數(shù)列例題集錦

【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1.研究通項(xiàng)的性質(zhì)例題1.已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）證明：.解：（1）.（2）證明：由已知，故，所以證得.例題2.數(shù)列的前項(xiàng)和記為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求.解：（Ⅰ）由可得，兩式相減得：，又∴故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列∴（Ⅱ）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，∴∴∴例題3.已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列.⑴求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；⑵是否存在，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，.（2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的取值情況.解：（1）已知…）①時(shí)，…）②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*）.由題意，，，所以，，∴數(shù)列的公差為，∴，）.（2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，又，所以，不存在，使得.例題4.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項(xiàng)an，bn解：依題意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn為正數(shù)，由②得，代入①并同除以得：，∴為等差數(shù)列∵b1=2，a2=3，，∴，∴當(dāng)n≥2時(shí)，，又a1=1，當(dāng)n=1時(shí)成立，∴2.研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2），），得，.例題6.數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列，∴，∴由，得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴.例題7.已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項(xiàng).（1）求{}的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立的的最小值.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=2·2（n－1）=2n（2）∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，則2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值為5.例題8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且成等差數(shù)列，.函數(shù).（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較的大小.解：（I）成等差數(shù)列，①當(dāng)時(shí)，②.①－②得：，，當(dāng)n=1時(shí)，由①得，又是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，（II）∵，，，比較的大小，只需比較與312

的大小即可.∵∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.3.研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9.（I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II）設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.解：（Ⅰ）因?yàn)閧cn+1－pcn}是等比數(shù)列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），將cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）設(shè){an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn.為證{cn}不是等比數(shù)列只需證≠c1·c3.事實(shí)上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pqc1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c1·c3，故{cn}不是等比數(shù)列.例題10.n2（n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11+a22+a33+…+ann解：設(shè)數(shù)列{}的公差為d，數(shù)列{}（i=1，2，3，…，n）的公比為q則=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k－1）d]qk－1依題意得：，解得：a11=d=q=±又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù)，∴a11=d=q=，∴akk=，，兩式相減得：例題11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，記（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若，求的最小值；（3）求使不等式對(duì)一切均成立的最大實(shí)數(shù).解：（1）由題意得，解得，（2）由（1）得，①②①－②得.，設(shè)，則由得隨的增大而減小時(shí)，又恒成立，（3）由題意得恒成立記，則是隨的增大而增大的最小值為，，即.（二）證明等差與等比數(shù)列1.轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.例題12.數(shù)列中，且滿足，.⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)，求；⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3），若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7.即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有例題13.已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*.（1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若.解：（1）設(shè)的公比為q，∵，∴。所以是以為公差的等差數(shù)列.（2）∵所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得…2.由簡(jiǎn)單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列例題14.已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列.（I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：.解法1：（I）證：由，有，.（II）證：∵，，，.是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列.（III）解：由（=2*ROMANII）得，，于是.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故解法2：（=1*ROMANI）同解法1（=1*ROMANI）.（II）證：，又，是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列.（=3*ROMANIII）由解法1中（=2*ROMANII）的類似方法得，，，.∴.例題15.設(shè)數(shù)列（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，bn=f（bn－1）（n∈N*，n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Ｔn.（1）證明：由相減得：∴數(shù)列是等比數(shù)列（2）解：是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，∴..（3）解：時(shí)①②①－②得：∴所以：.例題16.的各個(gè)頂點(diǎn)分別為，設(shè)為線段的中點(diǎn)，為線段OC的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).對(duì)每一個(gè)正整數(shù)為線段的中點(diǎn).令的坐標(biāo)為，.（1）求及；（2）證明：（3）記，證明：是等比數(shù)列.（1）解：因?yàn)閥1=y2=y4=1，y3=，y5=，所以得a1=a2=a3=2.又由，對(duì)任意的正整數(shù)n有an+1====an恒成立，且a1=2，所以{an}為常數(shù)數(shù)列，an=2，（n為正整數(shù)）（2）證明：根據(jù)，及=an=2，易證得yn+4=1－（3）證明：因?yàn)閎n+1==（1－）－（1－）=，又由b1==1－y4=，所以{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【模擬試題】一、填空題1.在等差數(shù)列｛a｝中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于=.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和.3.首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正，則公差的取值范圍是.4.在等比數(shù)列中，和是二次方程的兩個(gè)根，則的值為.5.等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=.6.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi)_______7.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，=，若為正整數(shù)，n的取值個(gè)數(shù)為_(kāi)__________。8.已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則.9.記數(shù)列所有項(xiàng)的和為，第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第三項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，若，，，，則等于.10.等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_(kāi)____.11.等差數(shù)列中，，若且，，則的值為.12.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則等于.13.已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)，都有，且，則____.14.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且，則b的取值范圍是.15.等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，首項(xiàng).（1）若，求（2）設(shè)，求使不等式的最小正整數(shù)的值.點(diǎn)撥：在等差數(shù)列中知道其中三個(gè)就可以求出另外一個(gè)，由已知可以求出首項(xiàng)與公差，把分別用首項(xiàng)與公差，表示即可.對(duì)于求和公式，采用哪一個(gè)都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個(gè)可能更簡(jiǎn)單一些.例如：已知判斷的正負(fù).問(wèn)題2在思考時(shí)要注意加了絕對(duì)值時(shí)負(fù)項(xiàng)變正時(shí)，新的數(shù)列首項(xiàng)是多少，一共有多少項(xiàng).16.等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，，.（I）求數(shù)列{}的通項(xiàng)與前項(xiàng)和為；（II）設(shè)（），求證：數(shù)列{}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.17.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.⑶設(shè)，等差數(shù)列{}的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求{}的通項(xiàng)公式.18.已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足（n∈N*），證明：是等差數(shù)列.【試題答案】1.422.3.4.5.106.2107.；5個(gè)解法一：點(diǎn)撥利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”解析：=解法2：點(diǎn)撥利用“若{}為等差數(shù)列，那么”這個(gè)結(jié)論，根據(jù)條件找出和的通項(xiàng).解析：可設(shè)，，則，，則=由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數(shù)即可，故，共5個(gè).點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用.反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1.8.49.解：.10.解：依題意，中間項(xiàng)為，于是有解得.11.解：由題設(shè)得，而，，又，，.12.解：，，.∴。13.解：由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個(gè)等差數(shù)列，形成一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，.14.解：設(shè)，則有.當(dāng)時(shí)，，而，；當(dāng)時(shí)，，即，而，，則，故.15.解：（1）由，得：