公考數(shù)量關(guān)系算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

公考數(shù)量關(guān)系算術(shù)基礎(chǔ)知識(shí)本章主要講解奇偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、公約數(shù)和公倍數(shù)等基礎(chǔ)的算術(shù)知識(shí)，部分知識(shí)在考試中會(huì)直接考查，比如質(zhì)數(shù)與合數(shù)；部分知識(shí)是掌握各種解題技巧和各種題型的基礎(chǔ)，比如整除的知識(shí)；還有些知識(shí)是快速解題（即所謂的秒殺）的重要突破口，比如奇偶數(shù)的知識(shí)。第一節(jié)奇偶數(shù)一、概念如果一個(gè)整數(shù)除以2，余數(shù)為0，那么這個(gè)整數(shù)就是偶數(shù)，比如2、4、6都是偶數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)除以2，余數(shù)不為0，那么這個(gè)整數(shù)就是奇數(shù)，比如1、3、5都是奇數(shù)。注意：奇數(shù)和偶數(shù)必須是整數(shù)。特別注意：因?yàn)?除2的余數(shù)為0，所以0是偶數(shù)。二、奇偶律奇數(shù)和偶數(shù)相加、相減、相乘時(shí)，存在一定的規(guī)律，具體如下表。規(guī)律示例奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)奇數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個(gè)數(shù)相加減時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)或者都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是偶數(shù)；如果這兩個(gè)數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)。1（奇數(shù)）+1（奇數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）-1（奇數(shù)）=0（偶數(shù)）；2（偶數(shù)）+6（偶數(shù)）=8（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）+2（偶數(shù)）=3（奇偶）；1（奇數(shù)）-0（偶數(shù)）=1（奇數(shù)）；奇偶偶數(shù)奇奇奇數(shù)偶偶偶數(shù)規(guī)律總結(jié)：兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，那么結(jié)果一定是奇數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，另一個(gè)數(shù)無(wú)論是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果一定是偶數(shù)。1（奇數(shù)）2（偶數(shù)）=2（偶數(shù)）；1（奇數(shù)）1（奇數(shù)）=1（奇數(shù)）；2（偶數(shù)）2（偶數(shù)）=4（偶數(shù)）；三、奇偶數(shù)在考試中的應(yīng)用奇偶數(shù)的知識(shí)在考試中經(jīng)常用于題目的快速求解，尤其是奇偶律用于秒殺題目有時(shí)非常有效。具體應(yīng)用情況如下。1.用于方程的快速求解如果題干當(dāng)中存在方程或者根據(jù)題干能列出方程，但是這些方程求解起來(lái)較慢或者較困難，那么就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)，結(jié)合選項(xiàng)給出的數(shù)字，進(jìn)行快速求解。注意：用奇偶數(shù)的知識(shí)求解方程，必須保證方程中的未知數(shù)都是整數(shù)！【例1】（2015年真題）每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹(shù)活動(dòng)。已知去A地每人往返車費(fèi)20元，人均植樹(shù)5棵；去B地每人往返車費(fèi)30元，人均植樹(shù)3棵。設(shè)到A地員工有x人，A、B兩地共植樹(shù)y棵，y與x之間滿足y=8x-15，若往返車費(fèi)總和不超過(guò)3000元，那么，最多可植樹(shù)多少棵?A.498B.400C.489D.500解析：題目最終求的是“最多可植樹(shù)多少棵”，而根據(jù)題干條件“A、B兩地共植樹(shù)y棵”，可知植樹(shù)的棵數(shù)最多為y棵，且y=8x-15，并且未知數(shù)x和y都是整數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)要解這個(gè)方程是比較困難的，所以考慮結(jié)合選項(xiàng)使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行快速求解。根據(jù)奇偶性，8x中8是偶數(shù)，所以8x一定是偶數(shù)；8x-15中15為奇數(shù)，所以8x-15為奇數(shù)；所以最多可植的棵數(shù)y是一個(gè)奇數(shù)。選項(xiàng)中只有C項(xiàng)是奇數(shù)。