強度計算.結構分析：屈曲分析的有限元方法

強度計算.結構分析：屈曲分析的有限元方法1屈曲分析概述1.1屈曲分析的基本概念屈曲分析，也稱為失穩(wěn)分析，是結構分析中的一個重要分支，主要研究結構在承受軸向壓縮載荷時的穩(wěn)定性問題。當結構受到的壓縮力超過其臨界值時，結構可能會突然發(fā)生形態(tài)上的改變，從原本的直線或平面形態(tài)轉變?yōu)榍€或波浪形，這種現象稱為屈曲。屈曲不僅影響結構的承載能力，還可能直接導致結構的破壞。1.1.1屈曲類型屈曲分析主要關注以下幾種屈曲類型：整體屈曲：整個結構或其主要部分發(fā)生屈曲。局部屈曲：結構的某個局部區(qū)域發(fā)生屈曲，如薄板或薄壁結構。分枝點屈曲：結構在達到臨界載荷時，從穩(wěn)定平衡狀態(tài)突然跳轉到另一個穩(wěn)定平衡狀態(tài)。后屈曲行為：結構屈曲后，其承載能力和變形特性。1.2屈曲分析的重要性屈曲分析在工程設計中至關重要，原因如下：安全評估：通過屈曲分析，工程師可以評估結構在特定載荷下的穩(wěn)定性，確保結構在設計壽命內不會發(fā)生屈曲破壞。優(yōu)化設計：屈曲分析幫助工程師理解結構的穩(wěn)定性極限，從而優(yōu)化設計，避免過度設計或設計不足。材料選擇：屈曲分析結果可以指導材料的選擇，確保材料的彈性模量和屈服強度滿足結構穩(wěn)定性的要求。載荷路徑：分析屈曲載荷路徑，有助于設計更安全的加載方案，避免在施工或使用過程中結構發(fā)生屈曲。1.3屈曲分析的有限元方法有限元方法（FEM）是屈曲分析中最常用的數值方法。它將復雜的結構分解為許多小的、簡單的單元，然后在這些單元上應用力學原理，通過求解單元間的平衡方程來預測整個結構的行為。在屈曲分析中，有限元方法可以處理非線性問題，包括幾何非線性和材料非線性，這使得它能夠更準確地預測結構的屈曲行為。1.3.1幾何非線性在屈曲分析中，幾何非線性是指結構變形對載荷響應的影響。當結構發(fā)生屈曲時，其變形不再是小變形，而是大變形，這需要考慮變形對結構剛度的影響。有限元方法通過迭代求解，每次迭代更新結構的剛度矩陣，以考慮當前變形狀態(tài)下的幾何非線性。1.3.2材料非線性材料非線性是指材料的應力-應變關系不再是線性的。在屈曲分析中，材料的塑性變形、彈塑性行為或應變硬化等特性都可能影響屈曲載荷和屈曲模式。有限元方法通過定義材料的本構關系，如彈塑性模型、塑性硬化模型等，來考慮材料非線性對屈曲分析的影響。1.3.3示例：使用Python進行屈曲分析下面是一個使用Python和numpy庫進行簡單屈曲分析的示例。假設我們有一個簡單的梁，長度為1米，兩端固定，受到軸向壓縮載荷。我們將使用有限元方法來計算其臨界屈曲載荷。importnumpyasnp

#定義材料和幾何參數

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=1e-4#慣性矩，單位：m^4

L=1#梁的長度，單位：m

P=1e6#軸向壓縮載荷，單位：N

#計算臨界屈曲載荷

#根據歐拉公式：P_cr=(pi^2*E*I)/(L^2)

P_cr=(np.pi**2*E*I)/(L**2)

print(f"臨界屈曲載荷為：{P_cr:.2f}N")1.3.4解釋在這個示例中，我們使用了歐拉公式來計算臨界屈曲載荷。歐拉公式適用于細長梁的屈曲分析，其中pi是圓周率，E是材料的彈性模量，I是截面的慣性矩，L是梁的長度。通過這個公式，我們可以得到在給定材料和幾何參數下，梁發(fā)生屈曲的臨界載荷。然而，實際工程中的結構往往比這個示例復雜得多，可能包含多個不同的材料和幾何形狀，且載荷路徑和邊界條件也可能更為復雜。在這種情況下，使用專業(yè)的有限元分析軟件，如ANSYS、ABAQUS或NASTRAN，將更為合適。這些軟件能夠處理復雜的非線性問題，提供更精確的屈曲分析結果。1.4結論屈曲分析是結構工程中不可或缺的一部分，它幫助工程師評估結構的穩(wěn)定性，優(yōu)化設計，確保安全。有限元方法作為一種強大的數值工具，能夠處理復雜的非線性問題，是進行屈曲分析的首選方法。通過理解和應用屈曲分析的原理，工程師可以設計出更安全、更經濟的結構。2有限元方法基礎2.1有限元方法的原理有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數值分析技術，廣泛應用于工程結構的強度計算和結構分析中。其核心思想是將連續(xù)的結構體離散化為有限數量的單元，每個單元用一組節(jié)點來表示，通過在這些節(jié)點上求解微分方程的近似解，進而得到整個結構的解。這種方法能夠處理復雜的幾何形狀和邊界條件，是解決屈曲分析等非線性問題的有效工具。2.1.1基本步驟結構離散化：將結構劃分為多個小的、簡單的單元，如梁單元、殼單元或實體單元。選擇位移模式：為每個單元選擇適當的位移函數，通常為多項式函數。建立單元方程：基于彈性力學原理，如胡克定律和虛功原理，建立每個單元的平衡方程。組裝整體方程：將所有單元方程組裝成一個整體的剛度矩陣方程。施加邊界條件：根據實際問題，對整體方程施加位移或力的邊界條件。求解方程：使用數值方法求解整體方程，得到節(jié)點位移。后處理：從節(jié)點位移計算單元應力、應變等，進行結果分析。2.1.2示例：使用Python進行簡單梁的有限元分析假設我們有一個簡單的梁，長度為4米，兩端固定，中間受到1000N的集中力作用。我們將梁離散化為4個等長的梁單元，每個單元長度為1米。importnumpyasnp

#定義材料和截面屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05#慣性矩，單位：m^4

#定義梁單元的剛度矩陣

defbeam_stiffness_matrix(L,E,I):

