北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題1.2矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題1.2矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】 1【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長】 2【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】 3【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標】 4【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】 5【題型6添加條件使四邊形是矩形】 7【題型7證明四邊形是矩形】 8【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】 9【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長】 10【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】 12【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】 13【知識點1矩形的性質(zhì)】定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】【例1】（2023春·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E．若∠DAE:∠BAE=3:1，則∠EAC的度數(shù)是（

）

A．45° B．36° C．22.5° D．18°【變式1-1】（2023春·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為______.

【變式1-2】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG，點E在AD上，延長DA交GF于點H.(1)求證：△ABE?△FEH；(2)連接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度數(shù)．【變式1-3】（2023春·廣西南寧·九年級南寧二中?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M為邊BC上的一個動點，線段AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AN，連接MN，DN.當線段DN的長度最小時，∠MND的度數(shù)為______．

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長】【例2】（2023春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點Р滿足3S△PAB=S?ABCD，則點Р到A、

A．29 B．34 C．52 D．【變式2-1】（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點P在對角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接

(1)求證：△PDQ是等腰三角形；(2)求CQ和BQ的長．【變式2-2】（2023春·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片ABCD沿過點C的直線MN折疊，恰使得點B落在邊AD的中點E處，且AE=1，則矩形的邊AB的長度為(

)A．1 B．2 C．3 D．2【變式2-3】（2023春·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=2AB．點E在邊AD上，點F在邊BC上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則ED的長是________．

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC的長為4，則矩形ABCD的面積為（

）

A．23 B．43 C．8【變式3-1】（2023春·江蘇·九年級期中）如圖，過矩形ABCD對角線AC上一點E作MN∥AD，分別交AB和CD于點M和N，連接BE,DE，已知CN=2,ME=6，則△END和A．10 B．12 C．14 D．16【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的周長為24cm，兩條對角線相交于點O，過點O作BD的垂線EF，分別交BC、AD于點E、F，連接BF，且AF=3cm，則矩形ABCD的面積為（

A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2【變式3-3】（2023春·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，EF=1，OE=2，BD=43，則矩形ABCD【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標】【例4】（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCO是矩形，其中點A和點C分別在x軸和y軸上，連接AC，點B的坐標為12?，???5，∠CAO的平分線與y軸相交于點D，則

【變式4-1】（2023春·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，AC＝6，則點A的坐標是____．【變式4-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，平面直角坐標系中，長方形OABC，點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，OA=6，OC=3，∠DOE=45°，OD，OE分別交BC，AB于點D，E，且CD=2，則點E坐標為______．【變式4-3】（2023春·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸，y軸上，OA=OB=2，AD=42，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（

A．(4,6) B．(6,4) C．(?6,4) D．(?4,6)【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·湖北孝感·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊DC上，AE=AB，過點B作BF⊥AE，垂足為F．

(1)求證：BF=BC；(2)若AD=1，AF=2，求四邊形BCEF的面積．【變式5-1】（2023春·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點O，∠BAC的角平分線交BD于點E．

(1)尺規(guī)作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點F，連接AF，(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴，AB∥CD．∴．∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．∴∠EAO=12∠BAO∴．∵在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AEO≌△CFOASA∴．又∵AO=CO．∴四邊形AECF是平行四邊形（的四邊形是平行四邊形）．（填判定依據(jù)）【變式5-2】（2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且DE∥

(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若AB=1，BC=2，請直接寫出菱形【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接CE，F(xiàn)為CE中點，連接BF并延長交CD于G，N在AD邊上，且∠DGN=∠BGC．

(1)求證：GF+GN=BF；(2)連接BN，若∠BNG=90°，求證：【知識點2矩形的判定方法】①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.【題型6添加條件使四邊形是矩形】【例6】（2023春·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）在□ABCD中，AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是(

)A．AC⊥BD； B．∠OAB=∠OAD； C．BA=BO； D．OB=OC．【變式6-1】（2023春·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是______．（填寫一個即可）

【變式6-2】（2023春·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在四過形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．若再添加一個條件，不能推出四邊形ABCD是矩形的是（

）A．BC=3CD B．∠A=90° C．AD=BC 【變式6-3】（2023春·北京西城·九年級北京四中?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，只需添加一個條件，即可證明四邊形EFCH是矩形，這個條件可以是______（寫出一個即可）．【題型7證明四邊形是矩形】【例7】（2023春·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于點E．

(1)尺規(guī)作圖：作∠CBD的平分線交CD于點F．(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：DE=BF．(3)在前面2問的基礎(chǔ)上，若AD=BD，求證：四邊形DEBF是矩形．【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點F，延長CB至點E，且BE=CF,DE=AF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

【變式7-2】（2023春·全國·九年級期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是OC上一點，點F在BE延長線上，且EF=BE，EF與CD交于點G．

