2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)欽州市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3廣西壯族自治區(qū)欽州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試試卷一、單選題（每題5分，共分）1.下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（）X3459PA. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，解得.故選：C.2.已知事件，互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭录コ?，它們都不發(fā)生的概率為，所以.將代入上式可得，所以，.故選:B.3.據(jù)美國的一份資料報(bào)道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（）A.0.025% B.0.032% C.0.048% D.0.02%〖答案〗A〖解析〗設(shè)不吸煙患肺癌的概率為，則，解得.故選：A4.的展開式中所有的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，，則展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：A.5.有5件不同款式的上衣和8條不同顏色的長褲，若一件上衣與一條長褲配成一套，則不同的配法種數(shù)為（）A.13 B.40 C.72 D.60〖答案〗B〖解析〗由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的配法種數(shù)為.故選：B.6.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（）參考數(shù)據(jù)：，，．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，，所以．故選：A7.定義：“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1005，2013”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A.20 B.56 C.84 D.120〖答案〗B〖解析〗“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，故首位最大為6，且首位不為0，則有：若首位為6，則剩余三位均為0，共有1個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為5，則剩余三位為，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為4，則剩余三位為或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位2，則剩余三位為或或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為或或或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；綜上所述：共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”.故選：B.8.某人用字母v，r，y各1個(gè)和2個(gè)字母e拼寫英語單詞“every”，那么他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)e，v，e，r，y5個(gè)字母排列也就是將e，v，e，r，y放入5個(gè)確定的位置，先從5個(gè)位置中選出2個(gè)位置放2個(gè)e，有種方法，再將剩下3個(gè)字母全排放入其他兩個(gè)位置，有種方法，因此共有種方法，而寫對(duì)的可能只有1種，所以他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的情況有種，所以他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的概率為.故選：D.二、多選題（每題6分，共分）9.已知數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，則（）A.數(shù)列的第項(xiàng)小于 B.數(shù)列不可能是等比數(shù)列C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列中存在大于的項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗由題知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，又，且，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項(xiàng)，即對(duì)于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD10.現(xiàn)有個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有人、人、人、人，則下列說法正確的是（）A.選人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為B.每組選名組長的選法種數(shù)為C.若推選人發(fā)言，這人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為D.若另有名學(xué)生加入這個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有種〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有（人），故選人為負(fù)責(zé)人的選法共有種，A對(duì)；對(duì)于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選名組長，所以不同的選法共有（種），B錯(cuò)；對(duì)于C，分六類：從第一、二組中各選人，有種不同的選法；從第一、三組中各選人，有種不同的選法；從第一、四組中各選人，有種不同的選法；從第二、三組中各選人，有種不同的選法；從第二、四組中各選人，有種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有種不同的選法.所以不同的選法共有（種），C錯(cuò)；對(duì)于D，若不考慮限制條件，每個(gè)人都有種選法，共有種選法，其中第一組沒有人選，每個(gè)人都有種選法，共有種選法，所以不同的選法有（種），D對(duì).故選：AD．11.如圖所示，是一個(gè)3×3九宮格，現(xiàn)從這9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑出3個(gè)不同的數(shù)字，記事件A1：恰好挑出的是1、2、3；記事件A2：恰好挑出的是1、4、7；記事件A3：挑出的數(shù)字里含有數(shù)字1.下列說法正確的是（）123456789A.事件A1，A2是互斥事件B.事件A1，A2是獨(dú)立事件C.P(A1|A3)＝P(A2|A3)D.P(A3)＝P(A1)＋P(A2)〖答案〗AC〖解析〗A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同時(shí)發(fā)生，正確；B.事件A1，A2不是獨(dú)立事件，錯(cuò)誤；C.，正確；D.，，錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（每題5分，共分）12.已知，則的值是______.