人教版2024-2025學年八年級數(shù)學上冊舉一反三專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】(學生版+解析)

專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 3【題型3飛鏢模型】 4【題型4雙垂直模型】 6【題型5老鷹抓小雞模型】 8【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 10【題型7兩外角角平分線模型】 11【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】 13【題型9三角形折疊模型】 15知識點1：A字模型已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E，則∠1+∠2=∠A+180°【題型1A字模型】【例1】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【變式1-1】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度數(shù)為．【變式1-2】（23-24八年級·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個角后得到四邊形ABCD，則下列判斷錯誤的是（

）

A．變成四邊形后對角線增加了兩條B．變成四邊形后內(nèi)角和增加了360°C．外角和沒有發(fā)生變化D．若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠1+∠2=240°【變式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的方式放置，若∠1=130°，則∠2的度數(shù)為．知識點2：8字模型①已知AD，BC相交于O，則∠A+∠B=∠C+∠D②已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則∠P=12【題型28字模型】【例2】（23-24八年級·浙江金華·期末）如圖，BP平分∠ABC，交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，AB與CD相交于點G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度數(shù)；（2）若∠C=38°，求∠P的度數(shù)．【變式2-1】（23-24八年級·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【變式2-2】（23-24八年級·北京懷柔·期末）如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【變式2-3】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．知識點3：飛鏢模型①已知四邊形ABCD，則∠C=∠A+∠B+∠D②已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12【題型3飛鏢模型】【例3】（23-24·河北秦皇島·一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．【變式3-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·階段練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了如上圖這樣一個零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【變式3-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【變式3-3】（23-24·河北邯鄲·一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數(shù)據(jù)（如圖），淇淇說，這四個數(shù)據(jù)中有一個是標錯的；嘉嘉經(jīng)過認真思考后，進行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D知識點4：雙垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.則∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型4雙垂直模型】【例4】（23-24八年級·廣東珠海·期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【變式4-1】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF(1)求證：AD⊥CF．(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．【變式4-2】（23-24八年級·山西晉中·期中）請把下面的證明過程補充完整如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F，求證：CF=CE．證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（①），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（②），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴（③），（直角三角形的兩個銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（④），∵∠CFE=∠AFD（⑤），∴∠CFE=∠CEF（⑥），∴CF=CE（⑦）．【變式4-3】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點O是BC的中點，點P是射線CB上的一個動點(點P不與點C、O、B重合)，過點C作CE⊥AP于點E，過點B作BF⊥AP于點F，連接EO，OF

(問題探究)如圖1，當P點在線段CO上運動時，延長EO交BF于點G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）BG與AF的數(shù)量關系為：(直接寫結論，不需說明理由)；(拓展延伸)（3）①如圖2，當P點在線段OB上運動，EO的延長線與BF的延長線交于點G，∠OFE的大小是否變化？若不變，求出∠OFE的度數(shù)；若變化，請說明理由；②當P點在射線OB上運動時，若AE=2，CE=6，直接寫出△OEF的面積，不需證明．知識點5：老鷹抓小雞模型如圖，∠A+∠O=∠1+∠2；口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和【題型5老鷹抓小雞模型】【例5】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數(shù)為（

）A．24° B．35° C．30° D．25°【變式5-1】（23-24八年級·重慶渝北·階段練習）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點與B'點重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為

【變式5-2】（23-24八年級·安徽銅陵·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，則∠BA′C的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【變式5-3】（23-24八年級·山東煙臺·期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．知識點6：兩內(nèi)角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點I.則【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（23-24八年級·河南信陽·開學考試）如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，則∠ABO的度數(shù)為．【變式6-1】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點G，若∠A=66°，則∠BGC的度數(shù)為．【變式6-2】（23-24八年級·河南信陽·開學考試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠AOB=125°．求∠CAD的度數(shù)．

【變式6-3】（23-24八年級·山東煙臺·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④知識點7：兩外角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點O.則.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點E，則∠AEC=．【變式7-1】（23-24八年級·河南鄭州·階段練習）如圖，G是ΔAFE兩外角平分線的交點，P是ΔABC的兩外角平分線的交點，F(xiàn)，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【變式7-2】（23-24八年級·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC=130°，則∠D的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【變式7-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）（分類討論思想）△ABC的兩外角平分線交于點F．