"""

計算梁單元的剛度矩陣

:paramL:單元長度

:paramE:彈性模量

:paramI:慣性矩

:return:4x4的剛度矩陣

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體剛度矩陣

defassemble_stiffness_matrix(num_elements):

"""

組裝整體剛度矩陣

:paramnum_elements:單元數量

:return:整體剛度矩陣

"""

global_stiffness_matrix=np.zeros((2*num_elements+1,2*num_elements+1))

foriinrange(num_elements):

local_stiffness_matrix=beam_stiffness_matrix(1,E,I)

global_stiffness_matrix[2*i:2*i+4,2*i:2*i+4]+=local_stiffness_matrix

#施加邊界條件

global_stiffness_matrix[0,:]=0

global_stiffness_matrix[:,0]=0

global_stiffness_matrix[0,0]=1

global_stiffness_matrix[-1,:]=0

global_stiffness_matrix[:,-1]=0

global_stiffness_matrix[-1,-1]=1

returnglobal_stiffness_matrix

#定義載荷向量

defassemble_load_vector(num_elements):

"""

組裝載荷向量

:paramnum_elements:單元數量

:return:載荷向量

"""

load_vector=np.zeros(2*num_elements+1)

load_vector[2*num_elements//2]=-1000#中間節(jié)點受到1000N的集中力

returnload_vector

#求解

num_elements=4

K=assemble_stiffness_matrix(num_elements)

F=assemble_load_vector(num_elements)

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出結果

print("節(jié)點位移：",U)2.2有限元模型的建立建立有限元模型是進行結構分析的第一步，它涉及到選擇合適的單元類型、定義材料屬性、設定邊界條件和載荷等。2.2.1單元類型選擇梁單元：適用于一維結構，如橋梁、梁等。殼單元：適用于薄板和殼體結構，如飛機機翼、壓力容器等。實體單元：適用于三維實體結構，如建筑物、機器零件等。2.2.2材料屬性定義彈性模量：材料抵抗彈性變形的能力。泊松比：材料橫向應變與縱向應變的比值。密度：用于動力學分析時，計算質量矩陣。2.2.3邊界條件和載荷設定邊界條件：固定端、自由端、鉸接端等。載荷：集中力、分布力、溫度載荷、位移載荷等。2.2.4示例：使用ANSYS建立梁的有限元模型在ANSYS中建立上述簡單梁的有限元模型，首先選擇梁單元，然后定義材料屬性，設定邊界條件和載荷，最后求解并分析結果。選擇梁單元：在ANSYS中選擇Beam188單元。定義材料屬性：設置彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。設定邊界條件：兩端固定，即在第一個和最后一個節(jié)點上施加位移約束。施加載荷：在中間節(jié)點上施加1000N的集中力。求解：運行求解器，得到節(jié)點位移和單元應力。分析結果：檢查梁的變形和應力分布，確保結構安全。有限元方法通過將復雜問題簡化為一系列小的、可管理的子問題，使得工程師能夠精確地分析和預測結構在各種載荷條件下的行為，是現代工程分析不可或缺的工具。3屈曲分析的有限元模型3.1模型的幾何和材料屬性在進行屈曲分析時，有限元模型的建立首先需要定義結構的幾何形狀和材料屬性。幾何形狀包括結構的尺寸、形狀和拓撲，而材料屬性則涉及材料的彈性模量、泊松比、屈服強度等參數。這些信息對于準確預測結構在特定載荷下的行為至關重要。3.1.1幾何屬性幾何屬性的定義通常包括以下步驟：定義結構的尺寸：這包括長度、寬度、高度等，確保模型與實際結構的尺寸一致。選擇合適的單元類型：根據結構的類型（如梁、板、殼或實體）選擇相應的有限元單元。網格劃分：將結構劃分為足夠小的單元，以捕捉結構的細節(jié)和變形。網格的精細程度直接影響分析的準確性和計算時間。3.1.2材料屬性材料屬性的設定包括：彈性模量（E）：材料抵抗彈性變形的能力。泊松比（ν）：材料在彈性變形時橫向收縮與縱向伸長的比值。屈服強度（σy）：材料開始發(fā)生塑性變形的應力值。3.2邊界條件和載荷的設定屈曲分析中，邊界條件和載荷的設定是關鍵步驟，它們決定了結構的約束方式和受力狀態(tài)。3.2.1邊界條件邊界條件包括：固定約束：限制結構在某些方向上的位移。鉸接約束：允許結構在某些方向上旋轉，但限制其他方向的位移?；瑒蛹s束：允許結構沿特定方向滑動，但限制其他方向的位移。3.2.2載荷載荷可以是：集中力：作用在結構的特定點上。分布力：沿結構的表面或體積分布。預應力：在結構上預先施加的應力，可以影響屈曲行為。3.2.3示例：使用Python和FEniCS進行屈曲分析假設我們有一個簡單的矩形板，尺寸為1mx1m，厚度為0.01m，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。板的一邊固定，其余三邊自由，受到垂直向下的均布載荷作用。我們將使用Python和FEniCS庫來建立有限元模型并進行屈曲分析。importfenicsasfe

#定義幾何參數

length=1.0

width=1.0

mesh=fe.RectangleMesh(fe.Point(0,0),fe.Point(length,width),10,10)

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundaryandfe.near(x[0],0.0)

V=fe.VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

bc=fe.DirichletBC(V,fe.Constant((0,0)),boundary)

#定義載荷

p=1e6#均布載荷，單位：N/m^2

f=fe.Constant((0,-p))

#定義本構關系

defconstitutive(u):

D=fe.Constant(E/(1.0-nu**2))

I=fe.Identity(2)

F=I+fe.grad(u)

C=fe.F*fe.F.T

sigma=D*fe.sym(C-I)

returnsigma

#定義變分問題

u=fe.TrialFunction(V)

v=fe.TestFunction(V)

a=fe.inner(constitutive(u),fe.grad(v))*fe.dx

L=fe.inner(f,v)*fe.dx

#求解

u=fe.Function(V)

fe.solve(a==L,u,bc)

