專題03 因數(shù)和倍數(shù)（教師版）五升六數(shù)學暑假銜接培優(yōu)講義（導圖+知識點+易錯點+真題卷）蘇教版

知識點01：因數(shù)和倍數(shù)1、幾個非零自然數(shù)相乘，每個自然數(shù)都叫它們積的因數(shù)，積是這幾個自然數(shù)的倍數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存絕不能孤立的存在.2、一個數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)是有限的。（找因數(shù)的方法：成對的找。）3、一個數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。一個數(shù)倍數(shù)的個數(shù)是無限的。（找一個數(shù)倍數(shù)的方法：從自然數(shù)1、2、3、……分別乘這個數(shù)）4、一個數(shù)最大的因數(shù)等于這個數(shù)最小的倍數(shù)。知識點02：質(zhì)數(shù)和合數(shù)1按照一個數(shù)因數(shù)個數(shù)的多少可以把非0自然數(shù)分成三類①只有自己本身一個因數(shù)的1②只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（素數(shù)）。最小的質(zhì)數(shù)是2。在所有的質(zhì)數(shù)中，2是唯一的一個偶數(shù)。③除了1和它本身兩個因數(shù)還有別的因數(shù)的數(shù)叫作合數(shù)。（合數(shù)至少有3個因數(shù)）最小的合數(shù)是4。按照是否是2的倍數(shù)可以把自然數(shù)分成兩類偶數(shù)和奇數(shù)。最小的偶數(shù)是0.2.兩個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這兩個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個，叫做這兩個數(shù)的最大公因3.兩個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這兩個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，用符號[，]表示。兩個數(shù)的公倍數(shù)也是無限的。8、兩個素數(shù)的積一定是合數(shù)。舉例：3×5=15，15是合數(shù)。4.兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。舉例：[6，8]=24，(6，8)=2，24是2的倍數(shù)。5.求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法：（列舉法、圖示法、短除法 ）①倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。舉例：15和5，[15，5]=15，(15，5)=5②互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。舉例：[3，7]=21，(3，7)=1③一般關(guān)系的兩個數(shù)，求最大公因數(shù)用列舉法或短除法，求最小公倍數(shù)用大數(shù)翻倍法或短除法。知識點03：質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)1.質(zhì)因數(shù)：如果一個數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。2.是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)。相鄰偶數(shù)（奇數(shù)）相差2。知識點04：2、5、3的倍數(shù)的特征2的倍數(shù)的特征：個位是0、2、4、6、8。5的倍數(shù)的特征：個位是0或5。3的倍數(shù)的特征：各位上數(shù)字的和一定是3的倍數(shù)。知識點05：和與積的奇偶性偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)?因數(shù)和倍數(shù)的認識及求法1、因數(shù)和倍數(shù)是兩個相互依存的概念，只能說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)不能單獨存在。2、一個數(shù)的倍數(shù)都大于或等于它本身，而因數(shù)都小于或等于它本身。3、沒有最大的倍數(shù)。?2、3、5的倍數(shù)特征及奇數(shù)與偶數(shù)1、3的倍數(shù)也可以是偶數(shù)。2、如果a是自然數(shù)，偶數(shù)可用2a來表示，a+2并不能表示偶數(shù)。3、5是奇數(shù)，但它的倍數(shù)的個位上可能是5，也可能是0。5的倍數(shù)的個位上是0的時候，這個數(shù)就是偶數(shù)。4、判斷一個數(shù)是3的倍數(shù)的時候，一定要把各個數(shù)位上的數(shù)字加起來，而不是看個位上的數(shù)字是幾。?質(zhì)數(shù)與合數(shù)1、1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2、最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。3、2是唯一的一個偶質(zhì)數(shù)。4、分解質(zhì)因數(shù)時，除數(shù)和商都不能是1，因為1不是質(zhì)數(shù)。5、只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)，1的因為只有它本身。