diǎn)O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系．（1）求石塊運(yùn)動軌跡所在拋物線的解析式；（2）試通過計(jì)算說明石塊能否飛越防御墻AB；（3）在豎直方向上，試求石塊飛行時(shí)與坡面OA的最大距離．【分析】（1）設(shè)石塊運(yùn)行的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣20）2+10，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案．（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，與6作比較即可．（3）用待定系數(shù)法求得OA的解析式為y＝x，設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（t，﹣t2+t），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交OA于點(diǎn)Q，延長BA交x軸于點(diǎn)E，則Q（t，t），用含t的式子表示出PQ關(guān)于t的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）設(shè)石塊的運(yùn)動軌跡所在拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入，得400a+10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2+10．即y＝﹣x2+x．（2）石塊能飛越防御墻AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x，得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞3+3，∴石塊能飛越防御墻AB．（3）設(shè)直線OA的解析式為y＝kx（k≠0），把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．如圖：設(shè)直線OA上方的拋物線上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+t），過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交OA于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)D，則Q（t，t），∴PQ＝﹣t2+t﹣t，＝﹣t2+t＝﹣（t﹣18）2+8.1．∵二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，∴圖象開口向下，PQ有最大值∴當(dāng)t＝18時(shí)，PQ取最大值，最大值為8.1．答：在豎直方向上，石塊飛行時(shí)與坡面OA的最大距離是8.1米．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練3【變式3-1】某商場以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，規(guī)定這種商品每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，又不高于38元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)商場銷售這種商品每天獲利w（元），當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后有函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：，解得：，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＜0時(shí)，w隨x的增大而增大，∵20≤x≤38，∴當(dāng)x＝38時(shí)，w有最大值，最大值為792，∴售價(jià)定為38元/件時(shí)，每天最大利潤為792元．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式．【變式3-2】園林部門計(jì)劃在某公園建一個(gè)長方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為14米）．另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個(gè)區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），建成后所用木欄總長22米，設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米．（1）苗圃ABCD的另一邊BC長為（24﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若苗圃ABCD的面積為45m2，求x的值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，苗圃ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【分析】（1）根據(jù)木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米，即得BC長為（24﹣3x）米；（2）根據(jù)題意得：x?（24﹣3x）＝45，即可解得x的值；（3）w＝x?（24﹣3x）＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）∵木欄總長22米，兩處各留1米寬的門，設(shè)苗圃ABCD的一邊CD長為x米，∴BC長為22﹣3x+2＝24﹣3x，故答案為：（24﹣3x）；（2）根據(jù)題意得：x?（24﹣3x）＝45，解得x＝3或x＝5，∵x＝3時(shí)，24﹣3x＝15＞14，∴x＝3舍去，∴x的值為5；（3）設(shè)苗圃ABCD的面積為w，則w＝x?（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴x＝4時(shí)，w最大為48，答：當(dāng)x為4米時(shí)，苗圃ABCD的最大面積為48平方米．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題得關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)已知列方程和函數(shù)關(guān)系式．【變式3-3】圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？（結(jié)果保留根號）【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再把y＝﹣1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解答】解：以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由一直可得拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+2，將A（﹣2，0）代入得：0＝4a+2，解得：a＝﹣0.5，∴拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入拋物線解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，∴水面寬度增加到2米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（2﹣4）米，答：水面寬度增加（2﹣4）米．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．【能力提升3】【提升3-1】神韻隨州，一見鐘情．為迎接全市文旅產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會，某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，銷售一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的獲利最大？最大利潤是多少？（3）“文旅大會”結(jié)束后，物價(jià)部門規(guī)定該紀(jì)念品銷售單價(jià)不能超過m元，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，若要求該紀(jì)念品的日銷售最大利潤是1200元，求m的值．【分析】（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法得關(guān)系式．（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以件數(shù)，再利用配方法求出最值．（3）將1200元代入新函數(shù)，先求解x的值，再根據(jù)最大利潤為1250元進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到的m．【解答】解：（1）設(shè)解析式為y＝kx+b，根據(jù)圖象可知，點(diǎn)（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上∴，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+160；（2）設(shè)每天獲利w元，根據(jù)題意得w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴當(dāng)x＝55時(shí)，w取最大值為1250，答：當(dāng)銷售單價(jià)55元/件時(shí)，每天獲利最大，最大利潤為1250元．（3）由（2）知，當(dāng)w最大＝1200時(shí)，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值為50即m＝50．【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問題，正確找出題目中的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【提