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題如果用傳統(tǒng)的方法求解速度可能較慢，但如果使用奇偶數(shù)的知識(shí)，尤其奇偶律，題目的解答達(dá)到了秒殺的效果?！纠?】（補(bǔ)充例題）某國(guó)對(duì)居民收入實(shí)行下列稅率方案：每人每月不超過(guò)3000美元的部分（包括3000美元）按照1%稅率征收，超過(guò)3000美元不超過(guò)6000美元的部分（包括6000美元）按照x%稅率征收，超過(guò)6000美元的部分按y%稅率征收(x，y為整數(shù))。假設(shè)該國(guó)某居民月收入為6500美元，支付了120美元所得稅，則y為多少?A.6B.3C.5D.7解析：根據(jù)題目可列出方程：3000×1%+3000×x%+500×y%=120?；?jiǎn)方程可得：6x+y=18。x、y都是整數(shù)。但是方程求解很困難，所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)。因6x中6為偶數(shù)，所以6x一定為偶數(shù)；y=18-6x中18是偶數(shù)，所以18-6x也是偶數(shù)，排除B、C、D，選擇A。點(diǎn)評(píng)：很多題目都會(huì)存在列出方程，但因?yàn)轭}干條件不夠充分，導(dǎo)致方程求解很困難。這時(shí)，如果方程中的未知量x、y、z等是整數(shù)，就可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行求解。2.如果題目中的條件基本上是關(guān)于某些量的和、差、平均，比如“甲與乙的和是...”、“甲與乙的差是...”、“甲和乙一共是...”、“甲比乙多（少）...”、“甲、乙、丙的平均值是...”。而且題目最后求的是其中某個(gè)量或者某幾個(gè)量的和、差。對(duì)于這種情況的題目，也可以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解?！纠?】（補(bǔ)充例題）四年級(jí)有4個(gè)班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問(wèn)這四個(gè)班共有多少人？A．177B．178C．264D．265解析：由“不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”可知題目條件基本上是關(guān)于人數(shù)的和、差，且最后求的是人數(shù)的和。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。因?yàn)椤耙?、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人”，設(shè)甲、丁兩班的人數(shù)為x，甲、乙、丙、丁四個(gè)班總?cè)藬?shù)為2x-1,根據(jù)奇偶律，四個(gè)班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是奇數(shù)，排除B、C兩項(xiàng)，又因?yàn)椤安凰慵装嗥溆嗳齻€(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人”，而131+134=265，其中重復(fù)計(jì)算了乙丙兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)，所以總?cè)藬?shù)≠265，排除D項(xiàng)。正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)奇偶數(shù)的知識(shí)，尤其奇偶律，對(duì)于解決題目條件基本是關(guān)于和、差的數(shù)學(xué)運(yùn)算題有時(shí)候非常奏效?！纠?】（補(bǔ)充例題）小王參加了五門百分制的測(cè)驗(yàn)，每門成績(jī)都是整數(shù)。其中語(yǔ)文94分，數(shù)學(xué)的得分最高，外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學(xué)的得分比外語(yǔ)多2分，并且是五門中第二高的得分。問(wèn)小王的物理考了多少分（）A．94B．95C．96D．97解析：由“外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分，物理的得分等于五門的平均分，化學(xué)的得分比外語(yǔ)多2分”可知題目條件基本上是關(guān)于整數(shù)的平均值、差，且最后求解的是其中某個(gè)人的分?jǐn)?shù)。所以考慮使用奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解。因?yàn)椤罢Z(yǔ)文94分，外語(yǔ)的得分等于語(yǔ)文和物理的平均分”,所以物理得分=2×外語(yǔ)得分-語(yǔ)文得分，因?yàn)?×外語(yǔ)得分為偶數(shù)，語(yǔ)文得分94為偶數(shù)，所以物理得分為偶數(shù)，排除B項(xiàng)和D項(xiàng)；又因?yàn)椤皵?shù)學(xué)的得分最高、化學(xué)得分第二高，物理得分等于五門的平均分”，所以物理得分不可能等于語(yǔ)文得分，即94分，所以排除A項(xiàng)。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題中，如果物理得分等于94分，那么外語(yǔ)得分也為94分，則五門成績(jī)的平均分大于94分，而五門成績(jī)的平均分就是物理得分，前后矛盾，所以A項(xiàng)是錯(cuò)誤的。