6、判斷一個數(shù)是不是另一個數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不僅要看這個數(shù)是不是另一個數(shù)的因數(shù)，還要看這個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)。攻略四：公因數(shù)與公倍數(shù)1、如果兩個數(shù)只有公因數(shù)1，那么1就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。2、只有兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)才是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。3、幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。一．精挑細選（共5小題，滿分5分，每小題1分）1．（1分）（2023春?欽南區(qū)期中）a÷b＝15（ab都是不為0的整數(shù)），那么a與b的最小公倍數(shù)是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)b【思路引導】已知a÷b＝15，可知a是b的15倍，根據(jù)：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是較大數(shù)，所以a與b的最小公倍數(shù)是a；據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：a÷b＝15（ab都是不為0的整數(shù)），那么a與b的最小公倍數(shù)是a。故選：A?！究键c評析】此題主要利用求兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的最小公倍數(shù)的方法，關(guān)鍵要根據(jù)題意知道a是b的倍數(shù)。2．（1分）（2023春?江都區(qū)期中）下面句子說法正確的是（）A．最小的質(zhì)數(shù)1 B．含有未知數(shù)的式子叫方程 C．把24分解質(zhì)因數(shù)是24＝2×3×4 D．幾個乘數(shù)中，只要有一個數(shù)是偶數(shù)，積一定是偶數(shù)?！舅悸芬龑А緼.一個數(shù)的因數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)就是質(zhì)數(shù)；B.含有未知數(shù)的等式叫做方程；C.分解質(zhì)因數(shù)是把一個數(shù)寫成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式；D.根據(jù)奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：A.1只有一個因數(shù)，所以不是質(zhì)數(shù)，最小的質(zhì)數(shù)是2，選項說法錯誤；B.含有未知數(shù)的等式叫做方程，選項說法錯誤；C.把24分解質(zhì)因數(shù)是24＝2×2×2×3；選項說法錯誤；D.因為奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，所以幾個乘數(shù)中，只要有一個數(shù)是偶數(shù)，積一定是偶數(shù)，選項說法正確。故選：D?！究键c評析】此題需要學生熟練掌握質(zhì)數(shù)，方程，偶數(shù)的概念以及分解質(zhì)因數(shù)的方法。3．（1分）（2022春?貴陽期中）兩個相鄰自然數(shù)的最小公倍數(shù)是72，這兩個自然數(shù)的和是（）A．72 B．15 C．17【思路引導】根據(jù)自然數(shù)的排列規(guī)律可知，相鄰的兩個自然數(shù)相差1，也就是相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)，兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積，據(jù)此確定這兩個自然數(shù)，求和即可?！疽?guī)范解答】解：72＝8×98+9＝17故選：C?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法及應用，關(guān)鍵是明確：兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積；兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是較大數(shù)。4．（1分）（2021春?長垣市期末）m是一個質(zhì)數(shù)，n是一個合數(shù)（m、n都是大于20的自然數(shù)），下列說法正確的是（）A．m+n一定是偶數(shù) B．mn一定是奇數(shù) C．m+2n不可能是偶數(shù) D．2（m+n）可能是奇數(shù)【思路引導】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的意義，一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個自然數(shù)，如果除了1和它本身還有別因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)；是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。再根據(jù)偶數(shù)、奇數(shù)的性質(zhì)，奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)。據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：由分析得：A、m+n一定是偶數(shù)。此說法錯誤。B、mn一定是奇數(shù)。此說法錯誤。C、m+2n不可能是偶數(shù)，此說法正確。D、2（m+n）可能是奇數(shù)。