人教版九年級數(shù)學(xué)下冊28.2解直角三角形及其應(yīng)用【九大題型】(學(xué)生版+解析)

專題28.2解直角三角形及其應(yīng)用【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1網(wǎng)格中解直角三角形】 1【題型2坐標(biāo)系中解直角三角形】 2【題型3直接解直角三角形】 4【題型4化斜為直解非直角三角形】 5【題型5在四邊形中解直角三角形】 6【題型6解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】 7【題型7解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】 9【題型8解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】 11【題型9解直角三角形的應(yīng)用（實物建模問題）】 13【知識點1直角三角形的邊角關(guān)系】兩銳角關(guān)系：（2）三邊關(guān)系：（勾股定理）（3）邊角關(guān)系：，，【知識點2解直角三角形的類型和解法】已知條件圖形解法對邊鄰邊斜邊對邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【題型1網(wǎng)格中解直角三角形】【例1】（江蘇省江陰市澄江片2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角（∠O）為120°，A、B、C都在格點上，則tan∠ABC的值是________________．【變式1-1】（2022年四川省廣元市萬達(dá)實驗學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為_______．【變式1-2】（2022年福建省中考數(shù)學(xué)模擬試卷（六））如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC=____．【變式1-3】（2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（北京））如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A，B，C是網(wǎng)格線交點，∠CAB的度數(shù)為__．【題型2坐標(biāo)系中解直角三角形】【例2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y=34x+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰落在直線y=3A．17 B．16 C．15【變式2-1】（2022年黑龍江省佳木斯市前進(jìn)區(qū)九年級中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點B0(?2,0)，點B1，B2，B3，B4…都在【變式2-2】（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（

A．y=3x B．y=?C．y=?2x+11 D．y=?2x+12【變式2-3】（2022·河南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在y軸和x軸上，∠ABO=60°,CD為△AOB的中位線，過點D向x軸作垂線段，垂足為E，可得矩形CDEO．將矩形CDEO沿著x軸向右平移，設(shè)斜邊AB所在直線與矩形所圍直角三角形的面積為S．已知點B的坐標(biāo)為(6,0)，當(dāng)S=23時，矩形CDEO頂點D【題型3直接解直角三角形】【例3】（2022年廣東省深圳市寶安區(qū)中考數(shù)學(xué)備考沖刺題--模擬卷（四））如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分線EA與∠BCA的角平分線CD相交于點O，已知BD=4，OC=22，則OE=_________．【變式3-1】（2022-2023中考1年模擬數(shù)學(xué)分項匯編）如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB為邊作等邊三角形ABD，使點D與點C在AB同側(cè)，連接CD，則CD=______．【變式3-2】（安徽省亳州市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研三數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC＝4，tan∠CEF=34【變式3-3】（2022·湖北武漢·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且FHHE=4（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【題型4化斜為直解非直角三角形】【例4】（福建省泉州市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E在BA的延長線上，∠AEC=90°，ED=EC，DE交AC于點K，若EC=10，tan∠AED=12，則AK【變式4-1】（2022·湖北武漢·中考真題）如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點，E是邊BC上一點．若DE平分△ABC的周長，則DE的長是_____．【變式4-2】（2022·江蘇省洪澤縣黃集中學(xué)一模））如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18（1）求BC的長；（2）利用此圖形求tan15°的值.【變式4-3】（2022·四川廣元·模擬預(yù)測）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出的一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形有兩角對應(yīng)相等，我們把這條線段叫做這個三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△ACD是等腰三角形，求線段BD的長．【題型5在四邊形中解直角三角形】【例5】（2022年廣東省深圳市南山區(qū)南山外國語學(xué)校中考二模質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（5月））如圖，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD=120°，點E在CD上，且DE＝10，BE交AC于點F，連接DF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ABF≌△ADF；②AF:CFA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式5-1】（2022·廣東·深圳市海濱中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，連接DE，若AB=CD=CE=2，則tan∠DEC=_____．【變式5-2】（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級期中）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使得點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F．G分別在邊AB．AD上，則sin∠EFG=__________．【變式5-3】（河南省鄭州市中原區(qū)中原區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，點E是線段AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A'處(A'在矩形內(nèi)部)，如果A'恰在矩形的某條對稱軸上，則AE的長為__________．【題型6解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】【例6】（2022·重慶八中九年級期末）為了消防安全，學(xué)校在校園廣場步行梯（折線ABCD）處新建了學(xué)生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i≈0.62（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米【變式6-1】（2022·四川資陽·九年級期末）如圖，在操場上的A處，測得旗桿頂端N點的仰角是30°，前進(jìn)20米后到達(dá)旗臺的底端B處，測得旗桿頂端N點的仰角是45°，繼續(xù)沿著坡比為1:3的斜坡BC上升到C處，此時又測得旗桿頂端N點的仰角是60°，旗桿MN垂直于水平線AD，點A、B、D在同一直線上，CM//【變式6-2】（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）為了監(jiān)控危險路段的車輛行駛情況，通常會設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測速．