新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類第7講解析幾何(2022-2023年高考真題)(原卷版+解析)

第7講解析幾何（2022-2023年高考真題）一．選擇題1．（2023?乙卷）設(shè)為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為，則直線的傾斜角不大于的概率為A． B． C． D．2．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．73．（2023?甲卷）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．54．（2023?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．5．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．6．（2023?乙卷）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是A． B． C． D．7．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．8．（2023?上海）已知，是曲線上兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得曲線上任意一點(diǎn)都存在使得，則稱曲線是“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立9．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．10．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．11．（2023?新高考Ⅰ）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．12．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．13．（2022?甲卷）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．14．（2022?北京）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則A． B． C．1 D．15．（2022?甲卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則的方程為A． B． C． D．二．多選題16．（2023?新高考Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形17．（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．18．（2022?新高考Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，點(diǎn)．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．19．（2022?乙卷）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．三．填空題20．（2023?乙卷）已知點(diǎn)在拋物線上，則到的準(zhǔn)線的距離為．21．（2023?天津）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為．22．（2023?上海）已知圓的面積為，則．23．（2023?新高考Ⅱ）已知直線與交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的的一個(gè)值．24．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為．25．（2022?天津）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則．26．（2022?浙江）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，且．若，則雙曲線的離心率是．27．（2022?甲卷）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．28．（2022?乙卷）過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．29．（2022?北京）已知雙曲線的漸近線方程為，則．30．（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，且，，則的方程為．31．（2022?甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．32．（2022?新高考Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是．33．（2022?新高考Ⅰ）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．34．（2022?新高考Ⅰ）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．四．解答題35．（2023?乙卷）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．36．（2023?天津）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，．右焦點(diǎn)為，已知，．（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．37．（2023?新高考Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．38．（2023?新高考Ⅱ）雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．（1）求的方程；（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．39．（2022?天津）橢圓的右焦點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，與軸相交于異于．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．40．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點(diǎn)為，在上，左、右焦點(diǎn)分別為，、，．（1），中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與軸交于，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，在中有一內(nèi)角余弦值為，求；（3）在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為，使，隨的變化，求的最小值．41．（2022?浙江）如圖，已知橢圓．設(shè)，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（Ⅱ）求的最小值．42．（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．43．（2022?北京）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求的值．44．（2022?新高考Ⅱ）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求的方程；（2）過的直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，，，在上，且，．過且斜率為的直線與過且斜率為的直線交于點(diǎn)．從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．第7講解析幾何（2022-2023年高考真題）一．選擇題1．（2023?乙卷）設(shè)為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為，則直線的傾斜角不大于的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，為第一象限與第三象限的角平分線，根據(jù)題意可得構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，而直線的傾斜角不大于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所求概率為．故選：．2．（2023?乙卷）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】根據(jù)題意，，即，其幾何意義是以為圓心，半徑為3的圓，設(shè)，變形可得，其幾何意義為直線，直線與圓有公共點(diǎn)，則有，解可得，故的最大值為．故選：．3．（2023?甲卷）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿足，可得，又由橢圓，其中，則有，，可得，故選：．4．（2023?天津）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因?yàn)檫^作一條漸近線的垂線，垂足為，則，所以①，聯(lián)立，可得，，即，，因?yàn)橹本€的斜率，整理得②，①②聯(lián)立得，，，故雙曲線方程為．故選：．5．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．6．（2023?