此說法錯誤。故選：C?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的意義及應用，以及偶數(shù)、奇數(shù)的性質(zhì)及應用。5．（1分）（2021春?勃利縣期末）a＝b+1（a、b均為非0自然數(shù)），a和b的最小公倍數(shù)（）A．一定是奇數(shù) B．一定是偶數(shù) C．可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)【思路引導】因為a＝b+1（a、b均為非0自然數(shù)），則說明這兩個數(shù)是相鄰的自然數(shù)，那么這兩個數(shù)互質(zhì)，那么a和b的小公倍數(shù)是它們的積，因為a和b一奇一偶，奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，所以a和b的最小公倍數(shù)一定是偶數(shù)；據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：因為a＝b+1（a、b均為非0自然數(shù)），則說明這兩個數(shù)是相鄰的自然數(shù)，那么這兩個數(shù)互質(zhì)，那么a和b的小公倍數(shù)是它們的積；又因為a和b一奇一偶，奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)，所以a和b的最小公倍數(shù)一定是偶數(shù)。故選：B。【考點評析】本題主要考查了最小公倍數(shù)及奇數(shù)與偶數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)。二．認真填空（共9小題，滿分24分）6．（1分）（2023春?應城市期中）一個手機號碼的后八位是ABCDE469，其中A是非零數(shù)，且既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；B是10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)；C既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；D是8的最大因數(shù)；E比最小的合數(shù)多1，這個手機號碼的后八位是17285469。【思路引導】找出A、B、C、D、E表示的數(shù)，即可寫出這個手機號碼的后八位?！疽?guī)范解答】解：A是非零數(shù)，且既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，所以A是1；B是10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)，所以B是7；C既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以C是2；D是8的最大因數(shù)，所以D是8；E比最小的合數(shù)多1，最小的合數(shù)是4，所以E是5；綜上所述，這個手機號碼的后八位是17285469。故答案為：17285469?！究键c評析】解答此題此題需要掌握1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)是7，即是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是2，一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的合數(shù)是4。7．（7分）（2023春?江都區(qū)期中）（1）德國數(shù)學家哥德巴赫提出猜想：“所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”。該猜想成為數(shù)學中的一個著名的難題，被稱為“數(shù)學皇冠上的明珠”。下面符合這個猜想的是B。A、20＝2+18B、20＝3+17C、20＝5+15D、20＝11+9（2）請你仿照上面正確的例子填寫：30＝13+17，40＝11+29（3）從這個猜想又可推出：任意一個大于5的奇數(shù)都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和，如：11＝3+3+5，21＝3+5+13。請你再寫三個符合猜想的算式。13＝3+3+715＝3+5+7【思路引導】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義直接解答?！疽?guī)范解答】解：（1）德國數(shù)學家哥德巴赫提出猜想：“所有大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”。該猜想成為數(shù)學中的一個著名的難題，被稱為“數(shù)學皇冠上的明珠”。下面符合這個猜想的是B。A、20＝2+18B、20＝3+17C、20＝5+15D、20＝11+9（2）請你仿照上面正確的例子填寫：30＝13+17，40＝11+29（3）從這個猜想又可推出：任意一個大于5的奇數(shù)都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和，如：11＝3+3+5，21＝3+5+13。請你再寫三個符合猜想的算式。13＝3+3+715＝3+5+7故答案為：B；13，17；11，29；13，3，3，7；15，3，5，7。（后兩題答案不唯一）【考點評析】解答本題需熟練掌握質(zhì)數(shù)的意義，能靈活把一個偶數(shù)分成兩個質(zhì)數(shù)的和，把一個大于5的奇數(shù)分成三個奇數(shù)的和。8．（1分）（2023春?通州區(qū)期中）42是一個數(shù)的倍數(shù)，70也是這個數(shù)的倍數(shù)，這個數(shù)最大是14?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意，42是一個數(shù)的倍數(shù)，70也是這個數(shù)的倍數(shù)，那么這個數(shù)是42和70的公因數(shù)，求這個數(shù)最大是多少，就是求這個數(shù)的最大公因數(shù)?！