#輸出結果

fe.plot(u)

eractive()3.2.4解釋定義幾何參數：創(chuàng)建一個矩形網格，代表我們的板。定義材料屬性：設置彈性模量和泊松比。定義邊界條件：使用DirichletBC來固定板的一邊。定義載荷：設置垂直向下的均布載荷。定義本構關系：使用胡克定律來定義材料的應力應變關系。定義變分問題：基于有限元原理，定義結構的平衡方程。求解：使用solve函數求解位移場。輸出結果：繪制并顯示位移場，以可視化屈曲行為。通過上述步驟，我們可以建立一個基本的屈曲分析有限元模型，并通過Python和FEniCS進行求解。這為更復雜結構的屈曲分析提供了基礎。4屈曲分析的類型4.1線性屈曲分析線性屈曲分析，也稱為特征值屈曲分析，是一種評估結構在彈性范圍內屈曲穩(wěn)定性的方法。它基于線性化假設，即結構的幾何和材料行為在屈曲前保持線性。線性屈曲分析通過求解結構的特征值問題來確定屈曲載荷和相應的屈曲模態(tài)。4.1.1原理線性屈曲分析的核心是求解以下特征值問題：K其中，K是結構的剛度矩陣，KG是幾何剛度矩陣，λ是特征值，代表屈曲載荷因子，{4.1.2內容在進行線性屈曲分析時，首先需要建立結構的有限元模型，包括定義材料屬性、幾何形狀、邊界條件和載荷。然后，求解上述特征值問題，得到一系列的λ值和對應的{u}模態(tài)。最小的非零4.1.3示例假設我們有一個簡單的柱子模型，使用Python和numpy庫進行線性屈曲分析的簡化示例：importnumpyasnp

#假設的剛度矩陣[K]和幾何剛度矩陣[K_G]

K=np.array([[4,-1],[-1,4]])

K_G=np.array([[1,0],[0,1]])

#求解特征值問題

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(K_G)@K)

#找到最小的非零特征值和對應的屈曲模態(tài)

min_nonzero_eigenvalue=np.min(eigenvalues[eigenvalues>0])

min_eigenvector=eigenvectors[:,np.argmin(eigenvalues[eigenvalues>0])]

print("最小非零特征值（屈曲載荷因子）:",min_nonzero_eigenvalue)

print("對應的屈曲模態(tài):",min_eigenvector)在這個例子中，我們使用了numpy.linalg.eig函數來求解特征值和特征向量。min_nonzero_eigenvalue和min_eigenvector分別代表最小的非零特征值和對應的屈曲模態(tài)。4.2非線性屈曲分析非線性屈曲分析考慮了結構在屈曲過程中的幾何非線性和材料非線性。它通常用于評估在大變形或塑性范圍內結構的穩(wěn)定性，以及預測結構的后屈曲行為。4.2.1原理非線性屈曲分析通過逐步增加載荷并跟蹤結構響應來實現。在每一步中，求解非線性方程組以確定結構的變形。當結構的剛度降低到無法支撐當前載荷時，即認為結構屈曲。4.2.2內容非線性屈曲分析需要更復雜的有限元模型，包括非線性材料模型、接觸條件和大變形效應。分析過程中，可能需要使用增量迭代算法，如Newton-Raphson方法，來求解非線性方程組。4.2.3示例使用Python和scipy庫進行非線性屈曲分析的簡化示例：fromscipy.optimizeimportfsolve

importnumpyasnp

#定義非線性方程組

defnonlinear_equations(u,P):

#假設的非線性剛度矩陣[K(u)]

K_u=np.array([[4-u[0],-1],[-1,4-u[1]]])

#應力-應變關系

sigma=np.array([P*u[0],P*u[1]])

#非線性方程組

returnnp.dot(K_u,u)-sigma

#初始猜測

u_guess=np.array([0.1,0.1])

#載荷步

P_steps=np.linspace(0,5,100)

#存儲結果

u_results=[]

forPinP_steps:

u,info,ier,msg=fsolve(nonlinear_equations,u_guess,args=(P,),full_output=True)

ifier!=1:

print("屈曲發(fā)生在載荷:",P)

break

u_guess=u

u_results.append(u)

#打印結果

print("屈曲前的變形:",u_results[-1])在這個例子中，我們定義了一個非線性方程組nonlinear_equations，它考慮了結構的非線性剛度矩陣Ku和應力-應變關系。使用scipy.optimize.fsolve以上示例和解釋提供了線性和非線性屈曲分析的基本概念和簡化實現方法。在實際工程應用中，這些分析通常在專業(yè)的有限元軟件中進行，如ANSYS、ABAQUS等，它們提供了更復雜和精確的求解算法。5屈曲分析的前處理5.1網格劃分的考慮在進行屈曲分析的有限元方法中，網格劃分是至關重要的第一步。合理的網格劃分能夠確保分析的準確性和效率。網格劃分時，需要考慮以下幾點：網格密度：網格越密，分析結果越精確，但計算時間也會增加。在應力集中區(qū)域或幾何形狀復雜區(qū)域，應適當增加網格密度。網格形狀：選擇合適的網格形狀（如四邊形、三角形、六面體、四面體等）以適應結構的幾何形狀，避免在結構的關鍵部位產生過多的網格畸變。網格質量：網格質量直接影響分析結果的可靠性。應確保網格的正交性、扭曲度和長寬比等指標在可接受范圍內。邊界條件：確保網格劃分能夠準確反映邊界條件，如固定端、鉸接端等。載荷施加：網格劃分應考慮載荷的施加方式，確保載荷能夠均勻分布于結構表面。5.1.1示例：使用Python進行網格劃分假設我們有一個簡單的矩形板，需要對其進行網格劃分。我們將使用Python的gmsh庫來完成這一任務。#導入gmsh庫

importgmsh

#初始化gmsh

gmsh.initialize()

#創(chuàng)建一個新的模型

gmsh.model.add("RectangularPlate")

#定義矩形板的尺寸

length=100

width=50

height=1

#創(chuàng)建矩形板

rectangle=gmsh.model.occ.addRectangle(0,0,0,length,width)

gmsh.model.occ.extrude([(2,rectangle)],0,0,height,numElements=[1],recombine=True)

#同步幾何模型

gmsh.model.occ.synchronize()

#設置網格參數

gmsh.model.mesh.setSize(gmsh.model.getEntities(0),10)

#生成網格

gmsh.model.mesh.generate(3)

#顯示網格

gmsh.fltk.run()

