復(fù)習(xí)09概率（九大考點(diǎn)）

復(fù)習(xí)09概率一、隨機(jī)抽樣1.統(tǒng)計的相關(guān)概念名稱定義總體調(diào)查對象的全體稱為整體個體組成整體的每一個調(diào)查對象稱為個體樣本從總體中抽取的那部分個體稱為樣本一、有限樣本空間與隨機(jī)事件1.隨機(jī)試驗(yàn)我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡稱試驗(yàn),常用字母表示.隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn):（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2.試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和樣本空間項目定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間用表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有個可能結(jié)果則稱樣本空間為有限樣本空間3.三種事件的定義隨機(jī)事件我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時,稱為事件發(fā)生必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件二、事件的關(guān)系和運(yùn)算1.事件的包含關(guān)系定義一般地,若事件發(fā)生,則事件一定發(fā)生,我們就稱事件包含事件(或事件包含于事件)含義發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生符號表示(或)圖形表示特殊情況如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,則稱事件與事件相等,記作2.并事件(或和事件)定義一般地,事件與事件至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點(diǎn)或者在事件中,或者在事件中,我們稱這個事件為事件與事件的并事件(或和事件)含義與至少有一個發(fā)生符號表示(或)圖形表示3.交事件(或積事件)定義一般地,事件與事件同時發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點(diǎn)既在事件中,也在事件中,我們稱這樣的一個事件為事件與事件的交事件(或積事件)含義與同時發(fā)生符號表示(或)圖形表示4.互斥事件(或互不相容事件)定義一般地,如果事件與事件不能同時發(fā)生,也就是說是一個不可能事件,即,則稱事件與事件互斥(或互不相容)含義與不能同時發(fā)生符號表示圖形表示5.對立事件定義一般地,如果事件和事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為含義與有且僅有一個發(fā)生符號表示,圖形表示三、古典概型及概率性質(zhì)1.概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值),稱為事件的概率,事件的概率用表示.2.古典概型一般地,如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(簡稱為有限性),而且可以認(rèn)為每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等(簡稱等可能性),則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.3.古典概型概率公式一般地,設(shè)試驗(yàn)是古典概型,樣本空間包含個樣本點(diǎn),事件包含其中的個樣本點(diǎn),則定義事件的概率，其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個數(shù).4.概率的基本性質(zhì)一般地,概率具有如下性質(zhì):性質(zhì)1:對任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即.性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么.如果事件兩兩互斥,那么事件發(fā)生的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即性質(zhì)4:如果事件和事件互為對立事件,那么性質(zhì)5:如果,那么.性質(zhì)6:設(shè)是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件,我們有.四、相互獨(dú)立對任意兩個事件與,如果成立,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立,簡稱為獨(dú)立.（1）如果與相互獨(dú)立,則與，與，與也相互獨(dú)立.（2）與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率的計算公式如下表:事件相互獨(dú)立概率計算公式同時發(fā)生同時不發(fā)生至少有一個不發(fā)生至少有一個發(fā)生恰有一個發(fā)生五、頻率與概率1.頻率的穩(wěn)定性大量試驗(yàn)證明,在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中,一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率估計概率2.隨機(jī)模擬1.隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)像彩票搖獎那樣,把10個質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎器中,充分?jǐn)嚢韬髶u出一個球,這個球上的號碼就稱為隨機(jī)數(shù).計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的,具有周期性(周期很長),它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì),因此計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù),我們稱為偽隨機(jī)數(shù).2.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的常用方法：①用計算器產(chǎn)生;②用計算機(jī)產(chǎn)生;③抽簽法.3.隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來做模擬試驗(yàn),通過模擬試驗(yàn)得到的頻率來估計概率,這種用計算機(jī)或計算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法.考點(diǎn)01 事件的分類及表示【方法點(diǎn)撥】用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件,首先弄清試驗(yàn)的樣本空間,不重不漏列出所有的樣本點(diǎn).然后找出滿足隨機(jī)事件要求的樣本點(diǎn),從而用這些樣本點(diǎn)組成的集合表示隨機(jī)事件.