疽?guī)范解答】解：42＝2×3×770＝2×5×742和70的最大公因數(shù)是：2×7＝14所以42是一個數(shù)的倍數(shù)，70也是這個數(shù)的倍數(shù)，這個數(shù)最大是14。故答案為：14。【考點評析】此題需要學生熟練掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法并靈活運用。9．（4分）（2023春?灌云縣期中）在53、22、15、40、7、35這些數(shù)中，雙數(shù)有2個，單數(shù)有4個；最大的雙數(shù)是40，最小的單數(shù)是7?！舅悸芬龑А颗紨?shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，又叫做雙數(shù)，如：0，2、4、6、8等，；奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)，又叫做單數(shù)，如：1、3、5、7等。依此判斷即可。【規(guī)范解答】解：在53、22、15、40、7、35這些數(shù)中，雙數(shù)有22、40共2個，單數(shù)有53、15、7、35共4個；最大的雙數(shù)是40，最小的單數(shù)是7。故答案為：2，4，40，7?！究键c評析】本題考查了奇數(shù)偶數(shù)的特征。10．（3分）（2023春?江都區(qū)期中）在橫線上填入合適的質(zhì)數(shù)。15＝2+13＝3×542＝2×3×7【思路引導】分解質(zhì)因數(shù)就是把一個數(shù)分解成幾個質(zhì)數(shù)相乘的積，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的概念解答即可?！疽?guī)范解答】解：15＝2+13＝3×542＝2×3×7故答案為：2，13，3，5，2，3，7?！究键c評析】本題考查分解質(zhì)因數(shù)、質(zhì)數(shù)的認識，學生需要熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)的方法。11．（2分）（2023春?冷水灘區(qū)期中）A＝2×2×3×5，B＝2×3×5×7，那么A和B的最大公因數(shù)是30，最小公倍數(shù)是420。【思路引導】根據(jù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，兩個數(shù)公有質(zhì)因數(shù)連乘積是它們的最大公因數(shù)，兩個數(shù)公有質(zhì)因數(shù)與每個數(shù)獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積是它們的最小公倍數(shù)。據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：a＝2×2×3×5；b＝2×3×5×7；a和b的最大公因數(shù)是2×3×5＝30；a和b的最小公倍數(shù)是2×5×3×2×7＝420。故答案為：30，420?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握求兩個數(shù)的最大公因數(shù)、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法及應用。12．（2分）（2023春?濱?？h期中）學校新購買了一些繪本，比30本多，比40本少，平均分給二年級的7個班還多2本。平均每班分得5本，一共購買了37本?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)乘法口訣，五七三十五，35大于30小于40，用35加上2就是一共購買的本數(shù)，平均每個班分得5本。據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：7×5＝3535大于30小于40，35+2＝37（本）35÷7＝5（本）答：平均每個班分得5本，一共購買了37本。故答案為：5，37?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握找一個數(shù)的倍數(shù)的方法及應用，表內(nèi)乘法、表內(nèi)除法、表內(nèi)乘加的計算法則及應用。13．（2分）（2021春?周村區(qū)期末）兩個數(shù)的最大公因數(shù)是2，最小公倍數(shù)是12，這兩個數(shù)分別是4或2和6或12。【思路引導】首先要知道最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)是如何求得的，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)和各自獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，所以用最小公倍數(shù)除以最大公因數(shù)就得到了兩個數(shù)的獨有質(zhì)因數(shù)的乘積，進而組合成要求的數(shù)即可?！疽?guī)范解答】解：因為12÷2＝6，6＝1×6＝2×3，所以這兩個數(shù)有兩種情況：即2×1＝2、2×6＝12或2×2＝4、2×3＝6，所以兩個數(shù)各是2，12或4，6。故答案為：4或2，6或12?！究键c評析】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，解題關(guān)鍵是：最小公倍數(shù)除以最大公因數(shù)就得到了兩個數(shù)的獨有質(zhì)因數(shù)的乘積。14．（2分）（2020?定州市）已知a＝2×2×3×5，b＝2×3×m，如果a和b的最大公因數(shù)是12，那么m＝2，a和b的最小公倍數(shù)是60．