#關閉gmsh

gmsh.finalize()在上述代碼中，我們首先初始化gmsh，然后創(chuàng)建一個矩形板模型。我們定義了矩形板的尺寸，并使用addRectangle和extrude函數創(chuàng)建了矩形板的幾何形狀。接著，我們設置了網格的大小，并使用generate函數生成了三維網格。最后，我們使用fltk.run函數顯示網格，并在完成所有操作后關閉gmsh。5.2選擇合適的單元類型在屈曲分析中，選擇合適的單元類型對于獲得準確的分析結果至關重要。常見的單元類型包括：殼單元：適用于薄板和殼體結構的分析。實體單元：適用于三維實體結構的分析。梁單元：適用于長細比大的結構，如梁和柱的分析。5.2.1示例：使用ANSYS進行單元類型選擇在ANSYS中，我們可以使用ET命令來定義單元類型。以下是一個使用ANSYS進行殼單元定義的例子：#ANSYS命令示例

/COM,Defineshellelementtype

ET,1,SHELL181

#設置材料屬性

MP,EX,1,200e3

MP,DENS,1,7800

MP,PRXY,1,0.3

#設置厚度

SECTYPE,1,THICK

SELSHAPE,PLANE

SELTYPE,SOLID

SELSHAPE,SHELL

SELSHAPE,AXISYM

SELSHAPE,SPACE

SELSHAPE,SPACEAX

SELSHAPE,SPACE2D

SELSHAPE,SPACE3D

SELSHAPE,SPACE4D

SELSHAPE,SPACE5D

SELSHAPE,SPACE6D

SELSHAPE,SPACE7D

SELSHAPE,SPACE8D

SELSHAPE,SPACE9D

SELSHAPE,SPACE10D

SELSHAPE,SPACE11D

SELSHAPE,SPACE12D

SELSHAPE,SPACE13D

SELSHAPE,SPACE14D

SELSHAPE,SPACE15D

SELSHAPE,SPACE16D

SELSHAPE,SPACE17D

SELSHAPE,SPACE18D

SELSHAPE,SPACE19D

SELSHAPE,SPACE20D

SELSHAPE,SPACE21D

SELSHAPE,SPACE22D

SELSHAPE,SPACE23D

SELSHAPE,SPACE24D

SELSHAPE,SPACE25D

SELSHAPE,SPACE26D

SELSHAPE,SPACE27D

SELSHAPE,SPACE28D

SELSHAPE,SPACE29D

SELSHAPE,SPACE30D

SELSHAPE,SPACE31D

SELSHAPE,SPACE32D

SELSHAPE,SPACE33D

SELSHAPE,SPACE34D

SELSHAPE,SPACE35D

SELSHAPE,SPACE36D

SELSHAPE,SPACE37D

SELSHAPE,SPACE38D

SELSHAPE,SPACE39D

SELSHAPE,SPACE40D

SELSHAPE,SPACE41D

SELSHAPE,SPACE42D

SELSHAPE,SPACE43D

SELSHAPE,SPACE44D

SELSHAPE,SPACE45D

SELSHAPE,SPACE46D

SELSHAPE,SPACE47D

SELSHAPE,SPACE48D

SELSHAPE,SPACE49D

SELSHAPE,SPACE50D

SELSHAPE,SPACE51D

SELSHAPE,SPACE52D

SELSHAPE,SPACE53D

SELSHAPE,SPACE54D

SELSHAPE,SPACE55D

SELSHAPE,SPACE56D

SELSHAPE,SPACE57D

SELSHAPE,SPACE58D

SELSHAPE,SPACE59D

SELSHAPE,SPACE60D

SELSHAPE,SPACE61D

SELSHAPE,SPACE62D

SELSHAPE,SPACE63D

SELSHAPE,SPACE64D

SELSHAPE,SPACE65D

SELSHAPE,SPACE66D

SELSHAPE,SPACE67D

SELSHAPE,SPACE68D

SELSHAPE,SPACE69D

SELSHAPE,SPACE70D

SELSHAPE,SPACE71D

SELSHAPE,SPACE72D

SELSHAPE,SPACE73D

SELSHAPE,SPACE74D

SELSHAPE,SPACE75D

SELSHAPE,SPACE76D

SELSHAPE,SPACE77D

SELSHAPE,SPACE78D

SELSHAPE,SPACE79D

SELSHAPE,SPACE80D

SELSHAPE,SPACE81D

SELSHAPE,SPACE82D

SELSHAPE,SPACE83D

SELSHAPE,SPACE84D

SELSHAPE,SPACE85D

SELSHAPE,SPACE86D

SELSHAPE,SPACE87D

SELSHAPE,SPACE88D

SELSHAPE,SPACE89D

SELSHAPE,SPACE90D

SELSHAPE,SPACE91D

SELSHAPE,SPACE92D

SELSHAPE,SPACE93D

SELSHAPE,SPACE94D

SELSHAPE,SPACE95D

SELSHAPE,SPACE96D

SELSHAPE,SPACE97D

SELSHAPE,SPACE98D

SELSHAPE,SPACE99D

SELSHAPE,SPACE100D

#設置厚度

SETHICK,1,10在上述ANSYS命令中，我們首先定義了殼單元類型SHELL181。接著，我們設置了材料屬性，包括彈性模量、密度和泊松比。最后，我們設置了殼單元的厚度為10mm。選擇正確的單元類型和進行合理的網格劃分是屈曲分析前處理的關鍵步驟。通過上述示例，我們可以看到在Python和ANSYS中如何進行這些操作。在實際應用中，應根據結構的具體情況和分析需求，靈活選擇和調整單元類型和網格劃分策略。6屈曲分析的求解6.1求解器的選擇和設置在進行屈曲分析時，選擇合適的求解器至關重要。求解器的性能直接影響分析的準確性和效率。以下是一些常見的求解器類型及其在屈曲分析中的應用：6.1.1直接求解器(DirectSolver)直接求解器適用于小型到中型的模型，能夠提供精確的解。然而，對于大型模型，其計算資源需求可能過高。6.1.2迭代求解器(IterativeSolver)迭代求解器通過逐步逼近的方法找到解，適用于大型模型。雖然初始解可能不精確，但隨著迭代次數的增加，解的精度會逐漸提高。6.1.3非線性求解器(NonlinearSolver)屈曲分析通常涉及非線性問題，非線性求解器能夠處理材料非線性、幾何非線性以及接觸非線性等問題。6.1.4設置求解器在有限元軟件中設置求解器通常涉及以下步驟：選擇求解器類型：根據模型大小和問題的復雜性選擇合適的求解器。設置求解參數：包括迭代次數、收斂準則、時間步長等。定義分析類型：在軟件中選擇屈曲分析，并設置相應的分析參數。示例：使用ANSYS進行屈曲分析的求解器設置#ANSYSPythonAPI示例代碼

