整式的乘除與因式分解教材解讀

“整式的乘除與因式分解”教材解讀合陽縣甘井鎮(zhèn)中學(xué)雷艷敏2012年12月第十五章整式的乘除與因式分解教材解讀尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師：大家好！今天我說教材的內(nèi)容是：人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十五章《整式的乘除與因式分解》，八上數(shù)學(xué)一共五章：第十一章《全等三角形》，第十二章《軸對稱》，第十三章《實(shí)數(shù)》，第十四章《一次函數(shù)》，第十五章《整式的乘除與因式分解》。另外，初中數(shù)學(xué)分為四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用，其中數(shù)與代數(shù)包含實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程與不等式、函數(shù)，《整式的乘除與因式分解》屬于數(shù)與代數(shù)中的代數(shù)式部分。《整式的乘除與因式分解》我將從以下三個(gè)方面來說明：一、說課標(biāo)；二、說教材；三、說建議。一、說課標(biāo)：：⑴獲得重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能；⑵初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去解決問題；⑶體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值；⑷在情感態(tài)度和一般能力方面得到發(fā)展?；镜睦砟钍牵喝巳藢W(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。2.課標(biāo)對本章的總體要求：（1）.能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算（其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）。（2）.能推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。（3）.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。3.課標(biāo)對本章的具體要求：⑴知識與技能：經(jīng)歷探索冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法公式的過程；了解公式的幾何意義；掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)、整式乘法公式，能靈活利用公式進(jìn)行計(jì)算；理解因式分解的意義，能熟練進(jìn)行因式分解；⑵數(shù)學(xué)思考：建立數(shù)感、培養(yǎng)抽象思維及轉(zhuǎn)化的思想方法，發(fā)展合情推理能力，有條理的清晰地闡述自己的觀點(diǎn)；⑶解決問題：嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題；體會(huì)在解決問題的過程中與他人合作的重要性；⑷情感與態(tài)度：認(rèn)識通過觀察、計(jì)算、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性；感受證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及公式的簡潔美。二．說教材〈一〉編寫體系、意圖和編寫特點(diǎn)：A.編寫體系1.章前圖和引言：供學(xué)生預(yù)習(xí)用也作為教師導(dǎo)入新課的材料；2.問題、觀察、思考、探究等欄目：為學(xué)生提供思維發(fā)展，合作交流的空間；3.選學(xué)欄目：觀察與猜想，閱讀與思考等選學(xué)欄目為加深對相關(guān)內(nèi)容的認(rèn)識，擴(kuò)大學(xué)生的知識面；4.小貼士和云朵：小貼士介紹正文內(nèi)容相關(guān)的背景知識。云朵有助于理解正文的問題；5.數(shù)學(xué)活動(dòng)：具有綜合性、實(shí)踐性、開放性；6.小結(jié)：本章的知識結(jié)構(gòu)圖和本章內(nèi)容回顧與思考；7.習(xí)題：習(xí)題分為練習(xí)、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，供學(xué)生課堂及復(fù)習(xí)使用。B.編寫意圖：1.增加了豐富的問題情境：通過讓學(xué)生解決實(shí)際生活中的問題，加強(qiáng)對整式乘法和因式分解的初步感受，從中“發(fā)現(xiàn)”整式乘法的性質(zhì)，歸納整式乘法公式及因式分解的方法；2.加大了探索交流的空間：教材設(shè)置了問題、思考、探究、等欄目引導(dǎo)學(xué)生自主探索，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)合作交流；3.分層次的練習(xí)和習(xí)題：習(xí)題分為：復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索，滿足不同層次學(xué)生的需要；4.豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)：豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生增加了合作、交流的機(jī)會(huì)。加大了探索交流的空間。C.編寫特點(diǎn)：（一）強(qiáng)調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的滲透1、教材滲透了“類比”的思想方法。2、整式乘法法則的教學(xué)和整式除法的教學(xué)，教科書注意滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法、方程思想和逆向思維的思想方法3、乘法公式的教學(xué)則滲透了整體思想。例如：完全平方公式的常用變形公式。