人教A版（2019）必修第二冊6.4.2平面向量的應(yīng)用(學(xué)案)(原卷版+解析)

6.4.2平面向量的應(yīng)用（學(xué)案）知識自測知識自測一．向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.二．向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.知識簡用知識簡用題型一平面向量在物理上的應(yīng)用【例1-1】（2022·山東）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【例1-2】（2022·全國·課時練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60題型二平面向量在幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．【例2-2】（2022·安徽）如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點（包含端點），O為AC的中點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三正余弦定理在實際中的應(yīng)用【例3-1】（2022·江西贛州）如圖，從無人機上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機的高度是，則此時峽谷的寬度是（

）A．60 B． C．30 D．【例3-2】（2022·北京）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，1小時后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離約為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【例3-3】．（2022·安徽）某漁船由于引擎故障滯留在海上的C位置，一艘快艇負(fù)責(zé)救援，快艇從A島出發(fā)，沿南偏西30°行駛了300海里到達(dá)B位置，發(fā)現(xiàn)偏航后及時調(diào)整，沿北偏西30°行駛了100海里到達(dá)C位置，則A島與漁船發(fā)生故障的C位置間距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【例3-4】（2022·安徽）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里題型四正余弦定理在幾何中的運用【例4-1】（2022·河北）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD為的平分線，試求BD．【例4-2】（2022·廣東）如圖，在中，，，且點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【例4-3】（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面積為，求AC；(2)若，，求.6.4.2平面向量的應(yīng)用（學(xué)案）知識自測知識自測一．向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.二．向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.知識簡用知識簡用題型一平面向量在物理上的應(yīng)用【例1-1】（2022·山東）若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【解析】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.【例1-2】（2022·全國·課時練習(xí)）加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．題型二平面向量在幾何中的應(yīng)用【例2-1】（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）在中，為中線上的一個動點，若，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】因為是的中線，所以，故，因為，設(shè)，則，所以，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)或3時，.故答案為：.【例2-2】（2022·安徽）如圖，在矩形ABCD中，，E為邊AB上的任意一點（包含端點），O為AC的中點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：設(shè)，因為O為AC的中點，所以，所以．又，所以，因為，所以，所以；法二：以A為坐標(biāo)原點，，的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，，所以．因為，所以，即.故選：A．題型三正余弦定理在實際中的應(yīng)用【例3-1】（2022·江西贛州）如圖，從無人機上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機的高度是，則此時峽谷的寬度是（

）A．60 B． C．30 D．【答案】A【解析】由已知得，得到，，故選：A【例3-2】（2022·北京）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，1小時后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么兩點間的距離約為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【解析】由題設(shè)，，且海里，在△中，則海里.故選：C【例3-3】．（2022·安徽）某漁船由于引擎故障滯留在海上的C位置，一艘快艇負(fù)責(zé)救援，快艇從A島出發(fā)，沿南偏西30°行駛了300海里到達(dá)B位置，發(fā)現(xiàn)偏航后及時調(diào)整，沿北偏西30°行駛了100海里到達(dá)C位置，則A島與漁船發(fā)生故障的C位置間距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】如圖，由已知，，所以，又,所以，又，,由余弦定理可得，所以（海里）故選：A.【例3-4】（2022·安徽）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】C【解析】如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因為，所以海里，即B，C兩點間的距離是海里.故選：C.題型四正余弦定理在幾何中的運用【例4-1】（2022·河北）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，(1)求BC；(2)若BD為的平分線，試求BD．【答案】(1)5(2)8【解析】（1）由正弦定理得，∴＝∴.（2）由，可得，又，為的平分線，∴A，B，C，D四點共圓，，由余弦定理得，即∴.【例4-2】（2022·廣東）如圖，在中，，，且點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.（2）解：由得