蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊專題1.6全等三角形章末八大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)同步特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題1.6全等三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為全等三角形】 1【題型2判定全等三角形的依據(jù)】 2【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 3【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】 4【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 5【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】 6【題型7全等三角形在新定義中的運用】 7【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】 9【題型1添加條件使成為全等三角形】【例1】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△CDA的是（

）

A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA C．BC=AD D．∠B=∠D=90°【變式1-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運會在我國北京舉行，奧運健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運賽場上展現(xiàn)新時代中國運動員的精神風(fēng)貌和競技水平，請你添加一個條件，為奧運健兒設(shè)計一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標明依據(jù)【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖?

).A．一邊和這一邊上的高對應(yīng)相等 B．兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等C．兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等 D．直角三角形的斜邊對應(yīng)相等【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個三角形全等的是（

）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【題型2判定全等三角形的依據(jù)】【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽光線AC和DE是平行的，在同一時刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽光照射下，其影子一樣長．這里判斷影長相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是(

)

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級校考期中）如圖，將兩根鋼條AA'，BB'的中點O釘在一起，使AA'，BB'能繞點O自由轉(zhuǎn)動，就做成一個測量工具，測

A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．斜邊直角邊【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第塊去．（填序號）

【變式2-3】（2023春·浙江臺州·八年級校考期中）為了測量池塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，在地面上找一點C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長線上確定點D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過測量AD的長，得AB的長．那么△ABC≌△ADC的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】【例3】（2023春·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？(2)過點C作CE∥BD，過點B作BF∥AC，試判斷【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度數(shù)；(2)求證：DF=EF.【變式3-2】（2023春·廣西北海·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是線段AB上一點，過點A作AE⊥CP交CP延長線于點E，過點B作BF⊥CP于點F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(1)證明：AE⊥DE；(2)如圖2，過點E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；(3)如圖3，過點E的直線與AB，DC分別相交于點B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點；【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側(cè)，測得AB=DE，AB∥DE，

(1)試說明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是斜邊AB的中點，若CD=3，則AB=【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為°．【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB=．

【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】【例5】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD交AC于點

(1)求證：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由．【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求證：△ABC≌△EDB；(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說明理由．【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個大小不同的等腰直角三角板進行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點A和點D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個三角形板按如圖3的方式擺放，點B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請寫出這些關(guān)系，并說明理由．【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】【例6】（2023春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=．

【變式6-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是網(wǎng)格線的交點），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點三角形的個數(shù)是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網(wǎng)格的格點上．則∠1+∠2=．【變式6-3】（2023春·吉林長春·八年級長春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC=．【題型7全等三角形在新定義中的運用】【例7】（2023春·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=1【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．①如圖2，當∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝DE；②如圖3，當∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為．（2）猜想論證：在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點D、點E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內(nèi)角、四條邊分別對應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，現(xiàn)在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形ABCD．下列四個條件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請根據(jù)上述信息求標語AB的長度為米．

【變式8-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）1805年，法軍在拿破侖的率領(lǐng)下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn).德軍在萊茵河北岸點Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準敵營.聰明的拿破侖站在南岸的點O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面德國軍營Q處，然后他保持原來的觀察姿態(tài)，一步一步后退，一直退到點B處，發(fā)現(xiàn)自己的視線恰好落在他剛剛站立的點O處，讓士兵丈量他所站立的位置B點與O點之間的距離，并下令按照這個距離炮轟德軍.試問：法軍能命中目標嗎？請說明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，點B、O、Q在一條直線上)【變式8-2】（2023春·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)的不同單元樓，他們想要測量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小明在自己家陽臺C處看點E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度．

【變式8-3】（2023春·湖南長沙·八年級湖南師大附中統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB=AD，專題1.6全等三角形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為全等三角形】 1【題型2判定全等三角形的依據(jù)】 3【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】 6【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】 12【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】 16【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】 21【題型7全等三角形在新定義中的運用】 24【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】 33【題型1添加條件使成為全等三角形】【例1】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△CDA的是（

