2022-2023學(xué)年浙江省杭州市六縣九校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3浙江省杭州市六縣九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，若（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，則.故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得，解得，故所求直線(xiàn)方程為，即.故選：A.3.在等差數(shù)列中，若，則（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在等差數(shù)列中，，解得，所以．故選：D4.平面向量與的夾角為，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?故選：B5.已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列條件可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A(yíng)，，，，有可能出現(xiàn)平行這種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，不能保證m垂直于內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又由，則內(nèi)一定存在某直線(xiàn)a，滿(mǎn)足，則，故，故D正確，故選：D.6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)則在R上的表達(dá)式是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，則，結(jié)合已知〖解析〗式知：.故選：D7.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有成等差數(shù)列.類(lèi)比上述性質(zhì)，若公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則有（）A.成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，，，同理可得，所以若公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則有構(gòu)成以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列.故選：D8.已知函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，，則.由題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需滿(mǎn)足即可.令，則.由可得，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)則（）A.的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞減 D.在內(nèi)的值域?yàn)椤即鸢浮紺D〖解析〗將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，C正確；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B錯(cuò)誤，D正確．故選：CD.10.在不透明的甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，甲盒中有4個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，乙盒中有3個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為5，6，7．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒里分別隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記事件“取到標(biāo)號(hào)為2的小球”，事件“取到標(biāo)號(hào)為6的小球”，事件“兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)都是奇數(shù)”，事件“兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于9”，則（）A.事件與事件相互獨(dú)立 B.事件與事件互斥C. D.〖答案〗ACD〖解析〗從甲盒、乙盒里分別隨機(jī)抽取一個(gè)小球的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，共12種．事件：，，，；事件：，，，，，，，故A正確；事件和事件都有，事件與事件不互斥，故B不正確；事件：，，，，，故C正確；事件：，，，，，，故D正確．故選：ACD．11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳析九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，，以此類(lèi)推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意可知從第二層起，某一層的球數(shù)比上一層的球數(shù)多的數(shù)量剛好是其層數(shù)，即，即，對(duì)A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，，，且，所以上述各式相加得，故；?jīng)檢驗(yàn)：滿(mǎn)足，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)C可知，則，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以，令，解得或，?dāng)時(shí)，或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，的圖象如右圖所示，設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；又，所以，即，對(duì)照系數(shù)得，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)椋?，解得，故選項(xiàng)B正確．故選：BCD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則___．〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，則．故〖答案〗為：．14.若直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗或〖解析〗圓可化.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得：或7.故〖答案〗為：或15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則__________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理邊角關(guān)系得：，又，所以，由余弦定理得，故〖答案〗為：16.設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為、，P是橢圓C上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與軸垂直，直線(xiàn)的斜率為，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€(xiàn)與軸垂直，將代入橢圓的方程可得，解得，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，易知點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，所以，，所以，，即，等式兩邊同時(shí)除以可得，因?yàn)?，解?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.為了加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，某校高二年級(jí)特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專(zhuān)題訓(xùn)練卷（滿(mǎn)分100分），并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)（單位：分），按照，，…，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假設(shè)每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人參加這次考試的質(zhì)量分析會(huì)，試求成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生恰有2人被抽到的概率．解：（1），這50名學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)為：；（2）后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，由分層抽樣可得，這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1，所以成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生恰有2人被抽到的概率為：．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．解：（1），故函數(shù)的最小正周期.由得.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）∵，∴，∴，.由恒成立，得，即，故a的最大值為0.19.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取中點(diǎn)為，以為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，解得，即，又因?yàn)?，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．20.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，整理得，解得，∴，，對(duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，∴，．（2）由（1）得，，則，∴，∵，∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，∴，故不等式對(duì)任意恒成立．21.已知雙曲線(xiàn)：的離心率為，且過(guò)．