4、本章教材注意了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的重要思想。（二）充分體現(xiàn)從具體到抽象再到具體的認(rèn)知過程教材從具體的實(shí)際問題出發(fā)，歸納出相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，或抽象出隱含在具體問題中的數(shù)學(xué)思想和規(guī)律，這是本章的一個(gè)突出特點(diǎn)。同時(shí)，從多項(xiàng)式乘法到乘法公式體現(xiàn)了從一般到特殊的認(rèn)識過程。（三）根據(jù)數(shù)學(xué)知識的邏輯關(guān)系循序漸進(jìn)地安排教學(xué)內(nèi)容本章所涉及的教學(xué)內(nèi)容之間不僅具有密切的聯(lián)系，且具有很強(qiáng)的邏輯關(guān)系。因此，在教學(xué)中應(yīng)該注意本章知識之間的這種邏輯關(guān)系，使學(xué)生能從整體上把握本章知識。1.現(xiàn)行人教版與北師大版的對比：人教版的編寫特點(diǎn)：章節(jié)明了、條理清晰、內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)、循序漸;北師大版的編寫特點(diǎn)：問題導(dǎo)入、注重探究、注重應(yīng)用、跳躍性大。2.現(xiàn)行人教版與新人教版的對比：現(xiàn)行版第十五章整式的乘除與因式分解閱讀與思考楊輝三角觀察與猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解；數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題15新人教版第十五章整式的乘除與因式分解（新增）（新課程目標(biāo)要求：理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號的法則，能進(jìn)行簡單的整式加法和減法的運(yùn)算）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)〈二〉.本章教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)：⑴本章主要分為整式的乘除、因式分解兩大部分；⑵其中整式的乘除分為：整式的乘法、整式的除法，因式分解有：提公因式法、公式法、x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解；⑶整式的乘法包含冪的運(yùn)算性質(zhì)、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，（其中單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式是整式乘法的重點(diǎn)）整式的除法包含同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式。⑷冪的運(yùn)算性質(zhì)又包含同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方（冪的運(yùn)算是整式乘法的基礎(chǔ)），多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式又包含平方差公式、完全平方公式，同底數(shù)冪的除法延伸拓展得到0指數(shù)冪的定義。另外，整式的乘法與因式分解是相反方向的變形，多項(xiàng)式乘法中的平方差公式、完全平方公式與因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的變形?！慈?知識的立體整合：整式的乘除運(yùn)算是對前面所學(xué)數(shù)的運(yùn)算的延伸拓展，因此學(xué)習(xí)本章要加強(qiáng)對數(shù)的運(yùn)算的回顧與復(fù)習(xí)，要注意整式的乘除運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算聯(lián)系與區(qū)別；如冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)都要用到乘方運(yùn)算的意義，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則實(shí)質(zhì)就是乘法分配律等，數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算是學(xué)生思維的一次飛躍，是從具體到抽象、特殊到一般。整式的乘除與因式分解是數(shù)與代數(shù)的核心與基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵，如七上整式的加減，八下分式的約分、通分及分式的計(jì)算、九上一元二次方程解法中的：配方法、因式分解法就是本章知識的直接應(yīng)用，甚至高中階段的指數(shù)、對數(shù)及一元二次不等式等內(nèi)容無不與本章知識有密切的聯(lián)系。三．說建議〈一〉教學(xué)建議：1．重視運(yùn)算性質(zhì)、公式的發(fā)生和歸納過程的教學(xué)。本章整式乘法、除法運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式的得出過程，教科書是從某些具體的數(shù)與式的計(jì)算，歸納得到運(yùn)算法則，是一個(gè)由特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程。在性質(zhì)和公式的教學(xué)中，要重視上述歸納過程的教學(xué)，使學(xué)生在這個(gè)過程中理解和掌握性質(zhì)與公式。另外，教科書在得到某些運(yùn)算法則的過程中，在邏輯上看也并不具備嚴(yán)密性，在教學(xué)中則應(yīng)該考慮學(xué)生思維能力發(fā)展的年齡特點(diǎn)，把握好邏輯的適度嚴(yán)密性。