【例1】下列事件中，必然事件的個數(shù)是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】對于①，因?yàn)?028年8月18日，不能確定北京市是否下雨，所以2028年8月18日，北京市不下雨為隨機(jī)事件，故為隨機(jī)事件；對于②，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在結(jié)冰而不是在時結(jié)冰，故為不可能事件；對于③，因?yàn)閺臉?biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，不能確定是否為1號簽，所以從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽，故為隨機(jī)事件；對于④，因?yàn)橄蛄康哪４笥诘扔?，所以向量的模不小于0，故為必然事件.綜上：①③為隨機(jī)事件，②為不可能事件，④為必然事件．故選：B.【例2】指出下列試驗(yàn)的條件和結(jié)果：(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，任取1個球；(3)從裝有大小相同但顏色不同的，，，這4個球的袋中，一次任取2個球．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）條件為射擊一次；結(jié)果為命中的環(huán)數(shù)：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11種．（2）條件為從袋中任取1個球；結(jié)果為，，，，共4種．（3）條件為從袋中一次任取2個球；若記表示一次取出的2個球是和，則試驗(yàn)的全部結(jié)果為，，，，，，共6種．【變式11】下列事件中，確定性現(xiàn)象的個數(shù)為（

）①三角形內(nèi)角和為；②三角形中大邊對大角，大角對大邊；③三角形中兩個內(nèi)角和小于；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊．A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【詳解】對①：三角形內(nèi)角和為，故為確定性現(xiàn)象；對②：三角形中大邊對大角，大角對大邊，故為確定性現(xiàn)象；對③：對任意兩內(nèi)角的和可能小于，也可能等于，或大于，故為隨機(jī)現(xiàn)象；對④：三角形中任意兩邊的和大于第三邊，故為確定性現(xiàn)象．所以確定性現(xiàn)象的個數(shù)為3.故選：C.【變式12】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)從分別標(biāo)有1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；(5)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動機(jī)”將會出現(xiàn)．【答案】(1)隨機(jī)事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)隨機(jī)事件(5)不可能事件【詳解】（1）購買一注福利彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機(jī)事件.（2）所有三角形的兩邊之和大于第三邊，所以是必然事件.（3）空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存下去，所以是不可能事件.（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四張標(biāo)簽中任一張，所以是隨機(jī)事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機(jī)”不會出現(xiàn)，所以是不可能事件.【變式13】甲、乙兩人做出拳游戲（錘、剪、布），用表示結(jié)果，其中x表示甲出的拳，y表示乙出的拳.(1)寫出樣本空間；(2)用集合表示事件“甲贏”；(3)用集合表示事件“平局”.【答案】(1){(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}(2){(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}(3){(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}【詳解】（1）＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}．（2）記“甲贏”為事件A，則{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}．（3）記“平局”為事件B，則{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}．考點(diǎn)02 事件的關(guān)系和運(yùn)算【方法點(diǎn)撥】（1）事件的包含與相等可以從集合的角度理解,事件的包含關(guān)系就是集合間的子集與真子集的關(guān)系；（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時,一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.【例3】（多選）拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】記{有枚硬幣正面向上}，，則，對于選項A：因?yàn)?，故A錯誤；對于選項B：因?yàn)?，故B錯誤；對于選項C：因?yàn)?，故C正確；對于選項D：因?yàn)?，故D正確；故選：CD.【例4】試驗(yàn)：連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).①事件A表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”；②事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為2”；③事件C表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值不超過1”；④事件D表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”.試用樣本點(diǎn)表示下列事件，并指出樣本點(diǎn)的個數(shù).(1)(2)(3).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）用（i，j）表示拋擲的結(jié)果，其中i表示第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)，j表示第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω=（1因?yàn)楸硎尽?次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5且點(diǎn)數(shù)之差的絕對值不超過1”，所以={（2，3），（3，2）}，樣本點(diǎn)的個數(shù)為2.（2）因?yàn)楸硎尽?次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為2且點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，所以={（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6，4）}，樣本點(diǎn)的個數(shù)為8.（3）因?yàn)楸硎尽?次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值為2或2次擲出的點(diǎn)數(shù)之差的絕對值不超過1”，所以={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1）}，樣本點(diǎn)的個數(shù)為24.