#設置非線性求解器進行屈曲分析

#導入必要的庫

fromansys.mapdl.coreimportlaunch_mapdl

#啟動ANSYS

mapdl=launch_mapdl()

#設置求解器為非線性

mapdl.prep7()

mapdl.nsel('S','LOC','A',1)

mapdl.et(1,186)#選擇186單元類型，適用于非線性分析

mapdl.real(1)

mapdl.mat(1)

mapdl.mp('ex',1,200)#設置彈性模量

mapdl.mp('prxy',1,0.3)#設置泊松比

#設置分析類型為屈曲分析

mapdl.antype('BUCKLE')

#設置求解參數

mapdl.solve()

mapdl.set(1,1,1)#設置求解器參數

mapdl.set(1,2,100)#設置最大迭代次數

mapdl.set(1,3,0.001)#設置收斂準則

#執(zhí)行分析

mapdl.run('/SOLU')

mapdl.run('SOLVE')6.2分析結果的收斂性檢查收斂性檢查是確保屈曲分析結果可靠性的關鍵步驟。如果分析結果沒有收斂，可能意味著模型設置不當或求解器參數需要調整。6.2.1收斂性檢查方法網格細化：通過細化網格，檢查結果是否發(fā)生變化。增加迭代次數：確保求解器有足夠的時間收斂。調整時間步長：對于動態(tài)屈曲分析，調整時間步長可能有助于提高收斂性。檢查材料和幾何非線性：確保非線性設置正確，沒有引入不必要的復雜性。6.2.2示例：檢查ANSYS屈曲分析的收斂性#ANSYSPythonAPI示例代碼

#檢查屈曲分析的收斂性

#導入必要的庫

fromansys.mapdl.coreimportlaunch_mapdl

#啟動ANSYS

mapdl=launch_mapdl()

#執(zhí)行屈曲分析

mapdl.run('/SOLU')

mapdl.run('SOLVE')

#檢查收斂性

convergence=mapdl.post1()

convergence.run('PLNSOL,1,1')#顯示第一個模式的收斂歷史

convergence.run('PRNSOL,1,1')#打印第一個模式的收斂歷史

#分析收斂歷史

convergence_history=convergence.result('BUCK','MODE',1,'CONV')

#convergence_history是一個包含收斂歷史數據的列表

#可以進一步分析這些數據，檢查是否收斂

#如果未收斂，可以嘗試調整求解器參數或網格設置

#例如，增加迭代次數

mapdl.set(1,2,200)#將最大迭代次數增加到200

mapdl.run('/SOLU')

mapdl.run('SOLVE')6.2.3結論通過上述步驟，可以有效地設置求解器進行屈曲分析，并通過收斂性檢查確保結果的可靠性。在實際應用中，可能需要多次調整求解器參數和網格設置，以達到滿意的收斂狀態(tài)。7屈曲分析的結果解釋7.1屈曲模態(tài)的解讀屈曲模態(tài)分析是結構工程中一種重要的分析方法，用于預測結構在特定載荷下發(fā)生屈曲的模式。屈曲模態(tài)提供了結構失穩(wěn)時的變形形態(tài)，這對于設計和優(yōu)化結構至關重要。模態(tài)分析的結果通常以一組模態(tài)形狀和對應的模態(tài)頻率或屈曲載荷因子呈現。7.1.1模態(tài)形狀模態(tài)形狀描述了結構在屈曲時的變形形態(tài)。在有限元分析中，每個模態(tài)形狀對應一個屈曲模態(tài)，表示結構在某一特定載荷下的失穩(wěn)形態(tài)。模態(tài)形狀可以通過可視化軟件直觀地展示，幫助工程師理解結構的薄弱環(huán)節(jié)。示例假設我們有一個簡單的梁結構，進行屈曲模態(tài)分析后，得到的第一個屈曲模態(tài)形狀如下：++

||

|/|

|/|

|/|

|/|

|/|

|/|

|/|

++這表示在第一個屈曲模態(tài)下，梁的中部向上彎曲，兩端保持相對固定。這種模態(tài)形狀提示我們，梁的中部可能是結構的薄弱點，需要加強。7.1.2屈曲載荷因子屈曲載荷因子（BucklingLoadFactor,BLF）是屈曲模態(tài)分析中的關鍵參數，它表示結構發(fā)生屈曲時的載荷與參考載荷的比值。BLF大于1表示結構在當前設計下是安全的，而小于1則表示結構可能在設計載荷下發(fā)生屈曲。示例在上述梁結構的屈曲模態(tài)分析中，假設我們得到的第一個屈曲模態(tài)的BLF為1.5。這意味著，如果參考載荷為100kN，那么結構在150kN的載荷下才會發(fā)生屈曲，表明結構在設計載荷下是安全的。7.2屈曲載荷的評估屈曲載荷評估是屈曲分析的另一個重要方面，它直接關系到結構的安全性和可靠性。通過評估屈曲載荷，工程師可以確定結構在實際載荷下的穩(wěn)定性，從而采取必要的設計調整或加固措施。7.2.1屈曲載荷的計算屈曲載荷可以通過有限元分析軟件計算得出。軟件會基于結構的幾何、材料屬性和邊界條件，計算出一系列屈曲模態(tài)及其對應的屈曲載荷。屈曲載荷的計算通?；诰€性屈曲分析或非線性屈曲分析。示例使用Abaqus進行線性屈曲分析，可以得到如下屈曲載荷的計算結果：#AbaqusPythonScriptforBucklingLoadCalculation

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

executeOnCaeStartup()

#Createamodel

modelName='Buckling_Analysis'

myModel=mdb.Model(name=modelName)

#Definethestructure(e.g.,abeam)

myBeam=myModel.ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=200.0)

myBeam.Line(point1=(0.0,0.0),point2=(100.0,0.0))

myBeam.Line(point1=(100.0,0.0),point2=(100.0,10.0))

myBeam.Line(point1=(100.0,10.0),point2=(0.0,10.0))

myBeam.Line(point1=(0.0,10.0),point2=(0.0,0.0))

myPart=myModel.Part(name='Beam',dimensionality=THREE_D,type=DEFORMABLE_BODY)

myPart.BaseShell(sketch=myBeam)

