廣東省珠海市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)本答案共15頁，分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.3.在中，D是BC上一點(diǎn)，滿足，M是AD的中點(diǎn)，若，則（）A.B.1C.D.4.已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A.6B.C.D.5.一個內(nèi)角為30°的直角三角形，分別以該三角形的斜邊?兩條直角邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個幾何體.這3個幾何體的體積從小到大之比為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.7.函數(shù)，其中，其最小正周期為，則下列說法錯誤的是（）A.B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)圖象向右移個單位后，圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為D.若，則函數(shù)的最大值為8.若不等式對一切恒成立，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，是發(fā)生的概率.，則下列說法正確的是（）A.若A，B互斥，則B.若，則相互獨(dú)立C.若互斥，則相互獨(dú)立D.與相等10.設(shè)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個公共點(diǎn)B.存在無數(shù)個等腰三角形，其三個頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上C.存在無數(shù)個菱形，其四個頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上D.存在唯一的正方形，其四個頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上11.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)，距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)（橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3D.曲線C上有且僅有3個點(diǎn)P滿足三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與曲線相切，則___________.13.已知點(diǎn)在雙曲線上，，分別是雙曲線C的左?右焦點(diǎn)，若的面積為45，則___________.14.甲?乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分.那么甲?乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是___________分，方差是___________分.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，角的對邊分別為其中，，且.（1）求的值；（2）若的外接圓半徑為5，求面積的最大值.16.（15分）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求面與面夾角的正切值.17.（15分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓C上，直線.（1）若直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，記直線與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為橢圓上兩動點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.18.（17分）設(shè)函數(shù)，.（1）試判斷的單調(diào)性；（2）證明：對任一，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.（3）已知，證明：（其中）19.（17分）對于數(shù)列，若存在常數(shù)T，，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為混周期數(shù)列.記為不超過x的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足：（1）若對任意正整數(shù)都有，請寫出三個滿足條件的的值；（2）若數(shù)列是純周期數(shù)列，請寫出滿足條件的的表達(dá)式，并說明理由；（3）證明：不論為何值，總存在使得.珠海市2025屆高三第一次摸底考試答案（詳解版）數(shù)學(xué)本答案共15頁，分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，集合，由補(bǔ)集的運(yùn)算可得或或，對應(yīng)區(qū)間為.2.【答案】B【解析】法一：，且.法二：.3.【答案】C【解析】是的中點(diǎn)，，又從而得到，進(jìn)而可知.4.【答案】D【解析】由可得：，直線方程為，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.5.【答案】C【解析】如圖所示，如圖所示，中，不妨設(shè).繞旋轉(zhuǎn)得到圓錐，其體積為，繞旋轉(zhuǎn)得到圓錐，其體積為，繞旋轉(zhuǎn)得到兩個共底面的圓錐，其體積為，顯然.6.【答案】A【解析】設(shè)圖象如圖，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為圖象與函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.7.【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：，最小正周期為，而，所以；對于選項(xiàng)B：由三角函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)的對稱中心為；對于選項(xiàng)C：函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到，即；又關(guān)于軸對稱，所以，可得，所以，當(dāng)時(shí)，是最小的；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，所以，函數(shù)的最大值為.8.【答案】A【解析】法一：：不等式對一切恒成立不等式對一切恒成立，故，今，則有；故，不等式對一切恒成立恒成立，顯然，.又，則，當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，上遞減，易知當(dāng)時(shí)，，故符合題意.綜上，，因此.法二：不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)，故，只需直線為在點(diǎn)處的切線即可，易得，此時(shí).當(dāng)時(shí)，亦恒過點(diǎn)，為使對一切恒成立，只需開口向下，且在點(diǎn)處與有公切線即可，故，此時(shí).綜上，的取值范圍是.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，9.