蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊專題4.7實數(shù)章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)同步特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題4.7實數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1算術(shù)平方根的雙重非負性】 1【題型2無理數(shù)的估算】 1【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】 2【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】 3【題型5與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律問題】 4【題型6程序框圖中的實數(shù)運算】 5【題型7新定義中的實數(shù)運算】 6【題型8實數(shù)運算的應(yīng)用】 7【題型1算術(shù)平方根的雙重非負性】【例1】（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）若a?2022+b+2022=2，其中a，b均為整數(shù)，則a+b=．【變式1-1】（2023春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)a滿足2000?a+a?2001=a，那么a?A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【變式1-2】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知a,b為實數(shù)，且1+a?(b?1)1?b=0【變式1-3】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級校聯(lián)考期中）若m滿足關(guān)系式3x+5y?2?m+2x+3y?m=199?x?y?【題型2無理數(shù)的估算】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，數(shù)軸上點P所表示的數(shù)可能是（

）A．30 B．13 C．10 D．8【變式2-1】（2023春·北京豐臺·八年級?？茧A段練習(xí)）已知a＝23﹣2，a介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（

）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5【變式2-2】（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上標注了四段范圍，如圖，則表示8的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【變式2-3】（2023春·浙江杭州·八年級期中）若a，b均為正整數(shù)，且a>7，b<32，則a+bA．3 B．4 C．5 D．6【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】【例3】（2023春·北京·八年級?？计谥校榱诉M一步研究算術(shù)平方根的特點，閆老師用計算器計算出了一些數(shù)的算術(shù)平方根，并將結(jié)果填在了下表中．(1)請你幫助閆老師將表格內(nèi)容補充完整；表1．第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組……0.010.1110100100010000…………0.10.316______3.16______31.6______……(2)請你仿照表1中的規(guī)律，將表2補充完整．表2．第1組第2組第3組第4組第5組第6組……0.030.33303003000…………0.17320.5477______5.477____________……(3)通過表1和表2，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用文字或符號概括你的發(fā)現(xiàn)．（提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數(shù)和結(jié)果，再觀察第2組、第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果）．【變式3-1】（2023春·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實數(shù)：?1，2，33，?2，5，36，?7，8，39，?10【變式3-2】（2023春·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列正數(shù)的立方根運算，并完成下列問題；b0.0040964.09640964096000409600000030.161.6161601600(1)用語言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點就向___移動___位．(2)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知313≈2.35，則30.013(3)類比上述立方根運算：已知3.66≈1.913，則366≈___，【變式3-3】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）若記x表示任意實數(shù)的整數(shù)部分例如：3.5=3，5=2，?，則1?2【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】【例4】（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期中）我們知道，2是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即2的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是2?1(1)10的小數(shù)部分是________，5?13(2)若a是90的整數(shù)部分，b是3的小數(shù)部分，求a+b?3(3)若7+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求【變式4-1】（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）已知13的整數(shù)部分是m，10?13的小數(shù)部分是n，則m+n=【變式4-2】（2023春·河北邢臺·八年級?？