#Assignmaterialproperties

myMaterial=myModel.Material(name='Steel')

myMaterial.Elastic(table=((200e3,0.3),))

myPart.MaterialAssignment(region=myPart.sets['Set-1'],material='Steel')

#Defineboundaryconditionsandloads

myModel.DisplacementBC(name='BC-1',createStepName='Initial',region=myPart.sets['Set-2'],u1=0.0,u2=0.0,u3=0.0,ur1=0.0,ur2=0.0,ur3=0.0,amplitude=UNSET,fixed=OFF,distributionType=UNIFORM,fieldName='',localCsys=None)

myModel.ConcentratedForce(name='Load-1',createStepName='Initial',region=myPart.sets['Set-3'],cf1=100.0,amplitude=UNSET,distributionType=UNIFORM,field='',localCsys=None)

#Performbucklinganalysis

myModel.BuckleStep(name='Buckle_Analysis',previous='Initial',numEigen=5,vectors=10,maxNumInc=100,initialInc=0.1,minInc=0.01,maxInc=1.0,nlgeom=ON,perturbation=ON,matrixStorage=SOLVER_DEFAULT,maintainAttributes=OFF)

#Getbucklingloadresults

buckleResults=myModel.steps['Buckle_Analysis'].buckleResults

foriinrange(1,6):

print("BucklingLoadforMode%d:%f"%(i,buckleResults[i-1].eigenvalue))這段代碼首先創(chuàng)建了一個模型和結構（梁），然后定義了材料屬性、邊界條件和載荷。最后，執(zhí)行了屈曲分析步驟，并打印出了前五個屈曲模態(tài)的屈曲載荷。7.2.2結果的解釋屈曲載荷的結果需要與實際設計載荷進行比較，以評估結構的穩(wěn)定性。如果計算出的屈曲載荷遠大于設計載荷，結構被認為是穩(wěn)定的。反之，如果屈曲載荷接近或小于設計載荷，需要對結構進行重新設計或加固，以提高其穩(wěn)定性。示例在上述Abaqus的屈曲分析中，假設我們得到的第一個屈曲模態(tài)的屈曲載荷為150kN，而設計載荷為100kN。這意味著結構在設計載荷下是穩(wěn)定的，因為屈曲載荷遠大于設計載荷。7.2.3結論屈曲模態(tài)的解讀和屈曲載荷的評估是屈曲分析中不可或缺的步驟。通過理解模態(tài)形狀和計算屈曲載荷，工程師可以確保結構在設計載荷下不會發(fā)生屈曲，從而提高結構的安全性和可靠性。在實際應用中，這些分析結果需要與工程經驗相結合，以做出最佳的設計決策。8屈曲分析的后處理8.1結果可視化屈曲分析的結果可視化是理解結構屈曲行為的關鍵步驟。通過可視化，工程師可以直觀地看到結構在屈曲載荷下的變形模式，以及應力分布情況，這對于評估結構的安全性和優(yōu)化設計至關重要。8.1.1使用Python和matplotlib進行結果可視化假設我們已經完成了一個簡單的梁的屈曲分析，得到了位移和應力的數據。下面是一個使用Python和matplotlib庫來可視化這些結果的示例代碼：importmatplotlib.pyplotasplt

importnumpyasnp

#示例數據：梁的位移和應力

displacements=np.array([0.0,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,1.0])

stresses=np.array([100.0,120.0,150.0,180.0,200.0,220.0,240.0])

#創(chuàng)建位移圖

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(displacements,label='Displacements')

plt.title('梁的位移分布')

plt.xlabel('位置')

plt.ylabel('位移')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

#創(chuàng)建應力圖

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(stresses,label='Stresses')

plt.title('梁的應力分布')

plt.xlabel('位置')

plt.ylabel('應力')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()在這段代碼中，我們首先導入了matplotlib.pyplot和numpy庫。然后，我們定義了兩個數組，分別代表梁在不同位置的位移和應力。接下來，我們使用plt.plot函數來繪制位移和應力的分布圖，通過plt.title、plt.xlabel和plt.ylabel函數來設置圖表的標題和軸標簽，最后使用plt.show來顯示圖表。8.2關鍵點的應力和位移分析在屈曲分析中，關鍵點的應力和位移分析可以幫助我們確定結構中最薄弱的部分，以及屈曲載荷下應力和位移的最大值。這些信息對于結構的優(yōu)化設計和安全評估非常重要。8.2.1使用Python和pandas進行數據分析假設我們從有限元軟件中導出了一個包含關鍵點位移和應力數據的CSV文件。下面是一個使用Python和pandas庫來讀取和分析這些數據的示例代碼：importpandasaspd

#讀取CSV文件

data=pd.read_csv('關鍵點數據.csv')

#顯示數據的前幾行

print(data.head())

#分析關鍵點的位移

max_displacement=data['位移'].max()

print(f'最大位移:{max_displacement}')

#分析關鍵點的應力

max_stress=data['應力'].max()

print(f'最大應力:{max_stress}')

#選擇特定關鍵點的數據

key_point_data=data[data['關鍵點ID']==10]

print(key_point_data)在這段代碼中，我們首先導入了pandas庫，并使用pd.read_csv函數來讀取CSV文件中的數據。然后，我們使用data.head()來顯示數據的前幾行，以便快速檢查數據的格式。接下來，我們使用data['位移'].max()和data['應力'].max()來找到位移和應力的最大值。最后，我們通過data[data['關鍵點ID']==10]來選擇特定關鍵點的數據，以便進行更詳細的分析。8.2.2CSV數據樣例假設我們的CSV文件包含以下數據：關鍵點ID,位移,應力

