蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題7.4銳角三角函數(shù)章末拔尖卷同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第7章銳角三角函數(shù)章末拔尖卷【蘇科版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)廣東梅縣東山中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=32，cosB=1A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形2．（3分）（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 3．（3分）（2023春·山東青島·九年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BACA．5 B．55 C．12 4．（3分）（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD=CD=CE，AF=DF，則tan∠ABC的值為(

A．12 B．23 C．345．（3分）（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)校考期末）一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?3,0)，∠B=30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

A．(?3?33,33) B．(?3+3,3)6．（3分）（2023秋·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一個(gè)銳角為60°，BC=6，若點(diǎn)P在直線AC上（不與點(diǎn)A、C重合），且∠ABP=30°，則CP的長(zhǎng)為（

A．6或23 B．6或43 C．23或43 7．（3分）（2023秋·黑龍江牡丹江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，延長(zhǎng)等腰RtΔABC斜邊AB到D，使BD=2AB，連接CD，則tan∠BCDA．23 B．1 C．13 8．（3分）（2023春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形，連結(jié)CD，若sin∠BCD=35A．23 B．34 C．7109．（3分）（2023春·浙江·九年級(jí)期末）如圖1是由四個(gè)全等的直角三角形組成的“風(fēng)車”圖案，其中∠AOB=90°，延長(zhǎng)直角三角形的斜邊恰好交于另一直角三角形的斜邊中點(diǎn)，得到如圖2，若IJ=2，則該“風(fēng)車”的面積為（

A．2+1 B．22 C．4?2二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）10．（3分）（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上，且AD=3，BE=4，連接AE，BD，交于點(diǎn)F，BD=10，cos∠AFD=32，則11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，tan∠ABC=43，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則S△ECF

12．（3分）（2023秋·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，D重合），當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，DE=．

13．（3分）（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AD，DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠ABC=120°，AB=6，則PE?PF的值為．

14．（3分）（2023·廣東深圳·深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是線段MN上的一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交4D于點(diǎn)E，連接PD，PC，將△DEP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△GFP，則下列結(jié)論：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，則D，F(xiàn)兩點(diǎn)之間距離的最小值是315．（3分）（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等邊三角形，直線y=33x+2經(jīng)過(guò)它們的頂點(diǎn)A

16．（3分）（2023秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谀┤鐖D，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)2sin(2)(π?1)018．（6分）（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=

求：(1)CD的長(zhǎng)；(2)sin∠ABC19．（8分）（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)A（7，8）、C（0，6），AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在線段OB上，DE∥AC，交AB于點(diǎn)E，EF∥CD，交AC于點(diǎn)F．（1）求經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；（2）設(shè)OD＝t，BE＝s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在點(diǎn)D，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）在如圖1的正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C，D均為格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn))．求證：∠ABC=∠D．

（2）在如圖2所示的正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C均為格點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺在線段AC上求作一點(diǎn)P，使得∠PBA=∠C，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

21．（8分）（2023春·海南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，小明為測(cè)量宣傳牌AB的高度，他站在距離建筑樓底部E處6米遠(yuǎn)的地面C處，測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為60°．同時(shí)測(cè)得建筑樓窗戶D處的仰角為30°（A、B、D、E在同一直線上．）然后，小明沿坡度為i=1:2.5的斜坡從C走到F處，此時(shí)DF正好與地面CE平(3)如圖3，D在CB延長(zhǎng)線上，E為AB上一點(diǎn)，且滿足：∠BAD=∠BCE，AEBE=23，若tan∠ABC=3第7章銳角三角函數(shù)章末拔尖卷【蘇科版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)廣東梅縣東山中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=32，cosB=1A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出【詳解】解：∵sinA=32∴∠A=60°，∴∠C=180°?∠A?∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BE=AE，設(shè)CE=x，則BE=AE=8?x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得出BC2【詳解】解：∵△ADE沿DE折疊得到△BDE，∴BE=AE，設(shè)CE=x，則BE=AE=8?x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得：B即42+x∴tan∠CBE=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等．3．（3分）（2023春·山東青島·九年級(jí)華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BACA．5 B．55 C．12 【答案】B【分析】過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理得出AB,AC的值，再利用面積公式求出BD的值，由sin∠BAC=【詳解】解：如圖，過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D根據(jù)勾股定理得：AB=∴SΔ∴BD=∴sin故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦值，勾股定理與網(wǎng)格,三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形．4．（3分）（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD=CD=CE，AF=DF，則tan∠ABC的值為(