通過(guò)本題我們發(fā)現(xiàn)，題目條件基本是關(guān)于平均值、差的情況，通過(guò)奇偶數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解還是比較快的。第二節(jié)質(zhì)數(shù)、合數(shù)一、概念質(zhì)數(shù)：一個(gè)整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，則為質(zhì)數(shù)。比如5=1x5，所以5只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，5是質(zhì)數(shù)。合數(shù)：一個(gè)整數(shù)，如果除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)則為合數(shù)。比如6=1x6=2x3，所以6除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有2和3兩個(gè)因數(shù)，6是合數(shù)。二、性質(zhì)1.偶數(shù)中只有2是質(zhì)數(shù)，其它全是合數(shù)。2.1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。3.0是自然數(shù)。三、質(zhì)因數(shù)分解任何一個(gè)合數(shù)（比如30）都能分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式（比如30=2x3x5），這些質(zhì)數(shù)（2、3、5）稱為這個(gè)數(shù)（30）的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)過(guò)程稱為質(zhì)因數(shù)分解。質(zhì)因數(shù)分解可以通過(guò)短除法來(lái)實(shí)現(xiàn)，其基本步驟是：從最小的質(zhì)數(shù)2開(kāi)始，去除要分解的數(shù)，直到不能除盡，然后換更大的質(zhì)數(shù)繼續(xù)進(jìn)行，直到得到一個(gè)質(zhì)數(shù)為止。舉例如下：462=2x3x7x11462=2x3x7x11四、質(zhì)數(shù)與合數(shù)在考試中的應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的相關(guān)知識(shí)一般會(huì)在考試中作為知識(shí)點(diǎn)直接考查?！纠?】（補(bǔ)充例題）一個(gè)質(zhì)數(shù)的3倍與另一個(gè)質(zhì)數(shù)的2倍之和等于20，那么這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是多少？A.9B.8C.7D.6解析：由題可設(shè)兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別為x和y，則可得3x+2y=20。根據(jù)奇偶律可知，和為20，則3x和2y必然是偶數(shù)，3x為偶數(shù)那么x必然是偶數(shù)，2y是偶數(shù)y可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，又因?yàn)閤和y都是質(zhì)數(shù)，所以x既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，則x必然等于2，則y等于7。所以正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)作為直接考查的知識(shí)點(diǎn)，考生一定要清楚什么是質(zhì)數(shù)什么是合數(shù)。否則遇到題干中提到質(zhì)數(shù)、合數(shù)的情況會(huì)難以入手?！纠?】（補(bǔ)充例題）設(shè)有三個(gè)自然數(shù)，分別是一位數(shù)、兩位數(shù)和三位數(shù)，這三個(gè)數(shù)的乘積為2004，則三數(shù)之和為()。A.100B.180C.179D.178解析：因?yàn)?004是三個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果，要求這三個(gè)數(shù)的和，首先得知道這三個(gè)數(shù)分別為多少。所以應(yīng)用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的知識(shí)，對(duì)2004進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，2004=2×2×3×167。因?yàn)槌藬?shù)中有一個(gè)是兩位數(shù)，所以這個(gè)兩位數(shù)2×2×3=12，則一位數(shù)和三位數(shù)分別是1和167，2004=1×12×167。所以三個(gè)數(shù)之和為1+12+167=180。故正確答案為B。點(diǎn)評(píng)：本題考查了質(zhì)因數(shù)分解，考生一定要清楚，質(zhì)因數(shù)分解要說(shuō)明的是任何一個(gè)合數(shù)（比如本題中的2004）都可以分解成多個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。第三節(jié)公約數(shù)和公倍數(shù)一、最大公約數(shù)12除以2的余數(shù)等于0，我們就說(shuō)2就是12的約數(shù)，同時(shí)，2也是18的約數(shù)，則2就是12和18公共的約數(shù)，簡(jiǎn)稱公約數(shù)。