1,0.01,120

2,0.02,130

3,0.03,140

4,0.04,150

5,0.05,160

6,0.06,170

7,0.07,180

8,0.08,190

9,0.09,200

10,0.10,210在這個數據樣例中，每一行代表一個關鍵點的位移和應力數據。通過上述Python代碼，我們可以輕松地讀取和分析這些數據，找到位移和應力的最大值，以及特定關鍵點的詳細信息。通過上述示例，我們可以看到，結果可視化和關鍵點的應力位移分析是屈曲分析后處理中非常重要的步驟。它們不僅幫助我們理解結構的屈曲行為，還為結構的優(yōu)化設計提供了數據支持。9屈曲分析的工程應用9.1橋梁結構的屈曲分析9.1.1引言橋梁結構的屈曲分析是確保橋梁安全性和穩(wěn)定性的重要環(huán)節(jié)。屈曲，即結構在承受壓力或壓縮載荷時，由于強度不足或幾何非線性效應，導致結構突然偏離其直線路徑，形成波浪形或彎曲形的變形。這種現象在橋梁設計中必須避免，因為它可能導致結構的災難性失效。9.1.2屈曲分析方法屈曲分析通常采用有限元方法進行。有限元方法(FEM)是一種數值分析技術，用于求解復雜的工程問題，如結構力學、熱傳導、流體力學等。在橋梁結構的屈曲分析中，FEM通過將橋梁結構離散成多個小的單元，每個單元的力學行為可以用簡單的數學模型描述，然后通過求解整個結構的平衡方程，預測結構在不同載荷下的響應。9.1.3橋梁結構模型橋梁結構的有限元模型通常包括梁單元、殼單元和實體單元。梁單元用于模擬橋梁的主梁和次梁，殼單元用于模擬橋面板，實體單元用于模擬橋墩和橋臺。這些單元的屬性，如材料屬性、幾何尺寸和邊界條件，必須準確輸入，以確保分析的準確性。9.1.4屈曲分析步驟建立有限元模型：根據橋梁的幾何形狀和材料屬性，建立橋梁的有限元模型。施加載荷：包括自重、車輛載荷、風載荷等，這些載荷可能引起橋梁結構的屈曲。求解屈曲模態(tài)：使用有限元軟件，如ANSYS、ABAQUS或NASTRAN，求解橋梁結構的屈曲模態(tài)。屈曲模態(tài)分析可以預測結構在屈曲時的變形形態(tài)和臨界載荷。評估屈曲穩(wěn)定性：根據屈曲模態(tài)分析的結果，評估橋梁結構的屈曲穩(wěn)定性。如果臨界載荷低于實際載荷，說明結構存在屈曲風險，需要進行設計修改或加強。9.1.5示例分析假設我們正在分析一座簡支梁橋的屈曲穩(wěn)定性。橋的主梁由混凝土制成，長度為30米，寬度為2米，高度為1.5米。我們使用ABAQUS進行有限元分析。#ABAQUSPythonScriptforBucklingAnalysisofaSimplySupportedConcreteBeam

fromabaqusimport*

fromabaqusConstantsimport*

fromcaeModulesimport*

fromdriverUtilsimportexecuteOnCaeStartup

#Createanewmodel

executeOnCaeStartup()

model=mdb.models['Model-1']

#Createapart

part=model.Part(name='Beam',dimensionality=THREE_D,type=DEFORMABLE_BODY)

part.BaseSolidExtrude(sketch=ConstrainedSketch(name='__profile__',sheetSize=10.0),

depth=1.5)

part.Sketch(name='__profile__',sheetSize=10.0)

part.CircleByCenterPerimeter(center=(0.0,0.0),point1=(1.0,0.0))

part.SolidExtrude(sketchPlaneRegion=part.faces[0],sketchUpEdge=part.edges[0],

sketchPlaneSide=SIDE1,sketchOrientation=RIGHT,

depth=30.0)

#Createamaterial

model.Material(name='Concrete')

model.materials['Concrete'].Elastic(table=((30e9,0.2),))

#Assignmaterialtopart

part.SectionAssignment(region=part.cells[:],sectionName='Concrete',offset=0.0,

offsetType=MIDDLE_SURFACE,offsetField='',

thicknessAssignment=FROM_SECTION)

#Createaninstance

instance=model.Instance(name='Beam-1',part=part,dependent=ON)

#Createboundaryconditions

model.DisplacementBC(name='BC-1',createStepName='Initial',region=instance.sets['Set-1'],

u1=0.0,u2=0.0,u3=0.0,ur1=0.0,ur2=0.0,ur3=0.0,

amplitude=UNSET,fixed=OFF,distributionType=UNIFORM)

#Createastepforbucklinganalysis

model.BuckleStep(name='Buckle_Analysis',previous='Initial',

eigensolver=Lanczos,vectors=10)

#Createaload

model.ConcentratedForce(name='Load-1',createStepName='Buckle_Analysis',

region=instance.sets['Set-2'],cf1=100000.0)

#Createajob

job=mdb.Job(name='Buckle_Analysis_Job',model='Model-1',description='',

type=ANALYSIS,atTime=None,waitMinutes=0,waitHours=0,

queue=None,memory=90,memoryUnits=PERCENTAGE,

getMemoryFromAnalysis=True,explicitPrecision=SINGLE,

nodalOutputPrecision=SINGLE,echoPrint=OFF,

modelPrint=OFF,contactPrint=OFF,historyPrint=OFF,

userSubroutine='',scratch='',resultsFormat=ODB,

parallelizationMethodExplicit=DOMAIN,numDomains=1,

activateLoadBalancing=False,multiprocessingMode=DEFAULT,

numCpus=1,numGPUs=0)

#Submitthejob

job.submit(consistencyChecking=OFF)9.1.6結果解釋分析完成后，我們可以通過ABAQUS的后處理功能查看屈曲模態(tài)和臨界載荷。如果臨界載荷遠大于施加的載荷，說明橋梁結構的屈曲穩(wěn)定性良好。否則，需要調整設計參數，如增加梁的截面尺寸或改變材料，以提高結構的屈曲穩(wěn)定性。9.2建筑結構的屈曲分析9.2.1引言建筑結構的屈曲分析對于高層建筑、大跨度結構和細長構件的設計至關重要。屈曲可能導致結構的局部或整體失效，因此在設計階段進行屈曲分析，可以預防潛在的安全風險。9.2.2屈曲分析方法建筑結構的屈曲分析同樣采用有限元方法。與橋梁結構不同，建筑結構可能包含更多的構件類型，如柱、梁、墻和板，以及更復雜的連接方式。因此，建立準確的有限元模型和施加載荷是屈曲分析的關鍵。9.2.3建筑結構模型建筑結構的有限元模型通常包括梁單元、柱單元、墻單元和板單元。這些單元的屬性，如材料屬性、幾何尺寸和連接方式，必須準確輸入，以確保分析的準確性。9.2.4屈曲分析步驟建立有限元模型：根據建筑的幾何形狀和材料屬性，建立建筑的有限元模型。施加載荷：包括自重、風載荷、地震載荷等，這些載荷可能引起建筑結構的屈曲。求解屈曲模態(tài)：使用有限元軟件，求解建筑結構的屈曲模態(tài)。評估屈曲穩(wěn)定性：根據屈曲模態(tài)分析的結果，評估建筑結構的屈曲穩(wěn)定性。9.2.5示例分析假設我們正在分析一座高層建筑的屈曲穩(wěn)定性。建筑的柱由鋼材制成，高度為30米，截面為矩形，尺寸為1米x1米。我們使用ANSYS進行有限元分析。#ANSYSPythonScriptforBucklingAnalysisofaSteelColumninaHigh-riseBuilding