A．12 B．23 C．34【答案】C【分析】如圖，過(guò)A作AG∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于G，證明△AGF≌△DBFAAS，則AG=BD=12BC，證明△AEG∽△CEB，則AECE=AG【詳解】解：如圖，過(guò)A作AG∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于G，∴∠G=∠DBF，在△AGF和△DBF中，∵∠G=∠DBF∠AFG=∠DFB∴△AGF≌△DBFAAS∴AG=BD=1∵∠G=∠CBE，∠AEG=∠CEB，∴△AEG∽△CEB，∴AECE=AG∴AC=3∴tan∠ABC=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．（3分）（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)校考期末）一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?3,0)，∠B=30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

A．(?3?33,33) B．(?3+3,3)【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于點(diǎn)E，根據(jù)ΔABC為直角三角形可證明ΔBCE∽ΔCAO，求出AC=10，求出BC【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OC于點(diǎn)E，

∵△ABC為直角三角形，∴∠BCE+∠ACO=90°，∴Δ∴BEOC在Rt△ACO中，AC=在Rt△ABC中，∠CBA=30°∴tan∠CBA=∴BC=CA∴BE3解得BE=33，EC=∴EO=EC+CO=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?3?3，3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明三角形的相似，進(jìn)而求解．6．（3分）（2023秋·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一個(gè)銳角為60°，BC=6，若點(diǎn)P在直線AC上（不與點(diǎn)A、C重合），且∠ABP=30°，則CP的長(zhǎng)為（

A．6或23 B．6或43 C．23或43 【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)P在直線AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求解．【詳解】如圖1：當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠ABC=30°，與∠ABP=30°矛盾；如圖2：當(dāng)∠C=60°時(shí)，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等邊三角形，∴CP=BC=6；如圖3：當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°?30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=如圖4：當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P在直線AC上的不同位置．7．（3分）（2023秋·黑龍江牡丹江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，延長(zhǎng)等腰RtΔABC斜邊AB到D，使BD=2AB，連接CD，則tan∠BCDA．23 B．1 C．13 【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)AC=BC=a，根據(jù)勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠BAC=45°，從而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，進(jìn)而求得CE=BC+BE=3【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如下圖，設(shè)AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=AC2+BC2=2a∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2023春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形，連結(jié)CD，若sin∠BCD=35A．23 B．34 C．710【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根據(jù)sin∠BCE＝BEBC=35，設(shè)BE＝3a，BC＝5a，得CE＝BC2?BE2＝4a，過(guò)點(diǎn)C作DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得矩形CFBG，設(shè)AC＝x【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35∴sin∠BCE＝BEBC設(shè)BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝BC2?BE過(guò)點(diǎn)C作DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，設(shè)AC＝x，AB＝y(tǒng)，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB?CF＝12×∴y?CF＝5ax，∴CF＝5axy在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理，得BF＝BC2?CF2∴BF＝CG＝25y在正方形ABDH中，AB＝BD＝y(tǒng)，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝BD2?B∴CD＝CE+ED＝4a+y2∵S△CBD＝12×CD?BE＝12×∴CD?BE＝BD?CG，∴(4a+y2?9a2)×3＝∴y2?9a∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE＝3ay2故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，是選擇題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)利用勾股定理列方程．9．（3分）（2023春·浙江·九年級(jí)期末）如圖1是由四個(gè)全等的直角三角形組成的“風(fēng)車”圖案，其中∠AOB=90°，延長(zhǎng)直角三角形的斜邊恰好交于另一直角三角形的斜邊中點(diǎn)，得到如圖2，若IJ=2，則該“風(fēng)車”的面積為（