(1)如圖1，若∠A=30°，則∠BFC的度數(shù)為__________．(2)如圖2，過點F作直線MN∥BC，分別交射線AB，AC于點M，N，若設∠MFB=α，∠NFC=β，則(3)在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關系，并說明理由．②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關系．知識點8：一內(nèi)一外角角平分線模型已知△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點P.則【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】【例8】（23-24八年級·江蘇泰州·期末）如圖，點B、C分別在AM、AN上運動（不與A重合），CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長線交∠ABC的平分線于點P．知道下列哪個條件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD?∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式8-1】（23-24八年級·四川遂寧·開學考試）如圖，點D為△ABC邊BC的延長線上一點，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點M，則∠M=度．【變式8-2】（23-24八年級·四川眉山·開學考試）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下結論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°?∠ABD．其中正確的結論有【變式8-3】（23-24八年級·河南開封·期末）如圖，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線相交于點A1，得到∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得到∠A2；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，A．3 B．4 C．5 D．6知識點9：三角形折疊模型①將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在線段AC上時，則∠2=2∠C.②將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時,則2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2③將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時,則2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2【題型9三角形折疊模型】【例9】（23-24八年級·河南信陽·開學考試）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊．(1)當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，∠A、∠1、∠2的度數(shù)之間有怎樣的數(shù)量關系？請你把它找出來，并說明你的理由；(2)當點A落在四邊形BCDE外部時，∠A、∠1、∠2的度數(shù)之間又有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不用說明理由．【變式9-1】（23-24八年級·上?！て谥校┤鐖D，在銳角△ABC中，D、E分別是邊AB和AC上的點，將這個△ABC紙片沿DE折疊，點A落在點F的位置．如果DF∥BC，∠B=60°，∠CEF=10°【變式9-2】（23-24八年級·河南南陽·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，點D在BC邊上，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE和邊AC重合時結束，邊AE交邊BC于點F．若折疊過程中，△DEF中有兩個角相等，則此時∠BAD的度數(shù)為．【變式9-3】（23-24八年級·四川宜賓·期末）在三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，點D為AC邊上靠近點C處一定點，點E為BC邊上一動點，沿DE折疊三角形紙片，點C落在點①如圖1，當點C'落在BC邊上時，∠AD②如圖2，當點C'落在△ABC內(nèi)部時，∠AD③如圖3，當點C'落在△ABC上方時，∠BE④當C'E∥AB時，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正確結論的個數(shù)是（A．1個 B．2個 C．3個 D．4個專題11.6三角形中的經(jīng)典模型【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 4【題型3飛鏢模型】 8【題型4雙垂直模型】 12【題型5老鷹抓小雞模型】 21【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 27【題型7兩外角角平分線模型】 30【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】 36【題型9三角形折疊模型】 41知識點1：A字模型已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E，則∠1+∠2=∠A+180°【題型1A字模型】【例1】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°?65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°?115°=245°，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關鍵．【變式1-1】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3?∠2的度數(shù)為．【答案】60°【分析】根據(jù)平角的定義求出∠4，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．【詳解】解：如圖∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3?∠2=∠4=60°，故答案為：60°．【點睛】本題考查三角形外角的性質、平角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．【變式1-2】（23-24八年級·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個角后得到四邊形ABCD，則下列判斷錯誤的是（

）

A．變成四邊形后對角線增加了兩條B．變成四邊形后內(nèi)角和增加了360°C．外角和沒有發(fā)生變化D．若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠1+∠2=240°【答案】B【分析】本題考查了多邊形的對角線，內(nèi)角和與外角和，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是【詳解】解：A、三角形沒有對角線，變成四邊形后對角線為兩條，即增加了兩條，故正確，不合題意；B、三角形內(nèi)角和為180°，變成四邊形后內(nèi)角和為360°，增加了180°，故錯誤，不合題意；C、任意多邊形的外角和是360°，故正確，不合題意；D、若剪掉的角的度數(shù)是60°，則∠A+∠B=120°，則∠1+∠2=360°?120°=240°，故正確，不合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示的方式放置，若∠1=130°，則∠2的度數(shù)為．【答案】40°/40度【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵，根據(jù)平行線的性質可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性質進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：