如圖電子眼位于點P處，離地面的鉛垂高度PQ為11米；離坡AB的最短距離是11.2米，坡AB的坡比為3：4；電子眼照射在A處時，電子眼的俯角為30°，電子眼照射在坡角點B處時，電子眼的俯角為70°．（A、B、P、Q在同一平面內(nèi)）(1)求路段BQ的長；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）(2)求路段AB的長；（3≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）(3)如圖的這輛車看成矩形KLNM，車高2米，當(dāng)PA過M點時開始測速，PB過M點時結(jié)束測速，若在這個測速路段車輛所用的時間是1.5秒．該路段限速5米/秒，計算說明該車是否超速？【變式6-3】（2022·上海市羅山中學(xué)九年級期中）圖1是某區(qū)規(guī)劃建設(shè)的過街天橋的側(cè)面示意圖，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨橋，兩腰AB，CD表示橋兩側(cè)的斜梯，A，D兩點在地面上，已知AD＝40m，設(shè)計橋高為4m，設(shè)計斜梯的坡度為1：2.4．點A左側(cè)25m點P處有一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以P為圓心，半徑為3m的圓形保護(hù)區(qū)．(1)求主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和；(2)為了保證橋下大貨車的安全通行，橋高要增加到5m，同時為了方便自行車及電動車上橋，新斜梯的坡度要減小到1：4，新方案主跨橋的水平位置和長度保持不變．另外，新方案要修建一個緩坡MN作為輪椅坡道，坡道終點N在左側(cè)的新斜梯上，并在點N處安裝無障礙電梯，坡道起點M在AP上，且不能影響到古樹的圓形保護(hù)區(qū)．已知點N距離地面的高度為0.9m，請利用表中的數(shù)據(jù)，通過計算判斷輪椅坡道的設(shè)計是否可行．表：輪椅坡道的最大高度和水平長度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m）1.200.900.750.600.30水平長度（m）24.0014.409.006.002.40【題型7解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】【例7】（2022·重慶巴蜀中學(xué)九年級）如圖，巴蜀中學(xué)旁邊高36米的高樓AB正對著斜坡CD，點E在斜坡處．已知斜坡的坡角∠DCG為30°，AB⊥BC，若點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，從點E處測得樓頂A的仰角α為37°，樓底B的俯角β為24°，現(xiàn)計劃在斜坡中點E處挖去部分斜坡，修建一個平行于水平線BC的平臺EF和一條新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比為3：1．某施工隊承接這項任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實際工作效率提高到原計劃的1.5倍，結(jié)果比原計劃提前2天完成任務(wù)，施工隊原計劃平均每天修建_________米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）【變式7-1】（2022·四川廣元·中考真題）如圖，某無人機愛好者在一小區(qū)外放飛無人機，當(dāng)無人機飛行到一定高度D點處時，無人機測得操控者A的俯角為75°，測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°．已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，小區(qū)樓房BC的高度為153（1）求此時無人機的高度；（2）在（1）條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．問：經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開了操控者的視線？（假定點A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+3，【變式7-2】（2022·山東聊城·中考真題）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【變式7-3】（2022·四川自貢·九年級專題練習(xí)）某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin【題型8解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】【例8】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)第二初級實驗中學(xué)一模）在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到來自故障船C的求救信號，已知A、B相距1003+1海里，C在A的北偏東60°方向上，C在B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得C正好在觀測點(1)求AC和AD（運算結(jié)果若有根號，保留根號）；(2)已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【變式8-1】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，一艘軍艦在A處測得小島P位于南偏東60°方向，向正東航行40海里后到達(dá)B處，此時測得小島P位于南偏西75°方向，求小島P離觀測點B的距離．【變式8-2】（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)九年級期末）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF平行MN．綜合實踐課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同學(xué)們首先在河岸MN上選取點A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走10米到達(dá)B處，測得D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）【變式8-3】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向；當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時，游客發(fā)現(xiàn)臨皋亭在北偏西60°方向．則臨皋亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離為_____．（計算結(jié)果保留根號）【題型9解直角三角形的應(yīng)用（實物建模問題）】【例9】（2022·浙江溫州·八年級期中）圖1是一張可調(diào)節(jié)靠椅，調(diào)節(jié)示意圖如圖2，已知兩支腳AB＝AC＝10分米，BC＝12分米，O為AC上固定連接點，靠背OD＝10分米．檔位為Ⅰ檔時，OD∥AB．檔位為Ⅱ檔時，OD⊥AC．當(dāng)靠椅由Ⅰ檔調(diào)節(jié)為Ⅱ檔時，EF＝________分米．【變式9-1】（2022·浙江·金華市南苑中學(xué)九年級期中）圖1是一種兒童可折疊滑板車，該滑板車完全展開后示意圖如圖2所示，由車架AB?CE?EF和兩個大小相同的車輪組成，已知CD=25cm，DE=17cm，cos∠ACD=45，當(dāng)A，E，F(xiàn)在同一水平高度上時，∠CEF=135°，則AC=______cm；為方便存放，將車架前部分繞著點D旋轉(zhuǎn)至AB【變式9-2】（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級期中）如圖1是一個水龍頭的示意圖，類似于字母“F”的形狀，將其抽象成如圖2所示的截面圖形，線段BE是一根固定的軸，線段AB，CD均垂直于線段BE，出水口在點D處，AB為自來水開關(guān)，AB⊥BC即為無水狀態(tài)，將AB繞點B逆時針向上轉(zhuǎn)動即是開水．若已知BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm．（參考數(shù)據(jù)，精確到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83，2(1)求出水龍頭不開時，點A與出水口的距離；(2)當(dāng)BA向上旋轉(zhuǎn)34°時，即是最大出水量，求出最大出水量時，點A與出水口的距離．【變式9-3】（2022·江蘇宿遷·一模）如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，如圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長AB=120mm，支撐板長CD=80mm，底座長DE=90mm．