專題2.1等式性質(zhì)與不等式

TOC\o"12"\h\u知識(shí)點(diǎn)1：不等關(guān)系 2知識(shí)點(diǎn)2：比較大小 2知識(shí)點(diǎn)3：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 2題型1：用不等式表示不等關(guān)系 2題型2：比較兩數(shù)（式）的大小關(guān)系 4角度1：作差法比較大小關(guān)系 4角度2：作商法比較大小關(guān)系 5題型3：不等式性質(zhì)的應(yīng)用 8角度1：運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假 8角度2：運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明不等式 9角度3：運(yùn)用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 12題型4：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用 13學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航關(guān)鍵詞1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，理解等式與不等式的共性與差異.(重點(diǎn))2.類比等式的基本性質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法，研究不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì).(難點(diǎn))（1）不等關(guān)系（2）不等式（3）不等式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1：不等關(guān)系1．不等關(guān)系的建立在用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．知識(shí)點(diǎn)2：比較大小1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對(duì)．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。R(shí)點(diǎn)3：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．題型1：用不等式表示不等關(guān)系【典例1】（2324高一上·全國·課后作業(yè)）用不等式表示下列關(guān)系.(1)為實(shí)數(shù)，而且大于1不大于6；(2)與的平方和不小于2且不大于10.【答案】(1)(2)【分析】（1）不大于即小于等于，用符號(hào)可表示為，即；（2）不小于即大于等于，平方和可表示為，即.【詳解】（1）為實(shí)數(shù)且大于1可表示為，不大于6可表示為，所以用不等式可表示為；（2）與的平方和不小于2可表示為，不大于10可表示為；所以用不等式可表示為.【變式11】（2324高一上·云南曲靖·期中）下列說法正確的是（

）A．某人的月收入元不高于元可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．變量不小于可表示為“”D．變量不超過可表示為“”【答案】C【分析】利用不等式表示不等關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，某人的月收入元不高于元可表示為“”，A錯(cuò)；對(duì)于B，小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”，B錯(cuò)；對(duì)于C，變量不小于可表示為“”，C正確；對(duì)于D，變量不超過可表示為“”，D錯(cuò).故選：C【變式12】（2324高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知列出不等式，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以有.故選：B.【變式13】（2324高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運(yùn)往滅火前線．從物資集散地到滅火前線共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運(yùn)送，其他路段可用汽車運(yùn)送．已知在可用汽車運(yùn)送的路段，運(yùn)送的平均速度為，設(shè)需摩托車運(yùn)送的路段平均速度為，為使物資能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)總時(shí)長小于1列不等式，即汽車所用時(shí)間加上摩托車所用時(shí)間小于1小時(shí)即得．【詳解】由題意汽車所用時(shí)間加上摩托車所用時(shí)間小于1小時(shí)，即，故選：D．題型2：比較兩數(shù)（式）的大小關(guān)系角度1：作差法比較大小關(guān)系【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為．【答案】a＜b【詳解】解析：因?yàn)閎－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.【考查意圖】作差比較法比較大?。咀兪?1】（2324高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】利用作差法分析判斷.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.【變式22】（2324高一上·重慶長壽·期末）設(shè)，為正數(shù)，且，記，，則（

）A． B．C． D．，大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】利用作差法判斷即可.【詳解】，∵，為正數(shù)，且，，則，∴，∴，故選：C【變式23】（2425高一上·上海·假期作業(yè)）（1）;

（2）;（3）;