同時(shí)，3、6也是12和18的公約數(shù)。在12和18的所有公約數(shù)中，最大的那個(gè)公約數(shù)即最大公約數(shù)。求兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的最大公約數(shù)一般使用短除法，下面舉例說(shuō)明其求解過(guò)程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進(jìn)行除法，直到所得的兩個(gè)商互質(zhì)。最大公約數(shù)等于所有除數(shù)之積。所以12和18的最大公約數(shù)為：2x3=6?；ベ|(zhì)：1是任何整數(shù)的約數(shù)，則1是任意兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)沒(méi)有比1大的公約數(shù)時(shí)，就稱這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，比如3和8兩個(gè)數(shù)就是互質(zhì)的。二、最小公倍數(shù)6是2的倍數(shù)，6也是3的倍數(shù)，則6是2和3的一個(gè)公共倍數(shù)，簡(jiǎn)稱公倍數(shù)。同時(shí)，12、18、24也是2和3的公倍數(shù)，即2和3有無(wú)限多個(gè)公倍數(shù)，其中最小的那個(gè)公共倍數(shù)即最小公倍數(shù)。求兩個(gè)或者兩個(gè)以上數(shù)的最小公倍數(shù)一般也使用短除法，下面舉例說(shuō)明其求解過(guò)程。用你能發(fā)現(xiàn)的公約數(shù)去作除數(shù)，進(jìn)行除法，直到所得的兩個(gè)商互質(zhì)。最小公倍數(shù)等于所有除數(shù)及最后的商相乘之積。所以56和70的最小公倍數(shù)為：2x7x4x5=280。三、公約數(shù)與公倍數(shù)在考試中的應(yīng)用公約數(shù)與公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)一般會(huì)作為知識(shí)點(diǎn)在考試中直接考查?！纠?】（2011年真題）有甲、乙、丙三輛公交車于上午8:00同時(shí)從公交總站出發(fā)，三輛車再次回到公交總站所用的時(shí)間分別為40分鐘、25分鐘和50分鐘,假設(shè)這三輛公交車中途不休息，請(qǐng)問(wèn)它們下次同時(shí)到達(dá)公交總站將會(huì)幾點(diǎn)？A.11點(diǎn)整B.11點(diǎn)20分C.11點(diǎn)40分D.12點(diǎn)整解析：甲、乙、丙都是上午8:00同時(shí)出發(fā)，若下次同時(shí)到達(dá)公交站，則他們各自用的總時(shí)間是一樣的，所以只需要求出40、25、50的最小公倍數(shù)即可。求解如下：最小公倍數(shù)是5x5x2x4x1x1=200。所以在200分鐘時(shí)甲、乙、丙三車同時(shí)回到公交車站，即11點(diǎn)20分。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：公約數(shù)與公倍數(shù)作為直接考查的知識(shí)點(diǎn)，考生首先一定要清楚公約數(shù)、公倍數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念，以及求最大約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法。其次，考生要能辨別清楚題目是否在考查公約數(shù)與公倍數(shù)，要想能清楚的辨別，建議考生多做一些考查公約數(shù)與公倍數(shù)的題目，積累一定的辨別經(jīng)驗(yàn)?！纠?】（補(bǔ)充例題）有兩種中藥分別重25千克和15千克，將這兩種中藥分別平均分成若干份，并且兩種藥每份的重量也相等，那么請(qǐng)問(wèn)至少分成多少份？A.3B.5C.8D.19解析：根據(jù)題目，每一份的重量應(yīng)該既是25的約數(shù)，也是15的約數(shù)。要想分成的份數(shù)盡可能地少，每一份的重量應(yīng)盡可能地大。即每一份的重量應(yīng)是25和15的最大公約數(shù)，是5?？偡輸?shù)是（25+15）÷5=8。所以正確答案為C項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)，關(guān)鍵是要能辨別出題目考查了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以此類題目要多做練習(xí)，積累題目的辨別經(jīng)驗(yàn)。第四節(jié)整除一、概念一個(gè)整數(shù)（比如20）除以另一個(gè)非零整數(shù)（比如5），商為整數(shù)（比如4），且余數(shù)為零，我們就說(shuō)一個(gè)整數(shù)（比如20）能被另一個(gè)整數(shù)（比如5）整除。二、整除的重要結(jié)論1.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a能被c（比如3）整除，b能被d（比如4）整除或者可以說(shuō)a是c（比如3）的倍數(shù)，b是d（比如4）的倍數(shù)。2.如果，且如果c（比如3）與d互質(zhì)（比如4），那么就可得到a+b能被c+d（比如3+4）整除或者可以說(shuō)a+b是c+d（3+4）的倍數(shù)。3.