托板AB固定在支撐板頂端點C處，且CB=40mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞點D轉(zhuǎn)動．(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求點A到直線DE的距離；(2)為了觀看舒適，在（1）的條件下，把AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線DE上．畫出圖形，并求CD旋轉(zhuǎn)的角度；（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈1.732．計算結(jié)果均精確到0.1）專題28.2解直角三角形及其應(yīng)用【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1網(wǎng)格中解直角三角形】 2【題型2坐標(biāo)系中解直角三角形】 5【題型3直接解直角三角形】 12【題型4化斜為直解非直角三角形】 19【題型5在四邊形中解直角三角形】 27【題型6解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】 35【題型7解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】 42【題型8解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】 50【題型9解直角三角形的應(yīng)用（實物建模問題）】 55【知識點1直角三角形的邊角關(guān)系】兩銳角關(guān)系：（2）三邊關(guān)系：（勾股定理）（3）邊角關(guān)系：，，【知識點2解直角三角形的類型和解法】已知條件圖形解法對邊鄰邊斜邊對邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【題型1網(wǎng)格中解直角三角形】【例1】（江蘇省江陰市澄江片2022-2023學(xué)年九年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角（∠O）為120°，A、B、C都在格點上，則tan∠ABC的值是________________．【答案】3【分析】如圖，連接EA、EC，先證明∠AEC＝90°，E、A、B共線，再根據(jù)tan∠ABC＝ECEB，求出EC、EB【詳解】解：如圖，連接EA，EC，設(shè)菱形的邊長為a，由題意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝3a，EB＝2∴∠AEC＝90°，∵∠ACE＝∠AGF＝60°，∴∠EAB＝180°，∴E、A、B共線，在Rt△CEB中，tan∠ABC＝ECEB故答案為：36【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1-1】（2022年四川省廣元市萬達(dá)實驗學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為_______．【答案】3【分析】作M、N兩點，連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理證明△CDN是直角三角形，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：如圖所示，作M、N點，連接CM、DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2=12∴CN∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN=∴∠APD的正切值為：3．故答案為：3．【點睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022年福建省中考數(shù)學(xué)模擬試卷（六））如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC=____．【答案】3【分析】過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥AC于E，由圖可得，AB=10，AC=10，BC=2，∵S∴1∴BE=3∴sin故答案為：35【點睛】本題主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義來解直角三角形．要注意直角三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，本題易錯點在于學(xué)生誤認(rèn)為sin∠BAC=2【變式1-3】（2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（北京））如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A，B，C是網(wǎng)格線交點，∠CAB的度數(shù)為__．【答案】45°【分析】根據(jù)勾股定理和等積法求出線段長，再根據(jù)三角函數(shù)求出角度即可．【詳解】解：如圖，連接BC，過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理，得AB=62+∵SSΔABC∴10CD=15∴CD=3在RtΔACD中，∴sin∴∠CAB=45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了解直角三角形和等積法，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造直角三角形，利用相關(guān)知識求解.【題型2坐標(biāo)系中解直角三角形】【例2】（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y=34x+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰落在直線y=3A．17 B．16 C．15【答案】A【分析】過O作OC⊥AB于C，過N作ND⊥OA于D，設(shè)N的坐標(biāo)是（x，34x+3），得出DN=34x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面積公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根據(jù)sin45°=OCON，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（34x+3）2+（-x）2=(122【詳解】過O作OC⊥AB于C，過N作ND⊥OA于D，∵N在直線y=34∴設(shè)N的坐標(biāo)是（x，34則DN=34y=34當(dāng)x=0時，y=3，當(dāng)y=0時，x=-4，∴A（-4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，∵在△AOB中，由三角形的面積公式得：AO×OB=AB×OC，∴3×4=5OC，OC=125∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，∴∠MNO=45°，∴sin45°=OCON∴ON=122在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2，即（34x+3）2+（-x）2=(1225解得：x1=-8425，x2=12∵N在第二象限，∴x只能是-842534x+3=12即ND=1225，OD=84tan∠AON=NDOD故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點的運用，主要考查學(xué)生運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算的能力，題目比較典型，綜合性比較強．【變式2-1】（2022年黑龍江省佳木斯市前進(jìn)區(qū)九年級中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1的坐標(biāo)是(0,?1)，點A1，A2，A3，A4，A5…所在直線與x軸交于點B0(?2,0)，點B1，B2，B3，B4…都在【答案】3【分析】過點A2作A2C1⊥x軸，設(shè)∠OB0A1=α【詳解】解：∵B0(?2,0)，A∴O∴A∴設(shè)∠OB0∵△A∴∴A1B∴B1∴過點A2作A∵△A∴則tan即A2∴∴∴∴同理可得tanα=A3∴……∴An∴A2022故答案為：32022【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（

