專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關系（1個知識點6種題型1個易錯點2種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

【關注公眾號：林樾數(shù)學】免費獲取更多初高中數(shù)學學習資料專題08一元二次方程的根與系數(shù)的關系（1個知識點6種題型1個易錯點2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系（難點）【方法二】實例探索法題型1：已知方程的一個根，求另一個根及字母系數(shù)的值題型2：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程題型5：根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合題型6：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關系?！痉椒ㄋ摹糠抡鎸崙?zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關系的直接應用考法2：一元二次方程根與系數(shù)關系的綜合應用【方法五】成果評定法【學習目標】1.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系，能利用根與系數(shù)的關系求一元二次方程的兩根之和、兩根之積及與兩根有關的代數(shù)式的值。2.能運用根與系數(shù)的關系由已知一元二次方程一個根求另一個根或由一元二次方程的根確定一元二次方程?！局R導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系（難點）韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關系．【例1】如果，是方程的兩個根，那么=_____________；=_______________．【變式1】（2023春·廣東揭陽·九年級?？茧A段練習）設一元二次方程的兩個實根為和，則（）A． B．2 C． D．3【變式2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）若一元二次方程的兩根分別為，，則代數(shù)式________．【方法二】實例探索法題型1：已知方程的一個根，求另一個根及字母系數(shù)的值1.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．2．（2023·新疆生產(chǎn)建設兵團第一中學校考一模）已知關于x的一元二次方程的兩根分別記為，若，則______．3．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）已知一元二次方程的一個根為2，則它的另一個根為________．題型2：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值4.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．5.已知的值．6.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．題型3：已知用方程兩根表示的代數(shù)式的值，求字母系數(shù)的值7．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）關于的方程的兩實數(shù)根，滿足，則______．8．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，若，則m的值為______．題型4：根據(jù)一元二次方程的兩根確定一元二次方程9.寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是，．題型5：根的判別式與根與系數(shù)關系的綜合10．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考一模）已知是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．11．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）實數(shù)使關于的方程有兩個實數(shù)根，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)給出的兩個值，使方程的根是整數(shù)．題型6：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題12.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．13.已知關于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．14.已知方程：的一個根大于3，另一個根小于3，求a的取值范圍．15．（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考階段練習）閱讀材料：材料1：若一元二次方程的兩個根為，則，．材料2：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、分別滿足，，且．求的值．16．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關于的一元二次方程的兩個根為，，則，．材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為m，n，∴，，則．根據(jù)上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，___________．(2)類比應用：已知一元二次方程的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足，，且，求的值．17．（2023春·福建南平·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個實數(shù)根；(2)若，方程的兩個實數(shù)根分別為（其中），若y是m的函數(shù)，且，求這個函數(shù)的解析式．(3)若m為正整數(shù)，關于x的一元二次方程的兩個根都是整數(shù)，a與分別是關于x的方程的兩個根．求代數(shù)式的值．18．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習）如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結論：設其中一根為t，則另一個根為2t，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結論來解決問題：(1)若是倍根方程，求的值；(2)關于x的一元二次方程是倍根方程，且點在一次函數(shù)的圖像上，求此倍根方程的表達式．19．（2023春·湖北十堰·九年級專題練習）定義：已知是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．20．（2023春·湖北黃石·九年級?？茧A段練習）（1）是關于的一元二次方程的兩實根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，設，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計算可得：，，，當時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關系，并給出證明．21．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）關于的一元二次方程中，、、是的三條邊，其中．(1)求證此方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個根是、，且，求．【方法三】差異對比法22.已知關于x的方程有兩個正整數(shù)根，求整數(shù)k和p的值．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：一元二次方程根與系數(shù)關系的直接應用23．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個根，則_________．24．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)是方程的兩根，則______．25．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．考法2：一元二次方程根與系數(shù)關系的綜合應用26．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．27．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關于的方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為________．28．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．29．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．30．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是______．【方法五】成功評定法一、單選題1．（2023秋·全國·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A． B．4 C． D．32．（2023秋·湖南益陽·九年級校考期末）設方程的兩個根為與，則（

）A．1 B． C．2 D．3．（2022秋·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期末）若方程的兩根為，，則的值（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期中）已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20225．（2022秋·湖南永州·九年級?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€實數(shù)根為，，下列說法：①若a，c異號，則方程一定有實數(shù)根；②若，則方程一定有實數(shù)根；③若，，，由根與系數(shù)的關系可得，其中結論正確的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）若是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知、為一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．9．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知m，n是關于x的方程的兩個根，則的值為（）A． B． C．0 D．10．（2023秋·九年級單元測試）下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題11．（2023·全國·九年級專題練習）若關于x的方程的一個根是3，則此方程的另一個根是．12．（2021春·廣東廣州·九年級?？计谥校┮阎欠匠痰囊粋€解，方程的另一個解為，則．13．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習）已知方程的兩根為，則．14．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）已知關于x的一元二次方程．若方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，則m的值為．15．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）已知、，滿足等式：，則．16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）若方程的兩根為，，則的值為．17．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．18．（2023·全國·九年級專題練習）將兩個關于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝，的最大值是．三、解答題19．（2022秋·甘肅定西·九年級校考期中）已知實數(shù)a、b滿足，，求的值．20．（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）已知，是關于x的方程的兩個實數(shù)根，若，求m的值．21．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．22．（2022秋·湖北隨州·九年級校聯(lián)考階段練習）已知關于的方程．(1)當方程有兩個實數(shù)根時，求的取值范圍；(2)當方程的兩個根滿足時，求的值．23．（2022秋·湖南懷化·九年級統(tǒng)考期中）已知關于的方程．(1)求證：無論取何值，這個方程總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長，另兩邊、恰好是這個方程的兩個根，求的周長．24．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：方程的解為；(2)間接應用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．25．（2022秋·遼寧大連·九年級校考階段練習）材料一：法國數(shù)學家弗朗索瓦·韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關系，提出一