如果，且如果c（比如4）與d互質(zhì)（比如3），那么就可得到a-b能被c-d（比如4-3）整除或者可以說(shuō)a-b是c-d（4-3）的倍數(shù)。4.如果數(shù)a能被b整除，數(shù)b能被c整除，則數(shù)a能被c整除。（傳遞性）【示例】42能被14整除，14能被7整除，42能被7整除。5.如果數(shù)a能被c整除，數(shù)b能被c整除，則a+b、a-b均能被c整除。（可加減性）【示例】9能被3整除，18能被3整除，9+18=27也能被3整除。三、整除的判定如果在具體計(jì)算之前，你預(yù)知正確答案可以被某個(gè)整除，那你只需要通過(guò)判斷哪個(gè)選項(xiàng)可以被這個(gè)數(shù)整除即可。根據(jù)整除判定的規(guī)律，可以將整除判定分為以下幾種情況：1.看尾數(shù)判定的情況能被2整除的判定依據(jù)末一位的數(shù)能被2整除能被5整除的判斷依據(jù)末一位的數(shù)能被5整除能被4整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被4整除能被25整除的判定依據(jù)末兩位的數(shù)能被25整除能被8整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被8整除能被125整除的判斷依據(jù)末三位的數(shù)能被125整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除能被整除的判定依據(jù)末n位的數(shù)能被整除2.看全部判定的情況能被3整除的判定依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被3整除能被9整除的判斷依據(jù)所有數(shù)位上的數(shù)加和的結(jié)果能被9整除在判斷較大的數(shù)字能否被3或9整除時(shí)，我們可以采用“棄3、棄9“法來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。所謂“棄3、棄9“是指任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果如果為3或9，就可以先舍棄不要，看最后是否有任意數(shù)位的數(shù)字加和的結(jié)果，不是3或9，不能被3或9整除，是3或9則能被整除?！臼纠?19368204549276能被9整除嗎？解析：如果按判定依據(jù)將所有數(shù)位上的數(shù)字相加運(yùn)算量較大，則可以用“棄3、棄9“法。最終得到不能被9整除。3.看拆分判斷的情況能被合數(shù)整除的判定依據(jù)將合數(shù)拆分為兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)。則同時(shí)能被互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)整除的數(shù)就能被合數(shù)整除能被6整除的判定依據(jù)同時(shí)能被2和3整除的數(shù)能被12整除的判定依據(jù)同時(shí)能被3和4整除的數(shù)能被35整除的判定依據(jù)同時(shí)能被5和7整除的數(shù)4.看差值判定的情況被7（11、13）整除的判定依據(jù)將一個(gè)數(shù)從右往左數(shù)，將奇數(shù)位上的數(shù)與偶數(shù)位上的數(shù)分別相加，然后將兩個(gè)數(shù)的和相減，差值能被7、11、13整除（包括差值為0）四、整除在考試中的應(yīng)用整除在考試中應(yīng)用的比較廣泛，當(dāng)題目中出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系、百分?jǐn)?shù)關(guān)系、比列關(guān)系、分?jǐn)?shù)關(guān)系、平均數(shù)關(guān)系、這五種關(guān)系時(shí)，可考慮使用整除這一節(jié)的知識(shí)。題目中常見(jiàn)的關(guān)鍵詞有“倍”、“商”、“整除”、“平均”、“每”、“比”、“比例”、“百分?jǐn)?shù)”、“分?jǐn)?shù)”等。【例1】（2014年真題）某單位組織參加理論學(xué)習(xí)的黨員和入黨積極分子進(jìn)行分組討論，如果每組分配7名黨員和3名入黨積極分子，剛好剩下4名黨員未安排;如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排，問(wèn)參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多多少人?A.16B.20C.24D.28解析：題目中出現(xiàn)了分組，即平均的關(guān)系。所以考慮使用整除的知識(shí)求解。由“如果每組分配5名黨員和2名入黨積極分子，則還剩下2名黨員未安排”，可以設(shè)分成了x組，則黨員的人數(shù)為（5x+2）名，入黨積極分子為2x，因此參加理論學(xué)習(xí)的黨員比入黨積極分子多（3x+2）名，即減去2是3的倍數(shù)，四個(gè)選項(xiàng)只有B項(xiàng)減去2后是3的倍數(shù)。所以正確答案為B項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題目是比較典型的分組題，在這類分組的題目中因?yàn)槊拷M人數(shù)和總?cè)藬?shù)都必須是整數(shù)，所以求人數(shù)時(shí)可以優(yōu)先考慮使用整除的知識(shí)進(jìn)行排除?！纠?】（2016年真題）2014年父親、母親的年齡之和是年齡之差的23倍，年齡之差是兒子年齡的1/5，5年后母親和兒子的年齡都是平方數(shù)。