專題01銳角三角函數(shù) （3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1種中考考法）（原卷版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題01銳角三角函數(shù)（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.坡度與坡角（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問題題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問題題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒有正確掌握三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.銳角三角函數(shù)定義【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握坡度的概念以及一個(gè)銳角的正弦、余弦及正切的概念。能夠利用三角函數(shù)來算計(jì)三角形的邊長(zhǎng)。重點(diǎn)：銳角的正弦、余弦、正切的概念。難點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用?！颈端賹W(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正切的概念（重點(diǎn)）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊＝．【例1】（2023秋·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，垂直于邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，垂直于邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，菱形的面積為時(shí)，求的值．【變式】．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么∠ABC的正切值為．知識(shí)點(diǎn)2.坡度與坡角（重點(diǎn)）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．【例2】．（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米．知識(shí)點(diǎn)3.正弦、余弦（重點(diǎn)、難點(diǎn)）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對(duì)邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．【例3】（2023秋·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，，那么的值是（

）A．2 B． C． D．【變式】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第二十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，則等于（

）

A． B． C． D．【方法二】實(shí)例探索法題型1.計(jì)算銳角的三角函數(shù)值1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市光華中學(xué)校?？计谥校┰谥?，若，，，則．2．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，則的余弦值為.3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點(diǎn)D，則的值為．題型2.構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值4．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則的值為．5．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，中，，是邊上的中線，分別過點(diǎn)C，D作的平行線交于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)O，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的值．題型3.三角函數(shù)與實(shí)際問題6．（2023春?宣城月考）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，若坡比i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．45m D．30m7．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長(zhǎng)為（）A．12米 B．米 C．米 D．米題型4.三角函數(shù)與旋轉(zhuǎn)問題8．（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是的角平分線，．將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，那么的正切值為．

9．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列），為銳角，且．(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．10．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？既＃﹩栴}背景：小李在探究幾何圖形的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了一組非常神奇的性質(zhì)：如圖1，等邊三角形中，連接可以得到，好學(xué)的他發(fā)問取的中點(diǎn)，得到的是特殊三角形嗎？請(qǐng)說明理由；遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，構(gòu)造正方形繞O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，，連接，求的值；聯(lián)系拓展：如圖3，等腰，中，，當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中取的中點(diǎn)M，N，連接，若，且時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)度．

題型5.根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)11．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．24 C．5 D．1212．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．4 C． D．813．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，則．14．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形，是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，．點(diǎn)在該正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．

15．（2023秋·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，如果，那么．17．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，．以點(diǎn)A為圓心、長(zhǎng)為半徑作弧，交邊于點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)、邊的中點(diǎn)，連接．若，則線段的長(zhǎng)為．

18．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，．求的大小和的長(zhǎng)．19．（2023春·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，O是與的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長(zhǎng)．20．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證；(2)求證：(3)若，，求的長(zhǎng)．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：沒有正確掌握三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化21．（2022秋?懷寧縣月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．22．（2022秋?池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．23．（2023春?金安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinB＝．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法.銳角三角函數(shù)定義1．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．32．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．3．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．4．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)高新一中校考期中）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)D，若，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，，若，，則的值為（

）A． B．2 C． D．3．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，已知，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，那么的值是（）A．2 B． C． D．5．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的值是（）A．1 B． C． D．26．（2023秋·山東泰安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）中，的對(duì)邊分別為．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)B在線段上，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．38．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為、、的三個(gè)正方形，則、、滿足的關(guān)系式是（

）

A． B． C． D．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線方向勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段的長(zhǎng)度為y，圖2是表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象，其中點(diǎn)E為曲線的最低點(diǎn)，下列結(jié)論①，②，③的面積為，④中邊上的高為4，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則的值為．12．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則t的值是．

13．（2023秋·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著的路線向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接，若是以為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)可以是．

14．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，，，則的值為．15．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)G為的重心，若，，那么的長(zhǎng)等于．

16．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)D在上，連接，將沿翻折，使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則．

17．（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)（不含B、C兩個(gè)端點(diǎn)），將沿折疊得到，當(dāng)所在的直線與的一邊垂直時(shí)，點(diǎn)D到邊的距離是．

18．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．

三、作圖題19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)按要求畫出圖形，使得它們的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫一個(gè)以為直角邊的直角，且為軸對(duì)稱圖形：(2)畫一個(gè)面積為8的，且；(3)請(qǐng)直接寫出的正弦值．四、證明題20．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線垂直平分對(duì)角線，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且．(1)求證：四邊形AECD是菱形．(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的值為．21．（2023秋·上海青浦·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，且，若與的面積比為∶．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求．22．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，連結(jié)，，且與相交于點(diǎn)O．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若平分，，，求四邊形的面積．23．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，連結(jié)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，過點(diǎn)作的平行線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)連結(jié)，若，則的值為________．24．（2023·廣東河源·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