(1)求證：DF∥(2)連接DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中點，求證：四邊形CFDE是矩形．【變式7-3】（2023春·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別為OB、OD的中點．(1)求證：△ABE?△CDF；(2)延長AE至G，使EG=AE，連接CG，延長CF，交AD于點P，當AC=2AB時，試判斷四邊形EGCF是什么特殊的四邊形，并說明理由．【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】【例8】（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；【變式8-1】（2023春·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【變式8-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當θ＝_____°時，GC＝GB．【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E為BC的中點，直線FG經(jīng)過點E，DG⊥FG于點G，BF⊥FG于點F．（1）如圖1，當∠BEF＝70°時，求證：DG＝BF；（2）如圖2，當∠BEF≠70°時，若BC＝DC，DG＝BF，請直接寫出∠BEF的度數(shù)；（3）當DG－BF的值最大時，直接寫出∠BEF的度數(shù)．【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長】【例9】（2023春·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線BD中點．過O點的直線與矩形的一組對邊AB，CD分別相交于點F，E．(1)求證：OE=OF；(2)點B'與B關(guān)于直線EF對稱，連接BE①求證：DB'∥OE；②若AB=8，BC=4，且四邊形OEB'D是平行四邊形，求線段【變式9-1】（2023春·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的長．【變式9-2】（2023春·北京·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，且BC=2AF．(1)求證：四邊形ADFE為矩形；(2)若∠C=30°，AF=2，寫出矩形ADFE的周長．【變式9-3】（2023春·廣東廣州·九年級鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP

（1）請在圖1和圖2中任意選擇一個，證明：AP（2）應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD=2，【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】【例10】（2023春·河北保定·九年級?？计谥校┚匦蜛BCD的邊BC上有一動點E，連接AE、DE，以AE、DE為邊作平行四邊形AEDF．在點E從點B移動到點C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【變式10-1】（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣修遠中學(xué)?？计谀┤鐖D，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A、C重合，過點P分別作邊AB、AD的平行線，交兩組對邊于點E、F和G、H．四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形并且面積分別為S1，S2，則S1，S2之間的關(guān)系為__________．【變式10-2】（2023春·北京西城·九年級?？计谥校┤鐖D，菱形ABCD中，分別延長DC，BC至點E，F(xiàn)，使CE=CD，CF=CB，連接DB，BE，EF，F(xiàn)D.(1)求證：四邊形DBEF是矩形；(2)若AB=4，∠A=60°，求矩形DBEF的面積.【變式10-3】（2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點E、G分別是正方形ABCD的AD、BC邊的中點，點F、H在對角線BD上．若四邊形EFGH是矩形，則S矩形EFGH【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】【例11】（2023春·重慶九龍坡·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）

A．62° B．64° C．66° D．68°【變式11-1】（2023春·廣東韶關(guān)·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，點D為斜邊AB上的一點，連接CD，將△BCD沿CD翻折，使點B落在點E處，點F為直角邊AC上一點，連接DF，將△ADF沿DF翻折，點A恰好與點E重合．若AD=5，則AFA．1 B．3 C．32 D．【變式11-2】（2023春·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D專題1.2矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】 1【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長】 6【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】 11【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標】 14【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】 19【題型6添加條件使四邊形是矩形】 26【題型7證明四邊形是矩形】 29【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】 34【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長】 41【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】 47【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】 52【知識點1矩形的性質(zhì)】定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】【例1】（2023春·貴州遵義·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E．若∠DAE:∠BAE=3:1，則∠EAC的度數(shù)是（

）

A．45° B．36° C．22.5° D．18°【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=90°,OA=OD，繼而得到∠OAD=∠ODA，再求出∠DAE=67.5°，∠OAD=22.5°，即可求出∠EAC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°,OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠DAE:∠BAE=3:1，∴∠DAE=3∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠OAD=∠ODA=22.5°，∴∠EAC=67.5°?22.5°=45°．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為______.

【答案】63°【分析】根據(jù)題意可知AE∥BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°等量代換求出∠EAB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出【詳解】解：如圖：

∵AE∥BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，∵AB∥CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故答案為：63°．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．【變式1-2】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG，點E在AD上，延長DA交GF于點H.(1)求證：△ABE?△FEH；(2)連接BH，若∠EBC=30°，求∠ABH的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)15°．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB=DC，∠BAE=∠D=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出FE=DC，∠EFH=∠D=90°，再證明△ABE?△FEHAAS（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠HEB=∠EBC=30°，由全等三角形的性質(zhì)得出∠EHB=∠EBH=1【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠BAE=∠D=90°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：FE=DC，∠EFH=∠D=90°，∴AB=FE，∠BAE=∠EFH，∵在矩形BEFG中，GF∥BE，∴∠AEB=∠FHE，在△ABE和△FEH中，∠AEB=∠FHE∠BAE=∠EFH∴△ABE?△FEHAAS（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠HEB=∠EBC=30°，∵△ABE?△FEH，∴BE=EH，∴∠EHB=∠EBH=1∵∠BAH=90°，∴∠ABH=90°?∠EHB=15°，即∠ABH的度數(shù)為15°．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出全等是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·廣西南寧·九年級南寧二中?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M為邊BC上的一個動點，線段AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AN，連接MN，DN.當線段DN的長度最小時，∠MND的度數(shù)為______．