A．y=3x B．y=?C．y=?2x+11 D．y=?2x+12【答案】D【分析】過點E作EG⊥AB于點G，利用三角函數(shù)求得EG=8，BG=6，AG=4，再求得點E的坐標(biāo)為(4，12)，根據(jù)題意，直線l經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點H和菱形ABEF的對角線的交點D，根據(jù)中點坐標(biāo)公式以及待定系數(shù)法即可求解．【詳解】解：過點E作EG⊥AB于點G，∵矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，∴AB=BE=10，點A的坐標(biāo)為(0，4)，點C的坐標(biāo)為(10，0)，在Rt△BEG中，tan∠ABE=43，BE∴sin∠ABE=45，即EG∴EG=8，BG=BE2∴AG=4，∴點E的坐標(biāo)為(4，12)，根據(jù)題意，直線l經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點H和菱形ABEF的對角線的交點D，點H的坐標(biāo)為(0+102，0+42)，點D的坐標(biāo)為(0+42∴點H的坐標(biāo)為(5，2)，點D的坐標(biāo)為(2，8)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把(5，2)，(2，8)代入得5k+b=22k+b=8解得：k=?2b=12∴直線l的解析式為y=-2x+12，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式2-3】（2022·河南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在y軸和x軸上，∠ABO=60°,CD為△AOB的中位線，過點D向x軸作垂線段，垂足為E，可得矩形CDEO．將矩形CDEO沿著x軸向右平移，設(shè)斜邊AB所在直線與矩形所圍直角三角形的面積為S．已知點B的坐標(biāo)為(6,0)，當(dāng)S=23時，矩形CDEO頂點D【答案】(5,33)【分析】根據(jù)B（6，0）求得OB=6，又tan∠ABO=OAOB，求OA=63，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出CD∥OB，CD=12OB=3，OC=12OA=33，然后設(shè)D的坐標(biāo)為(m,33)，分兩種情況：當(dāng)AB與CD相交時，如圖1，當(dāng)AB與O′C、O′E【詳解】解：∵B（6，0），∴OB=6，∵tan∠ABO=OAOB∴OA=OB?tan∵CD是△AOB的中位線，∴CD∥OB，CD=12OB=3，OC=12OA=3設(shè)D(m,33)，當(dāng)AB與CD相交時，如圖1，∴DG=m-3，∵CD∥OB，∴∠DGF=∠ABO=60°，∵tan∠DGF=∴3=∴DF=3（m-3），∵S△DGF=12DG?DF解得：m1=5，m2=1，∵DG=m-3>0，∴m=5,∴點D的坐標(biāo)為(5,33當(dāng)AB與O′C、O′E相交時，如圖2，∴O′B=3-(m-6)=9-m，∵tan∠ABO=O∴O′F=3（9-m）∵S△DGF=12O'B?解得：m1=7，m2=11，∵O′B=9-m>0，∴m=7，∴D的坐標(biāo)為(7,33綜上，D的坐標(biāo)為(5,33)或故答案為：(5,33)或【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)、解直角三角形、三角形面積等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和解直角三角形是解題的關(guān)鍵.【題型3直接解直角三角形】【例3】（2022年廣東省深圳市寶安區(qū)中考數(shù)學(xué)備考沖刺題--模擬卷（四））如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分線EA與∠BCA的角平分線CD相交于點O，已知BD=4，OC=22，則OE=_________．【答案】2【分析】在CA上截取CF=CE，先證明△COE≌△COF，再證明△AOD≌△AOF，得到OD=OE，作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，可證△OCM∽△DCN，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】在CA上截取CF=CE，∵CD平分∠BCA，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB在△COE和△COF中CE=CF∠ECO=∠FCO∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∵EF平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC∴∠COE=∠COF=∠AOD=45°+15°=60°．∵∠AOC=180°-∠CAE-∠ACO=180°-12(∠BAC+∠ACA=180°-12=120°，∴∠AOF=120°-60°=60°，∴∠AOD=∠AOF，在△AOD和△AOF中∠OAD=∠OAFAO=AO∴△AOD≌△AOF（ASA），∴OF=OD，∴OE=OE．作DN⊥BC于N，OM⊥BC于M，∴∠CMO=∠CND=90°，∵∠OCM=∠DCN，∴△OCM∽△DCN，∴OMDN∵sinB=DNBD，BD∴DN=23，∵OC=22，∠OCM=45°，∴CM=OM=2，∴22∴OE=OD=26故答案為：26【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022-2023中考1年模擬數(shù)學(xué)分項匯編）如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB為邊作等邊三角形ABD，使點D與點C在AB同側(cè)，連接CD，則CD=______．【答案】26?2【分析】過點D作DE⊥BC于點E，由等邊三角形的性質(zhì)可知BD=AB=AD=4，∠ABD=60°，結(jié)合題意可求出∠DBC=30°，從而可求出DE=2，BE=23，進(jìn)而可求出CE=4?23，最后根據(jù)勾股定理即可求出【詳解】如圖，過點D作DE⊥BC于點E，∵△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=AD=4，∠ABD=60°．∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．∵DE⊥BC，∴DE=12∴BE=BD?cos∴CE=BC?BE=4?23∵DE⊥BC，∴CD=C故答案為：26【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（安徽省亳州市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研三數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC＝4，tan∠CEF=34【答案】8【分析】連接BF，交CE于點D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE＝AE，從而可得∠ECA＝∠A，再根據(jù)已知可知EF是AB的垂直平分線，從而可得BF＝AF，進(jìn)而可得∠A＝∠ABF，然后可得∠ABF＝∠ACE，從而證明△CDF∽△BDE，進(jìn)而可得∠CFD＝∠BED，最后利用等角的余角相等可得∠CBF＝∠CEF，從而在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理求出CF，BF的長，從而求出AF的長，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：連接BF，交CE于點D，∵∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，∴CE=AE=1∴∠ECA＝∠A，∵EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴BF＝AF，∴∠A＝∠ABF，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠CDF＝∠BDE，∴△CDF∽△BDE，