【變式21】（多選）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【詳解】對于A選項，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；對于B選項，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數(shù)包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；對于C選項，事件A和B不可能同時發(fā)生，即事件，故C錯誤；對于D選項，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯誤．故選：AB．【變式22】擲一枚骰子，下列事件：擲出奇數(shù)點(diǎn)，擲出偶數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)小于.則①；②.【答案】擲出點(diǎn)擲出點(diǎn)【詳解】因?yàn)閿S出奇數(shù)點(diǎn)，擲出偶數(shù)點(diǎn)，點(diǎn)數(shù)小于，所以擲出點(diǎn)，擲出點(diǎn).故答案為：擲出點(diǎn)；擲出點(diǎn).【變式23】擲一枚骰子，觀察其向上的點(diǎn)數(shù)，可能得到以下事件：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；“出現(xiàn)2點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”；“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”；“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”；“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”.請判斷下列兩個事件的關(guān)系：（1）BH；（2）DJ；（3）EI；（4）AG.【答案】＝【詳解】（1）因?yàn)椤俺霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”包含出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)四種情況，所以事件B發(fā)生時，事件H必然發(fā)生，故.（2）“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”包括出現(xiàn)2點(diǎn)，出現(xiàn)4點(diǎn)，出現(xiàn)6點(diǎn)三種情況，所以事件發(fā)生時，事件必然發(fā)生，故，（3）“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”包括出現(xiàn)1點(diǎn)，出現(xiàn)3點(diǎn)，出現(xiàn)5點(diǎn)三種情況，所以事件發(fā)生時，事件必然發(fā)生，故.（4）“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”只包括出現(xiàn)1點(diǎn)一種情況，即事件A與事件G相等，故.故答案為：，，，＝考點(diǎn)03 古典概型【方法點(diǎn)撥】計算古典概型事件的概率步驟：①算出樣本點(diǎn)的總個數(shù)n；②求出事件A所包含的樣本點(diǎn)個數(shù);③代入公式求出概率.【例5】甲、乙、丙三名同學(xué)相互做傳球訓(xùn)練,第一次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能的將球傳給另外兩個人中的任何一個人,則次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意次傳球總的傳球路線種數(shù)為種,滿足題意的有:甲乙甲乙甲、甲乙甲丙甲、甲乙丙乙甲、甲丙甲乙甲、甲丙甲丙甲、甲丙乙丙甲,共有種,所以次傳球后球在甲手中的概率為.故選:C.【例6】一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復(fù)上述過程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（

）個．A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)黃球的個數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，解得.故選：B.【變式31】對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，它可以改進(jìn)數(shù)字的計算方法、提高計算速度和準(zhǔn)確度.已知，，若從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，則為整數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，從集合M，N中各任取一個數(shù)x，y，基本事件總數(shù).為整數(shù)包含的基本事件有，，，，共4個為整數(shù)的概率為.故選：C.【變式32】從集合中任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】從集合中任取兩個數(shù)所有可能結(jié)果有、、、、、、、、、共個，其中滿足兩個數(shù)的和不小于的有、、、、、、、共個，所以這兩個數(shù)的和不小于的概率.故選：C【變式33】在①高一或高二學(xué)生的概率為；②高二或高三學(xué)生的概率為；③高三學(xué)生的概率為這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.已知某高中的高一有學(xué)生600人，高二有學(xué)生500人，高三有學(xué)生a人，若從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到___________.(1)求a的值；(2)若按照高一和高三學(xué)生人數(shù)的比例情況，從高一和高三的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人是高三學(xué)生的概率.【答案】(1)300(2)【詳解】（1）選①.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高一或高二學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.選②.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高一或高三學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.選③.依題意，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到高三學(xué)生的概率為，解得，所以a的值為300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一?高三學(xué)生的人數(shù)由（1）知，高一?高三學(xué)生人數(shù)比為2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出從抽取的6人中任取2人的所有情況高一的4人記為a，b，c，d，高三的2人記為A，B，則從這6人中任取2人的所有情況為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共15種.第三步：列出至少有1人是高三學(xué)生的情況抽取的2人中至少有1人是高三學(xué)生的情況有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共9種.第四步：根據(jù)古典概型的概率公式得解至少有1人是高三學(xué)生的概率為.考點(diǎn)04 互斥與對立的辨別【方法點(diǎn)撥】設(shè)事件與所含的結(jié)果組成的集合分別為.①若事件件與互斥,則集合;②若事件件與對立,則集合且.【例7】書架上有2本數(shù)學(xué)書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（

