專題15利用相似三角形測高（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊

專題15利用相似三角形測高（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)2種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.利用陽光下的影子測量旗桿的高度（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.利用標(biāo)桿測量旗桿的高度（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.利用鏡子的反射測量旗桿的高度（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.求影子在坡（或墻）面上時(shí)物體的高度題型2.利用相似測量河寬【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.利用相似三角形測物高【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握幾種測量物體高度的方法與原理，能綜合運(yùn)用相似三角形的判定定理和相似三角形的定義解決問題。通過設(shè)計(jì)測量旗桿高度的方案，學(xué)會(huì)將實(shí)物圖形抽象成幾何圖形的方法，體會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化思想。【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.利用陽光下的影子測量旗桿的高度（重點(diǎn)）【例1】（2022秋·陜西延安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，某學(xué)習(xí)小組為了測量校園內(nèi)一棵小樹的高度，用長為的竹竿作測量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點(diǎn)，且點(diǎn)，，在同一直線上．已知，，求這棵樹的高度．【變式】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）賀哲同學(xué)的身高1.86米，影子長3米，同一時(shí)刻金老師的影子長2.7米，則金老師的身高為米（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。知識(shí)點(diǎn)2.利用標(biāo)桿測量旗桿的高度（難點(diǎn)）【例2】（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝m．【變式】如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面，竹桿頂端離地面，小明到竹桿的距離，竹桿到塔底的距離，求這座古塔的高度．知識(shí)點(diǎn)3.利用鏡子的反射測量旗桿的高度（重點(diǎn)）【例3】（2022秋·九年級(jí)單元測試）李師傅用鏡子測量一棵古樹的高，但樹旁有一條小河，不便測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，第一次把鏡子放在點(diǎn)（如圖所示），人在點(diǎn)正好在鏡中看到樹尖；第二次他把鏡子放在處，人在處正好看到樹尖．已知李師傅眼睛距地面的高度為，量得為，為，為，求樹高．【變式1】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）每年的秋冬季節(jié)，青竹湖湘一外國語學(xué)校的銀杏大道是學(xué)校最為靚麗的一條風(fēng)景線，數(shù)學(xué)彭老師有一天為了測量一棵高不可攀的銀杏樹高度，他利用了反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測量方案：把鏡子放在離銀杏樹m的點(diǎn)處，然后觀測者沿著直線后退到點(diǎn)，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)，再用皮尺量得m，觀測者目高m，則樹高約是多少米？【變式2】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小強(qiáng)在地面E處放一面鏡子，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，此時(shí)EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC＝1.6米，請(qǐng)計(jì)算出教學(xué)樓AB的高度．（根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角）【變式3】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽日月島上“生態(tài)守護(hù)者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他們帶著測量工具來到雕像前進(jìn)行測量，測量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點(diǎn)C沿后退，當(dāng)退行0.9米到E處時(shí)，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時(shí)測得蘇海眼睛到地面的距離為1.2米；然后，蘇海沿的延長線繼續(xù)后退到點(diǎn)G，用測傾器測得雕像的頂端A的仰角為，此時(shí)，測得米，測傾器的高度米．已知點(diǎn)B、C、E、G在同一水平直線上，且、、均垂直于，求雕像的高度．

【方法二】實(shí)例探索法題型1.求影子在坡（或墻）面上時(shí)物體的高度1．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在離某建筑物處有一棵樹，在某時(shí)刻，長的竹竿垂直地面，影長為，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影高為，那么這棵樹高約有多少米？2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上.若鐵塔底座寬CD=12m，塔影長m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時(shí)刻小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，求塔高AB．題型2.利用相似測量河寬3．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為測量一河兩岸相對(duì)電線桿、之間的距離，有四位同學(xué)分別測量出了一下四組數(shù)據(jù)：①，；②，，；③，，；④，，；能根據(jù)所測數(shù)據(jù)，求出、間距離的共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組4．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得，，點(diǎn)E在上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測得，，，則河的寬度為（）A． B． C． D．5．（2023春·湖南岳陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，在近岸取點(diǎn)，，，使得，，點(diǎn)在上，并且點(diǎn)，，在同一條直線上．若測得，，，則河的寬度等于．6．（2021春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的P點(diǎn)處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為________米．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.利用相似三角形測物高1．（2022?德州）如圖，把一根長為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m2．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m3．（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時(shí)刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．4．（2021?吉林）如圖，為了測量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長為4.5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出竿上AD長為1m時(shí)，它離地面的高度DE為0.6m，則壩高CF為m．5．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．6．（2021?南通）如圖，利用標(biāo)桿DE測量樓高，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？7．（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時(shí)刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．【方法四】成果評(píng)定法一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?德城區(qū)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的辦法，如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點(diǎn)E，若測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米2．（2023春?