A．2+1 B．22 C．4?2【答案】B【分析】連接AC,由題意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，進(jìn)而說(shuō)明△OAC為等腰直角三角形，再說(shuō)明分CD、GI垂直平分AB，進(jìn)而說(shuō)明∠OBH=∠OHB=45°，然后再運(yùn)用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面積，最后求風(fēng)車面積即可．【詳解】解：如圖：連接AC由題意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC為等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形頂角∠CAD的角平分線即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°設(shè)OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH設(shè)IH=（2?1）x，AI=∴IH+IA=2x=2，即x∴S△ABH又∵S∴S△BOH∴S∴S風(fēng)車故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）10．（3分）（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上，且AD=3，BE=4，連接AE，BD，交于點(diǎn)F，BD=10，cos∠AFD=32，則【答案】5【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG∥BE，BG∥AE交于點(diǎn)G，連接DG，勾股定理求得DG，過(guò)點(diǎn)D作【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BE，BG∥AE交于點(diǎn)則四邊形AGBE是平行四邊形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，則BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∴∠AFD=30°∵AE∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BG，∵sin∴DH=1∴G,H重合，∴AE=BG=BH=5故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，tan∠ABC=43，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則S△ECF

【答案】4:21【分析】設(shè)AE=4k，則BE=3k，根據(jù)勾股定理求出AB=5k，然后證明△CEF∽△DAF，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵tan∠ABC=43∴tan∠ABC=設(shè)AE=4k，則BE=3k，∴AB=A∵四邊形ABCD是菱形，∴CB∥AD，∴CE=BC?BE=2k，∵CB∥∴△CEF∽△DAF，∴S△CEF∴S△CEF故答案為：4:21．【點(diǎn)睛】本題考查了正切、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2023秋·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，D重合），當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，DE=．

【答案】2或52或【分析】分AB=AE,BE=BA,EA=EB三種情況，分別畫出圖形，即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，∴∠BAD=90°，∴BD=A當(dāng)AB=AE時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD于點(diǎn)F，

則AF⊥BD，∴cos∠ABD=∴BF=∴DE=BD?BE=BD?2BF=5?18當(dāng)BA=BE時(shí)，DE=BD?BE=5?3=2，

當(dāng)EA=EB時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，

∴EG∥AD，∴BEED∴DE=1綜上所述DE=2或52或7故答案為：2或52或7【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，求一個(gè)角的余弦，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AD，DC延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠ABC=120°，AB=6，則PE?PF的值為．

【答案】3【分析】如圖，延長(zhǎng)BC交EP于M，由菱形的性質(zhì)可知，CP為∠BCD，∠FCM的平分線，則PF=PM，PE?PF=PE?PM=EM，由題意知，EM為△ABD底邊AD上的高，由菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，可得∠BAD=60°，根據(jù)EM=AB?sin【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BC交EP于M，