计谥校╅喿x下列材料：∵1<∴1<3∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3?1請根據(jù)材料提示，解答下列問題．(1)14的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m?n?26(3)若a的整數(shù)部分為5，直接寫出a的取值范圍．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谀┎牧?：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是2.5?2得來的，類比來看，2是無理數(shù)，而1<2<2，所以2的整數(shù)部分是1，于是可用2?1料2：若10?122=a+b2，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a，b根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)17的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_____；(2)3+3也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+3<b【題型5與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律問題】【例5】（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過程：1?31?51?7……(1)計算：1?13(2)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想：1?2n+1n+12(3)計算：1?3【變式5-1】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：32+27=2327【變式5-2】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：①x1②x2③x3…(1)寫出④x4(2)猜想：xn(3)由以上規(guī)律，計算x1【變式5-3】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市洪山高級中學(xué)校考期中）探索：先觀察并計算下列各式，在空白處填上“>”“<”或“=”，并完成后面的問題.4×49925169（1）用a,b,ab表示上述規(guī)律為：____________；（2）利用（1）中的結(jié)論，求8×（3）設(shè)x=3，y=6試用含x,y【題型6程序框圖中的實數(shù)運算】【例6】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值【變式6-1】（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個計算程序．若輸入x的值為64，則輸出y的結(jié)果為．【變式6-2】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器的工作原理．(1)當輸入的x值為?19時，求輸出的y值；(2)是否存在輸入x值后，始終輸不出y值的情況，若存在，請寫出所有滿足要求的x值；若不存在，請說明理由；(3)若輸出的y值是3，請寫出四個滿足要求的x值．【變式6-3】（2023春·北京·八年級校考期中）給出下列程序：若輸入的x值為1時，輸出值為1；若輸入的x值為?1時，輸出值為?3；則當輸入的x值為8時，輸出值為．【題型7新定義中的實數(shù)運算】【例7】（2023春·重慶彭水·八年級校聯(lián)考期末）對實數(shù)m，n定義一種新運算，規(guī)定：f(m,n)=mn+an?3（其中a為非零常數(shù)）；例如：f(1,2)=1×2+a×2?3；已知f(2,3)=9，給出下列結(jié)論：①a=2；②若f(1,n)>0，則n>1；③若f(m,m)=2m，則m=3；④f(n,n)?2n有最小值，最小值為3；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-1】（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）對于任意不為0的有理數(shù)m，n，定義一種新運算“※”，規(guī)則如下：例如：?1※2=3×(1)若x?2※5x=6，求x(2)判斷這種新運算“※”是否滿足分配律a※b+c【變式7-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤魏螌崝?shù)a，可用a表示不超過a的最大整數(shù)，如4=4,3=1，現(xiàn)對72進行如下操作：72【變式7-3】（2023春·重慶梁平·八年級統(tǒng)考期末）材料一：對于一個三位正整數(shù)，若百位數(shù)字與個位數(shù)字之和減去十位數(shù)字的差為3，則稱這個三位數(shù)為“尚美數(shù)”，例如：234，因為2+4?3=3，所以234是“尚美數(shù)”；材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均為整數(shù)），記F(t)=2a?c．已知t1=2y6,t2=myn【題型8實數(shù)運算的應(yīng)用】【例8】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？计谥校罢f不完的2”探究活動，根據(jù)各探究小組的匯報，完成下列問題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過程，請補充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因為x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎樣畫出2？請一起參與小敏探索畫2過程．現(xiàn)有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0．依題意，割補前后圖形的面積相等，有x2=2請參考小敏做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．【變式8-1】（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求S陰（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個邊長為13的正方形．