由題意得：AD∥∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△EFG的一個外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°?90°=40°，故答案為：40°．知識點2：8字模型①已知AD，BC相交于O，則∠A+∠B=∠C+∠D②已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則∠P=12【題型28字模型】【例2】（23-24八年級·浙江金華·期末）如圖，BP平分∠ABC，交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，AB與CD相交于點G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度數(shù)；（2）若∠C=38°，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）72°；（2）40°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=12∠ADC（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關鍵．【變式2-1】（23-24八年級·河南漯河·期末）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．【變式2-2】（23-24八年級·北京懷柔·期末）如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如圖標記∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性質得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互為鄰補角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標記∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F?28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故選C．【點睛】此題考查了三角形的外角性質與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質與鄰補角的意義是解答此題的關鍵．【變式2-3】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．【答案】360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．知識點3：飛鏢模型①已知四邊形ABCD，則∠C=∠A+∠B+∠D②已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12【題型3飛鏢模型】【例3】（23-24·河北秦皇島·一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性質先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性質求解即可．【詳解】解：如圖，連接AE并延長，連接AC并延長，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案為：增大，10．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，熟練運用題目中所給的結論是解題的關鍵．【變式3-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·階段練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了如上圖這樣一個零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【答案】70【分析】延長BE、CF，交于點G，連接AG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和為360°即可求解．【詳解】解：延長BE、CF，交于點G，連接AG，如圖，

∴∠AGB=180°?∠B?∠BAG，∠AGC=180°?∠C?∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°?∠B?∠BAG+180°?∠C?∠CAG=360°?∠B?∠C?∠BAC=253°，∴∠CGB=360°?∠AGB+∠AGC∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°?∠GED?∠D?∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案為：70．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理．正確的作出輔助線是解題關鍵．【變式3-2】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．【變式3-3】（23-24·河北邯鄲·一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數(shù)據(jù)（如圖），淇淇說，這四個數(shù)據(jù)中有一個是標錯的；嘉嘉經(jīng)過認真思考后，進行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D【答案】增大5【分析】連接BD，利用三角形的內(nèi)角和計算即可．【詳解】解：連接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°?∠A?∠ABC?∠ADC∠CDB+∠CBD=180°?∠BCD∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD∵∠A=90°∴∠ADC=145°?25°?90°=30°∴30°?25°=5°故答案為：增大，5【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，添加輔助線利用三角形內(nèi)角和計算是解決本題的關鍵．知識點4：雙垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.則∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型4雙垂直模型】【例4】（23-24八年級·廣東珠?！て谀┤鐖D1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）見解析【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）過點F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE（3）想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問題.【詳解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案為45°；過點F作FM∥AB，如圖，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF＝12∠CDE，∠BAF＝12∠∴∠CDF+∠BAF＝12（∠BAE+∠CDE∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝12∠CED∴∠BEG＝12∠CED∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝12∠BAE∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考常考題型．【變式4-1】（23-24八年級·陜西西安·期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF(1)求證：AD⊥CF．(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)△ACF為等腰直角三角形；理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質及等腰三角形性質和判定．（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG=90°，需證明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易證．（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系．根據(jù)（1）的推導，易證CF=AF，從而判斷其形狀．【詳解】（1）證明：在等腰直角△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，∵BF∥∴∠CBF=180°?∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D為BC的中點，∴CD=DB，即BF=CD，在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°∴△CBF≌△ACD(SAS∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．（2）解：△ACF是等腰三角形，理由為：連接AF，如圖所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【變式4-2】（23-24八年級·山西晉中·期中）請把下面的證明過程補充完整如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F，求證：CF=CE．證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（①），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（②），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴（③），（直角三角形的兩個銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（④），∵∠CFE=∠AFD（⑤），∴∠CFE=∠CEF（⑥），∴CF=CE（⑦）．【答案】①角平分線的定義；②直角三角形的兩銳角互余；③∠FAD+∠AFD=90°；④等角的余角相等；⑤對頂角相等；⑥等量代換；⑦等角對等邊【分析】本題考查的是直角三角形的性質、角平分線的定義，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質、對頂角相等、等角對等邊解答即可．【詳解】證明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（角平分線的定義），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的兩銳角互余），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定義），∴∠FAD+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余），∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等），∵∠CFE=∠AFD（對頂角相等），∴∠CFE=∠CEF（等量代換），∴CF=CE（等角對等邊）．故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；∠FAD+∠AFD=90°；等角的余角相等；對頂角相等；等量代換；等角對等邊．【變式4-3】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點O是BC的中點，點P是射線CB上的一個動點(點P不與點C、O、B重合)，過點C作CE⊥AP于點E，過點B作BF⊥AP于點F，連接EO，OF