由菱形的性質(zhì)可知，CP為∠BCD，∠FCM的平分線，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE?PF=PE?PM=EM，由題意知，EM為△ABD底邊AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB?sin∴PE?PF=33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．14．（3分）（2023·廣東深圳·深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是線段MN上的一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交4D于點(diǎn)E，連接PD，PC，將△DEP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△GFP，則下列結(jié)論：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)，則D，F(xiàn)兩點(diǎn)之間距離的最小值是3【答案】①②③【分析】延長(zhǎng)GF交AD于點(diǎn)H，連接FC，F(xiàn)B，F(xiàn)A，由已知可得MN為AB，CD的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得①的結(jié)論正確；利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算可得∠BCG=45°，由四邊形內(nèi)角和定理通過(guò)計(jì)算可得∠EHF=90°；利用平行線的性質(zhì)可得BC⊥FG，則∠CGF=45°，可說(shuō)明②的結(jié)論正確；通過(guò)證明點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的同一個(gè)圓上，利用圓周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，得到△CGF為等腰直角三角形，則③的結(jié)論正確；由題意點(diǎn)F在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，EF的值最小，連接AC，解直角三角形的知識(shí)可得④的結(jié)論不正確．【詳解】解：延長(zhǎng)GF交AD于點(diǎn)H，連接FC，F(xiàn)B，F(xiàn)A，如圖，∵正方形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴MN是線段BA，CD的垂直平分線．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1∴∠PCD+∠PCG=1∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∴②∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的同一個(gè)圓上．∴∠FAB=1∴點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG為等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③由以上可知：點(diǎn)F在正方形的對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)EF⊥AC時(shí)，EF的值最?。藭r(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴DF=AD?sin45°=4×2∴④綜上，結(jié)論正確的序號(hào)有：①②③，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理，垂線段的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等邊三角形，直線y=33x+2經(jīng)過(guò)它們的頂點(diǎn)A

【答案】2【分析】設(shè)直線y=33x+2與x軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，可得OA=2,OC=23，推出∠CB1A1=90°，∠CB1A=30°，然后求出【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線y=33x+2與x

當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=?23∴A0,2，C∴OA=2，OC=23∴tan∠ACO=∴∠ACO=30°，∵△AB∴∠AA∴∠CB1A∴AC=AB∵AO⊥CB∴OB∴CB同理，CB2=2C∴CB2022=∴B2022故答案為：22023【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象與幾何的變換規(guī)律的綜合，解直角三角形，理解等邊三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖像的性質(zhì)和特點(diǎn)，找到點(diǎn)的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谀┤鐖D，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為【答案】8+4【分析】先構(gòu)造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH:EF=2:6；作∠ARH=∠BFT=15°，分別交直線AB于R和T，構(gòu)造“一線三等角”，先求得FT的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)相似三角形求得ER，進(jìn)而求得AE，于是得出∠AEH=30°【詳解】解：如圖1，Rt△PMN中，∠P=15°，NQ=PQ，∠MQN=30°設(shè)MN=1，則PQ=NQ=2，MQ=3，PN=∴cos15°=6如圖2，作EK⊥FH于K，作∠AHR=∠BFT=15°，分別交直線AB于R和T，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C，在△AEH與△CGF中，AE=CG∠A=∠C∴△AEH≌△CGF(SAS∴EH=GF，同理證得△EBF≌△GDH，則EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，設(shè)HK=a，則EH=2a，EK=3∴EF=2∵∠EAH=∠EBF=90°，∴∠R=∠T=75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+∴FTER∴26∴ER=4，∴AE=ER?AR=23∴tan∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°?∠AEH?∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26∴EH+EF=4+26∴2(EH+EF)=4(2+6∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為：8+46故答案為：8+46【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造15°特殊角的圖形及其求15°的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造“一線三等角”及構(gòu)造15°直角三角形求其三角函數(shù)值．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：(1)2sin(2)(π?1)0【答案】(1)2(2)4【分析】（1）先將特殊角的三角函數(shù)值代入，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先計(jì)算零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)二次根式，絕對(duì)值，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）原式====2．（2）原式=1+4×=1+2=4．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算和二次根式的運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=