【變式8-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，長方形ABCD的長為2cm，寬為1（1）將長方形ABCD進行適當?shù)姆指睿ó嫵龇指罹€），使分割后的圖形能拼成一個正方形，并畫出所拼的正方形；（標出關(guān)鍵點和數(shù)據(jù)）專題4.7實數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1算術(shù)平方根的雙重非負性】 1【題型2無理數(shù)的估算】 3【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】 5【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】 9【題型5與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律問題】 12【題型6程序框圖中的實數(shù)運算】 16【題型7新定義中的實數(shù)運算】 19【題型8實數(shù)運算的應(yīng)用】 22【題型1算術(shù)平方根的雙重非負性】【例1】（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）若a?2022+b+2022=2，其中a，b均為整數(shù)，則【答案】0，2，4【分析】先根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負性分三種情況進行討論得出a，b的值，再代入進行計算即可求解【詳解】解：∵a?2022+b+2022=2，其中a又∵|a?2022|≥0，b+2022①當|a?2022|=0，b+2022=2∴a=2022，b=?2018∴a+b②當|a?2022|=1，b+2022=1∴a=2023或a=2021，b=?2021∴a+b=2023?2021③當|a?2022|=2，b+2022=0∴a=2024或a=2020，b=?2022∴a+b=2024?2022=2或故答案為：4或2或0【點睛】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負性，得出a、b可能的取值是解決此題的關(guān)鍵，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想．【變式1-1】（2023春·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)a滿足2000?a+a?2001=a，那么a?A．1999 B．2000 C．2001 D．2002【答案】C【分析】根據(jù)絕對值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)先化簡，進而平方即可得到答案【詳解】解：∵a?2001≥0，∴a≥2001>2000，即2000?a<0，∴2000?a+a?2001=a?2000+a?2001即a?2001=2000∴a?20012=2000∴a?2000故選：C．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及到絕對值性質(zhì)與算術(shù)平方根的性質(zhì)，根據(jù)條件逐步恒等變形到所求代數(shù)式是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎猘,b為實數(shù)，且1+a?(b?1)1?b=0【答案】-2【分析】由已知條件得到1+a?(b?1)1?b=0，利用二次根式有意義的條件得到1-b≥0，再根據(jù)幾個非負數(shù)和的性質(zhì)得到1+a=0，1-b=0，解得a【詳解】解：∵1+a?(b?1)∴1+a+∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2015-b2016=（-1）2015-12016=-1-1=-2．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)及求代數(shù)式的值、有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級校聯(lián)考期中）若m滿足關(guān)系式3x+5y?2?m+2x+3y?m=199?x?y?【答案】201【分析】根據(jù)能開平方的數(shù)一定是非負數(shù)，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，從而有3x+5y?2?m+【詳解】解：由題意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴3x+5y?2?m+∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③得，x+y=199①3x+5y?2?m=0②②×2-③×3得，y=4-m，將y=4-m代入③，解得x=2m-6，將x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案為：201．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性以及方程組的解法，掌握幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．【題型2無理數(shù)的估算】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，數(shù)軸上點P所表示的數(shù)可能是（

）A．30 B．13 C．10 D．8【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點處于3.5和4之間，即12.25和16之間，逐一判定比較即可.【詳解】解：設(shè)點P表示的數(shù)為x，得72∴494∴12.25<x<∵30>4∴A選項不符合題意，∵12.25<∴選項B符合題意，∵10<∴C選項不符合題意，∵8<∴D選項不符合題意，故選：B．【點睛】此題主要考查數(shù)軸上點的判定，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次根式的形式，即可解題．【變式2-1】（2023春·北京豐臺·八年級?？茧A段練習(xí)）已知a＝23﹣2，a介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，則下列結(jié)論正確的是（