(問題探究)如圖1，當P點在線段CO上運動時，延長EO交BF于點G．（1）求證：△AEC≌△BFA；（2）BG與AF的數(shù)量關系為：(直接寫結論，不需說明理由)；(拓展延伸)（3）①如圖2，當P點在線段OB上運動，EO的延長線與BF的延長線交于點G，∠OFE的大小是否變化？若不變，求出∠OFE的度數(shù)；若變化，請說明理由；②當P點在射線OB上運動時，若AE=2，CE=6，直接寫出△OEF的面積，不需證明．【答案】（1）見解析；（2）BG=AF；（3）①∠OFE的大小不變，∠OFE=45°；②滿足條件的△OEF的面積為8或16【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等得出∠CAE=∠ABF，證明△AEC≌△BFAAAS（2）證明△COE≌△BOGAAS得出CE=BG，則CE=AF，等量代換可得AF=BG（3）①證明△AEC≌△BFAAAS，進而證明∠CEO=∠BGO證明△COE≌△BOGAAS得出②根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABF∴△AEC≌△BFAAAS（2）解：結論：BG=AF．理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOG∴△COE≌△BOGAAS∴CE=BG，∵△AEC≌△BFA，∴CE=AF，∴AF=BG．故答案為：BG=AF．（3）解：①如圖2中，結論：∠OFE的大小不變，∠OFE=45°．

理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABF∴△AEC≌△BFAAAS∴CE=AF，AE=BF，∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中點，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOG∴△COE≌△BOGAAS∴CE=BG，OE=OG，∴AF=BG，∴EF=FG，根據(jù)△EFO≌△GFOSSS可得：∴∠EFO=1②如圖2中，當AE=2，CE=6時，EF=FG=6?2=4，

∴如圖3中，當AE=2，CE=6時，EF=FG=6+2=8，

∴綜上所述，滿足條件的△OEF的面積為8或16．【點睛】本題考查了全等三角形的證明與性質，等腰三角形的判定和性質，三角形的動點問題以及三角形求面積的問題，正確掌握知識點是解題的關鍵．知識點5：老鷹抓小雞模型如圖，∠A+∠O=∠1+∠2；口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和【題型5老鷹抓小雞模型】【例5】（23-24八年級·江蘇揚州·階段練習）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數(shù)為（

）A．24° B．35° C．30° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根據(jù)鄰補角的性質可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根據(jù)由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后計算出∠1+∠2的度數(shù)，即可求得∠2的度數(shù)．【詳解】∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折疊可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故選D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折變換的性質，熟記定理及性質并準確識圖是解題的關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·重慶渝北·階段練習）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點與B'點重合，若∠1+∠2=80°，則∠B的度數(shù)為