【思路引導】兩個數(shù)的最大公因數(shù)等于兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)等于兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和獨有的質(zhì)因數(shù)的乘積；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：由分析知：2×3×m＝12，所以m＝2；a和b的最小公倍數(shù)是：2×2×3×5＝60；故答案為：2，60．【考點評析】此題主要考查根據(jù)兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)情況求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．三．判斷正誤（共5小題，滿分5分，每小題1分）15．（1分）（2023春?海城市期中）1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)的含義：自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；除了1和它本身以外，不含其它因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；除了1和它本身外，還含有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)，據(jù)此解答即可。【規(guī)范解答】解：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，原題說法正確。故答案為：√?！究键c評析】此題考查了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義。16．（1分）（2023春?懷化期中）35和45的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)都是5?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】求最大公因數(shù)也就是求這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，據(jù)此進行計算即可。【規(guī)范解答】解：35＝5×745＝3×3×5則35和45的最大公因數(shù)是5，35和45的最小公倍數(shù)是3×3×5×7＝315。原題干說法錯誤。故答案為：×【考點評析】本題考查求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。17．（1分）（2023春?邢臺月考）兩個自然數(shù)（0除外）的積一定是這兩個數(shù)的公倍數(shù)?！蹋ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】如果a和b是兩個數(shù)不為0的自然數(shù)，a×b＝c，則a和b都是c的因數(shù)，c即是a的倍數(shù)，也是b的倍數(shù)，c是a和b公共的倍數(shù)，所以c是a和b這兩個數(shù)的公倍數(shù)。【規(guī)范解答】解：兩個數(shù)（不為0的自然數(shù)）的積一定是這兩個數(shù)的公倍數(shù)。所以原題說法正確。故答案為：√?！究键c評析】此題主要考查因數(shù)和倍數(shù)、公倍數(shù)的意義。18．（1分）（2023春?靈寶市期中）36的因數(shù)中一共有5個合數(shù)?！粒ㄅ袛鄬﹀e）【思路引導】一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，根據(jù)求一個數(shù)的因數(shù)的方法，求出36的因數(shù)，再根據(jù)合數(shù)的意義，一個自然數(shù)，如果除了1號它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。據(jù)此判斷?！疽?guī)范解答】解：36的因數(shù)有1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中合數(shù)有4、6、9、12、18、36，共6個。因此題干中的結(jié)論是錯誤的。故答案為：×?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法及應用，合數(shù)的意義及應用。19．（1分）（2023春?儀隴縣月考）除2以外，任意兩個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)．√．（判斷對錯）【思路引導】根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義及奇數(shù)、偶數(shù)的意義，除2以外所以質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，由于何意兩個奇數(shù)相加都是偶數(shù)．【規(guī)范解答】解：質(zhì)數(shù)除了2以外都是奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，所以除了2以外的任意兩個質(zhì)數(shù)的和都是偶數(shù)是正確的．故答案為：√．【考點評析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)質(zhì)數(shù)的意義及質(zhì)數(shù)、偶數(shù)的意義，明白除2外，所以質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．四．計算能手（共2小題，滿分8分，每小題4分）20．（4分）（2023春?寶豐縣期中）求出下面每個分數(shù)中分子和分母的最大公因數(shù)，填在橫線上。