乙卷）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)，，，，中點(diǎn)為，，，①②得，即，即或．故選：．7．（2023?乙卷）已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設(shè)，則，根據(jù)題意可得：，，又，當(dāng)，，時(shí)，取得最大值．故選：．8．（2023?上海）已知，是曲線上兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得曲線上任意一點(diǎn)都存在使得，則稱曲線是“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】【解析】橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的點(diǎn)，使得成立，故①正確，在雙曲線中，，而是個(gè)固定值，則無法對(duì)任意的，都存在，使得，故②錯(cuò)誤．故選：．9．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．10．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓可得，，，橢圓的離心率分別為，，，，，或（舍去）．故選：．11．（2023?新高考Ⅰ）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【答案】【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．12．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和，直線與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．【答案】【解析】記直線與軸交于，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，，由△面積是△的2倍，可得，，解得或，或，或，聯(lián)立可得，，直線與相交，所以△，解得，不符合題意，故．故選：．13．（2022?甲卷）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設(shè)，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．14．（2022?北京）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則A． B． C．1 D．【答案】【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，直線是圓的一條對(duì)稱軸，圓心在直線上，可得，即．故選：．15．（2022?甲卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為，則，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：，，則橢圓方程為．故選：．二．多選題16．（2023?新高考Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【答案】【解析】直線過拋物線的焦點(diǎn)，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于，兩點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程可得：，，所以，所以不正確；，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)：，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正確．故選：．17．（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．【答案】【解析】點(diǎn)在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故直線與拋物線相切，選項(xiàng)正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)的分析，不妨設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯(lián)立，消去并整理可得，則，，，，由于等號(hào)在時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．18．（2022?新高考Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，點(diǎn)．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．【答案】【解析】如圖，，，，且，，，由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，則，則，，，故正確；，，，故錯(cuò)誤；，故正確；，，，，，，，，均為銳角，可得，故正確．故選：．19．（2022?乙卷）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)過的切線與圓相切于點(diǎn)，則，，又，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，則，所以，由雙曲線的定義可知，所以，可得，即，所以的離心率．情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，如圖，記切點(diǎn)為，連接，則，，過作于，則，因?yàn)?，所以，，，即，所以，正確．故選：．三．填空題20．（2023?乙卷）已知點(diǎn)在拋物線上，則到的準(zhǔn)線的距離為．【答案】．【解析】點(diǎn)在拋物線上，則，解得，由拋物線的定義可知，到的準(zhǔn)線的距離為．故答案為：．21．（2023?天津）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】6．【解析】如圖，由題意，不妨設(shè)直線方程為，即，由圓的圓心到的距離為，得，解得，則直線方程為，聯(lián)立，得或，即．可得，解得．故答案為：6．22．（2023?上海）已知圓的面積為，則．【答案】．【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的面積為，圓的半徑為1，，．故答案為：．23．（2023?新高考Ⅱ）已知直線與交于，兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的的一個(gè)值．由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，可得，解得，設(shè)所以，可得，，或，或，圓心眼到直線的距離或，或，解得或．故答案為：2（或或或．24．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為．（法一）如圖，設(shè)，，，設(shè)，則，又，則，可得，又，且，則，化簡(jiǎn)得．又點(diǎn)在上，則，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，設(shè)，由對(duì)稱性可得，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，則．故答案為：．25．（2022?天津）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則．【答案】2．【解析】圓心到直線的距離，又直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，，，解得．故答案為：2．26．（2022?浙江）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】．【解析】（法一）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由于，且，則點(diǎn)在漸近線上，不妨設(shè)，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，即，則，，又，則，又，則，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，．（法二）由，解得，又，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入方程中，解得，所以，代入雙曲線方程中，可得，所以．故答案為：．27．（2022?甲卷）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【答案】．【解析】由點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由于點(diǎn)和均在上，圓的半徑為，求得，可得半徑為，圓心，故的方程為，故答案為：．28．（2022?乙卷）過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，即，解得，，，所以過點(diǎn)，，圓的方程為．同理可得，過點(diǎn)，，圓的方程為．過點(diǎn)，，圓的方程為．過點(diǎn)，，圓的方程為．故答案為：（或或或．29．（2022?北京）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】．【解析】雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，雙曲線的漸近線方程，又雙曲線的漸近線方程為，所以，解得．故答案為：．30．（2022?