∴∠CFD＝∠BED，∵∠CFD+∠CBF＝90°，∠BED+∠CEF＝90°，∴∠CBF＝∠CEF，∵tan∴tan∴CF=BC?tan∴BF=C∴AF＝BF＝5，∴AC＝CF+AF＝3+5＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·湖北武漢·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且FHHE=4（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）23；（3）【分析】（1）證出∠B=∠ACD，證明△CBD∽△ACD，得出CDAD（2）設(shè)FH=4a，則HE=9a（a>0），同（1）得CH2=HE?FH=36a2，則CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=FHCH=23（3）過點D作DM⊥AH于M，設(shè)DH=2x，則CH=6x（x>0），CD=DH+CH=8x，證明△ADH∽△CDA，得出∠DAH=∠ACH，ADCD=DHAD，求出AD=4x，證明△HDM是等腰直角三角形，得出【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴△CBD∽△ACD，∴CDAD∴CD（2）解：∵FHHE∴設(shè)FH=4a，則HE=9a（a>0），∵∠ACB=90°，EF⊥CD，同（1）得：CH∴CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=過D作DP⊥AC于P，如圖2所示：則DP//在Rt△DPC中，tan∠ACD=∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴AP=DP，∴APPC∵DP//∴ADBD（3）解：過點D作DM⊥AH于M，如圖3所示：∵CH=3DH，∴設(shè)DH=2x，則CH=6x（x>0），∴CD=DH+CH=8x，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°，∴∠BAC=∠AHD又∵∠ADH=∠CDA，∴△ADH∽△CDA，∴∠DAH=∠ACH，ADCD∴AD∴AD=4x，∵DM⊥AH，∴∠DMH=90°，∵∠AHD=45°，∴∠HDM=45°=∠AHD，∴△HDM是等腰直角三角形，∴DM=HM=2∴AM=A∴tan∠ACH=故答案為：77【點睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵?！绢}型4化斜為直解非直角三角形】【例4】（福建省泉州市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E在BA的延長線上，∠AEC=90°，ED=EC，DE交AC于點K，若EC=10，tan∠AED=12，則AK【答案】5【分析】過點K作KM⊥EC，過D作DN∥AC，設(shè)KM=m，∠BED=∠α，由邊角關(guān)系推導(dǎo)出CM=2m，KC=5m；利用平行線分線段成比例定理，進(jìn)而得出KC=3AK，在Rt△AEC中，利用勾股定理求得m=3，進(jìn)而得到AK的長．【詳解】解：過點K作KM⊥EC，過D作DN∥AC，設(shè)KM=m，∠BED=α，∵ED=EC=10，∴∠ECD=∠EDC=∠B+α，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠ECA=∠ECD-∠ACB=∠ECD-∠B=α，∴∠ECA=∠AED=α，∵tan∠AED=tanα=12∴CM=2m，KC=KM2+CM2∵DN∥AC，D是BC的中點，∴?BDN~?BCA，∠EAC=∠END，∴DNAC∴ND=12AC，∵∠EAC=∠END，∠ECA=∠DEN，EC=ED，∴△EAC≌△DNE（AAS），∴AE=ND，∵ND=12AC∴ND=12AB=AN=BN∴BN=AN=AE，∴BN+AN=AN+AE，即AB=NE，∴SΔ又∵△NDE≌△AEC，∴SΔEDN∴SΔABD=∴SΔEBC=3∵D為BC中點，∴SΔ同理可得SΔ∴AK:CK=S∴AK=13CK=53m∵DN∥AC，∴AN∴K是ED的中點，∴EK=5，在Rt△EKM中，EM=10-2m，KM=m，∴52∴m=3或m=5（舍），∴AK=5；故答案為：5．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，能夠通過作高構(gòu)造直角三角形，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·湖北武漢·中考真題）如圖．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是邊AB的中點，E是邊BC上一點．若DE平分△ABC的周長，則DE的長是_____．【答案】32【詳解】【分析】如圖，延長BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，根據(jù)題意得到ME=EB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12【詳解】如圖，延長BC至M，使CM=CA，連接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周長，AD=DB，∴BE=CE+AC，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=12∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC?sin∠ACN=32∴AM=3，∴DE=32故答案為32【點睛】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形中位線定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·江蘇省洪澤縣黃集中學(xué)一模））如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18（1）求BC的長；（2）利用此圖形求tan15°的值.【答案】（1）16-23；（2）2-3【詳解】試題分析：（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=12AC=2，由三角函數(shù)求出CD=23（2）在BC邊上取一點M，使得CM=AC，連接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=ADMD試題解析：（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，如圖1所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD=12CD=AC?cos30°=4×32=23在Rt△ABD中，tanB=ADBD∴BD=16，∴BC=BD-CD=16-23；（2）在BC邊上取一點M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=ADMD【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握三角函數(shù)運算是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·四川廣元·模擬預(yù)測）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出的一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形有兩角對應(yīng)相等，我們把這條線段叫做這個三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△ACD是等腰三角形，求線段BD的長．【答案】（1）見解析；（2）92°或113°；（3）3或33-3【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③與原三角形有兩角對應(yīng)相等即可．（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD＝CD時，②如圖3中，當(dāng)AD＝AC時，③如圖4中，當(dāng)AC＝CD時，分別求出∠ACB即可．（3）根據(jù)三角形的“優(yōu)美分割線”的定義求出∠B，再利用解直角三角形進(jìn)行解答．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴CD是△ABC的完美分割線．（2）①當(dāng)AD＝CD時，如圖2，∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°，∴∠BDC＝92°，∵∠B＝∠B，∴∠ACB＝∠BDC＝92°．②當(dāng)AD＝AC時，如圖3，∠ACD＝∠ADC＝180°?46°2∴∠BDC＝113°，∵∠B＝∠B，∴∠ACB＝∠BDC＝113°．③當(dāng)AC＝CD時，如圖4，∵∠ADC＝∠A＝46°，∴∠BDC＝134°，∵∠B＝∠B，∴∠ACB＝∠BDC＝134°．∴∠ACB+∠A=180°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，舍去．∴∠ACB的度數(shù)是92°或113°．（3）①若AD＝CD時，如圖5，此時∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此時∠ACB＝60°，故∠B＝90°．在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，則BC＝3.在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，則BD＝BC?tan30°＝3．②若AC＝AD時，如圖6，作CE⊥AB,垂足為E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°，此時∠ACB＝105°，∠B＝45°，∵∠A＝30°，AC＝6，∴EC＝3，AE＝EC?tan60°＝33．∵∠B＝45°，∴EC=BE＝3，BA＝3+33，BD＝BA-DA=3+33-6=33-3，③當(dāng)AC＝CD時，由（2）可知，不成立，舍去．【點睛】本題考查考查了幾何新定義問題，主要運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識進(jìn)行推理與判斷，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論思想，屬于中考?？