教學(xué)模式為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，充分體現(xiàn)課堂教學(xué)的主體性，我采用我們學(xué)校提出的“六環(huán)節(jié)自主課堂”進(jìn)行教學(xué)，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、分析、概括和交流的方法學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。實(shí)踐證明，這樣的課堂更能體現(xiàn)學(xué)生的主體性，也更符合課程標(biāo)準(zhǔn)的理念。（一）創(chuàng)設(shè)引課：教師通過設(shè)疑、猜想或情景引入問題。揭示課題，使學(xué)生明白要探究的內(nèi)容。（二）自主探究：學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)提綱”的引領(lǐng)下，循序漸進(jìn)地進(jìn)行自主學(xué)習(xí)或探究。教師指導(dǎo)并組織學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。（三）學(xué)生交流：學(xué)生分組或全班交流自己的學(xué)習(xí)探究所得，有理有據(jù)地回答提綱提出的探究內(nèi)容，談出自己的學(xué)習(xí)困惑所在。教師理順并幫肋學(xué)生進(jìn)行交流。（四）教師解惑：教師根據(jù)學(xué)生交流情況重點(diǎn)講解學(xué)生的疑難問題，消除學(xué)生的思維障礙，糾正學(xué)生存在的問題。（五）組織小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，板書知識結(jié)構(gòu)。（六）課堂練習(xí)：通過練習(xí)鞏固知識，深化思維。2．重視發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性充分信任學(xué)生，努力發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性，讓他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。勤于思考，善于思考，是學(xué)好數(shù)學(xué)的先決條件。3．抓住教學(xué)重點(diǎn)和關(guān)鍵，突破教學(xué)難點(diǎn)①本章的教學(xué)重點(diǎn)之一是整式的乘除，包括乘法公式。②在整式的乘除中，單項(xiàng)式的乘除是關(guān)鍵。③乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生不易掌握，運(yùn)用時(shí)容易混淆，因此乘法公式的靈活運(yùn)用是本部分的難點(diǎn)。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并在練習(xí)中與所運(yùn)用公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)系起來，對所發(fā)生的錯(cuò)誤多做具體分析，以加深學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解。④添括號時(shí)，括號內(nèi)符號的確定是本部分的一個(gè)難點(diǎn)。添上括號后括號內(nèi)的多項(xiàng)式與括號前面的符號看成統(tǒng)一體。遇到括號前是“—”號時(shí)，學(xué)生容易漏掉括號內(nèi)一部分項(xiàng)的變號。添括號和去括號是互逆的過程，可以相互檢驗(yàn)。⑤因式分解一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，原因在于分解因式的方法很多，變化技巧較高，且沒有一種一般有效的方法。教學(xué)中要注意把握教學(xué)要求，防止隨意拓寬內(nèi)容和加深題目的難度。在本章中，提公因式法和公式法分解因式，教學(xué)中則應(yīng)讓學(xué)生牢固地掌握。4．選學(xué)內(nèi)容---有關(guān)知識的拓展與延伸開闊學(xué)生視野，拓展學(xué)生知識面。（1）“閱讀與思考”（楊輝三角）---增強(qiáng)數(shù)學(xué)修養(yǎng)培養(yǎng)愛國情懷（2）“觀察與猜想”（十字相乘法）-有利于理解必修內(nèi)容（小組合作探究完成）5、熟練并靈活掌握本章的法則和公式的措施①隨著循序漸進(jìn)的教學(xué)，在比較中加強(qiáng)理解。②數(shù)形結(jié)合，有助于法則和公式的理解。③重視法則和公式的逆應(yīng)用和擴(kuò)展應(yīng)用。④充分利用轉(zhuǎn)化的思想方法。⑤要有整體觀察和思考的意識。6.本章每小節(jié)應(yīng)注意的問題第一小節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)：⑴符號錯(cuò)誤；⑵漏項(xiàng)或漏乘；⑶相乘后，不合并同類項(xiàng)，即運(yùn)算不徹底。易混點(diǎn)：將冪的運(yùn)算法則記混，將指數(shù)相加，指數(shù)相乘與整式加減法混淆。易漏點(diǎn)：多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式時(shí)出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象的錯(cuò)誤。第二小節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：弄錯(cuò)“2倍之積項(xiàng)”的符號，尤其當(dāng)兩數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)已出現(xiàn)符號錯(cuò)誤。易漏點(diǎn)：⑴在寫平方差時(shí)，容易只把字母平方，漏掉系數(shù)平方；⑵在寫完全平方式時(shí)，易漏掉“2倍之積項(xiàng)”，漏掉乘積中的因數(shù)“2”，第三小節(jié)⑴對=1（a≠0）的運(yùn)用過程中，漏掉對a≠0的討論⑵單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，漏掉符號；⑶多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，漏項(xiàng)。