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A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DCA C．BC=AD D．∠B=∠D=90°【答案】A【分析】由已知我們可得到兩個三角形的兩邊相等（其中AC為公共邊），根據(jù)全等三角形的判定即可解答．【詳解】解：∵AB=CD，AC=CA，∴可以添加的條件是：BC=ADSSS，或∠BAC=∠DCASAS或故只有∠BCA=∠DCA仍無法判定△ABC≌△CDA；故選：A．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運會在我國北京舉行，奧運健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運賽場上展現(xiàn)新時代中國運動員的精神風(fēng)貌和競技水平，請你添加一個條件，為奧運健兒設(shè)計一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標明依據(jù)【答案】∠ACB=∠DEFAAS【分析】根據(jù)題意增加條件進行判定即可．【詳解】解：由題意得可以增加的條件為：∠ACB=∠DEF，在△ABC和△DFE中，∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFE∴△ABC≌△DFEAAS故答案為：∠ACB=∠DEFAAS【點睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖?

).A．一邊和這一邊上的高對應(yīng)相等 B．兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等C．兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等 D．直角三角形的斜邊對應(yīng)相等【答案】B【分析】根據(jù)判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分別進行分析．【詳解】解：A、一邊和這邊上的高對應(yīng)相等，無法得出它們?nèi)?，故此選項錯誤；B、兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等，通過如圖所示方式（倍長中線法）可以證明它們?nèi)龋ā鰽BC≌△A′B′C′），故此選項正確.．C、兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，無法利用ASS得出它們?nèi)龋蚀诉x項錯誤；D、直角三角形的斜邊對應(yīng)相等,無法得出它們?nèi)?，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個三角形全等的是（

）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【答案】B【分析】【詳解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS證明△ABC與△DEF全等；B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，對應(yīng)邊不對應(yīng)，不能證明△ABC與△DEF全等；C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA證明△ABC與△DEF全等；D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS證明△ABC與△DEF全等；故選B點睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【題型2判定全等三角形的依據(jù)】【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽光線AC和DE是平行的，在同一時刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽光照射下，其影子一樣長．這里判斷影長相等利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是(

)

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【分析】先根據(jù)題意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進而得【詳解】解：如圖，

，依題意得：AC∥ED，∴∠AGH=∠DKT，在△AGH和△DKT中，∠AGH=∠DKT∠AHG=∠DTK=90°∴△AGH≌△DKTAAS故選：B．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，找出AC∥ED，【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，將兩根鋼條AA'，BB'的中點O釘在一起，使AA'，BB'能繞點O自由轉(zhuǎn)動，就做成一個測量工具，測

A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．斜邊直角邊【答案】A【分析】由O是AA'、BB'的中點，可得：AO=A'O，BO=【詳解】∵O是AA'、∴AO=A'O在△OAB和△OAAO=A∴△OAB≌△OA故選：A．【點睛】此題考查了全等三角形判定方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要證明兩個三角形全等，必須有對應(yīng)邊相等這一條件．【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，某同學(xué)將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第塊去．（填序號）

【答案】③【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的;第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃.應(yīng)帶③去；故答案為：③．【點睛】此題考查了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握常用的幾種方法的靈活運用．【變式2-3】（2023春·浙江臺州·八年級?？计谥校榱藴y量池塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，在地面上找一點C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長線上確定點D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過測量AD的長，得AB的長．那么△ABC≌△ADC的理由是（