）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5【答案】B【分析】先估算出23的范圍，即可求得答案．【詳解】∵4<23∴2<23∴23?2在2和3之間，即2＜a故選：B．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出23的范圍是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上標注了四段范圍，如圖，則表示8的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【答案】C【詳解】解：∵2．2．2．2．∵7．∴2．∴2．所以8應(yīng)在③段上．故選：C【變式2-3】（2023春·浙江杭州·八年級期中）若a，b均為正整數(shù)，且a>7，b<32，則a+bA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先估算7、32的范圍，然后確定a、b的最小值，即可計算a+b【詳解】∵4<7<∵a>7，a∴a的最小值為3．∵31<3∵b＜32，∴b的最小值為1，∴a+b的最小值為3+1=4．故選B．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是：確定a、b的最小值．【題型3探究平方根和立方根的規(guī)律】【例3】（2023春·北京·八年級?？计谥校榱诉M一步研究算術(shù)平方根的特點，閆老師用計算器計算出了一些數(shù)的算術(shù)平方根，并將結(jié)果填在了下表中．(1)請你幫助閆老師將表格內(nèi)容補充完整；表1．第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組……0.010.1110100100010000…………0.10.316______3.16______31.6______……(2)請你仿照表1中的規(guī)律，將表2補充完整．表2．第1組第2組第3組第4組第5組第6組……0.030.33303003000…………0.17320.5477______5.477____________……(3)通過表1和表2，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用文字或符號概括你的發(fā)現(xiàn)．（提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數(shù)和結(jié)果，再觀察第2組、第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果）．【答案】(1)1；10；100(2)1.732；17.32；54.77(3)被開方數(shù)的小數(shù)點向左或向右移動2n位，算術(shù)平方根的小數(shù)點就隨之向左或向右移動n位．【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律，即可求得答案（2）觀察第1組、第3組、第5組中的被開方數(shù)和結(jié)果以及第2組、第4組、第6組中的被開方數(shù)和結(jié)果，可得出答案（3）根據(jù)（1）（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得1=1,故答案為：1；10；100．（2）解：已知0.03=0.1732∴3=1.732，∵已知30=5.477∴3000故答案為：1.732；17.32；54.77．（3）解：通過觀察表1和表2可發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點向左或向右移動2n位，算術(shù)平方根的小數(shù)點就隨之向左或向右移動n位．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是從表格中發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律．【變式3-1】（2023春·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實數(shù)：?1，2，33，?2，5，36，?7，8，39，?10【答案】?【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，每三個數(shù)為一組，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，從而可以得到這一列數(shù)中的第2023個數(shù)．【詳解】解：∵一列實數(shù)：?1，2，33，?2，5，36，?7，8，3∴這些數(shù)每三個數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點一樣，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，∵2023÷3=674…1∴這一列數(shù)中的第2023個數(shù)應(yīng)是?2023故答案為：?2023【點睛】此題主要考查實數(shù)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．【變式3-2】（2023春·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列正數(shù)的立方根運算，并完成下列問題；b0.0040964.09640964096000409600000030.161.6161601600(1)用語言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點就向___移動___位．(2)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知313≈2.35，則30.013(3)類比上述立方根運算：已知3.66≈1.913，則366≈___，【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可得結(jié)論；（3）根據(jù)立方根的移位規(guī)律可得算術(shù)平方根的移位規(guī)律，即可求得所求數(shù)字的值．【詳解】（1）用語言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點就向右移動一位．故答案為：右，一；（2）∵313∴30.013≈0.235，故答案為：0.235，23.5；（3）在算術(shù)平方根運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位，相應(yīng)的平方根的小數(shù)點就向右移動一位．∵3.66≈∴366≈19.13，36600故答案為：19.13，191.3．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類、數(shù)的開方，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求得所求數(shù)字的值．【變式3-3】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）若記x表示任意實數(shù)的整數(shù)部分例如：3.5=3，5=2，?