湖北省騰云聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省“騰?云”聯(lián)盟2024—2025學(xué)年度上學(xué)期八月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答策標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的一個對稱中心的是（）A.B.C.D.4.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.B.C.D.5.中國航天英雄太空旅程時間一覽表如下，則太空旅程時間數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為（）神舟五號神舟六號神舟七號神舟九號神舟十號神舟十一號神舟十二號神舟十三號神舟十四號神舟十五分神舟十六神舟十七號21時23分5天3天13天15天33天90天183天183天187天154天187天A.3B.8C.9D.1836.如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時，液面恰好過的四等分點處，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（）A.B.C.D.7.直線經(jīng)過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（）A.9B.C.D.8.已知函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時和騎自行車用時都服從正態(tài)分布.則下列說法中正確的是（）（參考數(shù)值：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.）A.B.C.D.10.已知平面四邊形中，，和，將平面四邊形沿對角線翻折，得到四面體.則下列說法正確的是（）A.無論翻折到何處，B.四面體的體積的最大值為C.當(dāng)時，四面體的外接球的體積為D.當(dāng)時，二面角的余弦值為11.已知定義域為的函數(shù)滿足：①若，則；②對一切正實數(shù)，則（）A.B.C.，恒有成立D.存在正實數(shù)，使得成立三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面內(nèi)不共線的向量兩兩夾角相等，且，則__________.13.從有5個紅球和4個藍(lán)球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅球的條件下第4次摸到紅球的概率為__________.14.已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點出發(fā)平行于軸的光線經(jīng)過拋物線上點反射后交拋物線于點，直線與軸交點橫坐標(biāo)為__________；的面積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，且的面積為，求.16.（15分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）討論關(guān)于方程的解的個數(shù).17.（15分）如圖，已知四棱錐中，平面，且（1）證明：平面；（2）已知銳二面角的正弦值為，求二面角的余弦值.18.（17分）已知點是圓上的任意一點，，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡記為；點是圓上的任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡記為；已知直線與相交于點，與相交于點，線段和線段的中點分別為.（1）求曲線和曲線的方程；（2）已知的面積為，求直線的斜率的值.19.（17分）在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“A型擴展”.如將數(shù)列進(jìn)行“A型擴展”，第一次得到數(shù)列：第二次得到數(shù)列設(shè)第次“A型擴展”后所得數(shù)列為（其中），并記；在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入后項與前項的商，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“B型擴展”.即將數(shù)列進(jìn)行“B型擴展”，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列設(shè)第次“B型擴展”后所得數(shù)列為（其中），當(dāng)時，記.（1）當(dāng)時，求數(shù)列1，2第3次“A型拓展”得到的數(shù)列的第6項；（2）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在一個項數(shù)為的數(shù)列，記的各項和為，記進(jìn)行第一次“B型拓展”后得到的新數(shù)列，記各項和為，使得成立.（其中，是第二問中數(shù)列的通項公式）若存在，寫出一個滿足條件的的通項公式；若不存在，請說明理由.湖北省“騰·云”聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期8月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：江夏區(qū)第一中學(xué)命題教師：湯文審題教師：胡軍鄭俊考試時間：2024年8月12日下午15：00-17：00試卷滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B2.【答案】A【詳解】當(dāng)是純虛數(shù)時，一定有，但是當(dāng)時，只有當(dāng)時，才能是純虛數(shù)，所以"復(fù)數(shù)是純虛數(shù)"是""的充分而不必要條件，故選：A3.【答案】D【詳解】，故D正確.4.【答案】A【詳解】中，，即5.【答案】C【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列后得到21時23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，即9.6.【答案】B【詳解】設(shè)當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為，依題意，側(cè)面水平放置時，液面恰好過的四等分點處，，所以水的體積，解得.故選：B7.【答案】A【詳解】，，關(guān)于點對稱，則直線經(jīng)過點，即，故選：A8.【答案】C【詳解】當(dāng)時，若，則，要使恒成立，即若，則，要使恒成立，即，即當(dāng)時，在上單調(diào)遞增要使恒成立，即綜上所述，的取值范圍為二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.【答案】AD【詳解】由題意可設(shè)，所以；所以A正確，B錯誤；由題意可得：坐公交車用時可得，故C錯誤；，那么，坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.故D正確.10.【答案】ACD對于選項，取線段的中點，連接，是等邊三角形，中，平面，平面，又平面故A正確；對于選項B，當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，最大值為故B錯誤；對于選項，當(dāng)時，，即兩兩垂直將四面體補成正方體，則外接球半徑為，外接球體積為故C正確.對于選項D，當(dāng)時，，將四面體補成正方體取中點中點，易得平面，是二面角的平面角，故D正確.11.【答案】BCD【詳解】A錯，無法確定的值；B對，令，代入條件②中，，即C對，當(dāng)時，，且當(dāng)時，D對，D對，取，由于，從而成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即而公差，所以當(dāng)n充分大時，可使.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】因為平面內(nèi)不共線平面向量兩兩的夾角相等，即兩兩的夾角為，13.答案：【詳解】用表示事件"第次摸到紅球"，表示事件"第次摸到紅球"，.14.【答案】；【詳解】設(shè)切線與軸交于點，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，過焦點，即與軸交點橫坐標(biāo)為；，直線的斜率為直線的傾斜角為，且即四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.【詳解】（1）由題設(shè)及正弦定理得，即.，整理得，即，，即.（2）由得，由余弦定理得即.16.（1）函數(shù)的定義域為令，解得當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，有極小值綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為極小值為，且無極大值.（2）令，解得當(dāng)吋，；當(dāng)時，.當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長，從而當(dāng)時，結(jié)合（1）中分析可得，的大致圖象如圖所示，方程的解的個數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù).由（1）可得當(dāng)時，有最小值由圖可得，當(dāng)時，方程有0個解當(dāng)或時，方程有且僅有1個解.當(dāng)時，方程有且僅有兩個解.17.【詳解】（1）法一：如圖1，延長和相交于點，連接，，，即又，即平面平面平面法二：如圖2，過作平行交于點即，，，，均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面法三：如圖2，過作平行交于點，連接，且平行，，即平行于，..均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面（2）法一：平面平面平面平面如圖3，過點作交于平面平面平面平面過點作交于平面為二面角的平面角，設(shè)，則平面平面，又，中，，則過點作交于點，連接，則為二面角的平面角，綜上所述，二面角的余弦值為法二：如圖4，在平面內(nèi)過點作的垂線于的延長線交于點過作交于，連接，平面平面平面平面平面平面平面平面平面又平面，即為二面角的平面角平面平面，又，中，，則，，中，邊上的高設(shè)二面角的平面角為平面綜上所述，二面角的余弦值為.法三：如圖5，平面在平面內(nèi)過點引的垂線記為軸，以所在直線為軸，軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面平面，又，中，，則設(shè)平面的法向量為，取，則，平面的法向量為二面角的正弦值為，①，設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為②由①解得，代入②中，得綜上所述，二面角的余弦值為.18.（1）依題意可得，點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，即依題意可得，點的軌跡是以為焦點，1為實軸長的雙曲線，即（2）設(shè)聯(lián)立消去得，，由韋達(dá)定理可得聯(lián)立.去得，，由韋達(dá)定理可得則線段的長度為點到直線的距離為，即，，，法一：，令在上單調(diào)遞增，，19.【答案】（1）8；（2）；【詳解】（1）將數(shù)列1，2進(jìn)行第一次"型拓展"得到1，2，2；進(jìn)行第二次"型拓展"得到；進(jìn)行第三次"型拓展"得到1，