113175【思路引導】根據(jù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，如果兩個是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是1；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小的數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；如果兩個數(shù)是一般關(guān)系，利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，兩個數(shù)公有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；據(jù)此求解?！疽?guī)范解答】解：（1）因為8和21是互質(zhì)數(shù)，所以8和21的最大公因數(shù)是1；（2）因為52是13的倍數(shù)，所以13和52的最大公因數(shù)是13；（3）因為51是17的倍數(shù)，所以17和51的最大公因數(shù)是17；（4）25＝5×5，60＝2×2×3×5所以25和60的最大公因數(shù)是5。故答案為：1；13；17；5?！究键c評析】此題考查的目的是理解掌握求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法及應用，明確：如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是1，如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小的數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。21．（4分）（2023春?漢陰縣期中）按要求分一分。12312253143568799（1）質(zhì)數(shù)：（2）合數(shù)：（3）偶數(shù)：（4）奇數(shù)：【思路引導】只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)，除了1和它本身兩個因數(shù)外還有其他因數(shù)的數(shù)是合數(shù)，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)。據(jù)此分類?！疽?guī)范解答】解：（1）質(zhì)數(shù)：2，3，31，43；（2）合數(shù)：12，25，56，87，99；（3）偶數(shù)：2，12，56；（4）奇數(shù)：1，3，25，31，43，87，99。【考點評析】解答本題需熟練掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)的意義。五．實際應用（共12小題，滿分58分）22．（4分）（2022春?禹城市期中）幼兒園買回49塊水果糖和30塊奶糖，李老師把兩種糖分別平均分給小班的每位小朋友，結(jié)果水果糖多出4塊，奶糖正好。小班最多有多少個小朋友？【思路引導】結(jié)果水果糖多出4塊，奶糖正好。說明小班人數(shù)是（49﹣4）的因數(shù)，同時也是30的因數(shù)，問小班最多有多少個小朋友，就是求（49﹣4）和30的最大公因數(shù)是多少。據(jù)此解答?！疽?guī)范解答】解：49﹣4＝4545＝3×3×530＝2×3×5所以45和30的最大公因數(shù)是3×5＝15（人）答：小班最多有15個小朋友。【考點評析】本題考查學生解決稍復雜的應用題的能力，本題中水果糖不能平均分，用（49﹣4）轉(zhuǎn)化成平均分，進一步轉(zhuǎn)化成求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，從而使問題得以解決。23．（4分）（2022春?滎陽市期中）插花師計劃用70朵百合和42朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵數(shù)相同，玫瑰的朵數(shù)也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？這時每束花中有多少朵花？【思路引導】求最多可以做多少束花，就是求70和42的最大公因數(shù)，先把要求的兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把它們公有的質(zhì)因數(shù)連乘起來，所得的積就是它們的最大公因數(shù)；再用百合花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中百合花的朵數(shù)，用玫瑰花的總朵數(shù)除以最大公因數(shù)就是每束花中玫瑰花的總朵數(shù)，再把每束花中百合花的朵數(shù)與每束花中玫瑰花的總朵數(shù)相加即可?！疽?guī)范解答】解：70＝2×5×742＝2×3×7所以70和42的最大公因數(shù)是2×7＝1470÷14＝5（朵）42÷14＝3（朵）5+3＝8（朵）答：最多可以做14束花，這時每束花中有8朵花?！究键c評析】本題考查了最大公因數(shù)的應用以及最大公因數(shù)的求法。24．（5分）（2022春?科左中旗校級期中）合唱隊有32名同學，要站成若干、排表演，若每排人數(shù)相等，可以怎樣站？（不包括每排一人或32人站一排的情況）【思路引導】要求每排多少人，可以站多少排，實際上就是求32的因數(shù)有哪些，據(jù)此回答?！疽?guī)范解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×832的因數(shù)有：1、2、4、8、16、32；因為不包括每排一人或32人站一排的情況，所以可以這樣排列：每排2人，站16排；每排16人，站2排；每排4人，站8排；每排8人，站4排；答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排?！