，則1?2【答案】?22【分析】按照整數(shù)是1，整數(shù)是2，…整數(shù)是44，確定算術(shù)平方根的個數(shù)，運用估算思想，列式，尋找規(guī)律計算．【詳解】解：∵1≤n＜2即1≤n∴1?∵2≤n＜3即4≤n∴?4∵3≤n＜4即9≤n∴9?10+由此發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律，整數(shù)部分是1的算術(shù)平方根的整數(shù)和是1，且奇數(shù)為正整數(shù)，偶數(shù)位為負整數(shù)；整數(shù)部分是2的算術(shù)平方根的整數(shù)和是-2，整數(shù)部分是3的算術(shù)平方根的整數(shù)和是3，∵442=1936，∴44≤n＜45即1936∴?1936∴1=1-2+3-4+5-6+…+43-44=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)=?1×22=-22，故答案為：-22．【點睛】本題考查了實數(shù)的新定義運算，解題的關(guān)鍵是正確運用估算思想，確定整數(shù)部分中的運算規(guī)律．【題型4利用“夾逼法”求整數(shù)部分和小數(shù)部分】【例4】（2023春·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期中）我們知道，2是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即2的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是2?1(1)10的小數(shù)部分是________，5?13(2)若a是90的整數(shù)部分，b是3的小數(shù)部分，求a+b?3(3)若7+5=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求【答案】(1)10?3，4?(2)±3；(3)11．【分析】（1）確定10的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定13的整數(shù)部分，即可確定5?13的整數(shù)部分，從而確定5?（2）確定90的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定3的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式a+b?3（3）由2<5<3得即9<7+5<10，從而得x=9，y=5?2【詳解】（1）解：∵3<10∴10的整數(shù)部分為3，∴10的小數(shù)部分為10?3∵3<13∴?3＞∴5?3＞5?13∴5?13∴5?13的小數(shù)部分為4?故答案為：10?3，4?（2）解：∵9<90<10，a是∴a=9，∵1<3∴3的整數(shù)部分為1，∵b是3的小數(shù)部分，∴b=3∴a+b?∵9的平方根等于±3，∴a+b?3+1的平方根等于（3）解：∵2<5∴7+2<7+5<7+3即∵7+5=x+y，其中x是整數(shù)，且∴x=9，y=7+5∴x?y+5【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．【變式4-1】（2023春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）已知13的整數(shù)部分是m，10?13的小數(shù)部分是n，則m+n=【答案】7?13/【分析】先估算出13的取值范圍，再求出m，n的值，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵9<13<16，∴3<13∵13的整數(shù)部分是m∴m=3；∵3<13∴?4<?13∴6<10?13∵10?13的小數(shù)部分是n∴n=10?13∴m+n=3+4?13故答案為：7?13【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）閱讀下列材料：∵1<∴1<3∴3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為3?1請根據(jù)材料提示，解答下列問題．(1)14的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)如果6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，求2m?n?26(3)若a的整數(shù)部分為5，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)3，14(2)?2(3)25≤a<36【分析】（1）由9<14<（2）估算6和21的大小，確定m、n的值，代入進行計算即可得到答案；（3）由a的整數(shù)部分是5，25=5，36【詳解】（1）解：∵9∴3<14∴14的整數(shù)部分是3，∴14的小數(shù)部分是14?3故答案為：3，14?3（2）解：∵4<6∴2<6∵6的小數(shù)部分為m，21的整數(shù)部分為n，∴m=6∴2m?n?26∴2m?n?26的立方根為：3（3）解：∵a的整數(shù)部分是5，25=5，36∴25≤a<36．【點睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，求一個數(shù)的立方根，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提，確定無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分是得出正確答案的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·八年級校考期末）材料1：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是2.5?2得來的，類比來看，2是無理數(shù)，而1<2<2，所以2的整數(shù)部分是1，于是可用2?1料2：若10?122=a+b2，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a，b根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)17的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_____；(2)3+3也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+3<b【答案】(1)4，17(2)3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)17的大小即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)3+3的大小，確定a、b【詳解】（1）解：∵4<17∴17的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為17?4故答案為：4，17?4（2）∵1<3∴4<3+3∵3+3也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+∴a=4，b=5，∴a+b=9，∴a+b的算術(shù)平方根為9=3【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是正確解答的前提．