碱}型．【題型5在四邊形中解直角三角形】【例5】（2022年廣東省深圳市南山區(qū)南山外國語學(xué)校中考二模質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（5月））如圖，在菱形ABCD中，AB＝30，∠BCD=120°，點E在CD上，且DE＝10，BE交AC于點F，連接DF．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①△ABF≌△ADF；②AF:CFA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明△BAF≌△DAF，故①正確；由CE∥AB，得△ABF∽△CEF，可知AFCF=ABCE=3020=32，故②正確；首先證明△ABC是等邊三角形，從而得出面積，再利用等高的兩個三角形面積之比等于底之比可判斷③正確；連接BD交AC于O，設(shè)CF=2x，則AF=3x，得【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，∵AF=AF，∴△BAF≌△DAF（SAS），故①正確；即同理可得，△BCF≌△DCF（SAS），∵四邊形ABCD是菱形，AB=30，∴CE∥AB，AB=∴△ABF∽△CEF，∴AFCF∵DE=10，∴CE=CD?DE=20，即AFCF∵∠BCD=120°，∴∠ACB=60°，∠ABC=60°，∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形，等邊三角形的面積公式推導(dǎo)如下：正△XYZ的邊長為u，過頂點x作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=X∴正△XYZ的面積為：S=1∴S△ABC∵AFCF∴S△BCF∵△BCF≌△DCF（SAS），∴S△BCF∵DE=10，CE=20，∴S△DEF連接BD交AC于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)有：AO=OC，BO=DO，AC⊥BD，∵AFCF即設(shè)CF=2x，則AF=3x，AC=AB=CD=5x，∴OC=12AC=∵根據(jù)菱形的性質(zhì)有∠ABC=∠ADC=60°，∴∠ODC=30°，∴DO=3∵AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴DF=O∴sin∠AFD=故④錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·廣東·深圳市海濱中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且AE=BE，連接DE，若AB=CD=CE=2，則tan∠DEC=_____．【答案】3【分析】作AF⊥BC于點F，DL⊥BC于點L，DG⊥CE于點G交BC于點H，先證明四邊形ABHD是平行四邊形，得DH=AB=CD=CE=2，再證明BF=HL=CL，由BFAB=BEBC=tanB=15=55，求得CL=HL=BF=5【詳解】解：如圖，作AF⊥BC于點F，DL⊥BC于點L，DG⊥CE于點G交BC于點H，∵CE⊥AB，∴DH//AB，∴AD//BC，∴四邊形ABHD是平行四邊形，∴DH=AB=CD=CE=2，∴∠DCL=∠DHL=∠ABF，∴CL=HL，設(shè)∠DCL=∠DHL=∠ABF=α，∵∠DLC=∠DLH=∠AFB=90°，∴BFAB∴BF=HL=CH，∵∠BEC=90°，AE=BE=1∴BC=B∴BFAB∴CL=HL=BF=5∴CH=2∵GH//BE，∴Δ∴HGBE∴HG=45BE=∴DG=DH?HG=2?45=∵∠DGE=90°，∴tan故答案為：3．【點睛】此題重點考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校九年級期中）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使得點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F．G分別在邊AB．AD上，則sin∠EFG=__________．【答案】2【分析】作GN⊥AB于N，作EM⊥AD交AD延長線于M，連接BE，BD．在RtΔDME，RtΔGME，RtΔAGN，RtΔEFB中，根據(jù)勾股定理可求DM，ME，【詳解】解：如圖：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，連接BE，BD∵四邊形ABCD是菱形，AB=2∴CD=AD=AB=2，AB//DC∵AB//CD∴∠A=∠MDC=60°∵E是CD中點∴DE=1∵M(jìn)E⊥AD，∠MDC=60°∴∠MED=30°，且ME⊥AD∴DM=12，∵折疊，∴AG=GE，∠AFG=∠EFG，在RtΔGME中，∴GE∴GE=7在RtΔAGN中，∠A=60°，∴AG=2AN∴AN=7∴GN=7∵BC=CD=2，∠C=60°，∴Δ∵E點是CD中點，∴BE⊥CD，DE=1，∠BDC=60°，∴BE=3∵AB//DC，∴∠ABE=90°，在RtΔEFB中，∴EF∴EF=7∴AF=7∵NF=AF?AN，∴NF=21在RtΔGNF中，∴sin【點睛】本題考查了折疊問題，解非直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵.【變式5-3】（河南省鄭州市中原區(qū)中原區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，點E是線段AD上的一個動點，把△BAE沿BE折疊，點A落在A'處(A'在矩形內(nèi)部)，如果A'恰在矩形的某條對稱軸上，則AE的長為__________．【答案】52或【分析】分兩種情況：①過A'作MN∥CD交AD于M，交BC于N，則直線MN是矩形ABCD的對稱軸，得出AM=BN=4，由勾股定理得到A'N=3，求得A'M=2，再由勾股定理解得A'E即可；②過A'作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，過A'作MN∥CD交AD于M，交BC于則直線MN是矩形ABCD的對稱軸，∴AM=BN=12AD=4，MN∵△ABE沿BE折疊得到△A'BE，∴A'E=AE，A'B=AB=5，∴A'N=A'∴A'M=MN?A'N=5?3=2，由勾股定理得：A'E∴A'E解得：A'E=5∴AE=5②如圖2，過A'作PQ∥AD交AB于P，交CD于則直線PQ是矩形ABCD的對稱軸，∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥∴A'B=AB=2PB，∴∠PA'B=30°，∴∠A'BC=30°，∴∠EBA'=1∴AE=A'E=tan綜上所述：AE的長為52或5故答案為：52或5【點睛】本題考查了翻折變換??折疊問題，軸對稱圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．【題型6解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡比問題）】【例6】（2022·重慶八中九年級期末）為了消防安全，學(xué)校在校園廣場步行梯（折線ABCD）處新建了學(xué)生宿舍安全通道（折線AEF），其剖面示意圖如圖所示，廣場步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i≈0.62（即坡角的正切值）．新建安全通道頂端點F到廣場步行梯底部所在水平面DG的距離DF的長約為（

）（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米【答案】D【分析】過B作BH⊥AE于H，延長BC交DF于M，設(shè)AE交DF于N，則MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，先由銳角三角函數(shù)定義求出DM≈2.12（米），CM≈3.4（米），則HN＝BM＝5.8（米），再由銳角三角函數(shù)定義求出MN＝BH≈3.18（米），AH≈5.1（米），然后由坡度的定義求出FN≈4.34（米），即可求解．