【答案】40°/40度【分析】由翻折的性質可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，由∠BED+∠B【詳解】解：由翻折的性質可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B∵∠BED+∠B'ED+∠1=180°，∠BDE+∠∴∠BED+∠BDE=140°，∴∠B=180°?∠BED+∠BDE故答案為：40°．【點睛】本題考查了翻折的性質，三角形內(nèi)角和定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-2】（23-24八年級·安徽銅陵·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，則∠BA′C的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】A【詳解】由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB＝12（180°﹣∠A＝90°﹣12∠A∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣12∠A＝90°+12∠＝90°+12＝120°．故選：A．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考常考題型．【變式5-3】（23-24八年級·山東煙臺·期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進行求解即可；（2）利用翻折的性質得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結合圖形，由平角及各角之間的關系進行計算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關系得出（4）設AB與DA'交于點F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°?40°=140°．（4）解：如圖，設AB與DA'交于點∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質，平角的定義等，理解題意，作出相應輔助線求解是解題關鍵．知識點6：兩內(nèi)角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點I.則【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（23-24八年級·河南信陽·開學考試）如圖，AD，CE都是△ABC的角平分線，且交于點O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，則∠ABO的度數(shù)為．【答案】25°/25度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線，利用角平分線的定義結合三角形內(nèi)角和定理找出∠ABO的度數(shù)是解題的關鍵．根據(jù)角平分線的定義可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，結合三角形內(nèi)角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三條角平分線交于一點，可得出BO平分∠ABC，進而可得出∠ABO的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=50°．∵△ABC的三條角平分線交于一點，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO=1故答案為：25°．【變式6-1】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點G，若∠A=66°，則∠BGC的度數(shù)為．【答案】123°/123度【分析】本題考查角平分線和三角形內(nèi)角和定理，熟練利用角平分線的性質和三角形內(nèi)角和定理找出題目中角的等量關系是解答本題的關鍵．由角平分線的性質可知∠GBC=12∠ABC，∠GCB=【詳解】∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=114°，∵BE和CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠GBC=12∠ABC∴∠BGC=180°?∠GBC+∠GCB故答案為：123°．【變式6-2】（23-24八年級·河南信陽·開學考試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠AOB=125°．求∠CAD的度數(shù)．

【答案】∠CAD=20°．【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確求出∠C=70°，從而求出答案．根據(jù)角平分線的性質，由∠AOB=125°，得到∠CAB+∠CBA=110°，然后得到∠C，由余角的性質，即可求出答案．【詳解】解：∵AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，∴∠OAB=12∠BAC∴∠CAB+∠CBA=2(∠OAB+∠OBA)=2∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠CBA=110°，∴∠C=70°．∵AD是BC邊上的高∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．【變式6-3】（23-24八年級·山東煙臺·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質，角平分線的定義是解題的關鍵．根據(jù)平行線的性質與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC=135°，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出⑤．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=180°?∠FBC?∠FCB=180°?1∴∠EFC=180°?∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②錯誤；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CG=CE，即無法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤錯誤；∴正確的有①③④，故選：D．知識點7：兩外角角平分線模型在△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點O.則.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（23-24八年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點E，則∠AEC=．【答案】61°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠∴∠EAC+∠ECA=12（∠DAC+∠ACF∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關鍵．【變式7-1】（23-24八年級·河南鄭州·階段練習）如圖，G是ΔAFE兩外角平分線的交點，P是ΔABC的兩外角平分線的交點，F(xiàn)，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P=度．【答案】66【分析】利用角平分線的定義和三角形、四邊形的內(nèi)角和可求得：∠G=180°?12×[360°?(180°?∠A)]=90°?12【詳解】解：因為G是△AFE兩外角平分線的交點，∴∠FGE=180°?1∵P是△ABC兩外角平分線的交點，∴∠P=180°?1∴∠P=∠FGE=66°．故答案為：66．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質和三角形外角的性質，結合圖形熟練運用定理和性質進行求解是解題的關鍵．【變式7-2】（23-24八年級·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是∠ACF與∠ABC平分線的交點，E是△ABC的兩外角平分線的交點，若∠BOC=130°，則∠D的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和平角定義可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根據(jù)外角的性質可得∠BOC=∠OCD+∠D，繼而即可求解．【詳解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，∴∠ACO=12∠ACB∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=1∴∠BOC=∠OCD+∠D，∴∠D=∠BOC?∠OCD=130°?90°=40°，故選擇C．【點睛】本題考查角平分線的定義，平角定義，三角形的外角性質，解題的關鍵是根據(jù)角平分線定義和平角定義可得∠OCD＝90°，根據(jù)外角的性質求得∠BOC=∠OCD+∠D．【變式7-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）（分類討論思想）△ABC的兩外角平分線交于點F．