）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】A【分析】根據(jù)已知條件可找到兩邊對應(yīng)相等且夾角相等，利用SAS即可證明△ACB≌△ACD,由此即可解決問題．【詳解】解：∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠ACD=90°則在△ACB和△ACD中,AC＝AC∠ACD＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△ADC（SAS）,∴AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,屬于中考?？碱}型．【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明線段或角度相等】【例3】（2023春·四川達州·八年級校考期末）如圖，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？(2)過點C作CE∥BD，過點B作BF∥AC，試判斷【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由見解析(2)∠DCE=∠ABF，理由見解析【分析】（1）根據(jù)SAS，直接可得△ABC≌△DCB；（2）根據(jù)△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下，在△ABC和△DCB中，AB=DC∠ABC=∠DCB∴△ABC≌△DCB（2）∵CE∥BD，∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，∵△ABC≌△DCB，∴∠A=∠D，∴∠DCE=∠ABF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點F，其中∠A=60°．(1)求∠BFC的度數(shù)；(2)求證：DF=EF.【答案】(1)120°(2)見解析【分析】1首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義得到∠DBC+∠ECB的度數(shù)；再次利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BFC的度數(shù)；2結(jié)合1根據(jù)平角定義得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，連接GF，利用SAS可證得△BFE與△BFG全等，則EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可證得△CFG與△CFD全等，則GF=DF，至此即可證得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°?60°=120°，∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC+∠ECB=1∴∠BFC=180°?60°=120°；（2）證明：如圖，在BC上截取BG=BE，連接GF，∵∠BFC=120°，∴∠BFE=∠CFD=60°，∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF，∴△BFE≌△BFGSAS∴∠BFE=∠BFG=60°，F(xiàn)E=FG，∴∠CFG=60°，∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD，∴△CFG≌△CFDASA∴FG=FD，∴DF=EF．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，得到△BFE≌△BFG是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是線段AB上一點，過點A作AE⊥CP交CP延長線于點E，過點B作BF⊥CP于點F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)BF=EF+AE，證明見解析【分析】（1）利用垂線和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可證明△ACE≌△CBF；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出線段AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠E=∠BFC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCF，在△ACE和△CBF中，∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCF∴△ACE≌△CBFAAS（2）解：BF=EF+AE，理由如下：由（1）可知△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴CE=EF+CF=EF+AE=BF，即BF=EF+AE．【點睛】本題考查了垂線，余角，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點(1)證明：AE⊥DE；(2)如圖2，過點E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；(3)如圖3，過點E的直線與AB，DC分別相交于點B，C（B，C在AD的同側(cè)）求證：E為線段BC的中點；【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根據(jù)（2）先證明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可證：EH=EG，則問題得解；（3）在AD上取一點M，使得AM=AB，連接ME，先證明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再證明△DME≌△DCE，即有ME=CE，問題得解．【詳解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AB∥∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠ADE+∠DAE=1∴∠E=180°?∠ADE+∠DAE∴AE⊥DE；（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD，∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=1∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，同理可證：EH=EG，∴EF=EG=EH；（3）在AD上取一點M，使得AM=AB，連接ME，如圖，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∵AE=AE，AM=AB，∴△AME≌△ABE，∴ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°?∠AED=90°，∴∠DEM=∠DEC，∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC∴△DME≌△DCE，∴ME=CE，∴ME=BE=CE，∴E為線段BC的中點．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長度或角的度數(shù)】【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側(cè)，測得AB=DE，AB∥DE，

(1)試說明：△ABC≌(2)若BE=10m，BF=3m，求【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BC=EF，則BF=CE=3m，即可求得FC=BE?BF?CE=4【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠ABC=∠DEF在△ABC和△DEF中∠A=∠D∴△ABC≌△DEFASA（2）∵△ABC≌∴BC=EF∴BC?FC=EF?FC，即BF=CE∵BE=10m，∴BF=CE=3cm∴FC=4【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠ABC=∠DEF是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是斜邊AB的中點，若CD=3，則AB=【答案】6【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，利用三角形全等的判定與性質(zhì)得到AB=2CD即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作出Rt△ABC，連接CD并延長，使DE=CD，連接BE

∵點D是斜邊AB的中點，∴AD=BD，在△ADC和△BDE中，AD=BD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△BDESAS∴AC=EB,∠A=∠ABE，∴AC∥EB，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=90°，在△ACB和△EBC中，AC=BE∠ACB=∠EBC=90°∴△ACB≌△EBCSAS∴AB=CE=2CD,∵CD=3,∴AB=2×3=6，故答案為：6．【點睛】本題考查利用三角形全等的判定與性質(zhì)求線段長，涉及倍長中線方法作輔助線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級陜西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為°．【答案】130【分析】先判斷出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，從而利用三角形內(nèi)角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度數(shù)．【詳解】∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠DAC=∠EBC由三角形內(nèi)角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB∴∠ACB=∠AHB=50°∴∠AHE=180°?∠AHB=130°故答案為：130．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能求出△ACD≌△BCE是解此題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB=．