問(wèn)2014年父親的年齡是多少？（年齡都按整數(shù)計(jì)算）A．36歲B．40歲C．44歲D．48歲解析：題目中出現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，且要求年齡是整數(shù)，考慮使用整除的知識(shí)求解。由“2014年父母年齡之差是兒子年齡的1/5,”可得兒子年齡是5的倍數(shù)，而兒子5年后年齡也必然是5的倍數(shù)，而5的倍數(shù)且為平方數(shù)的只能為25，則可得到現(xiàn)在兒子的年齡為20歲，年齡差即為20×1/5=4歲，年齡和為4×23=92歲，則父親年齡+母親年齡=92，|父親年齡-母親年齡|=4，假設(shè)父親年齡比母親年齡大，則可得父親年齡-母親年齡=4，聯(lián)立求解可得父親年齡=48，母親年齡=44，此時(shí)母親年齡五年后為49歲，是平方數(shù)，滿足條件。故父親年齡為48歲。故正確答案為D。點(diǎn)評(píng)：這道題目中典型的體現(xiàn)了倍數(shù)關(guān)系存在時(shí)，用整除的知識(shí)求解非常方便快捷?！纠?】（補(bǔ)充例題）兩個(gè)派出所某月內(nèi)共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件。問(wèn)乙派出所在這個(gè)月中共受理多少起非刑事案件（）A．48B．60C．72D．96解析：題目中出現(xiàn)了百分?jǐn)?shù)關(guān)系，考慮使用整除的知識(shí)進(jìn)行求解。由“甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件”可知，甲所受理的案件數(shù)應(yīng)為100的倍數(shù)（根據(jù)整除結(jié)論（1）得），而總數(shù)為160，則甲所受理的案件數(shù)為100起，乙所為60起。乙所受理的非刑事案件數(shù)為60×80%=48（起）。正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：這道題目典型的體現(xiàn)了使用整除的結(jié)論對(duì)題目進(jìn)行求解，幾乎達(dá)到了秒殺的效果。第五節(jié)比例一、概念比例即數(shù)量之間的對(duì)比關(guān)系，就是用份數(shù)之比來(lái)代替兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的實(shí)際量之比，以反映這兩個(gè)關(guān)聯(lián)量之間的關(guān)系。比如某校有男生333人，女生555人，則該校的男女比例為3:5，這個(gè)比例就是用3份和5份分別代替了男生人數(shù)和女生人數(shù)，即3份代表男生的人數(shù)，5份代表女生的人數(shù)，反映了男生和女生人數(shù)間的關(guān)系。二、比例計(jì)算的基礎(chǔ)知識(shí)在比例計(jì)算中涉及比例量、差值量、總量和實(shí)際量。比例量是指兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的量之間的比例，差值量是指兩個(gè)比例之間做差的結(jié)果，總量是指兩個(gè)比例求和的結(jié)果，實(shí)際量是指比例量、差值量、總量實(shí)際代表的數(shù)值。具體通過(guò)下面的例題來(lái)理解?！臼纠考椎乃俣群鸵业乃俣戎葹?:3，甲的速度比乙的速度快4m/s，則甲的速度為多少？解析：首先列出甲和乙速度的比例量、差值量、總量和實(shí)際量如下：比例量差值量總量5:35-3=25+3=8實(shí)際量10m/s：6m/s4m/s16m/s因?yàn)椴钪盗繛?，即2份，這2份代表的實(shí)際值為4m/s，則1份代表2m/s。那么甲的比例量為5，即5份，則甲為10m/s；乙為3，即3份，則乙為6m/s；總量同理可得實(shí)際值為16m/s。三、比例的統(tǒng)一1.含義比例的統(tǒng)一是指將份數(shù)不一樣的比例統(tǒng)一成份數(shù)一樣的比例。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，乙在甲：乙和乙：丙中所代表的份數(shù)不一樣，所以只有將份數(shù)統(tǒng)一才能求得甲：乙：丙是多少？2.核心思想和方法比例統(tǒng)一的核心思想就是比例量每一份所代表的實(shí)際量一樣才能作比較。而要將比例統(tǒng)一，核心的方法就是先得找到不變的實(shí)際量作為橋梁，一般情況下通過(guò)求最小公倍數(shù)得到，然后將其它的比例量相應(yīng)的做出變化即可。比如已知甲：乙為2:3，乙：丙為5:6，則甲：乙：丙是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，首先找到乙為公共量，即乙是不變的量，所以找出乙對(duì)應(yīng)的3和5的最小公倍數(shù)，即15，然后甲和丙相應(yīng)的擴(kuò)大5倍和3倍，即可得甲：乙為10:15，乙：丙為15:18，則甲：乙：丙為10:15:18。四、比例在考試中的應(yīng)用如果題目中出現(xiàn)了比例、分?jǐn)?shù)、倍數(shù)、百分?jǐn)?shù)、倍數(shù)等時(shí)，如果用整除的知識(shí)無(wú)法解決，那么就可以考慮用比例的知識(shí)。對(duì)于行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等題型有時(shí)也會(huì)用到比例的知識(shí)求解?！纠?】