〖答案〗〖解析〗令，則，即令，則，即，兩式相加可得.故〖答案〗為：13.已知向量，，且，，則______〖答案〗〖解析〗由知，，解得，故，又則，解得，故〖答案〗為：14.已知隨機(jī)變量，若對(duì)，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，而，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，則，所以的取值范圍是．故〖答案〗為：四、解答題15.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng).（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）由是與的等比中項(xiàng)，得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，即.，即.數(shù)列是等差數(shù)列.（2）數(shù)列首項(xiàng)，公差，通項(xiàng)公式為.則，則①兩邊同時(shí)乘以，得②①-②，得.解得.16.某班級(jí)數(shù)學(xué)競賽學(xué)習(xí)興趣小組有9名學(xué)生，若從這9名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中至少有1名女生的概率是.（1）該小組中男女學(xué)生各多少人？（2）若9名學(xué)生站成一排，要求男生必須兩兩站在一起（不能有3名男生站在一起），有多少種站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）解：（1）設(shè)男生有人，則至少1名女生，即，又，且，解得，故男生有人，女生有人.（2）第一步：將6名男生分成3組，共有種方法；第二步：3組男生中每組男生站隊(duì)方法共有種；第三步：3名女生站好隊(duì)，然后將3組男生插入其中，共有種方法；所以一共有種站隊(duì)方法.17.已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，可得，，兩式相減得，又，，即，，又，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，所以.18.為打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，解決脫貧問題，政府重點(diǎn)扶持扶貧工廠.當(dāng)?shù)貙?duì)某扶貧工廠進(jìn)行設(shè)備改造，為分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測質(zhì)量指標(biāo)值.該產(chǎn)品為次品、合格品、優(yōu)等品所對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值范圍分別為，，.設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表如下所示.質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)14473810（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為設(shè)備改造與產(chǎn)品為次品有關(guān)？次品非次品合計(jì)改造前改造后合計(jì)（2）若工人的月工資是由基本工資1000元與效益工資兩部分組成.效益工資實(shí)施細(xì)則如下：每生產(chǎn)一件產(chǎn)品是合格品的獎(jiǎng)50元，是優(yōu)等品的獎(jiǎng)100元，是次品的扣20元.將頻率視為概率，估計(jì)設(shè)備改造后，一個(gè)月生產(chǎn)60件產(chǎn)品的工人月工資為多少元？附：0.1500.1000.05000250.0102.0722.7063.8415.0246.635解：（1）根據(jù)圖表得到列聯(lián)表：次品非次品合計(jì)設(shè)備改造前1585100設(shè)備改造后595100合計(jì)20180200將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：.∴有的把握認(rèn)為設(shè)備改造與產(chǎn)品為次品有關(guān).（2）優(yōu)等品效益工資：（元），合格品效益工資：（元），次品效益工資：（元），工人的月工資約為（元），設(shè)備改造后，一個(gè)月生產(chǎn)60件產(chǎn)品的工人月工資大約為4090元.19.根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有個(gè)孩子的概率模型為：1230（其中）每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為，且相互獨(dú)立，事件表示一個(gè)家庭有個(gè)孩子，事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多（若一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多）.（1）若，求，并根據(jù)全概率公式求；（2）是否存在值，使得，請說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，解得.由題意，得.由全概率公式，得又，所以.（2）由，得.假設(shè)存在，使.將上述兩式相乘，得，化簡，得.設(shè)，則.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以不存在使得.即不存在值，使得.廣西壯族自治區(qū)欽州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試試卷一、單選題（每題5分，共分）1.下表是離散型隨機(jī)變量的分布列，則常數(shù)的值是（）X3459PA. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，解得.故選：C.2.已知事件，互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭录?，互斥，它們都不發(fā)生的概率為，所以.將代入上式可得，所以，.故選:B.3.據(jù)美國的一份資料報(bào)道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（）A.0.025% B.0.032% C.0.048% D.0.02%〖答案〗A〖解析〗設(shè)不吸煙患肺癌的概率為，則，解得.故選：A4.的展開式中所有的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，，則展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：A.5.有5件不同款式的上衣和8條不同顏色的長褲，若一件上衣與一條長褲配成一套，則不同的配法種數(shù)為（）A.13 B.40 C.72 D.60〖答案〗B〖解析〗由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的配法種數(shù)為.故選：B.6.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（）參考數(shù)據(jù)：，，．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，，所以．故選：A7.