新高考Ⅱ）已知直線與橢圓在第一象限交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，且，，則的方程為．【答案】．【解析】設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，由，，相減可得：，則，設(shè)直線的方程為：，，，，，，，，，，解得，，，化為：．，，解得．的方程為，即，故答案為：．31．（2022?甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】．【解析】雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑1，雙曲線的漸近線與圓相切，，解得，舍去．故答案為：．32．（2022?新高考Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】，．【解析】點(diǎn)，，，所以直線關(guān)于對(duì)稱的直線的斜率為：，所以對(duì)稱直線方程為：，即：，的圓心，半徑為1，所以，得，解得，．故答案為：，．33．（2022?新高考Ⅰ）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】（填，都正確）．【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，如圖：，兩圓外切，由圖可知，與兩圓都相切的直線有三條．，的斜率為，設(shè)直線，即，由，解得（負(fù)值舍去），則；由圖可知，；與關(guān)于直線對(duì)稱，聯(lián)立，解得與的一個(gè)交點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，則，解得對(duì)稱點(diǎn)為，．，則，即．與圓和都相切的一條直線的方程為：（填，都正確）．故答案為：（填，都正確）．34．（2022?新高考Ⅰ）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13．【解析】橢圓的離心率為，不妨可設(shè)橢圓，，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，△為等邊三角形，過且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，設(shè)直線方程為，，，，，將其與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，解得，的周長(zhǎng)等價(jià)于．故答案為：13．四．解答題35．（2023?乙卷）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【解析】（1）由題意，，解得．橢圓的方程為；證明：（2）如圖，要使過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的斜率存在且小于0，設(shè)，即，，，，，，聯(lián)立，得．△．，，直線，取，得；直線，取，得．．的中點(diǎn)為，為定點(diǎn)．36．（2023?天津）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，．右焦點(diǎn)為，已知，．（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；（Ⅱ）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若△的面積是△面積的二倍，求直線的方程．【解析】（Ⅰ）由題意可知，，解得，．則橢圓方程為，橢圓的離心率為；（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，當(dāng)時(shí)，直線方程為，取，得．聯(lián)立，得．△，，得，則．．．，即，得；同理求得當(dāng)時(shí)，．直線的方程為．37．（2023?新高考Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合幾何條件即可得出的方程．（2）首先利用平移性，化簡(jiǎn)的方程可簡(jiǎn)化計(jì)算，核心是把兩鄰邊的和用其他方式表示出來．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，兩邊平方可得：，化簡(jiǎn)得：，符合題意．故的方程為．（2）解法一：不妨設(shè)，，三點(diǎn)在上，且．設(shè)，，，則，．由題意，，即，顯然，于是．此時(shí)，．．于是，．不妨設(shè)，則，則．設(shè)，則，即，又．顯然，為最小值點(diǎn)．故，故矩形的周長(zhǎng)為．注意這里有兩個(gè)取等條件，一個(gè)是，另一個(gè)是，這顯然是無法同時(shí)取到的，所以等號(hào)不成立，命題得證．解法二：不妨設(shè)，，在拋物線上，不在拋物線上，欲證命題為．由圖象的平移可知，將拋物線看作不影響問題的證明．設(shè)，，平移坐標(biāo)系使為坐標(biāo)原點(diǎn)，則新拋物線方程為，寫為極坐標(biāo)方程，即，即．欲證明的結(jié)論為，也即．不妨設(shè)，將不等式左邊看成關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，其最小值當(dāng)即時(shí)取得，因此欲證不等式為，即，根據(jù)均值不等式，有，由題意，等號(hào)不成立，故原命題得證．38．（2023?新高考Ⅱ）雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為．（1）求的方程；（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于，證明在定直線上．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)出直線的方程，并與雙曲線聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理，推得，，設(shè)出，直線方程，再聯(lián)立方程，即可求解．【詳解】（1）雙曲線中心為原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，，離心率為，則，解得，故雙曲線的方程為；（2）證明：過點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，則可設(shè)直線的方程為，，，，，記的左，右頂點(diǎn)分別為，，則，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得，，故△且，，，直線的方程為，直線方程，故，故，解得，所以，故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．39．（2022?天津）橢圓的右焦點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，與軸相交于異于．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1），，，，，；（2）由（1）可知橢圓為，即，設(shè)直線，聯(lián)立，消去可得：，又直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，△，，又，，又，，解得，，又的面積為，，，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．40．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點(diǎn)為，在上，左、右焦點(diǎn)分別為，、，．（1），中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與軸交于，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，在中有一內(nèi)角余弦值為，求；（3）在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為，使，隨的變化，求的最小值．【解析】（1）由題意可得，，的中點(diǎn)在軸上，的縱坐標(biāo)為，代入得．（2）由直線方程可知，①若，則，即，，．②若，則，，，，．即，，，綜上或．（3）設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式可得，很明顯橢圓在直線的左下方，則，即，，，據(jù)此可得，，整理可得，即，從而．即的最小值為．41．（2022?浙江）如圖，已知橢圓．設(shè)，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線，分別交直線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（Ⅱ）求的最小值．【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，則，，，而函數(shù)的對(duì)稱軸為，則其最大值為，，即點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為；（Ⅱ）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程有，消去并整理可得，，由韋達(dá)定理可得，，，設(shè)，，，，直線，直線，聯(lián)立以及，可得，由弦長(zhǎng)公式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為．42．（2022?新高考Ⅰ）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡(jiǎn)得：，故，即，而直線不過點(diǎn)，故；（2）設(shè)直線的傾斜角為，由，，得由，，得，即，聯(lián)立，及得，同理，故，而，由，得，故．43．（202