尤溪縣期末）如圖，淇淇同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，淇淇的身高為1.7m，則樹高為（）A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m3．（2023?城關(guān)區(qū)一模）四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點(diǎn)F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點(diǎn)H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實(shí)地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023春?臨淄區(qū)期末）如圖，將一個(gè)裝有水的杯子傾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一個(gè)寬BC＝6cm，長CD＝16cm的矩形．當(dāng)水面觸到杯口邊緣時(shí)，邊CD恰有一半露出水面，那么此時(shí)水面高度是（）A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm5．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m6．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高2m，測得AB＝3m，BC＝6m．則建筑物CD的高是（）A．4m B．9m C．8m D．6m7．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“E”字高度為62.7mm，當(dāng)測試距離為3m時(shí)，最大的“E”字高度為（）A．37.62mm B．43mm C．43.62mm D．104.5mm8．（2023春?福山區(qū)期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．如果標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m，BC＝12.6m，則樓高CD是（）A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m9．（2023春?新泰市期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m10．（2023春?芝罘區(qū)期末）操場上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在操場的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長為2.6m，同時(shí)測得一根高為2m的竹竿OM的影長是ON＝1.6m，請(qǐng)根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m二．填空題（共8小題）11．（2022秋?邗江區(qū)期末）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB．他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm．EF＝30cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB是m．12．（2023?海州區(qū)一模）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為．13．（2023?長嶺縣模擬）為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與河岸垂直，然后在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．已測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，則河寬PQ＝m．14．（2023春?乳山市期末）小明在測量教學(xué)樓的高度時(shí)，先測出教學(xué)樓落在地面上的影長為20米，然后豎直放置一根高為2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長為3米，則樓高為米．15．（2023?吉林二模）如圖是某風(fēng)力發(fā)電機(jī)示意圖，其相同的三個(gè)葉片均勻分布，每個(gè)葉片長30m，即OA＝30m．水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方70m，即OM＝70m．當(dāng)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片外端點(diǎn)A離地面的高度最大時(shí)，若垂直于地面的木棒EF與影長FG的比為1：2，則此刻風(fēng)力發(fā)電機(jī)的影長為m．16．（2023?松原一模）如圖①，西周數(shù)學(xué)家商高用“矩”測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖②的位置，從矩的一端A（人眼）望點(diǎn)E，使視線通過點(diǎn)C，記人站立的位置為點(diǎn)B，量出BG的長，即可算得物高EG．經(jīng)測量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．設(shè)BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．17．（2023春?任城區(qū)期末）如圖，小華站在樓AB的底端A處，眺望樓CD的頂端D，發(fā)現(xiàn)視線MD與水平線ME的夾角為α；然后，小華保持身體姿勢不變轉(zhuǎn)身后退，當(dāng)退到點(diǎn)F處時(shí)，發(fā)現(xiàn)視線BE與水平線EM的夾角也為α．已知點(diǎn)F恰好為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，EM⊥AB，樓AB的高度為7米，小華眼睛距離地面的高度EF＝MA＝1.5米，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算出大樓CD的高度為米．18．（2023春?萊州市期末）如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子中看到大樓頂部．如果王青眼睛與地面的距離KL＝1.6m，同時(shí)量得LM＝0.4m，MS＝5m，則樓高TS＝m．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?大荔縣期末）下表是小明填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算小河的寬度．題目測量小河寬度AB目標(biāo)示意圖測量數(shù)據(jù)BC＝1米，BD＝10米，DE＝1.2米20．（2023?西安校級(jí)模擬）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)B和點(diǎn)C，分別在AB、AC的延長線上取點(diǎn)D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點(diǎn)E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋AF的長度．21．（2023?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，小明用自制的直角三角形紙板DEF測量水平地面上樹AB的高度，已知兩直角邊EF：DE＝2：3，他調(diào)整自己的姿勢和三角形紙板的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，DM垂直于地面，測得AM＝21m，邊DF離地面的距離為1.6m，求樹高AB．22．（2023?寶雞二模）某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個(gè)花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點(diǎn)B、D、E、G在同一水平線上．請(qǐng)你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計(jì)）23．（2022秋?昌圖縣期末）小明同學(xué)自制了一個(gè)直角三角形紙板，將三個(gè)頂點(diǎn)分別標(biāo)記為D、E、F，測得紙板兩條直角邊DE＝8cm，EF＝6cm．如圖，小明使用它測量樹AB的高度時(shí)，先調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且直角邊DE與點(diǎn)B在同一條直線上，同時(shí)測得AC＝1.5m，CD＝8m，求樹AB的高度．??24．（2023春?榮成市期末）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE＝3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．求燈泡到地面的高度AG．25．（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng)，過程如下：項(xiàng)目主題：測量旗桿高度問題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些科學(xué)原理來測量旗桿的高度？組內(nèi)探究：由于旗桿較高，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形硬紙板，標(biāo)桿，鏡子，甚至還可以利用無人機(jī)…確定方法后，先畫出測量示意圖，然后實(shí)地進(jìn)行測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計(jì)算旗桿的高度．成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的部分測量方案：方案一方案二…測量工具標(biāo)桿，皮尺自制直角三角板硬紙板，皮尺…測量示意圖?說明：線段AB表示