【答案】75°【分析】線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接EN交AD于G，連接DN，首先證明△ABM≌△AEMSAS，可得∠AEN=∠B=90°，則當DN⊥EN時，DN的長度最小，然后設(shè)EG=a，AD=2b，則AB=AE=b，求出AE=EN=b，可得△AEN是等腰直角三角形，再證明△AMN是等邊三角形，求出∠ENM=15°，進而可求∠MND【詳解】解：如圖，線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接EN交AD于G，連接DN，則AB=AE，∠BAE=60°，∵線段AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AN，∴AM=AN，∠MAN=60°，又∵∠BAM=∠BAE?∠MAE=60°?∠MAE=∠EAM，∴△ABM≌△AEMSAS∴∠AEN=∠B=90°，∴當DN⊥EN時，DN的長度最小，設(shè)EG=a，AD=2b，則AB=AE=b，∵∠BAE=60°，∴∠EAG=30°，∴AG=2EG=2a，∴DG=AD?AG=2b?2a，∵∠AGE=90°?∠EAG=60°，∴∠NGD=∠AGE=60°，∴∠NDG=30°，∴NG=1∴EN=EG+NG=a+b?a=b，∴AE=EN，∴△AEN是等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∵AM=AN，∠MAN=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴∠ANM=60°，∴∠ENM=60°?45°=15°，∵DN⊥EN，即∠END=90°，∴∠MND=∠END?∠ENM=90°?15°=75°，故答案為：75°．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出當DN⊥EN時，DN的長度最小是解答本題的關(guān)鍵．【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長】【例2】（2023春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點Р滿足3S△PAB=S?ABCD，則點Р到A、

A．29 B．34 C．52 D．【答案】D【分析】首先由3S△PAB=S?ABCD，得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．然后在直角三角形【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．

設(shè)△ABP中AB邊上的高是?．∵3S∴3×1∵AD=3，∴?=2∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4∴BE=A即PA+PB的最小值為41．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì)．得出動點P所在的位置是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點P在對角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接

(1)求證：△PDQ是等腰三角形；(2)求CQ和BQ的長．【答案】(1)見解析(2)CQ=3，BQ=3【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠BPA，由矩形的性質(zhì)可得AB∥CD,AB=CD=5,AD=BC=12即∠BAP=∠PQD，進而得到∠DPQ=∠PQD，有等角對等邊可得（2）由矩形的性質(zhì)可得∠BCD=90°,運用勾股定理可得BD=13，然后根據(jù)線段的和差可得CQ=3；最后在Rt△BCQ【詳解】（1）證明：∵BP=BA，∴∠BAP=∠BPA，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠BAP=∠PQD，

∵∠BPA=∠DPQ，∴∠DPQ=∠PQD，

∴PD=PQ，∴△PDQ是等腰三角形．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°,∴DC∴52∴BD=13，

∵BP=BA=5，∴PD=DQ=8，∴CQ=3；

∵∠BCQ=90°，∴CQ∴32+12【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片ABCD沿過點C的直線MN折疊，恰使得點B落在邊AD的中點E處，且AE=1，則矩形的邊AB的長度為(

)A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，根據(jù)中點的定義得出BC=AD=2AE=2，AE=DE，利用SAS證明△BAE≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，可得【詳解】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，∵點E為AD的中點，AE=1，∴BC=AD=2AE=2，AE=DE，在△BAE和△CDE中，AE=DE∠A=∠D∴△BAE≌∴BE=CE，由折疊的性質(zhì)得，BC=EC，∴BE=BC=2，∴AB=B【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=2AB．點E在邊AD上，點F在邊BC上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則ED的長是________．

【答案】3【分析】連接EF交AC于點O，連接EC，首先根據(jù)題意證明出△AOE≌△COFAAS，進而得到AE=CE，然后設(shè)ED=x，則AE=CE=4?x，在Rt【詳解】如圖所示，連接EF交AC于點O，連接EC，

∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∵四邊形EGFH是菱形∴OE=OF∴△AOE≌△COF∴AE=CF∵AC⊥EF∴CE=CF∴AE=CE∵AB=2，BC=2AB=4∵四邊形ABCD是矩形∴CD=AB=2，AD=BC=4∴設(shè)ED=x，則AE=CE=4?x∴在Rt△CDE中，∴x∴解得x=∴ED的長是32故答案為：32【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·河南三門峽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC的長為4，則矩形ABCD的面積為（

）

A．23 B．43 C．8【答案】B【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分，以及∠AOB=60°，可得△AOB是等邊三角形，進而在△ABC中可得∠ACB=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得BC=23【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB,∠ABC=90°，∵∠AOB=60°,AC=4，∴△AOB是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴在△ABC中，∠ACB=30°，∴AB=1∴BC=23∴矩形ABCD的面積是AB×BC=2×23【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)判定，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·江蘇·九年級期中）如圖，過矩形ABCD對角線AC上一點E作MN∥AD，分別交AB和CD于點M和N，連接BE,DE，已知CN=2,ME=6，則△END和A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】作EG⊥BC于G，交AD于F，根據(jù)矩形的對角線平分矩形面積的性質(zhì)得到△BEM的面積等于△DEN，然后求解即可．【詳解】解：作EG⊥BC于G，交AD于F．則有四邊形BGEM，四邊形CNEG，四邊形AMEF，四邊形DFEN都是矩形，∴SΔBME∴S∴∵BM=CN=2，ME=6，∴S∴△END和△BEM的面積和=6+6=12，【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，正確添加輔助線以及利用矩形對角線平分矩形面積得到△BEM的面積等于△DEN是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的周長為24cm，兩條對角線相交于點O，過點O作BD的垂線EF，分別交BC、AD于點E、F，連接BF，且AF=3cm，則矩形ABCD的面積為（