【答案】6【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，證明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再證明△DEF≌△DEC，得CD=DF，進而可求出AB的長；方法二：延長DE、AB交于點G，證明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再證明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，進而可求出AB【詳解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△ABE≌△AFE∴BE=EF，∠BEA=∠AEF又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90°∴∠DEC=∠FED∵E是邊BC的中點，∴CE=BE=FE∵ED=ED∴△DEF≌△DEC∴CD=DFAD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18∴AB=6方法二：延長DE、AB交于點G

∵AE平分∠BAD且∠AED=90°∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90°∵AE=AE∴△AEG≌△AED∴AG=AD=18，ED=EG∵BE=CE，∠BEG=∠DEC∴△BEG≌△CED∴BG=CD=2AB∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18∴AB=6【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．【題型5利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段之間的位置關(guān)系】【例5】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD交AC于點

(1)求證：ΔBAD≌(2)猜想BD,CE有何特殊位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)BD⊥CE，理由見解析．【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔAB=AC∠BAD=∠CAE∴Δ（2）猜想：BD⊥CE，理由如下：由（1）知ΔBAD≌∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∴∠BDC=180∴BD⊥CE．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求證：△ABC≌△EDB；(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC∥BD，理由見解析【分析】（1）運用SSS證明即可；（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得結(jié)論．【詳解】（1）在ΔABC和ΔBD=BCBE=AC∴ΔABC?ΔEDB（2）AC和BD的位置關(guān)系是AC∥BD，理由如下：∵Δ∴∠DBE=∠BCA，∴AC∥BD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，見解析【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，BP=AC∠ABD=∠ACQ∴△APB≌△QAC（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，∵∠CQA+∠QAE＝90°，∴∠BAP+∠QAE＝90°．即AP⊥AQ．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組拿了兩個大小不同的等腰直角三角板進行拼擺，并探究擺放后所構(gòu)成的圖形之間的關(guān)系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點A和點D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個三角形板按如圖3的方式擺放，點B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，請寫出這些關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)BE=CF，BE⊥CF，理由見解析．【分析】（1）證明△BAE≌△CAF，即可得證；（2）證明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，進而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°?∠EAC，∠CAF=90°?∠EAC，∴∠BAE=∠CAF．在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴BE=CF．（2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下：∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF(SAS∴∠ABE=∠ACF,BE=CF．∵∠ABE+∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∴BE⊥CF．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．【題型6全等三角形在網(wǎng)格中的運用】【例6】（2023春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=．