）A．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”B．“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”D．“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”【答案】C【詳解】對于A：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”是對立事件，故不滿足題意對于B：“至少有1本數(shù)學(xué)書”和“至多有1本語文書”可以同時發(fā)生，故不滿足題意對于C：“恰有1本數(shù)學(xué)書”和“恰有2本數(shù)學(xué)書”互斥但不對立，滿足題意對于D：“至多有1本數(shù)學(xué)書”和“都是語文書”可以同時發(fā)生，故不滿足題意故選：C【點(diǎn)睛】本題考查互斥而不對立的兩個事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．【例8】撲克牌中的秘密撲克牌有54張，52張正牌表示一年有52個星期，2張副牌中的大貓代表太陽，小貓代表月亮；黑桃、紅桃、方塊、梅花表示春、夏、秋、冬四季，紅色牌代表白晝，黑色牌代表黑夜；每一季13個星期與撲克牌每一花色13張正好一致，52張牌的點(diǎn)數(shù)相加是364，再加上小貓的一點(diǎn)，是365，與一般年份天數(shù)相同；如果再加上大貓的一點(diǎn)，那就正好是閏年的天數(shù).撲克牌的K、Q、J共有12張，既表示一年有12個月，又表示太陽在一年中經(jīng)過12個星座.現(xiàn)從52張撲克牌（除去大貓和小貓）中任抽1張.問題（1）“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”是不是互斥事件，是不是對立事件？（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”是不是互斥事件，是不是對立事件？【答案】（1）是互斥事件，不是對立事件；（2）是互斥事件，也是對立事件；（3）不是互斥事件，也不是對立事件.【解析】（1）根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷，“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”不可能同時發(fā)生的，不能保證其中必有一個發(fā)生；（2）“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，不互斥．【詳解】(1)“抽出代表夏季的牌”與“抽出代表秋季的牌”，即“抽出紅桃”與“抽出方塊”，這是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“黑桃”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件.(2)“抽出代表白晝的牌”與“抽出代表黑夜的牌”，即“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們是互斥事件，也是對立事件.(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，也不是對立事件.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件和對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．緊緊抓住能不能同時發(fā)生，以及是否是非此即彼．【變式41】（多選）一個不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中任意取出兩個球.設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件【答案】ABD【詳解】袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現(xiàn)從中取出兩個球，取球的方法有如下幾種:①取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球;③取出的兩球一黑一白.事件R包括①③兩種情況，∴事件P是事件R的子事件，故A中結(jié)論不正確;事件Q與事件R互斥且對立，故C中結(jié)論正確，D中結(jié)論不正確;事件P與事件Q互斥，但不對立，故B中結(jié)論不正確.故選：ABD.【變式42】一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲一次，設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則（

）A．與是互斥而非對立事件 B．與是對立事件C．與是互斥而非對立事件 D．與是對立事件【答案】D【詳解】事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.因?yàn)槌霈F(xiàn)點(diǎn)數(shù)或，所以與不互斥也不對立.因?yàn)?，，所以與是對立事件.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件和對立事件，熟練掌握互斥和對立事件的概念為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.【變式43】從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【答案】①不是對立事件；②不是對立事件；③不是對立事件．【詳解】依據(jù)互斥事件的定義，即事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因?yàn)樗鼈兊暮褪录皇潜厝皇录运鼈儾皇菍α⑹录?；同理可以判斷②中?個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件；③中的2個事件不是互斥事件，從而也不是對立事件．【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件、對立事件，掌握互斥事件與對立事件的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)05 求互斥事件與對立事件的概率【方法點(diǎn)撥】利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的具體步驟:①給總體中的每個個體編號;②在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)抽取某行【例9】袋中有紅球、黑球、黃球、綠球共12個，它們除顏色外完全相同，從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，則得到黑球、黃球、綠球的概率分別是，，.【答案】/0.25/0.25【詳解】設(shè)事件A，B，C，D分別表示事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”，則事件A，B，C，D兩兩互斥，根據(jù)題意，得，解得，，，故答案為：，，【例10】若事件為兩個互斥事件，且，有以下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①②③④A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】A【詳解】事件為兩個互斥事件，，，故①正確；事件為兩個互斥事件，則，，故②錯誤；，故③正確；，故④正確，綜上，①③④正確，故選：A．