中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編十專題專題幾何綜合問題

1.（2012寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長.【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE。∴，即。∴?！摺喈?dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（2）設(shè)BP=x,由（2）得。∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD?！啵?，化簡得。解得或（不合題意，舍去）?！喈?dāng)BP=時(shí)，PE∥BD。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長。（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽R(shí)t△PCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式。化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長。2.（2012山西省12分）問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．探究展示：小宇同學(xué)展示出如下正確的解法：解：OM=ON，證明如下：連接CO，則CO是AB邊上中線，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依據(jù)2）反思交流：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：依據(jù)2：（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過程．拓展延伸：（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長線與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM、ON，試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．【答案】（1）解：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。（2）證明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA=OB?！逥F⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線?！摺螦CB=90°，∴OC=AB=OB。又∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°?！唷?=∠B。∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。又∵∠B=45°，∴∠3=45°?！唷?=∠B?！郉N=NB。∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四邊形DMCN是矩形。∴DN=MC?！郙C=NB?！唷鱉OC≌△NOB（SAS）?！郞M=ON，∠MOC=∠NOB?！唷螹OC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°?！郞M⊥ON?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰三角形和角平分線的性質(zhì)直接作答。（2）利用AAS證明△OMA≌△ONB即可。（3）利用SAS證明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通過角的等量代換即可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。3.（2012福建廈門10分）已知ABCD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．（1）如圖，若PE＝eq\r(3)，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF＝BC＋3eq\r(2)－4，求BC的長．【答案】解：（1）連接PO,∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）?！唷螮PO＝∠FPO。在Rt△PEO中，tan∠EPO＝eq\f(EO,PE)＝eq\f(eq\r(3),3)，∴∠EPO＝30°?！唷螮PF＝60°。（2）∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴AP＝DP。又∵PE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）?！唷螼AD＝∠ODA?！郞A＝OD?！郃C＝2OA＝2OD＝BD?！郃BCD是矩形?！唿c(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，∴AO∥PF?！逷F⊥BD，∴AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形?！郆D＝eq\r(2)BC。∵BF＝eq\f(3,4)BD，∴BC＋3eq\r(2)－4＝eq\f(3eq\r(2),4)BC，解得，BC＝4?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解。（2）根據(jù)條件證出ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長的關(guān)系列式計(jì)算即可得解。4.（2012甘肅白銀10分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，，延長DB到點(diǎn)F，使，連接AF．（1）證明：△BDE∽△FDA；（2）試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．【答案】解:（1）證明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝BD，AE＝ED，∴。又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。（2）直線AF與⊙O相切。證明如下：連接OA，OB，OC，∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC（SSS）?！唷螼AB＝∠OAC?！郃O是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線?！郃O⊥BC?！摺鰾DE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA?！逜O⊥BE，∴AO⊥FA?！嘀本€AF與⊙O相切?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）因?yàn)椤螧DE公共，夾此角的兩邊BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。（2）連接OA、OB、OC，證明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出∠EBD=∠AFD，則BE∥FA，從而AO⊥FA，得出直線AF與⊙O相切。5.（2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長；（2）當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②連接CF，當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF=FD。在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG和△CFD中，∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD?！逤E⊥AB，∴EF=GF?！唷螦EF=∠G?！逜B=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴AG=5，AF=AD=BC=5?！郃G=AF?！唷螦FG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF?！唷螮FD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF。②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x?！逤F=GF（①中已證），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x?！郈E2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+?！喈?dāng)x=，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，CE2﹣CF2取最大值。此時(shí)，EG=10﹣x=10﹣，CE=，∴?！究键c(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?）利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解。（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解。②設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。6.（2012廣東肇慶10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P.求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）△BEC∽△ADC；（3）ABCE=2DPAD．【答案】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC?！逜B=AC，∴D是BC的中點(diǎn)。

