第六章B單擺教案

4/44/4第六章B單擺在1581年，當(dāng)時年僅17歲的醫(yī)學(xué)院學(xué)生在進(jìn)行彌撒時，注意到了懸掛的蠟燭架在擺動。他發(fā)現(xiàn)當(dāng)被點燃的蠟燭被觸動時，蠟燭架的擺幅會逐漸減小，最后停下來。伽利略心中產(chǎn)生了一個疑問：蠟燭架每次擺動所需的時間是否會越來越短？由于當(dāng)時還沒有秒表，他便通過數(shù)自己脈搏的方式來測量每次擺動所花費的時間。令他驚訝的是，盡管擺幅越來越小，但每次擺動所需的時間基本保持不變。這種與擺動幅度無關(guān)的周期特性被稱為擺的等時性。圖6-10展示了伽利略研究擺動的比教堂(右側(cè)為比薩斜塔)。

回到家后，伽利略又將石頭系在繩子的一端，重復(fù)了這個實驗，并獲得了相同的結(jié)果。后來，人們將這類擺稱為單擺。雖然有些科學(xué)史家認(rèn)為這個故事可能只是一個傳說，但伽利略確實對單擺進(jìn)行了深入的研究。他還發(fā)現(xiàn)，對于給定的繩長，無論是使用重石頭還是輕石頭，擺動周期都是相同的。當(dāng)時，他正在學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)，因此根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)設(shè)計了一種脈搏儀，利用標(biāo)準(zhǔn)長度的單擺來測量患者的脈搏。這是他對醫(yī)學(xué)的最后一次貢獻(xiàn)。研究單擺和其他機(jī)械裝置徹底改變了他的興趣，使他改變了大學(xué)的學(xué)習(xí)方向，開始研究數(shù)學(xué)和科學(xué)，從此走上了成為科學(xué)家的道路。一、單擺的振動過程可以懸掛并擺動的物體有很多種，其中最簡單的一種是由一根輕柔的細(xì)線懸掛一個質(zhì)量遠(yuǎn)大于細(xì)線，但直徑卻比細(xì)線長度小得多的小球。如圖6-11所示，當(dāng)細(xì)線的質(zhì)量和小球的尺寸可以被忽略不計時，我們就稱這樣的裝置為單擺。然而，需要指出的是，單擺只是一個理想的模型。單擺為何會發(fā)生振動？我們首先對單擺進(jìn)行受力分析。當(dāng)質(zhì)量為m的擺球從平衡位置O移動到B點(距離為一小段),此時懸線與豎直方向的夾角為α。放開后，擺球始終受到重力mg和細(xì)線拉力T的作用。重力的一個分力F=mg*sinα沿著圓弧切線方向，指向平衡位置O;而在圓弧切線方向沒有分力。正是重力的分力F使擺球回到平衡位置，這個力就是使單擺振動的回復(fù)力。在平衡位置O,回復(fù)力為零，擺球依靠慣性沿圓弧繼續(xù)運動，同時受到與運動方向相反的回復(fù)力的作用。因此，單擺會在豎直平面內(nèi)不斷地沿著圓弧BC往復(fù)運動，完成振動過程。單擺在振動過程中，擺球的位移、速度、加速度、動能、重力勢能都在不斷變化。擺球的位移由平衡位置指向擺球所在位置，加速度方向始終與位移方向相反，速度方向有時與位移方向相同，有時則相反。二、單擺的振動圖象我們首先通過實驗展示單擺的振動圖像。如圖6-12所示，將裝滿細(xì)沙的漏斗懸掛在支架上，在支架下方放置一塊硬紙板，其中心有一條直線OO?，漏斗處于靜止?fàn)顟B(tài)時正好位于直線OO?的正上方。使漏斗在垂直于OO?的方向上自由擺動，同時沿著OO?的方向勻速拉動硬紙板。由于每個時刻都有細(xì)沙從漏斗中泄漏出來，因此落在硬紙板上的細(xì)沙會記錄下各個時刻漏斗的位置，形成一條曲線。裝有細(xì)沙的漏斗類似于單擺的擺球，這條由細(xì)沙繪制的曲線是通過實驗直接得到的單擺振動圖像。在此基礎(chǔ)上，我們以橫軸t表示時間，縱軸x表示位移，可以繪制出更加抽象和詳細(xì)的單擺振動圖像，如圖6-13所示。