A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可證EF為線段BD的垂直平分線，即得出BF=DF．再根據(jù)矩形ABCD的周長為24cm，可求出AB+AD=12cm．設(shè)BF=DF=xcm，則AB=9?xcm．在Rt△BAF中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴OB=OD，∠BAF=90°，∵EF⊥BD，∴EF為線段BD的垂直平分線，∴BF=DF．∵矩形ABCD的周長為24cm，∴AB+AD=12cm設(shè)BF=DF=xcm，則AB=12?AD=12?AF?DF=∵在Rt△BAF中，A∴9?x2解得：x=5，∴AB=9?5=4cm，AD=3+5=8∴矩形ABCD的面積為4×8=32cm故選C．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．證明EF為線段BD的垂直平分線，得出BF=DF是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，EF=1，OE=2，BD=43，則矩形ABCD【答案】12【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可求出OD和OA的長度，SΔAOE=12AO×OE，SΔDOE=【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴OD=OB=OA=OC=12∵EF⊥BD，OE⊥AC∴SΔSΔ∴SΔ∵四邊形ABCD為矩形，∴矩形ABCD的面積=4×S故答案為：12【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練地掌握矩形對角線互相平分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標】【例4】（2023春·安徽黃山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCO是矩形，其中點A和點C分別在x軸和y軸上，連接AC，點B的坐標為12?，???5，∠CAO的平分線與y軸相交于點D，則

【答案】0,【分析】利用勾股定理求出AC=13，作DE⊥AC于點E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DO，證明Rt△ADO≌Rt△ADEHL，推出AE=AO=12，得到【詳解】解：∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標為12?，???∴OA=12,OC=5,∠AOC=90°，∴AC=5作DE⊥AC于點E，如圖，∵DA是∠CAO的平分線，∴DE=DO，∵AD=AD，∴Rt△ADO≌∴AE=AO=12，∴CE=13?12=1，設(shè)OD=DE=m，則CD=5?m，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理可得：CE即1+m2=∴D點的坐標為0,12故答案為：0,12

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，AC＝6，則點A的坐標是____．【答案】（92，3【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠AOC＝90°，由平行線的性質(zhì)得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA，再求出OD、AD，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵AC∥x軸，∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，∵AC＝6，∴OC＝12AC∴OA＝3OC＝33，∴OD＝12OA＝3∴AD＝3OD＝92∴點A的坐標是（92，3故答案為：（92，3【點睛】考核知識點：矩形性質(zhì)．理解矩形性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州草橋中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，平面直角坐標系中，長方形OABC，點A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，OA=6，OC=3，∠DOE=45°，OD，OE分別交BC，AB于點D，E，且CD=2，則點E坐標為______．【答案】6【分析】過點E作EF⊥OD，過點F作FN⊥OC，并延長NF交AB延長線于點M，設(shè)MF=ON=x，根據(jù)三角形全等得到EM=FN=6?x，則F(x,6?x)，求出直線OD解析式，代入點F(x,6?x)求出x，即可求解．【詳解】解：過點E作EF⊥OD，過點F作FN⊥OC，并延長NF交AB延長線于點M，如下圖：則∠EFO=∠FNO=90°，∴∠OFN+∠EFM=90°，∠OFN+∠FON=90°∴∠FON=∠EFM在矩形OABC中，AB//OC，OA=BC=6，OC=AB=3∴∠M=∠FNO=90°∴四邊形BCNM為矩形∴MN=BC=6，CD//MN，BM=CN∴AM=ON∵∠DOE=45°∴△EFO為等腰直角三角形，EF=OF∴△FON≌△EFM∴MF=ON，EM=FN設(shè)MF=ON=x，則EM=FN=6?x，F(xiàn)(x,6?x)設(shè)直線OD解析式為y=kx由題意可知D(3,2)，代入y=kx得，3k=2，解得k=2又∵點F(x,6?x)在直線OD上，∴6?x=解得x=185∴AE=AM?EM=∴點E坐標為6故答案為6【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，作出合適的輔助線，利用有關(guān)性質(zhì)求解．【變式4-3】（2023春·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸，y軸上，OA=OB=2，AD=42，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（

A．(4,6) B．(6,4) C．(?6,4) D．(?4,6)【答案】D【分析】過點D作DE⊥x軸于點E，連接OD，根據(jù)已知條件求出點D的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出前4次旋轉(zhuǎn)后點D的坐標，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而求出第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標．【詳解】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E，連接OD，∵OA=OB=2，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABC=90°，∴∠DAE=45°，∵BC=AD=42∴AE=DE=4，∴OE=OA+AE=6，∴D(?6,4)，∵矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為(4,6)；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為(6,?4)；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為(?4,?6)；則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為(?6,4)；…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，∴2021÷4=505??1，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為(4,6)．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·湖北孝感·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊DC上，AE=AB，過點B作BF⊥AE，垂足為F．