【答案】180°【分析】根據(jù)三角形全等求出∠1和∠4的數(shù)量關(guān)系以及∠2和∠3的數(shù)量關(guān)系，即可求出四個角之和．【詳解】解：如圖所示，在Rt△ABC中和Rt△BED中，∴△ABC≌△DBESAS∴∠4=∠BED，∵∠1+∠BED=90°，∴∠1+∠4=90°．同理可證：∠2+∠3=90°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．故答案為：180°．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三角形全等的性質(zhì)以及觀察圖形分析出相等的邊長和角度．【變式6-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是網(wǎng)格線的交點），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點三角形的個數(shù)是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出全等三角形即可．【詳解】解：如圖所示，以BC為公共邊的全等三角形有三個分別為△A1BC，△以AB為公共邊的全等三角形有一個為△ABC∴共有4個三角形與△ABC有一條公共邊且全等．故選：B．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網(wǎng)格的格點上．則∠1+∠2=．【答案】45°【分析】通過證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB=EF∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案為：45°【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·吉林長春·八年級長春市第八十七中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC=．【答案】90°【分析】證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)AB與CD相交于點F，在△DCE和△ABD中，∵{CE=BD=1∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案為：90度．【點睛】本題網(wǎng)格型問題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定及直角三角形各角的關(guān)系，本題構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵．【題型7全等三角形在新定義中的運用】【例7】（2023春·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，設(shè)CD，BE相交于點O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=1【答案】（1）平行四邊形，等腰梯形，矩形等；（2）與∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四邊形BDEC是等對邊四邊形；（3）存在等對邊四邊形，是四邊形BDEC，見解析．【分析】（1）本題理解等對邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形，矩形就是；（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對邊四邊形；（3）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點，易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對邊四邊形．【詳解】解：（1）如：平行四邊形，等腰梯形，矩形等．（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=1∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，∴與∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），猜想：四邊形BDEC是等對邊四邊形，（3）存在等對邊四邊形，是四邊形BDEC，證明：如圖作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延長線于F，在△BCF和△CBG中，∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGB∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，∴∠BDF=∠BEC，在△BDF和△CEG中，∠BDF＝∠CEB∴△BDF≌△CEG（AAS），∴BD＝CE∴四邊形BDEC是等對邊四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解等對邊四邊形的定義，把證明BD＝CE的問題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題．【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．①如圖2，當∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM＝DE；②如圖3，當∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為．（2）猜想論證：在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】（1）①AM＝12DE；②3；（2）AM＝1【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性質(zhì)可得BC=DE，即可求解；②由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解；（2）過點A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAN=12∠DAE，ND=1【詳解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；∴∠EAD=90°∵AB=AC，∠BAC＝90°∴△ABC為等腰直角三角形∵AM⊥BC∴AM=12在△ABC與△AED中，∵{∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC=ED∴AM＝12②∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；∴∠EAD=60°∵AD=AE∴△AED為等邊三角形即：ED=AE=6∴AB=AC=AE=6∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC∴∠ABM=30°∴AM＝12（2）猜想：結(jié)論AM＝12理由如下：如圖，過點A作AN⊥ED于N∵AE＝AD，AN⊥ED∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝1同理可得：∠CAM＝12∵∠DAE+∠CAB＝180°，∴∠DAN+∠CAM＝90°，∵∠CAM+∠C＝90°∴∠DAN＝∠C，∵AM⊥BC∴∠AMC＝∠AND＝90°在△AND與△AMC中，{∴△AND≌△AMC（AAS），∴ND＝AM∴AM＝12【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解題意，運用“頂補等腰三角形”的定義解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點D、點E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關(guān)系嗎？請說明理由【答案】(1)①=，②=(2)BD=CE，見解析【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結(jié)論；再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再結(jié)合“SAS”即可得到△BAD≌【詳解】（1）①∠BAD=∠CAE；∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE；②BD=CE；在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．（2）滿足以上關(guān)系證明：如圖②，∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題目信息識別出來全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內(nèi)角、四條邊分別對應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，現(xiàn)在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形ABCD．下列四個條件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【答案】（1）①②④；（2）選④，證明見解析【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）符合要求的條件是①②④，當選擇①A=A時，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，∵BAD=BAD，∴BADBAC=BADBAC，∴DAC=DAC，在△ACD和△ACD中，{∠DAC=∠DAC∴△ACD≌△ACD(ASA)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當選擇②D=D時，證明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，∵D=D，在△ACD和△ACD中，{∠D=∠D∴△ACD≌△ACD(AAS)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當選擇③AD=AD時，在△ACD和△ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，不符合全等的條件，不能得到△ACD≌△ACD；（2）選④CD=CD，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，{AB=AB∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，在△ACD和△ACD中，{AC=AC∴△ACD≌△ACD(SAS)，∴D=D'，DAC=DAC，DA=DA，∴BACDAC=BACDAC，即BAD=BAD，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD．【點睛】本題考查了多邊形的全等，全等三角形的判定和性質(zhì)，多邊形的全等可以通過作輔助線轉(zhuǎn)化為證明三角形全等問題．關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【題型8全等三角形的實際應(yīng)用】【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）小明沿