importansys

importansys.mapdl.coreaspymapdl

#StartANSYSMAPDL

mapdl=pymapdl.launch_mapdl()

#Pre-processing

mapdl.clear()

mapdl.units('SI')

mapdl.et(1,'SOLID186')#Defineelementtype

mapdl.mp('EX',1,200e9)#Young'smodulus

mapdl.mp('DENS',1,7850)#Density

mapdl.mp('PRXY',1,0.3)#Poisson'sratio

#Createacolumn

mapdl.blc4(0,0,0,1,1,0,1,1,30,1,1,1)

mapdl.esize(1)

mapdl.et(1,'SOLID186')

mapdl.type(1)

mapdl.r(1,1)

mapdl.r(2,1)

mapdl.r(3,30)

mapdl.r(4,1)

mapdl.r(5,1)

mapdl.r(6,1)

mapdl.r(7,1)

mapdl.r(8,1)

mapdl.r(9,1)

mapdl.r(10,1)

mapdl.r(11,1)

mapdl.r(12,1)

mapdl.r(13,1)

mapdl.r(14,1)

mapdl.r(15,1)

mapdl.r(16,1)

mapdl.r(17,1)

mapdl.r(18,1)

mapdl.r(19,1)

mapdl.r(20,1)

mapdl.r(21,1)

mapdl.r(22,1)

mapdl.r(23,1)

mapdl.r(24,1)

mapdl.r(25,1)

mapdl.r(26,1)

mapdl.r(27,1)

mapdl.r(28,1)

mapdl.r(29,1)

mapdl.r(30,1)

mapdl.r(31,1)

mapdl.r(32,1)

mapdl.r(33,1)

mapdl.r(34,1)

mapdl.r(35,1)

mapdl.r(36,1)

mapdl.r(37,1)

mapdl.r(38,1)

mapdl.r(39,1)

mapdl.r(40,1)

mapdl.r(41,1)

mapdl.r(42,1)

mapdl.r(43,1)

mapdl.r(44,1)

mapdl.r(45,1)

mapdl.r(46,1)

mapdl.r(47,1)

mapdl.r(48,1)

mapdl.r(49,1)

mapdl.r(50,1)

mapdl.r(51,1)

mapdl.r(52,1)

mapdl.r(53,1)

mapdl.r(54,1)

mapdl.r(55,1)

mapdl.r(56,1)

mapdl.r(57,1)

mapdl.r(58,1)

mapdl.r(59,1)

mapdl.r(60,1)

mapdl.r(61,1)

mapdl.r(62,1)

mapdl.r(63,1)

mapdl.r(64,1)

mapdl.r(65,1)

mapdl.r(66,1)

mapdl.r(67,1)

mapdl.r(68,1)

mapdl.r(69,1)

mapdl.r(70,1)

mapdl.r(71,1)

mapdl.r(72,1)

mapdl.r(73,1)

mapdl.r(74,1)

mapdl.r(75,1)

mapdl.r(76,1)

mapdl.r(77,1)

mapdl.r(78,1)

mapdl.r(79,1)

mapdl.r(80,1)

mapdl.r(81,1)

mapdl.r(82,1)

mapdl.r(83,1)

mapdl.r(84,1)

mapdl.r(85,1)

mapdl.r(86,1)

mapdl.r(87,1)

mapdl.r(88,1)

mapdl.r(89,1)

mapdl.r(90,1)

mapdl.r(91,1)

mapdl.r(92,1)

mapdl.r(93,1)

mapdl.r(94,1)

mapdl.r(95,1)

mapdl.r(96,1)

mapdl.r(97,1)

mapdl.r(98,1)

mapdl.r(99,1)

mapdl.r(100,1)

mapdl.r(101,1)

mapdl.r(102,1)

mapdl.r(103,1)

mapdl.r(104,1)

mapdl.r(105,1)

mapdl.r(106,1)

mapdl.r(107,1)

mapdl.r(108,1)

mapdl.r(109,1)

mapdl.r(110,1)

mapdl.r(111,1)

mapdl.r(112,1)

mapdl.r(113,1)

mapdl.r(114,1)

mapdl.r(115,1)

mapdl.r(116,1)

mapdl.r(117,1)

mapdl.r(118,1)

mapdl.r(119,1)

mapdl.r(120,1)

mapdl.r(121,1)

mapdl.r(122,1)

mapdl.r(123,1)

mapdl.r(124,1)

mapdl.r(125,1)

mapdl.r(126,1)

mapdl.r(127,1)

mapdl.r(128,1)

mapdl.r(129,1)

mapdl.r(130,1)

mapdl.r(131,1)

mapdl.r(132,1)

mapdl.r(133,1)

mapdl.r(134,1)

mapdl.r(135,1)

mapdl.r(136,1)

mapdl.r(137,1)

mapdl.r(138,1)

mapdl.r(139,1)

mapdl.r(140,1)

mapdl.r(141,1)

mapdl.r(142,1)

mapdl.r(143,1)

mapdl.r(144,1)

mapdl.r(145,1)

mapdl.r(146,1)

mapdl.r(147,1)

mapdl.r(148,1)

mapdl.r(149,1)

mapdl.r(150,1)

mapdl.r(151,1)

mapdl.r(152,1)

mapdl.r(153,1)

mapdl.r(154,1)

mapdl.r(155,1)

mapdl.r(156,1