究键c評析】此題的解題關(guān)鍵是掌握求一個數(shù)的因數(shù)的方法，靈活運用解決問題。25．（5分）（2022春?黃陵縣期末）五年級（1）（2）班要參加學校組織的義務勞動，五（1）班來了48人，五（2）班來了42人。如果把兩個班的學生分別分成若干小組，要使兩個班每個小組的人數(shù)相同，每組最多有多少人？一共有多少個小組？【思路引導】根據(jù)題意，把兩個班的學生分別分成若干小組，要使兩個班每個小組的人數(shù)相同，求每組的人數(shù)就是求兩班人數(shù)的公因數(shù)，因為求的是每組最多有多少人，所以就是求兩班人數(shù)的最大公因數(shù)，然后用兩個班總?cè)藬?shù)÷每組人數(shù)＝小組數(shù)量?！疽?guī)范解答】解：48＝2×2×2×2×342＝2×3×72×3＝6（人）（48+42）÷6＝90÷6＝15（個）答：每組最多有6人，一共有15個小組?！究键c評析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。26．（5分）（2021秋?神木市期末）明明小朋友在飲料店買了一些純牛奶和可樂，已知純牛奶：5元/瓶，可樂：10元/瓶。請問：售貨員阿姨找回的錢對嗎？為什么？【思路引導】根據(jù)5的倍數(shù)特征，一個數(shù)的個位是0或5，這個數(shù)就是5的倍數(shù)，據(jù)此分析解答?！疽?guī)范解答】解：因為純牛奶和可樂的單價分別是5元、10元，都是5的倍數(shù)，所以不論買幾瓶，總錢數(shù)也應是5的倍數(shù)，付了100元，找回的錢數(shù)應該也是5的倍數(shù)，即個位數(shù)應是0或5，所以找回18元不對。答：售貨員阿姨找回的錢不對。因為找回的錢應該是5的倍數(shù)，18不是5的倍數(shù)?！究键c評析】此題考查了5的倍數(shù)特征以及實際運用，要熟練掌握。27．（5分）（2019?溫州）4只同樣的瓶子內(nèi)分別裝有一定數(shù)量的油。每瓶和其它各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8、9、10、11、12、13。已知4個空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，問最重的兩瓶內(nèi)有多少千克油？【思路引導】由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，當油重之和為19千克，瓶重之和為2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝12（千克）；當油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意?！疽?guī)范解答】解：每個瓶稱三次，故四個瓶子總重量為（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），21是奇數(shù)，故空瓶重量之和與油重量之和必為一奇一偶。而質(zhì)數(shù)中是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，分兩種情況求解：（1）當空瓶重量和為2，油重量和為19；每個空瓶2÷4＝（千克），故最重兩瓶（即重13的兩瓶）有13﹣×2＝12（千克）；（2）油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的兩瓶內(nèi)的油為13﹣×2＝（千克），這與油重之和為2千克矛盾，不符合題意。答：最重的兩瓶內(nèi)有12千克油。【考點評析】本題主要考查了有關(guān)偶數(shù)、質(zhì)數(shù)以及奇數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是求出4瓶油（加瓶）的質(zhì)量。28．（5分）（2023春?余杭區(qū)期中）一個長方形的周長是60厘米，它的長與寬是兩個質(zhì)數(shù)，它的面積是多少平方厘米？【思路引導】根據(jù)“長方形的一條長和寬的和＝周長÷2”計算出一條長和寬的和是：60÷2＝30（厘米），長和寬是兩個不同的質(zhì)數(shù)，一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫作質(zhì)數(shù)；所以可以分為以下幾種情況：①長23厘米，寬7厘米；②長19厘米，寬11厘米；③長17厘米，寬13厘米；然后根據(jù)長方形的面積＝長×寬分別計算得出即可?！疽?guī)范解答】解：60÷2＝30（厘米），可以分為：①長23厘米，寬7厘米面積：23×7＝161（平方厘米）②長19厘米，寬11厘米面積：19×11＝209（平方厘米）③長17厘米，寬13厘米面積：17×13＝221（平方厘米）答：這個長方形的面積可能是161平方厘米或209平方厘米或221平方厘米?！究键c評析】此題考查的是長方形周長和面積計算的靈活運用情況，求出長和寬的值是解答本題的關(guān)鍵。29．（5分）（2023春?靈山縣期中）用長4厘米、寬3厘米的長方形，照如圖的樣子拼成正方形．拼成的正方形的邊長最小是多少厘米？（先在圖中畫一畫再解答）【思路引導】求拼成的正方形的邊長最小是多少厘米，即求3和4的最小公倍數(shù)，因為3和4是互質(zhì)數(shù)，是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：4×3＝12，即拼成的正方形的邊長是12厘米；答：拼成的正方形的邊長是12厘米．【考點評析】此題主要考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)：是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積．30．（5分）（2023春?廬陽區(qū)期中）把一張長60厘米，寬40厘米的長方形鐵皮剪成同樣大小的正方形鐵皮，要使剪成的正方形最大且無剩余，正方形的邊長應是多少