總體集中趨勢的估計

第九章統(tǒng)計9.2.3總體集中趨勢的估計

學習目標1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))．2.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.數(shù)學學科素養(yǎng)1．數(shù)學運算：求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；2.數(shù)據(jù)分析：頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).學習

重難點能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)探索新知你還記得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是什么嗎？這些統(tǒng)計量刻畫了數(shù)據(jù)的什么特點？

眾

數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排序后，當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時，處在最中間的數(shù)是中位數(shù)；當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時，最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。平均數(shù)：這些統(tǒng)計量刻畫了數(shù)據(jù)的“中心位置”，即數(shù)據(jù)的集中趨勢。問題解析探索新知思考一根據(jù)下表中100戶居民的月均用水量，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

探索新知思考二假設某個居民小區(qū)有2000戶，你能估計該小區(qū)的月用水總量嗎？根據(jù)上述思考可得：全市居民用戶的月均用水量約為8.79t，則2000戶居民的月用水總量為：2000×8.79=17580t小明用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。但在錄入數(shù)據(jù)時，不小心把一個數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。通過計算發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)由原來的8.79t變?yōu)?.483t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8t。思考三探索新知思考四與真實的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？平均數(shù)變化較大。這是因為樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，樣本中的任何一個數(shù)的改變都會引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起中位數(shù)的改變。因此，與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感。探索新知思考五平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關。在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關系？如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多如果直方圖在右邊“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù)。單峰平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊。例一某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格。根據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示：校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論上表數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性。解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)?？梢园l(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適。由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理。平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)在頻率分布直方圖中的含義特點探索新知思考六從上述思考題和例題中，你能總結出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點嗎？每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標最高矩形的中點的橫坐標與每一個數(shù)據(jù)有關，任何一個數(shù)的改變都會引起它的改變只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，并未利用其他數(shù)據(jù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息思考七根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自的特點，我們應如何選擇適合的統(tǒng)計量來表示數(shù)據(jù)的集中趨勢？一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產品質量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù)。描述集中趨勢統(tǒng)計量的選擇樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)。例如，我們在報紙、網絡上獲得的往往是已經整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖。這時該如何估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？你能以下面的頻率分布直方圖提供的信息為例，給出估計方法嗎？探索新知思考八例二根據(jù)下面的頻率分布直方圖，估計月均用水量樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

因為樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替。即每一組的平均數(shù)為該組小矩形底邊中點橫坐標。根據(jù)中位數(shù)的意義可得，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。

由于0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2，7.2）內。設中位數(shù)為x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71因此，中位數(shù)約為6.71。根據(jù)眾數(shù)定義得，出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)是眾數(shù)。如上圖所示，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值。VS9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6探索新知思考九根據(jù)上述計算出的樣本平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你有什么結論？100戶居民的月均用水量的平均數(shù)8.79t.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.8t。100戶居民的月均用水量的平均數(shù)8.96t.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.71t。結果基本一致這句話是真實的，但它可能描述的是差異巨大的實際情況。例如，可能這個公司的工資水平普遍較高，也就是員工收入的中位數(shù)、眾數(shù)與平均數(shù)差不多；也可能是絕大多數(shù)員工的年收入較低，而少數(shù)員工的年收入很高；在這種情況下，年收入的平均數(shù)就比中位數(shù)大得多。盡管在后一種情況下，用中位數(shù)或眾數(shù)比用平均數(shù)更合理些，但這個企業(yè)的老板為了招攬員工，卻用了平均數(shù)。所以，我們要強調”用數(shù)據(jù)說話”,但同時又要防止被誤導。探索新知思考十假設你到人力市場去找工作，有一個企業(yè)老板告訴你，“我們企業(yè)員工的年平均收入是20萬元“。你如何理解這句話？你能總結用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)來估計總體的數(shù)字特征各自的優(yōu)缺點嗎？受極端數(shù)據(jù)的影響較大.代表了樣本數(shù)據(jù)更多的信息.只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響.平均數(shù)眾數(shù)和中位數(shù)缺點優(yōu)點探索新知在一次人才招聘會上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收人水平很高”“去年，在50名員工中，最高年收入達到了200萬，員工年收人的平均數(shù)是10萬”，而你的預期是獲得9萬元年薪.(1)你是否能夠判斷年薪為9萬元的員工在這家公司算高收入者?(2）如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”，這個信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定?為什么?(3）如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的第一四分位數(shù)為4.5萬，第三四分位數(shù)為9.5萬，你又該如何使用這條信息來作出是否受聘