湖北省武漢市2024屆高中畢業(yè)班二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.2.28本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（）A7 B.8 C.9 D.105.設(shè)拋物線的焦點為，過拋物線上點作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.6.法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（）A.31 B.32 C.63 D.647.如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為6 D.若，則10.將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個頂點截面中存在兩個平面互相垂直D.直線平面11.已知函數(shù)恰有三個零點，設(shè)其由小到大分別為，則（）A.實數(shù)的取值范圍是B.C.函數(shù)可能有四個零點D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，其內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，，則的面積為__________．13.設(shè)橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．14.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，求的前項和．16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點，分別為和的中點．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．17.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．18.已知雙曲線：左右焦點為，，其右準(zhǔn)線為，點到直線的距離為，過點的動直線交雙曲線于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點為，證明：直線過定點．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：是其定義域上的增函數(shù)；（3）若，其中且，求實數(shù)的值．武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.2.28本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的值域，集合的交集運算得到結(jié)果即可.【詳解】集合，因為，所以，所以集合，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先待定結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得，結(jié)合模長公式即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)，所以，所以，解得，所以.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】由換底公式得，，，所以.故選：D.4.將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】先將紅球從數(shù)量分成，兩種類型的分組，在分兩類研究以上不同形式下紅球放入三個不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個，將兩類情況的方法總數(shù)相加即可.【詳解】將個紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個最少個，則有，兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有種放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.5.設(shè)拋物線的焦點為，過拋物線上點作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進一步即可求解.【詳解】如圖所示：為準(zhǔn)線與軸的交點，因為，且，所以，因為，所以，而，所以，所以.故選：A6.法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】通過累乘法以及等差數(shù)列求和公式得，進一步得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，即，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，其中，又，所以的最大值為63.故選：C.7.如圖，在函數(shù)部分圖象中，若，則點的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意首先得，進一步得由得，將它們代入函數(shù)表達式結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角公式即可求解.【詳解】由題意，則，所以，設(shè)，因為，所以，解得，所以，所以，又由圖可知，所以.故選：B.8.在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得的軌跡方程，進一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【詳解】因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）過點作，而面，所以面，設(shè)為中點，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設(shè)參即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為6 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，有，可判斷A選項；根據(jù)，得，可判斷B選項；根據(jù)向量減法三角形法則有，分別求出，，有，反向時取得最大值，根據(jù)向量的幾何意義判斷C選項；根據(jù)，得，又，可計算，從而判斷D選項.【詳解】若，則，解得，A正確；若，則，解得，所以，B錯誤；因為，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時等號成立，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，的起點為坐標(biāo)原點，向量的終點在以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為的圓上，向量終點在第二象限，當(dāng)，反向，則向量的終點應(yīng)在第四象限，此時，，所以C正確；若，則，即，所以，，所以，D正確.故選：ACD10.將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直D.直線平面【答案】AC【解析】【分析】對于A，首先求得其中一個正三角形的面積，進一步即可驗算；對于B，首先求得，進一步即可驗算；對于C，證明面面即可判斷；對于D，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，驗算平面法向量與直線方向向量是否垂直即可.【詳解】對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因為，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯.故選：AC.11.已知函數(shù)恰有三個零點，設(shè)其由小到大分別為，則（）A.實數(shù)的取值范圍是B.C.函數(shù)可能有四個零點D.【答案】BCD【解析】【分析】對于B，，證明函數(shù)是奇函數(shù)即可；對于C，將方程等價變形為，由此即可判斷；對于D，由，而，進一步求導(dǎo)運算即可；對于A，通過構(gòu)造函數(shù)可得，由此即可判斷.【詳解】對于B，，設(shè)，則它的定義域為，它關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，由題意有三個根，則，故B正確；對于C，由，所以，所以，即已經(jīng)有3個實根，當(dāng)時，令，則，只需保證可使得方程有4個實根，故C正確；由B可知，，而，又，所以，故D正確；對于A，，設(shè)，則，所以，從而，故A錯誤.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷B選項的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，進一步只需驗證是奇函數(shù)即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，其內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案為：313.設(shè)橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程確定，，的值，結(jié)合已知條件及橢圓定義求出，在中，求出，由誘導(dǎo)公式求出，設(shè)，則，在中由余弦定理構(gòu)造方程，解出值即可.【詳解】設(shè)線段的中垂線與相交于點，由橢圓方程可知，，，；由已知有：，點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，所以，，在中，，，，點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，設(shè)，則，，在中由余弦定理有：,解得，即.故答案為：14.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為__________．【答案】【解析】【分析】定義從出發(fā)最終從1號口出的概率為，結(jié)合獨立乘法、互斥加法列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)從出發(fā)最終從1號口出的概率為，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，求的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得，進一步結(jié)合已知為等差數(shù)列，并在已知式子中令，即可得解.（2）由（1）得時，數(shù)列是等差數(shù)列，故首先求得的值，進一步分類討論即可求解.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，，兩式相減得，因為為等差數(shù)列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，則，但這與矛盾，舍去，所以.【小問2詳解】因為，所以，而當(dāng)時，，所以此時，所以此時，而也滿足上式，綜上所述，的前項和.16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點，分別為和的中點．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）取的中點，通過證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得到結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求線面角的公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接,由，易知為等腰直角三角形，此時，又，所以.因,所以，由，即，所以，此時，,有四點共面，,所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由且,所以平面.由，得等邊三角形，以為原點，所在直線分別為軸，軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面的法向量由,即，取，，又，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為.17.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】17.0.9618.，219.4萬元【解析】【分析】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗回歸方程并預(yù)測.【小問1詳解】，，所以.【小問2詳解】由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.18.已知雙曲線：的左右焦點為，，其右準(zhǔn)線為，點到直線的距離為，過點的動直線交雙曲線于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點為，證明：直線過定點．【答案】（1）（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）由右焦點到右準(zhǔn)線的距離以及通徑長度，結(jié)合之間的平方關(guān)系