【變式51】已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．【答案】【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.【變式52】擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件（表示事件的對立事件）發(fā)生的概率為.【答案】【詳解】依題意可知，事件與事件為互斥事件，且，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了對立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，屬于基礎(chǔ)題.【變式53】為了備戰(zhàn)第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動會（2024法國巴黎奧運(yùn)會），中國奧運(yùn)健兒刻苦訓(xùn)練，成績穩(wěn)步提升．射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件，即表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得.考點(diǎn)06 求獨(dú)立事件的概率【方法點(diǎn)撥】求相互獨(dú)立事件的概率的步驟：①先用字母表示出事件,再分析題中涉及的事件,并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥事件的和;②求出這些彼此互斥事件的概率;③根據(jù)互斥事件的概率計算公式求出結(jié)果.【例11】某班元旦晚會中設(shè)置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規(guī)則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結(jié)束；②抽取3次完成游戲?yàn)橐坏泉?，抽?次完成游戲?yàn)槎泉?則甲同學(xué)獲得二等獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記第i次取到的是紅球?yàn)槭录?，則二等獎的概率為.故選：C【例12】如圖，一個電路中有三個電器元件，每個元件正常工作的概率均為，這個電路是通路的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】元件都不正常的概率，則元件至少有一個正常工作的概率為，而電路是通路，即元件正常工作，元件至少有一個正常工作同時發(fā)生，所以這個電路是通路的概率.故選：B【變式61】學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{(lán)球投籃特長生考試，測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機(jī)會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄取；③若他在三分線處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記事件表示“甲在罰球線處投籃，第次投進(jìn)”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進(jìn)，事件表示“甲共投籃三次就結(jié)束考試”.則，故選：B【變式62】某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，未患病者判定為陽性的概率為，患病者判定為陽性的概率為，某人檢測成陽性包含兩種情況：①非患者檢測為陽性的概率為；②患者檢測為陽性的概率為，所以某人檢測成陽性的概率為．故選：D.【變式63】某高校強(qiáng)基計劃入圍有3道面試題目，若每位面試者共有三次機(jī)會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．李想同學(xué)答對每道題目的概率都是0.6，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨(dú)立的．(1)求李想第二次答題通過面試的概率；(2)求李想最終通過面試的概率.【答案】(1)0.24；(2)0.936.【詳解】（1）記李想同學(xué)第i次抽到題目并答對的事件為，，李想第二次答題通過面試的事件為，，所以李想第二次答題通過面試的概率為0.24.（2）李想沒有通過面試的事件，且，所以李想最終通過面試的概率為.考點(diǎn)07 判斷是否為獨(dú)立事件【方法點(diǎn)撥】事件的獨(dú)立性的判斷:①定義法:事件相互獨(dú)立?；②由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件的發(fā)生是否相互影響；【例13】盒中有4個大小相同的小球，其中2個紅球、2個白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個小球，記下顏色后放回.設(shè)事件“兩次均未摸出紅球”，事件“兩次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的兩個球中有紅球”，事件“第二次摸出的兩個球中有白球”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】D【詳解】依題意得，，，故A項錯誤；，，故B項錯誤；，故C項錯誤；，，故D項正確.故選：D.【例14】下面所給出的兩個事件與相互獨(dú)立嗎?(1)拋擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)2點(diǎn)”；(2)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件“第一枚出現(xiàn)正面”，事件“第二枚出現(xiàn)反面”；(3)在裝有2紅1綠三個除顏色外完全相同的小球的口袋中，任取一個小球，觀察顏色后放回袋中，事件“第一次取到綠球”，“第二次取到綠球”．【答案】(1)不是相互獨(dú)立事件(2)相互獨(dú)立(3)相互獨(dú)立【詳解】（1）因?yàn)椋质录l(fā)生，事件就不會發(fā)生，即，所以與不是相互獨(dú)立事件．（2）擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的可能結(jié)果為：正正、正反、反正、反反，所以，又，所以，所以與相互獨(dú)立．（3）因?yàn)?，且，所以，所以與相互獨(dú)立．或（由于每次取球觀察顏色后放回，故事件的發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，所以與相互獨(dú)立．）【變式71】（多選）有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號，記事件：為偶數(shù)，：為偶數(shù)，C：，則（

）A． B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】ACD【詳解】對A：，故A正確；對B：，，則，故與不相互獨(dú)立，故B錯誤；對C：，，則，故與相互獨(dú)立，故C正確；對D：，則，故與相互獨(dú)立，故D正確；故選：ACD.【變式72】同時拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件A：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件C：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有（