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD?！逜B=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD?！唷螧AD=∠CBE?！摺螦DB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE?！??！??！連C=2BD，∴，即?！摺螧DP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE?！唷！啵碅B?CE=2DP?AD。【考點(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點(diǎn)。（2）由AB是⊙O的直徑，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BEC∽△ADC。（3）易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得AB?CE=2DP?AD。7.（2012貴州畢節(jié)14分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作EF⊥AC的延長線于E，交AB的延長線于E，交AB的延長線于F。（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若∠F=，AE=4，求⊙O的半徑和AC的長。【答案】（1）證明：連接OD，∵D是的中點(diǎn)，∴∠BOD=∠A?！郞D∥AC?！逧F⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°?！郋F是⊙O的切線；（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=，AE=4，∴。設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=OA=OB=R，AB=2R．在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。連接BC，則∠ACB=90°?！摺螮=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF?！郃C：4=2R：4R，∴AC=2。∴⊙O的半徑為3，AC的長為2。【考點(diǎn)】弧、圓周角和圓心角的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，銳角三角函數(shù)定義，平行線分線段成比例定理?！痉治觥浚?）連接OD，根據(jù)圓周角定理，可得∠BOD=∠A，則OD∥AC，從而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切線。（2）先解直角△AEF，由sin∠F=，得出AF=3AE=12，再在Rt△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，設(shè)⊙O的半徑為R，由AF=12列出關(guān)于R的方程，解方程即可求出⊙O的半徑。連接BC，證明BC∥EF，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的長。8.（2012江蘇泰州12分）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若PC=，求⊙O的半徑和線段PB的長；．【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：連接OB。∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°?！唷螼BP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB?！摺螼PB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC?！郃B=AC。（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。又∵PC=，∴。由（1）AB=AC得，解得：r=3?！郃B=AC=4?！逷D是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC?！摺螪PB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則OE=AC=AB=。又∵圓O要與直線MN交點(diǎn)，∴OE=≤r，∴r≥。又∵圓O與直線l相離，∴r＜5?！唷躵＜5．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可。（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5－r，根據(jù)AB=AC推出，求出r，證△DPB∽△CPA，得出，代入求出PB即可。（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r＜5，即可得出答案。9.（2012江蘇南京10分）如圖，A、B為⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角。（1）已知∠APB是上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。①若AB為⊙O的直徑，則∠APB=②若⊙O半徑為1，AB=，求∠APB的度數(shù)（2）已知為外一點(diǎn)，以為圓心作一個(gè)圓與相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB為上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系?！敬鸢浮拷猓海?）①900。②如圖，連接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2?！唷螦OB=90°。當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時(shí)（如圖1），∠APB=∠AOB=45°；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)（如圖2），∠APB=（360°－∠AOB）=135°。（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為以下四種情況．第一種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖3，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB。第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖4，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖5，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖6，∠APB=∠MAN+∠ANB?！究键c(diǎn)】圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。【分析】（1）①根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可得∠APB=900。②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論即可。（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系。10.（2012四川宜賓10分）如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點(diǎn)，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=．過點(diǎn)Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)C．D，連接CP、DP，過點(diǎn)Q任作一直線AB交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)A．B，連接AP、BP、AC．DB，且AC與DB的延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若PQ=2，試求∠E度數(shù)．【答案】（1）證明：∵⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=，∴PC=4，PD=2?！逤D⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。∴PC．PD分別是⊙O1、⊙O2的直徑，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD?！?，即。（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=。∴∠CPQ=60°。∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=?！唷螾DQ=45°?！唷螩AQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。又∵PD是⊙O2的直徑，∴∠PBD=90°?！唷螦BE=90°﹣∠PBQ=45°。在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。答：∠E的度數(shù)是75°?！究键c(diǎn)】相交兩圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?）求出PC、PD，證△PAB∽△PCD，得出，從而。（2）由cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°。由圓周角定理，得出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可。11.（2012四川廣安9分）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求證：直線CP是⊙O的切線．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求點(diǎn)B到AC的距離．（3）在第（2）的條件下，求△ACP的周長．【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴2∠BCP+2∠BCA=180°?！唷螧CP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。又∵AC是⊙O的直徑，∴直線CP是⊙O的切線。（2）如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵PC⊥AC，∴BD∥PC?！唷螾CB=∠DBC?！逤=2，sin∠BCP=∴，解得：DC=2。∴由勾股定理得：BD=4?！帱c(diǎn)B到AC的距離為4。（3）如圖，連接AN，在Rt△ACN中，，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3?！連D∥CP，∴△ABD∽△ACP。∴，即?！唷Ｔ赗t△ACP中，?！唷鰽CP的周長為。【考點(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（1））根據(jù)∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，從而得到∠BCP+∠BCA=90°，證得直線CP是⊙O的切線。（2）作BD⊥AC于點(diǎn)D，得到BD∥PC，從而利用求得DC=2，再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)B到AC的距離為4。