第四小節(jié)⑴分解因式不徹底，半途而廢；⑵提公因式時(shí)，易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤；⑶分解因式過程中出現(xiàn)“走回頭路”現(xiàn)象。7.技巧點(diǎn)撥技巧平臺1：{1}運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：一是要明確只有同底數(shù)冪相乘時(shí)，才能使用這一運(yùn)算性質(zhì)；2是相乘時(shí)底數(shù)沒有發(fā)生變化，只有指數(shù)發(fā)生變化；三是指數(shù)的和作為結(jié)果中冪的指數(shù)。{2}冪的混合運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn)：一是要牢記冪的運(yùn)算性質(zhì)，相關(guān)知識不要混淆；二是要注意運(yùn)算順序,，即先乘方，再乘除，最后加減；三是符號不要出錯(cuò)技巧平臺2：平方差公式：兩個(gè)2項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)2項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，其結(jié)果是這兩項(xiàng)的平方差。完全平方公式：完全相同的兩個(gè)2項(xiàng)式相乘，寫成冪的形式，其結(jié)果為三項(xiàng)，可用口訣記憶：前平方來，后平方，乘積2倍在中央。(1)在應(yīng)用平方差公式和完全平方公式時(shí)要注意兩個(gè)公式中條件的特點(diǎn)，平方差公式是：兩個(gè)2項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)2項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，其結(jié)果是這兩項(xiàng)的平方差；完全平方公式是：完全相同的兩個(gè)2項(xiàng)式相乘，寫成冪的形式，其結(jié)果為三項(xiàng)式.(2)再添加括號時(shí)要注意括號前是負(fù)號的情況，此時(shí)括到括號里的各項(xiàng)一定要變號。技巧平臺3：掌握好同底數(shù)冪的除法與單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，學(xué)會(huì)用乘法進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性。運(yùn)用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則運(yùn)算分三步；一是把系數(shù)相除，所得的結(jié)果作為商的系數(shù)；二是把同底數(shù)冪相除，所得的結(jié)果作為商的因式；三是把只在被除式中含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來運(yùn)算即可。進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，要明確運(yùn)算順序。即先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號，先算括號里面的，對于同級運(yùn)算，要按照從左到右的順序進(jìn)行。技巧平臺4：學(xué)習(xí)本節(jié)知識，要對比整式乘法運(yùn)算進(jìn)行，掌握兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，才能更好地掌握因式分解的實(shí)質(zhì)，在學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)，要運(yùn)用比較，類比的學(xué)習(xí)方法記憶，理解因式分解，要多加練習(xí)以達(dá)到熟練掌握知識的目的。因式分解的步驟：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式），即先看有沒有公因式可提，有公因式就先提公因式，然后再套用公式來分解因式。另外，分解因式一定要徹底。8.中考命題方向（1）.本節(jié)知識比較單一，在中考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方的運(yùn)算法則的應(yīng)用及逆運(yùn)用法則化簡求值，題目通常較為簡單，屬于基礎(chǔ)題型。（2）.平方差公式是中考命題中比較重要的考點(diǎn)之一，單獨(dú)命題的題型多為選擇題，填空題和簡單的計(jì)算題，這一知識點(diǎn)也常融入其他知識綜合命題；完全平方公式在中考時(shí)占有很重要的地位，它在數(shù)的運(yùn)算，代數(shù)式的化簡，方程，函數(shù)等方面都有及其廣泛的應(yīng)用。（3）.整式除法即同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式在中考中出現(xiàn)的頻率較高，題型多見選擇題和填空題，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)化簡求值題，因此運(yùn)算必須熟練。（4）.本節(jié)在中考中主要考察因式分解的概念及利用提公因式法，公式法分解因式，是中考命題中的必考內(nèi)容之一。單獨(dú)命題時(shí)題型以選擇題，解答題為主。有時(shí)以填空題的形式出現(xiàn)，難度一般不大，只要抓住公式的特點(diǎn)，一般不會(huì)失分。〈二〉評價(jià)建議1．注意把握教學(xué)要求根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本章要求學(xué)生會(huì)進(jìn)行簡單的整式乘法（其中的多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）運(yùn)算和除法運(yùn)算。會(huì)推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，并了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。會(huì)用提公因