(1)求證：BF=BC；(2)若AD=1，AF=2，求四邊形BCEF的面積．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得AD=BC，由“AAS”證明△ADE≌△BFA，得到AD=BF，從而即可得證；（2）由（1）得，△ADE≌△BFA，從而得到AD=BF=1，DE=AF=2，由勾股定理可得AB=5【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴∠BAF=∠DEA，∵BF⊥AE，∴∠AFB=∠D=90°，在△ADE和△BFA中，∠D=∠AFB∠DEA=∠FAB∴△ADE≌△BFAAAS∴AD=BF，∴BF=BC；（2）解：由（1）得，△ADE≌△BFA，∴AD=BF=1，∴AB=A∴=AD?AB?=1×=5【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點O，∠BAC的角平分線交BD于點E．

(1)尺規(guī)作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點F，連接AF，(2)求證：四邊形AECF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是矩形∴，AB∥CD．∴．∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．∴∠EAO=12∠BAO∴．∵在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AEO≌△CFOASA∴．又∵AO=CO．∴四邊形AECF是平行四邊形（的四邊形是平行四邊形）．（填判定依據(jù)）【答案】(1)作圖見解析(2)AO=CO，∠BAO=∠DCO，∠FCO=12∠DCO，∠EAO=∠FCO【分析】（1）如圖，以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC、DC分別于M、N，以M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧交點為P，連接CP交BD于F，CP即為∠ACD的平分線，連接AF，（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，并利用ASA證明△AEO≌△CFOASA【詳解】（1）解：作圖如下：

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO，AB∥CD．∴∠BAO=∠DCO．∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．∴∠EAO=12∠BAO∴∠EAO=∠FCO．∵在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AEO≌△CFOASA∴EO=FO．又∵AO=CO．∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．（填判定依據(jù)），故答案為：AO=CO，∠BAO=∠DCO，∠FCO=12∠DCO，∠EAO=∠FCO【點睛】本題考查了作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-2】（2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且DE∥

(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若AB=1，BC=2，請直接寫出菱形【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到四邊形OCED是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)中位線定理得到OF=1【詳解】（1）證明：∵DE∥∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD,CO=1∴CO=DO，∴四邊形OCED是菱形；（2）解：連接OE，交CD于點F，∵四邊形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF=EF=1∵四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥CD，∴OE∥∵點O是BD的中點，∴OF是△BCD的中位線，∴OF=1∵AB=1，∴CD=1，OF=1，∴EO=2OF=2，∴S菱形

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，中位線定理，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接CE，F(xiàn)為CE中點，連接BF并延長交CD于G，N在AD邊上，且∠DGN=∠BGC．

(1)求證：GF+GN=BF；(2)連接BN，若∠BNG=90°，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)得到FH=BF即可解答；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)及中位線的定理得到△NGD?△HGD，再根據(jù)中點的定義及角的和差關(guān)系即可解答；【詳解】（1）解：延長BG、AD交于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GDH=90∵∠DGN=∠BGC，∴∠DGH=∠BGC=∠NGD，∵DG=DG，∴△NGD?△HGD，∴GN=GH，∵AD∥∴∠AHB=∠CBH，∵∠EFH=∠CFB，EF=CF，∴△EFH?△CFB，∴FH=BF，∵FH=GF+GH，∴BF=GF+GN，

（2）設(shè)∠NGB=2α，則∠NGD=∠BGC=90∵∠GNB=90∴∠NBG=90°?2α∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥∴∠ABG=∠CGB=90∴∠NBA=∠ABG?∠NBG=α，連接DF，如圖，

由（1）知DH=DN，F(xiàn)H=FB，∴DF∥∴∠EDF=∠ANB=90在Rt△CDE∵F是CE的中點，∴DF=EF，∴∠CED=∠EDF=90∴∠ECD=α，∵∠BGC=90∴∠CFG=90∴BG⊥CE【知識點2矩形的判定方法】①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.【題型6添加條件使四邊形是矩形】【例6】（2023春·上海黃浦·九年級統(tǒng)考期末）在□ABCD中，AC與BD相交于點O，要使四邊形ABCD是矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是(

)A．AC⊥BD； B．∠OAB=∠OAD； C．BA=BO； D．OB=OC．【答案】D【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形得出即可．【詳解】解：添加選項D：OB=OC，理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=1∵OB=OC，∴AC=BD，∴?ABCD為矩形，補充其他選項推導(dǎo)：A選項，AC⊥BD，對角線互相垂直，可以證明?ABCD為菱形，但不能證明?ABCD為矩形，不符合題意；B選項、∠OAB=∠OAD，對角線BD平分內(nèi)角∠BAD，可以證明?ABCD為菱形，但不能證明?ABCD為矩形，不符合題意；C選項，不能證明?ABCD為矩形，不符合題意．故選D．【點睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．【變式6-1】（2023春·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個條件使四邊形BEDF是矩形，則該條件可以是______．（填寫一個即可）

【答案】BD=EF（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：BD=EF，理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO?AE=CO?CE．即EO=FO．∴四邊形BEDF為平行四邊形，∵BD=EF，∴四邊形BEDF是矩形．故答案為：BD=EF（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·河北保定·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在四過形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°．若再添加一個條件，不能推出四邊形ABCD是矩形的是（