【題型5與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律問題】【例5】（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列解題過程：1?31?51?7……(1)計算：1?13(2)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜想：1?2n+1n+12(3)計算：1?3【答案】(1)6(2)n(3)1【分析】（1）利用算術(shù)平方根的意義解答即可；（2）利用式子的規(guī)律解答即可；（3）利用上面的規(guī)律將每個算術(shù)平方根化簡，再利用分數(shù)的乘法的法則運算即可．【詳解】（1）解：1?==6（2）解：依據(jù)上述運算的規(guī)律可得：1?2n+1(n+1)2（3）解：原式==1【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，數(shù)式規(guī)律探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)字運算的規(guī)律并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：32+27=2327【答案】3【分析】觀察規(guī)律可直接得到規(guī)律．【詳解】解：∵32+33+34+∴3n+故答案為：3【點睛】此題考查了數(shù)字規(guī)律的運算，會求一個數(shù)的立方根，正確分析已知中的等式由此得到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：①x1②x2③x3…(1)寫出④x4(2)猜想：xn(3)由以上規(guī)律，計算x1【答案】(1)1+(2)1+(3)?【分析】（1）觀察已知等式找到規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)果即可；（3）利用（2）中結(jié)論及有理數(shù)的混合運算進行計算即可．【詳解】（1）解：x4故答案為：1+1（2）解：根據(jù)規(guī)律可知，xn=故答案為：1+1（3）x=1=2022+1?=2022+1?=?1【點睛】題目主要考查算術(shù)平方根及有理數(shù)規(guī)律性運算，根據(jù)題意找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市洪山高級中學(xué)校考期中）探索：先觀察并計算下列各式，在空白處填上“>”“<”或“=”，并完成后面的問題.4×49925169（1）用a,b,ab表示上述規(guī)律為：____________；（2）利用（1）中的結(jié)論，求8×（3）設(shè)x=3，y=6試用含x,y【答案】（1）a×b【分析】（1）先求出每個式子的值，再比較即可；（2）根據(jù)規(guī)律，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即可求出答案；（3）先分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)規(guī)律得出3×【詳解】（1）∵4×16=2×4=8∴4×49×925169a×故答案為=，=，=，=，a×b=ab（（2）8×（3）∵x=3，y=∴54【點睛】本題考查了實數(shù)的乘除，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.【題型6程序框圖中的實數(shù)運算】【例6】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值x為16時，輸出y值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)C．輸出值y為3時，輸入值x為9D．存在正整數(shù)x，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值【答案】A【分析】根據(jù)運算規(guī)則即可求解．【詳解】解∶A．輸入值x為16時，16=4，4=2，即y=B．當x=0，1時，始終輸不出y值．因為0，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，故B錯誤；C．x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故C錯誤；D．當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)；故D正確；故選∶D．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根及無理數(shù)的概念，正確理解給出的運算方法是關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個計算程序．若輸入x的值為64，則輸出y的結(jié)果為．【答案】3【分析】根據(jù)題意利用立方根和算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：輸入的x值為64，取立方根為4，4是有理數(shù)，則取4的算術(shù)平方根為2，2是有理數(shù)，則取2的立方根為32，3所以輸出的y的結(jié)果為32故答案為：32【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、立方根以及無理數(shù)，正確把握定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器的工作原理．(1)當輸入的x值為?19時，求輸出的y值；(2)是否存在輸入x值后，始終輸不出y值的情況，若存在，請寫出所有滿足要求的x值；若不存在，請說明理由；(3)若輸出的y值是3，請寫出四個滿足要求的x值．【答案】(1)2(2)x=?2或?3或?4(3)x=0或x=?6或x=?12或x=6時，輸出的y值是3，答案不唯一．【分析】（1）根據(jù)運算規(guī)則計算即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，即可判斷；（3）根據(jù)運算法則，9的算術(shù)平方根是3，3的算術(shù)平方根是3，進行逆運算即可求得無數(shù)個滿足條件的數(shù)．