求：(1)CD的長(zhǎng)；(2)sin∠ABC【答案】(1)CD=4(2)3【分析】（1）根據(jù)正切的定義得到tan∠ACD=（2）根據(jù)（1）所求求出BD=8，進(jìn)而求出AB=10，再根據(jù)正弦的定義求出sin∠ABD【詳解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=AD∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC?CD=8，∴AB=A在Rt△ABD中，sin∠ABD=AD【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定義是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)A（7，8）、C（0，6），AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在線段OB上，DE∥AC，交AB于點(diǎn)E，EF∥CD，交AC于點(diǎn)F．（1）求經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；（2）設(shè)OD＝t，BE＝s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在點(diǎn)D，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝27x+6；（2）s＝2﹣27t（0＜t＜7）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（【分析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b，即可求解；（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)D（t，0），點(diǎn)E（7，s），根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得直線DE的表達(dá)式為：y＝27x﹣27（3）設(shè)點(diǎn)D（t，0），證明∠OCD＝∠BDE，則tan∠OCD＝tan∠BDE，列出比例式即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入，得得：7k+b=8b=6解得：k=故直線AC的表達(dá)式為：y＝27x（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x軸∴則點(diǎn)D（t，0），點(diǎn)E（7，s）∵DE∥AC可設(shè)直線DE的解析式為y＝27x將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入0＝27t解得：c=﹣27∴直線的表達(dá)式為：y＝27x﹣27將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，得s＝2﹣27t（根據(jù)點(diǎn)D在線段OB上，可得0＜t（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t四邊形CDEF為矩形，則∠CDE＝90°，∵∠EDB+∠CDO＝90°，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠BDE，∴tan∠OCD＝tan∠BDE，∴ODOC＝即t6＝2?解得：t＝127或7（因?yàn)?＜t故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（127【點(diǎn)睛】此題考查的是一次函數(shù)與矩形的綜合題型，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和等角的銳角三角函數(shù)也相等是解決此題的關(guān)鍵．20．（8分）（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）在如圖1的正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C，D均為格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn))．求證：∠ABC=∠D．

（2）在如圖2所示的正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A，B，C均為格點(diǎn)，請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺在線段AC上求作一點(diǎn)P，使得∠PBA=∠C，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF,AF，AE,CE，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理得到tan∠D=BFDF=232（2）取格點(diǎn)D，E，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理得到tan∠ACE=tan∠ABD【詳解】（1）如圖所示，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF,AF，AE,CE，

∵BF=12+∴tan∠D=∵CE=1，BE=3，∴tan∠ABC=∴tan∠D=∴∠ABC=∠D；（2）解：如圖，取格點(diǎn)D，E，

同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan在Rt△ABD中，tan∴tan∠ACE=∴∠ACE=∠ABD，直線BD與AC的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)P．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，網(wǎng)格和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．21．（8分）（2023春·海南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，小明為測(cè)量宣傳牌AB的高度，他站在距離建筑樓底部E處6米遠(yuǎn)的地面C處，測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為60°．同時(shí)測(cè)得建筑樓窗戶D處的仰角為30°（A、B、D、E在同一直線上．）然后，小明沿坡度為i=1:2.5的斜坡從C走到F處，此時(shí)DF正好與地面CE平行，小明在F處又測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距離地面CE的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求宣傳牌AB的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)45，120(2)F距離地面CE的高度為23(3)宣傳牌AB的高度約為(6+3【分析】（1）由題意，得AD⊥DF，F(xiàn)D∥CE，則∠ADF=90°，∠CDF=∠ECD=30°，即可由∠DAF=90°?∠AFD，（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EC于G，先證明四邊形DEGF是矩形，得FG=DE，解Rt△CDE，求出DE（3）解Rt△CFG，求得CG=2.5FG=23×2.5=5【詳解】（1）解：由題意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°?∠AFD=90°?45°=45°，由題意，得FD∥∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EC于G，

由題意得，F(xiàn)G∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四邊形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt△CDE中，DE=CE?∴FG=23答：F距離地面CE的高度為23（3）解：∵斜坡CF的坡度為i=1:2.5，∴Rt△CFG中，∴FD=EG=(53∴在Rt△AFD中，∠AFD=45°∴AD=FD=(53在Rt△BCE中，BE=CE?∴AB=AD+DE?BE=53