（4），;（5）【答案】<<<>>【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比較大小.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所?（4），因?yàn)?，所以，則;（5），因?yàn)?，所以，則.故答案為:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.角度2：作商法比較大小關(guān)系【典例4】，則的大小關(guān)系為．【答案】≥【分析】用作商法比較的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則由所以故答案為：【變式41】（2324高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計(jì)算，從而可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)椋?，即；（方?）所以，又，所以，所以.【變式42】設(shè)，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】，，，.【變式43】試比較下列組式子的大?。?1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通過比較與的大小來確定與的大?。?2)通過作差法來比較的大??；(3)通過作差法或作商法比較與的大小.【詳解】（1）解：，，因?yàn)?，所以，即；?）解：．因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)?，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)?，所以，，，所以，所以．題型3：不等式性質(zhì)的應(yīng)用角度1：運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【典例4】（2324高一上·云南昆明·期末）已知，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，以及特例和作差比較法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，例如：，滿足，但，所以A不正確；對(duì)于B中，例如：，滿足，但，所以B不正確；對(duì)于C中，由，因?yàn)?，可得且，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，可得，所以，所以D不正確.故選：C.【變式41】（2324高一上·北京·期中）能說明“若，則”為假命題的一組的值依次為;．【答案】1（答案不唯一）（答案不唯一，只要或或均可）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】若，則由，因此假命題時(shí)，只要滿足或或即可，如，故答案為：1；．（答案不唯一）【變式42】對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，命題①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可通過舉反例的方式判斷命題真假.【詳解】命題①若，，當(dāng)時(shí)，，故命題①為假命題；命題②若，當(dāng)時(shí)，則，故命題②為假命題；命題③若，則，正確，故命題③為真命題；命題④若，當(dāng)時(shí)，，故命題④為假命題；命題⑤若，，當(dāng)，，，時(shí)，則，故命題⑤為假命題;有1條真命題.故選：A.【變式43】已知a、b都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用不等式性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式成立，而當(dāng)時(shí)，滿足，不等式不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A角度2：運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明不等式【典例5】（2324高一上·河北保定·階段練習(xí)）設(shè)，，.(1)證明：；(2)若，證明.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)表示出，結(jié)合的符號(hào)可證結(jié)論；（2）利用作差比較法得，進(jìn)而可證結(jié)論.【詳解】（1）證明:∵，∴.a，b，c不同時(shí)為，則，∴；（2）.∵，取等號(hào)的條件為，而，∴等號(hào)無法取得，即，又，∴，∴.【變式51】（2324高一上·福建泉州·階段練習(xí)）（1）已知，設(shè)，，比較與的大??；（2）證明：已知，且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）作差法比較大??；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)可證.【詳解】（1），則；（2）因?yàn)?，且，則，則，則，則，則，則，又則.命題得證.【變式52】（2324高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：(1)已知，求證：；(2)已知，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明；（2）利用作差法證明即可.【詳解】（1），即，，則.（2），，，則，【變式53】（2324高一上·安徽·階段練習(xí)）（1），其中x，y均為正實(shí)數(shù)，比較a，b的大??；（2）證明：已知，且，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）利用作差法判斷即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）因?yàn)?，作差得，因?yàn)椋?，所以，，所以，即；?）因?yàn)?，且，，，所以，所以所以，所以，所以，?角度3：運(yùn)用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例6】（2324高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求得，利用不等式的性質(zhì)即可求的取值范圍．【詳解】設(shè)，所以，解得，即可得，因?yàn)?，，所以，故選：A．【變式61】（多選）（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由不等式的性質(zhì)直接求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，，故A、C正確；由題，故，B錯(cuò)誤；，則，故，D正確；故選：ACD.【變式62】（2425高一上·全國·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式倒數(shù)性質(zhì)求的范圍，然后同向不等式相乘可解．【詳解】因?yàn)椋?，，又，所?故選：D.【變式63】（2324高一下·江西宜春·開學(xué)考試）設(shè)，定義運(yùn)算“”和“”如下：，若正數(shù)m，n，p，q滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取特值驗(yàn)證即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AC，不妨取，則，排除AC；對(duì)于B，取，則，可排除B；對(duì)于D，假設(shè)且，則（矛盾），故m，n至少有一個(gè)大于等于2，所以.假設(shè)且，則（矛盾），故p，q至少又一個(gè)小于等于2，故.綜上，D正確.故選：D題型4：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例7】（2223高一上·廣東·期末）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好．設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為，．(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為，求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米；(2)若同時(shí)增加窗戶面積和地板面積各，判斷這所公寓的采光效果是否變好了，并說明理由．【答案】(1)20；(2)變好了，詳細(xì)見解析.【分析】（1）設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，化簡(jiǎn)得即得解；（2）設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積，再比較和的大小即得解.【詳解】（1）設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，所以，所以，所以.所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.（2）設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，則.因?yàn)椋?又因?yàn)椋?因此，即.所以窗戶和地板同時(shí)增加相等的面積，住宅的采光條件變好了.【變式71】（2223高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問題：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式(2)甲每周都要去超市購買某種商品，已知第一周采購時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購方案，第一種方案是每次去采購相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購用的錢數(shù)相同.哪種采購方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)，證明見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式，然后用作差法證明即可；（2）根據(jù)題意表示出來每種方案的平均價(jià)格，然后用作差法比較大小，即可判斷哪種方案經(jīng)濟(jì).【詳解】（1）該不等式為證明：因?yàn)椋?，于?（2）若按第一種方案采購，每次購買量為，則兩次購買的平均價(jià)格為，若按第二種方案采購，每次用的錢數(shù)是，則兩次購買的平均價(jià)格為，又，所以當(dāng)時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)時(shí)，第二種方案比較經(jīng)濟(jì).【變式72】（2223高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立．（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：種糖每千克元，種糖每千克元（兩種糖價(jià)格不相等）.東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請(qǐng)問兩人買到糖的平均價(jià)格分別是多少？誰買的糖的平均價(jià)格比較高？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格物品的總價(jià)錢物品的總質(zhì)量）【答案】（1）不等式為，證明見解析；（2）答案見解析.【分析】（