（3）先求出AC的長度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例線段關(guān)系求得CP的長度，再由勾股定理求出AP的長度，從而求得△ACP的周長。12.（2012四川達(dá)州7分）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)P.（1）求證：PC是⊙O的切線.（2）若AF=1，OA=，求PC的長.【答案】解：（1）證明：連結(jié)OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE?！郌A=FC?！唷螰AC=∠FCA?！逴A=OC，∴∠OAC=∠OCA?！唷螼AC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO?！逨A與⊙O相切，且AB是⊙O的直徑，∴FA⊥AB?！唷螰CO=∠FAO=90°。又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線。（2）∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°。而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO?！唷！逤O=OA=，AF=1，∴PC=PA。設(shè)PA=x，則PC=在Rt△PCO中，由勾股定理得，，解得：?！郟C?！究键c(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°，然后即可證明結(jié)論。（2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，從而也可得出PC得長。13.（2012四川德陽14分）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連結(jié)并延交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長線于G.⑴求證：AE·FD=AF·EC；⑵求證：FC=FB；⑶若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長.【答案】（1）證明：∵BD是⊙O的切線，∴∠DBA=90°?！逤H⊥AB，∴CH∥BD?！唷鰽EC∽△AFD?！?。∴AE?FD=AF?EC。（2）證明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF?！?。∵CE=EH（E為CH中點(diǎn)），∴BF=DF?！逜B為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠DCB=90°?！郈F=DF=BF，即CF=BF。（3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，∴EF=FC?！唷螰CE=∠FEC?！摺螦HE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°?！摺螦EH=∠CEF，∴∠G=∠FAG?！郃F=FG?！逨B⊥AG，∴AB=BG。連接OC，BC，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB?！逴C=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC∴∠FCB=∠CAB?！摺螦CB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG?！郈G是⊙O切線?！逩BA是⊙O割線，F(xiàn)B=FE=2，由切割線定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，【注，沒學(xué)切割線定理的可由△AGC∽△CGB求得】在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，∴FG2﹣4FG﹣12=0。解得：FG=6，F(xiàn)G=﹣2（舍去）。由勾股定理得：AB=BG=?！唷袿的半徑r是?！究键c(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可。（2）證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，從而由勾股定理求得AB=BG的長，從而得到⊙O的半徑r。14.（2012四川資陽9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BＣ于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連結(jié)EP、CP、OP．（1）(3分)BD＝DC嗎？說明理由；（2）(3分)求∠BOP的度數(shù)；（3）(3分)求證：CP是⊙O的切線；如果你解答這個(gè)問題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個(gè)問題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目．在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說：“設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，證△AOG∽△CPG”；小強(qiáng)說：“過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，證四邊形CHOP是矩形”．【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：連接AD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°?！逜B=AC，∴BD=DC。（2）∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，∴∠BAD=∠CAD?！??！郆D=DE?！郆D=DE=DC?！唷螪EC=∠DCE?！摺鰽BC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=(180°－30°)=75°?！唷螪EC=75°。∴∠EDC=180°－75°－75°=30°?！連P∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°?！唷螦BP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°?！逴B=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°?！唷螧OP=90°。（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，則∠AOG=∠BOP=90°。在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴。又∵，∴?！唷Ｓ帧摺螦GO=∠CGP，[w∴△AOG∽△CPG?！唷螱PC=∠AOG=90°。∴CP是⊙的切線。【考點(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定?！痉治觥浚?）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以∠BAD=∠CAD，故，從而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù)，再根據(jù)BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進(jìn)而得出∠ABP的度數(shù)，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP=90°。（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知，由得，，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切線。15.（2012山東濱州12分）如圖1，l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長度，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在這些平行線上．過點(diǎn)A作AF⊥l3于點(diǎn)F，交l2于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CE⊥l2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)G．（1）求證：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面積；（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h1，h2，h3，試用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面積S．【答案】解：（1）證明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF?！郤正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，正方形的性質(zhì)。【分析】（1）直接根據(jù)HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根據(jù)S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出結(jié)論。（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根據(jù)（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，從而得出結(jié)論。16.（2012山東泰安10分）如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為C，BG交AE于點(diǎn)H．（1）求證：△ABE∽△ECF；（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；（3）若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求EM的長．【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°?！唷螧AE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。（2）△ABH∽△ECM。證明如下：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°?！唷螦BH=∠ECM。由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。