（2014年真題）某單位利用業(yè)余時(shí)間舉行了3次義務(wù)勞動(dòng)，總計(jì)有112人次參加。在參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1。問(wèn)該單位共有多少人參加了義務(wù)勞動(dòng)?A.70B.80C.85D.102解析:由題目“只參加1次、參加2次和3次全部參加的人數(shù)之比為5:4:1”，則參加的總?cè)藬?shù)為10份，即參加的總?cè)藬?shù)是10的倍數(shù)，可以排除C、D兩項(xiàng)，但A項(xiàng)和B項(xiàng)都是10的倍數(shù)，所以考慮使用比例的知識(shí)求解。由于參加人數(shù)之比為5:4:1，則對(duì)應(yīng)人次之比為5:8:3，即人次總共是16份，而總的人次是112人次，所以每一份代表112/16=7人次。所以只參加1次，參加2次和3次全部參加的人次分別為35、56、21，對(duì)應(yīng)人數(shù)分別為35、28、7人，故總?cè)藬?shù)為70人。因此，答案選擇A選項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：人次和人數(shù)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中不能混淆，以此題為例，只參加1次的人數(shù)等于只參加1次的人次，而參加2次的人次是參加2次的人數(shù)的2倍?！纠?】（2014年真題）某有色金屬公司四種主要有色金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4，而鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸，問(wèn)該公司鎳的產(chǎn)量為多少噸?A.600B.800C.1000D.1200解析：由題目“金屬總產(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅，鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”考慮使用比例的知識(shí)求解?！敖饘倏偖a(chǎn)量的1/5為鋁，1/3為銅”，即鋁的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:5，銅的產(chǎn)量與金屬總產(chǎn)量的比例為1:3。金屬總產(chǎn)量是兩個(gè)比例共同的量，但在兩個(gè)比例中的值不一樣，所以進(jìn)行統(tǒng)一，即鋁的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×，銅的產(chǎn)量：金屬總產(chǎn)量×。所以金屬總產(chǎn)量為15份，其中鋁占了3份，銅占了5份。由“鎳的產(chǎn)量是銅和鋁產(chǎn)量之和的1/4”可得鎳的產(chǎn)量為2份，則鉛的產(chǎn)量為5份。最后，鉛比鋁多2份，且“鉛的產(chǎn)量比鋁多600噸”，則2份代表600噸，而鎳占了2份，所以鎳的產(chǎn)量為600噸。所以正確答案為A項(xiàng)。點(diǎn)評(píng)：本題的解析雖然較長(zhǎng)，但是理解起來(lái)相對(duì)是比較容易的，最重要的是通過(guò)比例的知識(shí)使題目的求解更加快速、高效。第六節(jié)等差和等比數(shù)列一、概念數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都相等，這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列。這個(gè)相等的差叫這個(gè)等差數(shù)列的公差。比如：2,4,6,8,10就是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列。等差數(shù)列第一項(xiàng)叫作首項(xiàng)，第n項(xiàng)用表示，前n項(xiàng)的和用表示。數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都相等，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)相等的比叫這個(gè)等比數(shù)列的公比。比如：2,4,8,16,32...就是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列。等比數(shù)列第一項(xiàng)叫作首項(xiàng)，第n項(xiàng)用表示，前n項(xiàng)的和用表示。（注意：等比數(shù)列的公比不能等于0，首項(xiàng)也不能等于0）。二、公式1.等比數(shù)列的基本公式分類公式示例通項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為3，公比為4，則=48求和等比數(shù)列首項(xiàng)為2，公比為3，則=802.等差數(shù)列的基本公式分類公式示例通項(xiàng)等差數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為3，則=2+(5-1)x3=14公差等差數(shù)列第5項(xiàng)為24，第3項(xiàng)為14，則公差為（24-14）/(5-3)=5項(xiàng)數(shù)等差數(shù)列首項(xiàng)為15，末項(xiàng)為3，公差為4，項(xiàng)數(shù)為[（15-3）/4]+1=4平均數(shù)等差數(shù)列2，4，6，8，10，12