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積為，證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）根據(jù)題意可得，解得，，所以雙曲線(xiàn)的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，，，又所以，所以，所以直線(xiàn)的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．22.已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；（2）若存在實(shí)數(shù)，，使，且，求的取值范圍．解：（1）若，則，，所以在處的切線(xiàn)斜率為，又，所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，即．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，，使，且，所以存在實(shí)數(shù)，，使，且，即，，設(shè)，記，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以取值范圍是．浙江省杭州市六縣九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，若（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑒t.故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得，解得，故所求直線(xiàn)方程為，即.故選：A.3.在等差數(shù)列中，若，則（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在等差數(shù)列中，，解得，所以．故選：D4.平面向量與的夾角為，，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋裕?故選：B5.已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列條件可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A(yíng)，，，，有可能出現(xiàn)平行這種情況，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，不能保證m垂直于內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)平面，相交但不垂直的情況，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又由，則內(nèi)一定存在某直線(xiàn)a，滿(mǎn)足，則，故，故D正確，故選：D.6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)則在R上的表達(dá)式是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以，則，結(jié)合已知〖解析〗式知：.故選：D7.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有成等差數(shù)列.類(lèi)比上述性質(zhì)，若公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則有（）A.成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，，，同理可得，所以若公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則有構(gòu)成以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列.故選：D8.已知函數(shù)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，，則.由題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需滿(mǎn)足即可.令，則.由可得，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)則（）A.的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞減 D.在內(nèi)的值域?yàn)椤即鸢浮紺D〖解析〗將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞減，C正確；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B錯(cuò)誤，D正確．故選：CD.10.在不透明的甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，甲盒中有4個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，乙盒中有3個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為5，6，7．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒里分別隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記事件“取到標(biāo)號(hào)為2的小球”，事件“取到標(biāo)號(hào)為6的小球”，事件“兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)都是奇數(shù)”，事件“兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于9”，則（）A.事件與事件相互獨(dú)立 B.事件與事件互斥C. D.〖答案〗ACD〖解析〗從甲盒、乙盒里分別隨機(jī)抽取一個(gè)小球的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，共12種．事件：，，，；事件：，，，，，，，故A正確；事件和事件都有，事件與事件不互斥，故B不正確；事件：，，，，，故C正確；事件：，，，，，，故D正確．故選：ACD．11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳析九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，，以此類(lèi)推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意可知從第二層起，某一層的球數(shù)比上一層的球數(shù)多的數(shù)量剛好是其層數(shù)，即，即，對(duì)A：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋?，，且，所以上述各式相加得，故；?jīng)檢驗(yàn)：滿(mǎn)足，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)C可知，則，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B.C. D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以，令，解得或，?dāng)時(shí)，或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，的圖象如右圖所示，設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；又，所以，即，對(duì)照系數(shù)得，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)椋?，解得，故選項(xiàng)B正確．故選：BCD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則___．〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，則．故〖答案〗為：．14.若直線(xiàn)與圓相切，則實(shí)數(shù)_________．〖答案〗或〖解析〗圓可化.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，解得：或7.故〖答案〗為：或15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則__________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理邊角關(guān)系得：，又，所以，由余弦定理得，故〖答案〗為：16.設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為、，P是橢圓C上一點(diǎn)，且直線(xiàn)與軸垂直，直線(xiàn)的斜率為，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€(xiàn)與軸垂直，將代入橢圓的方程可得，解得，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，易知點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，所以，，所以，，即，等式兩邊同時(shí)除以可得，因?yàn)?，解?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.為了加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，某校高二年級(jí)特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專(zhuān)題訓(xùn)練卷（滿(mǎn)分100分），并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)（單位：分），按照，，…，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假設(shè)每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)不低于70分的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人參加這次考試的質(zhì)量分析會(huì)，試求成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生恰有2人被抽到的概率．解：（1），這50名學(xué)生的平均成績(jī)估計(jì)為：；（2）后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，由分層抽樣可得，這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1，所以成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生恰有2人被抽到的概率為：．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．解：（1），故函數(shù)的最小正周期.由得.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）∵，∴，∴，.由恒成立，得，即