這就是單擺的位移-時間圖象，它描述了單擺運動中位移隨時間的變化關(guān)系。圖6-12圖6-12圖6-13從單擺的振動圖象中我們可以清楚地了解單擺振動的振幅、周期、頻率以及任意時刻擺球的位移等。自主活動在一個盛滿水的塑料瓶的底部開一個小孔，讓細(xì)小水流從瓶中均勻漏出，用手中的繩吊起瓶，使其左右自由擺動，同時勻速前進(jìn)，水流在地上留下的水跡也是振動圖象。探究圖線形狀與瓶的擺動快慢、人的前進(jìn)快慢有什么關(guān)系。三、單擺的振動周期通過探索研究，我們還可以知道單擺只有在擺角很小的情況下，它的振動周期才和振幅無關(guān)，如前所述，這種性質(zhì)我們叫做單擺的等時性，那么在擺角很小的情況下，單擺做怎樣的振動呢？它的周期和哪些因素有關(guān)？自主活動自制一個單擺，觀察單擺的振動周期和振幅、擺球質(zhì)量是否有關(guān)。在圖6-11中，當(dāng)單擺的擺角很?。ú怀^5°）時，擺球的位移x和圓弧長\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))”O(jiān)B很接近，設(shè)擺長為l，則sinα≈α≈。于是，回復(fù)力F=mgsinα≈mgα≈mg=x。因為式中，m、g、l均為常數(shù)，可令k=。又因為回復(fù)力F的方向指向平衡位置，始終與位移x的方向相反，于是有因此在單擺擺角α小于5°，擺球所受回復(fù)力的大小與位移成正比，方向與位移相反，可知單擺的振動是簡諧運動。荷蘭物理學(xué)家惠更斯（1629－1695）研究了單擺的振動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)單擺的振動周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。并確定了如下單擺振動的周期公式：T=2π。由于單擺的擺長和周期比較容易測定，因此可以利用單擺周期公式比較精確地測出各地的重力加速度。大家談各種擺鐘的擺桿和擺錘是不是單擺？它為什么可以計時？如果擺鐘慢了，應(yīng)如何調(diào)節(jié)？學(xué)生實驗用單擺測定重力加速度【實驗?zāi)康摹坑脝螖[測出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣??！緦嶒炂鞑摹繂螖[、停表、直尺、直徑已知的小球、鐵架臺等?！緦嶒炘怼坑蓡螖[周期公式可得g=4π2，測出l、T就可以計算重力加速度g?！緦嶒灢襟E】用單擺測定重力加速度的基本步驟如下：選取一個長度約為的單擺，將擺線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，將鐵架臺放在實驗桌旁，使鐵夾伸出桌面，讓擺球自由下垂，如圖6-14所示。使用米尺測量懸線長度l,精確到毫米，懸線長度加上小球半徑即為擺長；然后放開小球讓它擺動，使用停表測出單擺完成30～50次全振動所用的時間。計算出平均擺動一次所需的時間，這個時間即為單擺的振動周期。再根據(jù)單擺的周期公式，計算出重力加速度。改變擺長，重復(fù)進(jìn)行幾次實驗，計算出每次實驗測得的重力加速度。設(shè)計一個表格，將測得的數(shù)據(jù)和計算結(jié)果填入表格中。最后，計算幾次實驗得到的重力加速度的平均值，即可作為本地區(qū)的重力加速度。圖6-14圖6-14圖6-15大家談在測定單擺周期時，可以從擺球通過平衡位置時開始計時，也可以從擺球到達(dá)最大位移時開始計時。你認(rèn)為哪一種方法好？為什么？本實驗也可用DIS實驗系統(tǒng)來做，其方法如下：通過使用DIS實驗系統(tǒng)，我們可以將