）A．BC=3CD B．∠A=90° C．AD=BC 【答案】D【分析】A、根據(jù)條件不能確定∠BAD的度數(shù)，所以添加此條件，不能推出四邊形ABCD是矩形；B、先根據(jù)兩組對邊分別平行證明其是平行四邊形，再由有一個角是直角的平行四邊形，可得矩形；C、先根據(jù)一組對邊平行且相等可得其是平行四邊形，再由有一個角是直角的平行四邊形，可得矩形；D、直接根據(jù)兩組對邊分別平行證明其是平行四邊形，再由有一個角是直角的平行四邊形，可得矩形．【詳解】解：A、如圖1，連接BD，∵AD∥BC，∠D=90°，BC=3∴∠C=90°，∴BD=B∴∠DBC=30°，如圖1所示，點A不確定，∠BAD不一定等于90°，可以組成矩形，也可以組成其他四邊形，∴添加選項A的條件不能推出四邊形ABCD是矩形；B、如圖2，∵∠D=90°，∠A=90°，∴∠A+∠D=180°，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴添加選項B的條件可以推出四邊形ABCD是矩形；C、∵AD∥BC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴添加選項C的條件可以推出四邊形ABCD是矩形；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴添加選項D的條件可以推出四邊形ABCD是矩形．【點睛】本題考查矩形的判定，涉及平行四邊形的判定，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)等知識點．熟練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵，常運用“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”這一方法來判定．【變式6-3】（2023春·北京西城·九年級北京四中?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，只需添加一個條件，即可證明四邊形EFCH是矩形，這個條件可以是______（寫出一個即可）．【答案】∠EFG=90°（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角形中位線定理可以證明四邊形EFCH是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理：有一個角等于90°的平行四邊形為矩形，添加條件即可．【詳解】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，∴HG∥AC，EF∥AC，且HG=12∴HG=EF，且HG∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，當∠EFG=90°時，則四邊形EFCH是矩形．【點睛】本題考查三角形中位線定理，矩形的判定定理，平行四邊形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，矩形的判定定理．【題型7證明四邊形是矩形】【例7】（2023春·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于點E．

(1)尺規(guī)作圖：作∠CBD的平分線交CD于點F．(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：DE=BF．(3)在前面2問的基礎(chǔ)上，若AD=BD，求證：四邊形DEBF是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）作角∠DBC的角平分線BF，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，則∠ADB=∠CBD，根據(jù)角平分線的的定義∠ADE=∠CBF，進而證明△ADE≌△CBFASA（3）由（1）同理可得：∠BDE=∠DBF，則DE∥BF，又由（1）得：DE=BF，可得四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)AD=BD，DE平分∠ADB，可得【詳解】（1）如圖所示，BF為所求；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C∴∠ADB=∠CBD∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD∴∠ADE=∠CBF∴△ADE≌△CBF∴DE=BF（3）由（1）同理可得：∠BDE=∠DBF∴DE又由（1）得：DE=BF∴四邊形DEBF是平行四邊形∵AD=BD，DE平分∠ADB∴DE⊥AB，∠DEB=90°∴平行四邊形DEBF是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，作角平分線，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點F，延長CB至點E，且BE=CF,DE=AF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

【答案】見解析【分析】先證明△ABF≌△DCESSS，得到∠ABF=∠DCE=90°【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+BC=CF+BC，即BF=CE．在?ABCD中，∴AB∥CD,AB=CD．∵AB=CDBF=CE∴△ABF≌△DCESSS∴∠ABF=∠DCE．∵∠ABF+∠DCE=180°，∴∠ABF=∠DCE=90°，∴?ABCD是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國·九年級期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是OC上一點，點F在BE延長線上，且EF=BE，EF與CD交于點G．

(1)求證：DF∥(2)連接DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中點，求證：四邊形CFDE是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用平行四邊形對角線的性質(zhì)得：OB=OD，再根據(jù)題意得到OE為△BDF的中位線，利用三角形中位線性質(zhì)即可求證；（2）由（1）知DF∥AC得∠FDC=∠GCE，根據(jù)題意證明【詳解】（1）證明：∵?ABCD對角線AC、BD交于點O，∴OB=OD，∵EF=BE，∴OE為△BDF的中位線，∴DF∥（2）如圖，連接DE、FC，