）A．事件A與事件B對立 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件A與事件C相互獨(dú)立 D．【答案】BC【詳解】由題意，得，，，對于A，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時，事件可以同時發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，故事件A與事件B不對立，故A錯誤；對于B，由題意知，又，故事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；對于C，，又，故事件A與事件C相互獨(dú)立，故C正確；對于D，由上知，，故D錯誤．故選：BC．【變式73】一個袋子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5個球，除標(biāo)號外沒有其他差異．(1)采取不放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“兩次摸出球的標(biāo)號之和大于5”，寫出等可能性的樣本空間并求事件發(fā)生的概率；(2)采取有放回的方式從袋中依次任意摸出兩球，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號是奇數(shù)”，設(shè)事件“第二次摸出球的標(biāo)號是偶數(shù)”，那么事件與事件是否相互獨(dú)立？【答案】(1)樣本空間見解析，(2)相互獨(dú)立【詳解】（1）5球中不放回的摸出2球，這個實(shí)驗(yàn)的樣本空間，其中，事件，其中所以.（2）5球中不放回的摸出2球，這個實(shí)驗(yàn)的樣本空間，其中，事件，其中，，其中，事件，,所以，，,因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立.考點(diǎn)08 頻率與概率【方法點(diǎn)撥】頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值,利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量,當(dāng)很大時,頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動,這個穩(wěn)定值就是概率.【例15】兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（

）

A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率；B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率；C．轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率；D．從裝有2個紅球和1個藍(lán)球的口袋中任取一個球恰好是藍(lán)球的概率．【答案】D【詳解】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動，即其概率，選項A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；選項B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，故此選項不符合題意；選項C，轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為，故此選項不符合題意；選項D，從裝有2個紅球和1個藍(lán)球的口袋中任取一個球恰好是藍(lán)球的概率為，故此選項符合題意；故選：D【例16】對一批西裝進(jìn)行了多次檢查，并記錄結(jié)果如下表：抽取件數(shù)50100150200300400檢出次品件數(shù)579152130檢出次品頻率(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算并填寫每次檢出次品的頻率；(2)從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經(jīng)驗(yàn)概率是多少？(3)如果要銷售1000件西裝，至少要額外準(zhǔn)備多少件正品西裝以供買到次品的顧客調(diào)換？【答案】(1)0.1，0.07，0.06，0.075，0.07，0.075；(2)0.075；(3)75件.【詳解】（1）利用頻率的計算公式可得，每次次檢出次品的頻率即為當(dāng)次檢出次品件數(shù)除以本次抽取件數(shù)，所以從左到右的6次檢測對應(yīng)的頻率分別為：，，，，，所以，對應(yīng)的頻率表格如下：抽取件數(shù)50100150200300400檢出次品件數(shù)579152130檢出次品頻率0.10.070.060.0750.070.075（2）從這批西裝中任意抽取一件，抽到次品的經(jīng)驗(yàn)概率約為6次檢出次品頻率的穩(wěn)定值，即，所以抽到次品的經(jīng)驗(yàn)概率約為；（3）由（2）可知，銷售1000件西裝大約有件次品，所以，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)備75件正品西裝以供買到次品的顧客調(diào)換.【變式81】一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色圍棋子放入其中，充分?jǐn)嚢韬箅S機(jī)抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計白色圍棋子的數(shù)目為顆．【答案】300【詳解】設(shè)白色圍棋子的數(shù)目為n，則由已知可得，解得，即白色圍棋子的數(shù)目大約有300顆．故答案為：300.【變式82】欲利用隨機(jī)數(shù)表從00，01，02，…，59這些編號中抽取一個容量為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，則第4個被抽取的樣本的編號為【答案】10【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位編號有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4個被抽取的樣本的編號為10.故答案為：10【變式83】某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤（如圖所示），并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域（不考慮指針落在分界線上的情況）就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進(jìn)行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m68111136345564701落在“鉛筆”區(qū)域的頻率(1)計算并完成表格；(2)請估計，當(dāng)n很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近多少？(3)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？【答案】(1)答案見解析；(2)0.7；(3)0.7.