【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A，B，C：根據(jù)事件互斥?事件獨(dú)立的定義，可判定A和B正確，C錯誤；對于選項(xiàng)D：所以，與相等，D正確.10.【答案】ABC【解析】為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，對于選項(xiàng)A：函數(shù)與圓的圖象如圖所示：故，函數(shù)與圓有且只有兩個公共點(diǎn)，故，A正確；對于選項(xiàng)B，C：由于函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，過點(diǎn)作直線交的圖象于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的圖象于兩點(diǎn)，則為等腰三角形，四邊形為菱形，當(dāng)線段繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，仍為等腰三角形，四邊形仍為菱形，故選項(xiàng)B，C均正確；對于選項(xiàng)D：由于，故，要使得正方形存在，則為等腰直角三角形.顯然，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象外側(cè)，則，此時(shí).利用極限思想，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；如圖所示，故至少存在兩個正方形.故D錯誤.11.【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A：化簡得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，A正確；對于選項(xiàng)B：令解得，即：曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，得.今，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點(diǎn).故，B錯誤；對于選項(xiàng)C：可得，所以，曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，即：都不超過3，故C正確；對于選項(xiàng)D：點(diǎn)滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，故，只有原點(diǎn)滿足，故，D錯誤.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【解析】曲線在處的切線方程為，令，則有，從而，填.13.【答案】25【解析】由已知得，雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，則右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則，所以.由雙曲線的對稱性，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然，由雙曲線的定義，得，所以，.14.【答案】，【解析】根據(jù)課本公式：，.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟，15.【解答】解：解：（1）由題意可得，，由正弦定理可知，.在中，，，即：.，，即：.又，解得.（2）由正弦定理可知，，，.由余弦定理可知，，即：，由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，可得，即：.，.所以，面積的最大值為32.16.【解答】證明：（1）連接，是三棱柱，是平行四邊形.，定等邊三角形.又是的中點(diǎn)，又平面平面，平面平面，面解：（2）由（1）得面，兩兩垂直.故，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)面與面的法向量分別為，面，不妨取.設(shè)，，取，得.設(shè)面與面的夾角為，所以，面與面的夾角的正切值為.17.【解答】解：（1）由題意可得，，所以，?圓的方程為.聯(lián)立方程組，整理得.直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，.由題意可知，點(diǎn)或到直線距離的最大值與直線平行且與橢圓相切的直線與直線間的距離.由（1）中的，解得或，此時(shí)得直線或直線與橢圓相切，與之間的距離與之間的距離，所以，四邊形面積的最大值為.18.【解答】解：（1）故，在上單調(diào)遞增.（2）令，則.又在上單調(diào)遞増，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，在處取最小值，即：，從而，，即：.（3），要證，只需證，即證.（*）顯然，當(dāng)時(shí)，不等式（*）中等號成立.令，由（2）可知：成立，即：成立，即：而成立，從而成立，19.【解答】解：（1）對任意正整數(shù)都有，①取，則，不符合題意；②取，則此時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列；③取，則，不符合題意；④取，則此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)⑤取，則，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)綜上所述，滿足條件的三個分別為.（答案不唯一，符合要求即可給分）（2）按（1）的思路，?。孩偃?，則.此時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列，亦為純周期數(shù)列；②取，則，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為混周期數(shù)列；③取，則，此時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列，亦為純周期數(shù)列；④取，則，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為混周期數(shù)列；⑤取，則，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為混周期數(shù)列；⑥取，則，此時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為混周期數(shù)列；⑦取，則，此時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列，為純周期數(shù)列.根據(jù)上述計(jì)算，得出猜想：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列（亦為純周期數(shù)列）下面進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列的每一項(xiàng)均為，該數(shù)列此時(shí)為常值數(shù)列，亦為純周期數(shù)列.（3）首先，根據(jù)（2）的分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常值數(shù)列（亦為純周期數(shù)列，滿足題意；接下來，證明：當(dāng)時(shí)，也存在，使得.，只需要證明數(shù)列中始終存在值為1的項(xiàng)即可.①當(dāng)時(shí)，顯然存在值為1的項(xiàng)；②當(dāng)時(shí)，有或.（i）若為偶數(shù)，則；（ii）若為奇數(shù)，則，所以，無論為