【詳解】解：如圖所示：過B作BH⊥AE于H，延長BC交DF于M，設(shè)AE交DF于N，則MN＝BH，HN＝BM，BM∥DG，∴∠DCM＝∠CDG＝32°，在Rt△CDM中，sin∠DCM＝DMCD，cos∠DCM＝CM∴DM＝CD?sin32°≈4×0.53＝2.12（米），CM＝CD?cos32°≈4×0.85＝3.4（米），∴HN＝BM＝BC＋CM＝2.4＋3.4＝5.8（米），在Rt△ABH中，∠A＝32°，sinA＝BHAB，cosA＝AH∴MN＝BH＝AB?sin32°≈6×0.53＝3.18（米），AH＝AB?cos32°≈6×0.85＝5.1（米），∴AN＝AH＋HN＝5.1＋5.8＝10.9（米），∴EN＝AN?AE＝10.9?3.9＝7（米），∵步梯EF的坡度i≈0.62＝FNEN∴FN≈0.62×7＝4.34（米），∴DF＝DM＋MN＋FN＝2.12＋3.18＋4.34≈9.6（米），故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·四川資陽·九年級期末）如圖，在操場上的A處，測得旗桿頂端N點的仰角是30°，前進(jìn)20米后到達(dá)旗臺的底端B處，測得旗桿頂端N點的仰角是45°，繼續(xù)沿著坡比為1:3的斜坡BC上升到C處，此時又測得旗桿頂端N點的仰角是60°，旗桿MN垂直于水平線AD，點A、B、D在同一直線上，CM//【答案】MN=103【分析】過點C作CE⊥AD于點E，先證CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN=3【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AD于點E，∵CM∥AD，∠D＝90°，∴∠CMN＝∠D＝90°，∵∠NCM＝60°，∴∠CNM＝90°﹣∠NCM＝30°，∴CN＝2CM，又∵∠NBD＝45°，∠D＝90°，∴∠BND＝90°﹣∠NBD＝45°，∴∠BNC＝15°，∵BC的坡比為1：3=CE：∴tan∠CBE=1∴∠CBE＝30°，∴∠CBN＝15°＝∠BNC，∴CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN=3又∵sin∠CBE=∴CE=12CB＝x（米），BE∴ND＝MN+MD＝MN+CE＝（3+1）x∵AB＝20米，∴AD＝AB+BE+ED＝AB+BE+CM＝[20+（1+3）x又∵∠A＝30°，∴tan∠NAD=即(3解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴MN=103答：旗桿MN的高度為103【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和坡度坡角的定義，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·浙江嘉興·九年級專題練習(xí)）為了監(jiān)控危險路段的車輛行駛情況，通常會設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測速．如圖電子眼位于點P處，離地面的鉛垂高度PQ為11米；離坡AB的最短距離是11.2米，坡AB的坡比為3：4；電子眼照射在A處時，電子眼的俯角為30°，電子眼照射在坡角點B處時，電子眼的俯角為70°．（A、B、P、Q在同一平面內(nèi)）(1)求路段BQ的長；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）(2)求路段AB的長；（3≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）(3)如圖的這輛車看成矩形KLNM，車高2米，當(dāng)PA過M點時開始測速，PB過M點時結(jié)束測速，若在這個測速路段車輛所用的時間是1.5秒．該路段限速5米/秒，計算說明該車是否超速？【答案】(1)4米(2)8米(3)不超速，計算過程見詳解【分析】（1）先求出∠PBQ的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求BQ的長；（2）通過做輔助線構(gòu)造直角三角形PAE，結(jié)合所給坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的長；（3）通過做輔助線，構(gòu)造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的長，結(jié)合題意，再利用三角函數(shù)求出測速距離，進(jìn)而求出車的平均速度，即可判斷出是否超速．（1）解：∵電子眼照射在坡角點B處時的俯角為70°，∴∠QPB=90∵∠PQB=90∴∠PBQ=70∵PQ∴BQ=即路段BQ的長為4米．（2）如圖，過點A作AE⊥PQ，垂足為E，過點A作QB的垂線段，交QB的延長線于點G，∵坡AB的坡比為3：4設(shè)BG=4x，AG=3x,在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，AB=A∵AE=QG=4x+4，EQ=AG=3x，∴PE=PQ?EQ=11?3x，∵電子眼照射在A處時俯角為30°，∠APE=在Rt△PAE中，AEPE∴AE=PE?tan即4x+4=解得x≈1.62，∴AB=5x≈8即路段AB的長為8米．（3）解：過點P作PD⊥AB，垂足為D，在Rt△PBQ中，PB=P在Rt△PDB中，BD=P∴AD=AB?BD=8?3.4=4.6∵M(jìn)K∴2AK又∵M(jìn)K∴2BK車輛測速區(qū)間s=AB?AK?BK=8?0.82?0.61=6.57，v=∴該車不超速．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)、勾股定理和求直角三角形等有關(guān)知識，是一道實際問題，能正確做出輔助線并結(jié)合實際理解問題是做出本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·上海市羅山中學(xué)九年級期中）圖1是某區(qū)規(guī)劃建設(shè)的過街天橋的側(cè)面示意圖，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨橋，兩腰AB，CD表示橋兩側(cè)的斜梯，A，D兩點在地面上，已知AD＝40m，設(shè)計橋高為4m，設(shè)計斜梯的坡度為1：2.4．點A左側(cè)25m點P處有一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以P為圓心，半徑為3m的圓形保護(hù)區(qū)．(1)求主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和；(2)為了保證橋下大貨車的安全通行，橋高要增加到5m，同時為了方便自行車及電動車上橋，新斜梯的坡度要減小到1：4，新方案主跨橋的水平位置和長度保持不變．另外，新方案要修建一個緩坡MN作為輪椅坡道，坡道終點N在左側(cè)的新斜梯上，并在點N處安裝無障礙電梯，坡道起點M在AP上，且不能影響到古樹的圓形保護(hù)區(qū)．已知點N距離地面的高度為0.9m，請利用表中的數(shù)據(jù)，通過計算判斷輪椅坡道的設(shè)計是否可行．表：輪椅坡道的最大高度和水平長度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m）1.200.900.750.600.30水平長度（m）24.0014.409.006.002.40【答案】(1)主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和為26.6m(2)輪椅坡道的設(shè)計不可行，理由見解析【分析】（1）根據(jù)斜坡AB的坡度以及天橋的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，進(jìn)而求出EF＝BC的長，再計算主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和；（2）根據(jù)坡度的定義求出新方案斜坡A'B'的水平距離A'E進(jìn)而求出點M到點G的最大距離，再由表格中輪椅坡道的最大高度和水平長度的對應(yīng)值進(jìn)行判斷即可．（1）解：如圖，作直線AD，則AD過點A'和點D'，過點B、C分別作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足為E、F，延長EB，延長FC，則射線EB過點B'，射線FC過點C'，由題意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度為1：2.4，即BEAE∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝AE2+BE2＝9.∴主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和為AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨橋與橋兩側(cè)斜梯的長度之和為26.6m．（2）解：∵斜坡A'B'的坡度為1：4，即B'∴A'E＝5×4＝20（m），∴AA'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），點M到點G的最多距離MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴輪椅坡道的設(shè)計不可行．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)坡度和坡角構(gòu)造直角三角形，然后分別用解直角三角形的知識坡道的水平距離是解答本題的關(guān)鍵．【題型7解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】【例7】（2022·重慶巴蜀中學(xué)九年級）如圖，巴蜀中學(xué)旁邊高36米的高樓AB正對著斜坡CD，點E在斜坡處．已知斜坡的坡角∠DCG為30°，AB⊥BC，若點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，從點E處測得樓頂A的仰角α為37°，樓底B的俯角β為24°，現(xiàn)計劃在斜坡中點E處挖去部分斜坡，修建一個平行于水平線BC的平臺EF和一條新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比為3：1．