【詳解】（1）通過計算可得：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)m68111136345564701落在“鉛筆”區(qū)域的頻率0.680.740.680.690.7050.701（2）當(dāng)n很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近0.7.（3）由表格可知，隨著轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次數(shù)越來越大，頻率越來越穩(wěn)定在0.7附近，所以，獲得鉛筆的概率約是0.7.考點(diǎn)09 概率與統(tǒng)計的綜合【例17】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在歲以下的客戶中抽取位歸為組，從年齡在歲（含歲）以上的客戶中抽取位歸為組，將他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成如下莖葉圖:注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.(1)分別求出組客戶與組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值；(2)在兩組客戶中，從“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”大于的客戶中各隨機(jī)抽取位客戶，求組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的概率(3)試比較兩組客戶數(shù)據(jù)方差的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)；(2)(3)組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差大于組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差【詳解】（1）由莖葉圖可知：組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值；組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值.（2）組客戶中，“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”大于的客戶的續(xù)航里程數(shù)分別為；組客戶中，“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”大于的客戶的續(xù)航里程數(shù)分別為；從兩組客戶中各抽取位客戶，則有，，，，，，，，共種情況；其中滿足組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于組客戶的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的情況有，，，共種情況；所求概率.（3）方法一：組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差；組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差；，即組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差大于組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差；方法二：根據(jù)莖葉圖可知：組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的數(shù)據(jù)相較于組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的數(shù)據(jù)更集中在其平均數(shù)附近，即組客戶數(shù)據(jù)整體更加穩(wěn)定，組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差大于組客戶“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的方差.【例18】為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：(1)①求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)；②用分層抽樣的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組，再從該小組派3人接受檢測，求檢測的3人來自同一區(qū)間的概率.(2)①估計這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的25%分位數(shù)；②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時間從低到高排列，那么估計第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時長；【答案】(1)①人，②(2)①小時，②小時【詳解】（1）①由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為人．②由圖可知，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間在的人數(shù)為人，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間在的人數(shù)為人，從中用分層抽樣抽取6人，即周末的學(xué)習(xí)時間在的有4人，周末的學(xué)習(xí)時間在的有2人，再從中選派3人接受檢測，設(shè)檢測的3人來自同一區(qū)間的事件為A，則;（2）①學(xué)習(xí)時間在5小時以下的頻率為，學(xué)習(xí)時間在10小時以下的頻率為，所以25%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，所以這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的25%分位數(shù)為8.75小時．②第10名是40名同學(xué)的25%，因而問題相當(dāng)于求25%分位數(shù)，也就是估計第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時長為8.75小時．【變式91】某保險公司決定每月給推銷員確定個具體的銷售目標(biāo)，對推銷員實(shí)行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟(jì)效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機(jī)抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