定義：“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1005，2013”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A.20 B.56 C.84 D.120〖答案〗B〖解析〗“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，故首位最大為6，且首位不為0，則有：若首位為6，則剩余三位均為0，共有1個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為5，則剩余三位為，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為4，則剩余三位為或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位2，則剩余三位為或或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為或或或或，共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”；綜上所述：共有個(gè)“幸運(yùn)數(shù)”.故選：B.8.某人用字母v，r，y各1個(gè)和2個(gè)字母e拼寫英語單詞“every”，那么他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)e，v，e，r，y5個(gè)字母排列也就是將e，v，e，r，y放入5個(gè)確定的位置，先從5個(gè)位置中選出2個(gè)位置放2個(gè)e，有種方法，再將剩下3個(gè)字母全排放入其他兩個(gè)位置，有種方法，因此共有種方法，而寫對(duì)的可能只有1種，所以他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的情況有種，所以他寫錯(cuò)這個(gè)英語單詞的概率為.故選：D.二、多選題（每題6分，共分）9.已知數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，則（）A.數(shù)列的第項(xiàng)小于 B.數(shù)列不可能是等比數(shù)列C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列中存在大于的項(xiàng)〖答案〗BCD〖解析〗由題知，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，又，且，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項(xiàng)，即對(duì)于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD10.現(xiàn)有個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有人、人、人、人，則下列說法正確的是（）A.選人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為B.每組選名組長的選法種數(shù)為C.若推選人發(fā)言，這人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為D.若另有名學(xué)生加入這個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有種〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有（人），故選人為負(fù)責(zé)人的選法共有種，A對(duì)；對(duì)于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選名組長，所以不同的選法共有（種），B錯(cuò)；對(duì)于C，分六類：從第一、二組中各選人，有種不同的選法；從第一、三組中各選人，有種不同的選法；從第一、四組中各選人，有種不同的選法；從第二、三組中各選人，有種不同的選法；從第二、四組中各選人，有種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有種不同的選法.所以不同的選法共有（種），C錯(cuò)；對(duì)于D，若不考慮限制條件，每個(gè)人都有種選法，共有種選法，其中第一組沒有人選，每個(gè)人都有種選法，共有種選法，所以不同的選法有（種），D對(duì).故選：AD．11.如圖所示，是一個(gè)3×3九宮格，現(xiàn)從這9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑出3個(gè)不同的數(shù)字，記事件A1：恰好挑出的是1、2、3；記事件A2：恰好挑出的是1、4、7；記事件A3：挑出的數(shù)字里含有數(shù)字1.下列說法正確的是（）123456789A.事件A1，A2是互斥事件B.事件A1，A2是獨(dú)立事件C.P(A1|A3)＝P(A2|A3)D.P(A3)＝P(A1)＋P(A2)〖答案〗AC〖解析〗A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同時(shí)發(fā)生，正確；B.事件A1，A2不是獨(dú)立事件，錯(cuò)誤；C.，正確；D.，，錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（每題5分，共分）12.已知，則的值是______.〖答案〗〖解析〗令，則，即令，則，即，兩式相加可得.故〖答案〗為：13.已知向量，，且，，則______〖答案〗〖解析〗由知，，解得，故，又則，解得，故〖答案〗為：14.已知隨機(jī)變量，若對(duì)，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，得，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，而，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，則，所以的取值范圍是．故〖答案〗為：四、解答題15.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為是與的等比中項(xiàng).（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）由是與的等比中項(xiàng)，得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，即.，即.數(shù)列是等差數(shù)列.（2）數(shù)列首項(xiàng)，公差，通項(xiàng)公式為.則，則①兩邊同時(shí)乘以，得②①-②，得.解得.16.某班級(jí)數(shù)學(xué)競賽學(xué)習(xí)興趣小組有9名學(xué)生，若從這9名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中至少有1名女生的概率是.（1）該小組中男女學(xué)生各多少人？（2）若9名學(xué)生站成一排，要求男生必須兩兩站在一起（不能有3名男生站在一起），有多少種站隊(duì)的方法？（要求用數(shù)字作答）解：（1）設(shè)男生有人，則至少1名女生，即，又，且，解得，故男生有人，女生有人.（2）第一步：將6名男生分成3組，共有種方法；第二步：3組男生中每組男生站隊(duì)方法共有種；第三步：3名女生站好隊(duì)，然后將3組男生插入其中，共有種方法；所以一共有種站隊(duì)方法.17.已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，可得，，兩式相減得，又，，即，，又，解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，所以.18.為打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，解決脫貧問題，政府重點(diǎn)扶持扶貧工廠.當(dāng)?shù)貙?duì)某扶貧工廠進(jìn)行設(shè)備改造，為分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，檢測質(zhì)量指標(biāo)值.