某施工隊承接這項任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實際工作效率提高到原計劃的1.5倍，結(jié)果比原計劃提前2天完成任務(wù)，施工隊原計劃平均每天修建_________米？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）【答案】3【分析】延長FE交AB于M，設(shè)ME=x，根據(jù)直角三角形函數(shù)得出AM=tanα?x，BM=tanβ?x，然后根據(jù)tanα?x+tanβ?x=36，即可求得EM的長，根據(jù)BM=NG=DN，得到DN的長，然后解直角三角形函數(shù)求得EN和FN，進(jìn)而求得EF和DF的長，然后根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得．【詳解】延長FE交AB于M，∵EF∥BC，∴MN⊥AB，MN⊥DG，∴四邊形BMNG是矩形∴BM=GN，BG=MN設(shè)ME=x，∴AM=tanα?x，BM=tanβ?x，∵AB=36，∴tanα?x+tanβ?x=36，∴tan37°x+tan24°x=36，0.75x+0.45x=36，解得x=30，∴ME=30（米）；∵GN=BM=tan24°?30=13.5，DE=CE，EF∥BC，∴DN=GN=13.5（米），∵∠DCG=30°，∴∠DEN=30°，∴EN=∵DNFN∴∠DFN=60°，∴∠EDF=30°，F(xiàn)N=DN∴DF=EF=EN-FN=13.5×23∴EF+DF=27×2設(shè)施工隊原計劃平均每天修建y米，根據(jù)題意得，183解得y=33經(jīng)檢驗，是方程的根，答：施工隊原計劃平均每天修建33【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．【變式7-1】（2022·四川廣元·中考真題）如圖，某無人機愛好者在一小區(qū)外放飛無人機，當(dāng)無人機飛行到一定高度D點處時，無人機測得操控者A的俯角為75°，測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°．已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，小區(qū)樓房BC的高度為153（1）求此時無人機的高度；（2）在（1）條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．問：經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開了操控者的視線？（假定點A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+3，【答案】（1）153+30米；（2）【分析】（1）通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，進(jìn)而得到DH的值；（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BAC的度數(shù)，接著求出∠GFA的度數(shù)，作輔助線構(gòu)造直角三角形求出DG和GF，進(jìn)而得到DF的值，最后除以無人機速度即可．【詳解】解：如圖1，過D點作DH⊥AB，垂足為點H，過C點作CE⊥DH，垂足為點E，可知四邊形EHBC為矩形，∴EH=CB，CE=HB，∵無人機測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°，測得操控者A的俯角為75°，DM∥AB，∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，∴∠CDE=∠ECD=45°，∴CE=DE，設(shè)CE=DE=HB=x，∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+153在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=2+3即x+153解得：x=30，∴DH=15∴此時無人機的高度為153（2）如圖2所示，當(dāng)無人機飛行到圖中F點處時，操控者開始看不見無人機，此時AF剛好經(jīng)過點C，過A點作AG⊥DF，垂足為點G，此時，由（1）知，AG=153∴DG=∵tan∠CAB∴∠CAB∵DF∥AB，∴∠DFA=∠CAB=30°，∴GF=GA∴DF=因為無人機速度為5米/秒，所以所需時間為303所以經(jīng)過63【點睛】本題綜合考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及到了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形等知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從題意與圖形中找出隱含條件，能構(gòu)造直角三角形求解等，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.【變式7-2】（2022·山東聊城·中考真題）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面H點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點B，H，D三點在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【答案】古槐的高度約為13米【分析】過點A作AM⊥EH于M，過點C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM=12米，進(jìn)而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出EN=32.08米，即可求出答案．【詳解】解：過點A作AM⊥EH于M，過點C作CN⊥EH于N，由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在Rt△AME中，∠EAM=26.6°，∴tan∠EAM=∴AM=EM∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BD?BH=8米，∴CN=8米，在Rt△ENC中，∠ECN=76°，∴tan∠ECN=EN∴EN=CN?tan∴CD=NH=EH?EN=12.92≈13（米），即古槐的高度約為13米．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·四川自貢·九年級專題練習(xí)）某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin【答案】(1)兩漁船M，N之間的距離約為20米(2)需要填筑的土石方為43200立方米【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性質(zhì)解得PH的長，在Rt△PEM中，由正切定義解得ME的長，最后利用線段的和差解答；（2）過點D作DG⊥AB于G，利用坡度的定義解得AG，GH的長，繼而解得AH的長，最后根據(jù)三角形面積公式解答．（1）解：由題意得∠E＝90°，∠PME=α=31°，∠PNE=β=45°，PE＝30米．在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，在Rt△PEM中，tan∴ME≈30∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）答：兩漁船M，N之間的距離約為20米（2）如圖，過點D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米，∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，∴DG：AG＝1：0.25，∴AG＝24×0.25＝6（米），∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42（米）∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）∴SΔ∴需要填筑的土石方為432×100＝43200（立方米）答：需要填筑的土石方為43200立方米．【點睛】本題考查仰角的定義及坡度、正切定義等知識，是重要考點，要求學(xué)生能借助構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【題型8解直角三角形的應(yīng)用（方向角問題）】【例8】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)第二初級實驗中學(xué)一模）在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到來自故障船C的求救信號，已知A、B相距1003+1海里，C在A的北偏東60°方向上，C在B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得C正好在觀測點(1)求AC和AD（運算結(jié)果若有根號，保留根號）；(2)已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸礁的危險