求：(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率，并根據(jù)直方圖估計，月銷售目標(biāo)定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務(wù).(2)該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來自不同小組的概率.(3)第一組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為13，方差1.96，第七組中推銷員的銷售金額的平均數(shù)為25，方差3.16，求這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)，方差.【答案】(1)0.12，17萬元(2)(3)平均數(shù)，方差【詳解】（1）月銷售額在小組內(nèi)的頻率為，若要使的推銷員完成月銷售額目標(biāo)，則意味著的推銷員不能完成月銷售額目標(biāo)，根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為，和及三組的頻率之和為，故估計月銷售目標(biāo)應(yīng)定為萬元；（2）第一組3人記為，第七組2人，則選取2位推銷員有共10種情形，“選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗(yàn)，求選出的推銷員來自不同小組”記為事件M，則事件M包含有共6種情形，所以；（3）第一組3人，第七組2人，則這兩組中所有推銷員的銷售金額的平均數(shù)為，方差.【變式92】為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計這次知識能力測評的平均數(shù)；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；(3)學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【答案】(1)分(2)(3)甲最終獲勝的可能性大；理由見解析【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數(shù)：分.（2）解：由頻率分布直方圖，可得的頻率為，的頻率為，所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，可得從抽取人，即為，從中抽取人，即為，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有，共有12個基本事件；其中第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的有：，共有3個，所以概率為.（3）解：甲最終獲勝的可能性大.理由如下：由題意，甲至少得1分的概率是，可得，其中，解得，則甲的2分或3分的概率為：，所以乙得分為2分或3分的概率為，因?yàn)?，所以甲最終獲勝的可能性更大.【變式93】某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計總體，利用組中值估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．【答案】(1)2(2)平均數(shù)71，中位數(shù)(3)【詳解】（1）由，得，因?yàn)椋ㄈ耍?，（人）．所以不高?0分的抽（人）；（2）平均數(shù)．因?yàn)樵趦?nèi)共有80人，則中位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，，解得；（3）法一：記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”為事件A，則．至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為．法二：記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”為事件A，，至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為．一、單選題1．某籃球運(yùn)動員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩次都投中”，事件B表示隨機(jī)事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可得：事件A表示表示“兩次都投中”；事件B表示“兩次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項A正確；事件B和事件D是對立事件，故，所以選項B正確；事件表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件表示“兩次都未投中”、“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故選項C錯誤；事件表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以選項D正確；故選：C.2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（

）A．與互為對立事件 B．與互斥C．與相等 D．【答案】D【詳解】因?yàn)閽仈S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以A、B、C錯誤，D正確，故選：D.3．保險柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個數(shù)字組成，假設(shè)一個人記不清自己的保險柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開鎖的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列的結(jié)果有：，，共5個，它們等可能，最多輸入2次就能開鎖的事件A，它是輸入1次能開鎖的事件，第2次輸入才能開鎖的事件的和，它們互斥，，，則，最多輸入2次就能開鎖的概率是.故選：C4．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中，“向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與B互斥 B． C．與相互獨(dú)立 D．【答案】D【詳解】對于A，，，與B不互斥，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故C錯誤；對于D，，，，故D正確.故選：D.5．已知甲袋中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的四個小球，乙袋中有標(biāo)號分別為2，3，4，5的四個小球，這些球除標(biāo)號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標(biāo)號為3”，事件表示“第二次取出的小球標(biāo)號為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為偶數(shù)”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與是互斥事件 C．與是對立事件 D．與相互獨(dú)立【答案】D【詳解】由題意可得基本事件總數(shù)為，設(shè)，，，，由題意可得與可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故B錯誤；易知與不同時發(fā)生，即與為互斥事件，但不是對立事件，比如當(dāng)發(fā)生時與均不發(fā)生，故C錯誤.又，則，，從而與不相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，故A錯誤，D正確.故選：D二、多選題6．下列事件是隨機(jī)事件的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．某人給其朋友打，卻忘記了朋友號碼的最后一個數(shù)字，就隨意撥了一個數(shù)字，恰巧是朋友的號碼C．函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)D．若，則a，b同號【答案】BCD【詳解】A選項，此事件為必然事件；B選項，忘記朋友的號碼最后一位，隨意撥打個號碼就是朋友的號碼，這件事情在一次試驗(yàn)中可能發(fā)成也可能不發(fā)生，所以為隨機(jī)事件；C選項，由于與的關(guān)系不確定，所以函數(shù)在R上不一定為增函數(shù)，所以此事件為隨機(jī)事件；D選項，當(dāng)時，有兩種可能，一種可能是a，b同號，即，另