(1)如圖1，若∠A=30°，則∠BFC的度數(shù)為__________．(2)如圖2，過點F作直線MN∥BC，分別交射線AB，AC于點M，N，若設∠MFB=α，∠NFC=β，則(3)在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關系，并說明理由．②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數(shù)量關系．【答案】(1)75°(2)α+β?(3)①α+β?12∠A=90°，見解析；②不成立，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°?∠A，從而可得∠CBD+∠BCE=180°+∠A，再由角平分線的定義可得∠CBF+∠BCF=90°+12∠A（2）由（1）可得由（1）可得∠BFC=90°?12∠A（3）①根據(jù)（1）中的結論∠BFC=90°?12∠A【詳解】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB+∠ABC=180°?∠A，∵∠ACB+∠BCE=180°，∠ABC+∠CBD=180°，∴∠CBD+∠BCE=180°?∠ABC+180?∠ACB=360°?=360°?=180°+∠A，∵BF和CF分別是∠DBC和∠BCE的平分線，∴∠CBF=12∠CBD∴∠CBF+∠BCF，====90°+1∵∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，∴∠BFC=180°?∠CBF+∠BCF故答案為：75°；（2）解：α+β?1由（1）可得∠BFC=90°?1∵α+∠BFC+β=180°，∴α+β+90°?1即α+β?1（3）解：①當直線MN與線段BC沒有交點時，α+β?1理由如下：∵∠BFC=90°?12∠A∴α+β+90°?1即α+β?1②當直線MN與線段BC有交點時，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關系不成立，需分兩種情況討論：a．如圖1，當M在線段AB上，N在射線AC上時，β?α?1，∵∠BFC=90°?12∠A∴90°?1即β?α?1b．如圖2，當M在射線AB上，N在線段AC上時，α?β?1，∵∠BFC=90°?12∠A∴90°?1即α?β?1【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角的定義等知識，熟練掌握以上知識點，采用分類討論的思想解題，是解此題的關鍵．知識點8：一內(nèi)一外角角平分線模型已知△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點P.則【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對①式兩邊同時除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.【題型8一內(nèi)一外角角平分線模型】【例8】（23-24八年級·江蘇泰州·期末）如圖，點B、C分別在AM、AN上運動（不與A重合），CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長線交∠ABC的平分線于點P．知道下列哪個條件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD?∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本題考查三角形外角的性質與內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質及角平分線的定義可得∠P=∠NCD?∠ABP，可判斷③，再利用三角形外角的性質得到∠A=∠NCB?∠ABC，等量代換可判斷②，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等量代換可判斷①和④，即可求解．【詳解】解：∵CD是∠BCN的平分線，CD的反向延長線交∠ABC的平分線于點P，∴∠NCD=∠BCD，∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB?∠CBP，∴∠P=∠NCD?∠ABP，∴③能求出∠P的大??；∵∠A=∠NCB?∠ABC=2∠NCD?∠ABP，∴∠P=1∴②能求出∠P的大??；∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∴∠A=180°?∵∠P=1∴∠P=1∴①能求出∠P的大小，④不能求出∠P的大??；故選：D．【變式8-1】（23-24八年級·四川遂寧·開學考試）如圖，點D為△ABC邊BC的延長線上一點，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點M，則∠M=度．【答案】30【分析】本題考查了三角形的外角定理，與角平分線有關的計算．解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，以及角平分線的定義．先根據(jù)∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求出∠ABC=80°，進而得出∠CBM=1【詳解】解：∵∠ACD=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，∴∠ABC=140°×4∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，∴∠CBM=1∴∠M=∠DCM?∠CBM=30°，故答案為：30．【變式8-2】（23-24八年級·四川眉山·開學考試）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下結論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°?∠ABD．其中正確的結論有【答案】①②④【分析】證明∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，再由平行線的判定即可判斷出①是否正確；由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，進而可判斷出②是否正確；假設DB平分∠ADC，推出與題干不符的結論，進而可判斷出③是否正確，由∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的關系得【詳解】解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥②由（1）可知AD∥∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABC=2∠ADB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正確；③若DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ADB=∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠DBC=∠ABD=∠CDB，∴∠ABC=∠ADC，與題干條件矛盾．故③錯誤.④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°?∠ABD，故④正確；故答案為：①②④【點睛】此題考查三角形的外角性質，平行線的判定與性質，三角形的內(nèi)角和定理的應用，解題關鍵在于掌握外角性質.【變式8-3】（23-24八年級·河南開封·期末）如圖，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線相交于點A1，得到∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得到∠A2；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，A．