∵DF∥∴∠FDC=∠GCE，∵G是CD的中點，∴GD=GC，在△DFG和△CEG中，∠DGF=∠CGEDG=CG∴△DFG?△CEGASA∴EC=DF，∴四邊形CFDE是平行四邊形，∵BF=2AB，AB=CD，∴BF=2CD，∵EF=BE，∴BF=2EF，∴EF=CD，∴四邊形CFDE是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定及平行四邊形的性質(zhì)運用是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別為OB、OD的中點．(1)求證：△ABE?△CDF；(2)延長AE至G，使EG=AE，連接CG，延長CF，交AD于點P，當AC=2AB時，試判斷四邊形EGCF是什么特殊的四邊形，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)矩形，理由見解析【分析】（1）采用邊角邊證明三角形全等的方法即可證明；（2）先根據(jù)條件證明四邊形EGCF是平行四邊形，然后再根據(jù)等腰三角形中三線合一，可證明四邊形EGCF一個角是直角，從而說明四邊形EGCF是矩形．【詳解】（1）證明：在?ABCD中，AB=CD，AB∥CD，OB=OD，∴∠ABE=∠CDB，∵點E、F分別為OB、OD的中點，∴BE=1在△ABE和△CDF中，∵AB=CD∠ABE=∠CDF∴△ABE?△CDFSAS．（2）解：矩形，理由如下，∵△ABE?△CDF，∴AE=CF，∠BAE=∠DCF，∵EG=AE，∴CF=EG，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵∠CAE=∠CAB?∠BAE，∠ACP=∠ACD?∠DCF，∴∠CAE=∠ACP∴AG∥CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵AC=2AB=2OC，∴OC=AB=CD，△OCD是等腰三角形∵F為OD的中點，∴CF⊥OD，∴?EGCF是矩形【點睛】本題考查了三角形全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，等腰三角形判定，三線合一等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】【例8】（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；【答案】（1）證明見解析；（2）135°．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=90°，再根據(jù)矩形的判定即可得證；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD,∠BCD=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得CD=CE,∠CDE=45°，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得OC=CD,∠COD=60°，從而可得OC=CE,∠OCE=30°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠COE=75°，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵AD//∴∠BAD=180°?∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD,∠BCD=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=45°，∴Rt△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∵∠BDE=15°，∴∠ODC=∠BDE+∠CDE=60°，∴△COD是等邊三角形，∴OC=CD,∠COD=∠OCD=60°，∴OC=CE,∠OCE=∠BCD?∠OCD=30°，∴∠COE=∠OEC=1∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠OAE＝15°，①求證：DA＝DO＝DE；②直接寫出∠DOE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②75°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再證AC=BD，即可得出結(jié)論；（2）①先證明△ADE是等腰直角三角形，再證得∠DAO=60°，即可得出結(jié)論；②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，AD＝BC∴四邊形ABCD是平行四邊形

∴BD＝2OB

∵AC＝2OB∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形（2）①證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO

∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝45°

∴∠DEA＝45∴DA＝DE

又∵∠OAE＝15°∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°

∴DA＝DO＝AO∴DA＝DO＝DE

②解：∵∠ADC=90°,∠ADO=60°，∴∠BDC=∠ADC?∠ADO=30°∵DE=DO，∴∠DOE=∠DEO=1【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，當θ＝_____°時，GC＝GB．【答案】60或300【分析】當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG＝60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù)．【詳解】解：當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當點G在AD右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝60°；②當點G在AD左側(cè)時，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角θ＝360°﹣60°＝300°．故答案為60或300【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°．E為BC的中點，直線FG經(jīng)過點E，DG⊥FG于點G，BF⊥FG于點F．（1）如圖1，當∠BEF＝70°時，求證：DG＝BF；（2）如圖2，當∠BEF≠70°時，若BC＝DC，DG＝BF，請直接寫出∠BEF的度數(shù)；（3）當DG－BF的值最大時，直接寫出∠BEF的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BEF=35°；（3）∠BEF=20°．【分析】（1）過C點作CH⊥FG于點F，證明△BFE≌△CHE，可得CH=BF，再證明四邊形CHGD為矩形，即可得GD=CH=BF；（2）過C點作CH⊥FG于點F,證明△CHM≌△DGM，CM=DM，再結(jié)合BC＝DC，可得EC=MC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得出相應(yīng)角度；（3）結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，根據(jù)運動軌跡分析可知當DG≥CD時，∴DG－BF=DG-GM=MD≤CD，且當G在DC的延長線上時等號成立，由此可得結(jié)論．【詳解】解：（1）過C點作CH⊥FG于點F,∵CH⊥FG，DG⊥FG，BF⊥FG，∴∠DGH=∠CHE=∠CHM=∠BFE=90°，∵E為BC的中點，∴BE=EC，又∵∠BEF=∠CEH∴△BFE≌△CHE（AAS）∴CH=BF，∵∠BEF＝70°∴∠CEH=70°，∵∠C＝110°，∴FG//DC，∴∠CHE=∠HCD=∠DGH=∠GDC=90°，∴四邊形CHGD為矩形，∴GD=CH=BF；（2）如下圖所示，過C點作CH⊥FG于點F,與（1）同理可證CH=BF，∠DGH=∠CHM=90°，BE=EC，∵DG＝BF，∴CH=DG，又∵∠CME=∠DMG，∴△CHM≌△DGM∴CM=DM，∵BC＝DC，∴EC=MC，∵∠C＝110°，∴∠CEM=∠CME=35°，∴∠BEF＝∠CEM=35°；（3）當DG<CD時，DG-BF<CD，當DG≥CD時，如下圖，過C點作CH⊥FG于點F,過點C作CM⊥DG于M，∵DG⊥FG，CH⊥FG，CM⊥DG∴∠DGH=∠CHG=∠CMG=90°，∴CH=GM，由（1）得CH=BF，∴DG－BF=DG-GM=MD≤CD，且當G在DC的延長線上時等號成立，此時如下圖，∠BEF=∠CEG=∠BCD-∠G=110°-90°=20°．【點睛】本題考查全等三角形綜合，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等．能正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決（1）（2）的關(guān)鍵；（3）中能正確分析運動軌跡是解題關(guān)鍵．【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長】【例9】（2023春·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對角線BD中點．過O點的直線與矩形的一組對邊AB，CD分別相交于點F，E．(1)求證：OE=OF；(2)點B'與B關(guān)于直線EF對稱，連接BE①求證：DB'∥OE；②若AB=8，BC=4，且四邊形OEB'D是平行四邊形，求線段【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②線段EF長4【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AB∥CD，OD=OB，證明（2）①由點B'與B關(guān)于直線EF對稱，可得OB'=OB，∠EOB'=∠EOB，則OB'=OD，∠ODB'=∠OB'D，由∠BOB'=∠ODB'+∠OB'D，∠BOB'=∠EO【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ODE=∠OBF，∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOFASA∴OE=OF；（2）①證明：∵點B'與B關(guān)于直線EF∴OB∴OB∴∠ODB∵∠BOB'=∠OD∴∠EOB∴DB②解：∵AB=8，∴BD=A∵四邊形OEB'D是平行四邊形，∴B'E=DO=1在Rt△BCE中，由勾股定理得CE=∴BF=DE=CD?CE=6，如圖，過點E作EH⊥AB于點H，則四邊形BCEH是矩形，∴FH=FB?BH=FB?CE=4，在Rt△EFH中，由勾股定理得EF=∴線段EF長42【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等邊對等角，翻折的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式9-1】（2023春·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的長．【答案】（1）證明見解析；（2）43【分析】（1）由?ABCD得到OA=OC，OB=OD，由OA=OB，得到；OA=OB=OC=OD，對角線平分且相等的四邊形是矩形，即可推出結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)借用勾股定理即可求得AB的長度．【詳解】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，OA=OC=12AC，OB=OD=1又∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OD．又∵∠AOD=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴OD=AD=4，∴BD=2OD=8，在Rt△ABD中，AB=BD【變式9-2】（2023春·北京·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，且BC=2AF．(1)求證：四邊形ADFE為矩形；(2)若∠C=30°，AF=2，寫出矩形ADFE的周長．【答案】(1)見解析(2)矩形ADFE的周長=2【分析】（1）連接DE．根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得四邊形ADFE為平行四邊形，然后再證明DE=AF即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得BF=CF=AF=2，即BC=4,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得AB,進而求得AD；再根據(jù)勾股定理求得AC，進而求得AE；最后求矩形ADFE的周長即可．（1）證明：連接DE．∵E，F(xiàn)分別是邊AC，BC的中點，∴EF//AB，EF=1∵點D是邊AB的中點，∴AD=1∴AD=EF．∴四邊形ADFE為平行四邊形；由點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE=1∵BC=2AF，∴DE=AF，∴四邊形ADFE為矩形．（2）解：∵AF=2，∴BC=4，CF=2，∵四邊形ADFE為矩形，∴∠BAC=∠FEC=90°，∵∠C=30°，∴AB=12BC∴AC=4∵點D、E分別是邊AB、AC的中點∴EF=1，AE=3∴矩形ADFE的周長=2EF+AE【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·廣東廣州·九年級鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP

（1）請在圖1和圖2中任意選擇一個，證明：AP（2）應(yīng)用新知：如圖3，在△ABC中，CA=4，CB=6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD=2，【答案】（1）見解析；（2）AB的最小值為43【分析】（1）如圖1，當點P在矩形ABCD內(nèi)部時，過P作PM⊥AD于M，交BC于N，四邊形ABNM、四邊形DCNM是矩形，得AM=BN，AB=MN=DC，（2）作出如圖的輔助線，則易得四邊形ADBE為矩形，可得AB=DE，于是求AB的最小值就轉(zhuǎn)化為求DE的最小值，由題意中的結(jié)論知CA2+CB2=CD2+CE2【詳解】證明：（1）如圖1，當點P在矩形ABCD內(nèi)部時，過P作PM⊥AD于M，交BC于N，

則四邊形ABNM、四邊形DCNM是矩形，∴AM=BN，由勾股定理得：AP2=A∴AP2+C∴AP如圖2，當點P在矩形ABCD外部時，過P作PM⊥AD于M，交BC于N，

則四邊形ABNM、四邊形DCNM是矩形，∴AM=BN，由勾股定理得：AP2=A∴AP2+C∴AP（2）解：過點A作AE⊥AD，過點B作BE⊥BD，AE與BE交于點E，連接DE、CE，如圖，

則四邊形ADBE為矩形，∴AB=DE，由題意中的結(jié)論知：CA2+C解得：CE=43在△CDE中，由三角形的三邊關(guān)系可得：DE>CE?CD，∴當C、D、E三點共線時，DE=CE?CD，此時DE取最小值為43即AB的最小值為43【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及最小值等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】【例10】（2023春·河北保定·九年級?？计谥校┚匦蜛BCD的邊BC上有一動點E，連接AE、DE，以AE、DE為邊作平行四邊形AEDF．在點E從點B移動到點C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【分析】過點E作EG⊥AD于G，證四邊形ABEG是矩形，得出EG＝AB，S?AEDF【詳解】解：過點E作EG⊥AD于G，如圖所示：則∠AGE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴S?AEDF即?AEDF的面積保持不變，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出?AEDF的面積＝矩形ABCD的面積，是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣修遠中學(xué)?？计谀┤鐖D，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A、C重合，過點P分別作邊AB、AD的平行線，交兩組對邊于點E、F和G、H．四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形并且面積分別為S1，S2，則S1，S2之間的關(guān)系為__________．【答案】S1=S2【分析】由矩形的性質(zhì)找出∠D=∠B=90°，結(jié)合對邊互