【詳解】（1）解：|?19+3|=16，16的算術(shù)平方根是4，4不是無理數(shù)，4的算術(shù)平方根是2，2不是無理數(shù)，2的算術(shù)平方根是2，2是無理數(shù)，故輸出的y值是2．故答案是：2．（2）解：存在輸入x值后，始終輸不出y值的情況．∵0和1的算術(shù)平方根是0和1，∴當|x+3|=0或|x+3|=1時，始終輸不出y值，∴x=?2或?3或?4．（3）解：∵9的算術(shù)平方根是3，3的算術(shù)平方根是3，∴當|x+3|=3或|x+3|=9，即x=0或x=?6或x=?12或x=6時，輸出的y值是3，(答案不唯一)．【點睛】本題考查了絕對值，算術(shù)平方根，正確理解給出的運算方法是關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·北京·八年級?？计谥校┙o出下列程序：若輸入的x值為1時，輸出值為1；若輸入的x值為?1時，輸出值為?3；則當輸入的x值為8時，輸出值為．【答案】3【分析】設(shè)輸出的值為y，根據(jù)程序可得計算法則：y=k3x+b，根據(jù)待定系數(shù)法確定k【詳解】解：設(shè)輸出的值為y，根據(jù)圖示可得計算法則為y=k3∵若輸入的x值為1時，輸出值為1；若輸入的x值為?1時，輸出值為?3，∴k+b=1?k+b=?3，解得k=2∴y=23當x=8時，y=2×2?1=3，故答案為：3．【點睛】本題以程序為背景考查了求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是弄清楚圖示給出的計算程序．【題型7新定義中的實數(shù)運算】【例7】（2023春·重慶彭水·八年級校聯(lián)考期末）對實數(shù)m，n定義一種新運算，規(guī)定：f(m,n)=mn+an?3（其中a為非零常數(shù)）；例如：f(1,2)=1×2+a×2?3；已知f(2,3)=9，給出下列結(jié)論：①a=2；②若f(1,n)>0，則n>1；③若f(m,m)=2m，則m=3；④f(n,n)?2n有最小值，最小值為3；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)新定義運算法則，一元一次不等式的解法，平方根的定義判斷即可．【詳解】解：∵f(2,3)=9，∴2×3+3a?3=9，解得：a=2，故①正確；若f(1,n)>0，f(1,n)=1×n+2n?3>0，則n>1，故②正確；f(m,m)=m解得：m=±3f(n,n)?2n=n當n=0時，有最小值?3，故④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了新定義運算，一元一次不等式的解法，平方根的定義，理解新定義運算法則是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）對于任意不為0的有理數(shù)m，n，定義一種新運算“※”，規(guī)則如下：例如：?1※2=3×(1)若x?2※5x=6，求x(2)判斷這種新運算“※”是否滿足分配律a※b+c【答案】(1)?6(2)這種新運算“※”不滿足分配律a※【分析】（1）根據(jù)新定義運算得出方程3x?2（2）先根據(jù)新定義運算分別表示出等式左邊和右邊，再觀察左右兩邊是否相等，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵x?2∴3x?2解得：x=?6，∴x的值為?6；（2）解：根據(jù)題意得：左邊a※b+c右邊a※b+a※c=3a?b+3a?c=6a?b?c，∴左邊≠右邊，∴這種新運算“※”不滿足分配律a※b+c【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)的運算，解一元一次方程，理解新定義的運算法則，熟練掌握解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤魏螌崝?shù)a，可用a表示不超過a的最大整數(shù)，如4=4,3=1，現(xiàn)對72進行如下操作：72【答案】4【分析】確定2023的范圍，即可求得2023，再依次下去，通過4次操作后可變?yōu)?．【詳解】解：∵1936=44∴2023=44∵36<44<49，∴44=6∵4<6<9，∴6=2∴2=1經(jīng)過4次操作可以變?yōu)?；故答案為：4．【點睛】本題考查了新定義，無理數(shù)的估算，理解新定義，正確進行估算是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·重慶梁平·八年級統(tǒng)考期末）材料一：對于一個三位正整數(shù)，若百位數(shù)字與個位數(shù)字之和減去十位數(shù)字的差為3，則稱這個三位數(shù)為“尚美數(shù)”，例如：234，因為2+4?3=3，所以234是“尚美數(shù)”；材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均為整數(shù)），記F(t)=2a?c．已知t1=2y6,t2=myn【答案】5652【分析】根據(jù)t1=2y6,t【詳解】解：∵t1∴得y=5，即m+n=8，∴n=8?m，∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均為整數(shù)），記F(t)=2a?c∴F=2×2?6+2=4m+2n?2=4m+28?m∵1≤m≤9，∴16≤2m+14≤32．∵2m+14能被13整除，∴2m+14=26解得m=6,n=8?m=2，故t2故答案為：5,652．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，新定義、數(shù)的整除、實數(shù)的運算，不等式等知識，消元求解是解題的關(guān)鍵．【題型8實數(shù)運算的應(yīng)用】【例8】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？计谥校罢f不完的2”探究活動，根據(jù)各探究小組的匯報，完成下列問題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過程，請補充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因為x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎樣畫出2？請一起參與小敏探索畫2過程．現(xiàn)有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0．依題意，割補前后圖形的面積相等，有x2=2請參考小敏做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3），請把它們分割后拼接成