（3）作MR⊥BC，垂足為R，∵AB=BE=EC=2，∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°?！唷螹ER=45°，CR=2MR?！郙R=ER=。∴EM=?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得：△ABE∽△ECF。（2）由BG⊥AC，易證得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可證得△ABH∽△ECM。（3）首先作MR⊥BC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM=即可求得答案。17.（2012山東聊城10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長線于點(diǎn)D．（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長．【答案】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線。理由如下：連接AP?！逜B=AC，∴。又∵，∴。∴PA是⊙O的直徑。∵，∴∠1=∠2。又∵AB=AC，∴PA⊥BC。又∵DP∥BC，∴DP⊥PA?！郉P是⊙O的切線。（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E。．由垂徑定理，得BE=BC=6。在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=。∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，∴，即，解得：。【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，得出，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證。（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進(jìn)而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長。18.（2012山東東營10分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面積．【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。（2）證明：如圖，延長AD至F，使DF=BE．連接CF。由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF?！唷螧CE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°。又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°?！逤E＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。（3）如圖，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCD為正方形?！郃G＝BC。已知∠DCE＝45°，根據(jù)（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。 ∴10=4+DG，即DG=6。設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。解這個(gè)方程，得：x=12或x=－2（舍去）。∴AB=12。∴?！嗵菪蜛BCD的面積為108?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！痉治觥浚?）由四邊形是ABCD正方形，易證得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，從而可得GE=BE+GD。（3）過C作CG⊥AD，交AD延長線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長，設(shè)AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長，從而求得直角梯形ABCD的面積。19.（2012廣西來賓10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D垂直于AC的直線交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）如圖AD=5，AE=4，求⊙O的直徑．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，∵AD為∠CAB的平分線，∴∠CAD=∠BAD。又OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∴∠CAD=∠ODA?！郃C∥OD?！唷螮+∠EDO=180°。又AE⊥ED，即∠E=90°，∴∠EDO=90°。∴OD為圓O的切線。（2）解：如圖，連接BD，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°。在Rt△AED中，AE=4，AD=5，∴。又∵∠EAD=∠DAB，在Rt△ABD中，∴?！?，即圓的直徑為?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）連接OD，由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OA=OD，得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AC∥OD，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠E與∠EDO互補(bǔ)，再由∠E為直角，可得∠EDO為直角，即DE為圓O的切線。（2）連接BD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角的性質(zhì)，得到∠ADB=90°。在Rt△AED中，由AE和AD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD。又在Rt△ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到，即可求出直徑AB的長。20.（2012廣西柳州10分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．（1）請(qǐng)你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時(shí)先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；第一步，過點(diǎn)A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點(diǎn)D；第二步，過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E．第三步，連接BD．（2）求證：AD2=AE?AB；（3）連接EO，交AD于點(diǎn)F，若5AC=3AB，求的值．【答案】解：（1）如圖：（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°。∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB。∴Rt△ADE∽R(shí)t△ABD。∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE?AB。（3）如圖，連接OD、BC，它們交于點(diǎn)G，∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨設(shè)AC=3x，AB=5x，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°?！唷螮CG=90°。又∵∠CAD=∠DAB，∴?！郞D垂直平分BC?！郞D∥AE，OG=AC=x?！嗨倪呅蜤CGD為矩形。∴CE=DG=OD－OG=x－x=x?！郃E=AC+CE=3x+x=4x。∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF?！郃E：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：x=8：5?！唷！究键c(diǎn)】圓的綜合題，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點(diǎn)D；點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為點(diǎn)E。（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)相似三角形的判定得到Rt△ADE∽R(shí)t△ABD，根據(jù)相似的性質(zhì)得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性質(zhì)即可得到AD2=AE?AB。（3）連接OD、BC，它們交于點(diǎn)G，由5AC=3AB，則不妨設(shè)AC=3x，AB=5x，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到，根據(jù)垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，則有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四邊形ECGD為矩形，則可求出CE，從而計(jì)算出AE，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，則AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到的值。21.（2012廣西桂林10分）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心，順次連接A、O1、B、O2．(1)求證：四邊形AO1BO2是菱形；(2)過直徑AC的端點(diǎn)C作⊙O1的切線CE交AB的延長線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE＝2O2D；(3)在(2)的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．【答案】解：（1）證明：∵⊙O1與⊙O2是等圓，∴AO1=O1B=BO2=O2A∴四邊形AO1BO2是菱形。（2）證明：∵四邊形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。∵CE是⊙O1的切線，AC是⊙O1的直徑，∴∠ACE=∠AO2C∴△ACE∽△AO2D?！?，即CE=2DO2。（3）∵四邊形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D?！唷！郃D=2BD。