高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第04講簡單的三角恒等變換(高頻精講)(原卷版+解析)

第04講簡單的三角恒等變換(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：三角函數(shù)式的化簡 3高頻考點二：三角函數(shù)求值問題 5角度1：給角求值型 5角度2：給值求值型 6角度3：給值求角型 8高頻考點三：半角公式 10高頻考點四：萬能公式 11第四部分：數(shù)學(xué)文化題 12溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回歸（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）若，則__________，_________．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：三角函數(shù)式的化簡典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則等于（

）．A． B． C． D．例題2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡=（

）A．1 B． C． D．2例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）計算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．練透核心考點1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東淄博·高一校考階段練習(xí)）（1）化簡：；

（2）求值：．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：(0<θ<π)．高頻考點二：三角函數(shù)求值問題角度1：給角求值型典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則___________.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的值是______.例題4．（2023春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且．(1)求，，；(2)若為銳角，且，求．練透核心考點1．（2023·貴州六盤水·高二?？茧A段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）___________.角度2：給值求值型典型例題例題1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．例題4．（2023春·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為第二象限角，且，求的值．例題5．（2023春·安徽滁州·高一?？奸_學(xué)考試）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．練透核心考點1．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為第一象限角，且，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知，β是第二象限角，則________．4．（2023春·廣東湛江·高一校考階段練習(xí)）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值，并確定的大?。?．（2023秋·浙江·高一期末）已知，滿足．(1)求的值；(2)若是銳角，且，求．角度3：給值求角型典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，是方程的兩根，且，則（

）．A． B． C．或 D．例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·高一單元測試）若，均為銳角，且，，則________．例題4．（2023秋·陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，角、的終邊分別與單位圓交于點、兩點，且點在直線上，.（1）求的值；（2）求的值.例題5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在條件：①；②；③中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.練透核心考點1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的值可能為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則______．3．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期末）若，且，，則______.4．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知.(1)求的值；(2)求角的值.5．（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考期末）已知.(1)求的值;(2)若，且，求角.高頻考點三：半角公式典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點是角的終邊上一點，則（

）A． B． C．或 D．或例題2．（2023秋·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）已知，，則等于（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則__________.例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，．(1)求的值；(2)若，求．練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則___________.4．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，求和的值.高頻考點四：萬能公式典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角的大小如圖所示，則（

）A． B．5 C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B． C．0 D．例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇南京·南京市寧海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，___________.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，黃金分割比還可以表示成，則（

）A．4 B． C．2 D．2．（多選）（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．底與腰之比為黃金分割比（）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形．例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的．如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形的邊長為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．對任意的，3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，___________.第04講簡單的三角恒等變換(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：三角函數(shù)式的化簡 4高頻考點二：三角函數(shù)求值問題 7角度1：給角求值型 7角度2：給值求值型 10角度3：給值求角型 14高頻考點三：半角公式 21高頻考點四：萬能公式 25第四部分：數(shù)學(xué)文化題 27溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、萬能公式（拓展視野）（1）（2）（3）其中3、和差化積公式（拓展視野）4、積化和差公式（拓展視野）第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）若，則__________，_________．【答案】

【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：三角函數(shù)式的化簡典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】，原式；故選：B.例題2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）化簡=（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】.故選：C.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，則，又，，故，又，解得：，所以：.故選：C.例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）計算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（2）.（3）.練透核心考點1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，.因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：C.2．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，，，所以，，，，．故選：A．3．（2023春·山東淄博·高一校考階段練習(xí)）（1）化簡：；

（2）求值：．【答案】（1）；（2）1【詳解】（1）；（2）.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：(0<θ<π)．【答案】【詳解】由θ(0,π)，得0<<，則cos>0．又，且(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ．∴原式＝．高頻考點二：三角函數(shù)求值問題角度1：給角求值型典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】故選：A例題2．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則___________.【答案】【詳解】故答案為：例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）的值是______.【答案】【詳解】，所以的值是.故答案為：例題4．（2023春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且．(1)求，，；(2)若為銳角，且，求．【答案】(1)，，.(2)【詳解】（1）解：因為，所以；又，，，所以，則，，又，且，解得：，.（2）因為且，所以，，因為為銳角，，所以，則.練透核心考點1．（2023·貴州六盤水·高二?？茧A段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】原式.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）___________.【答案】【詳解】.故答案為：.角度2：給值求值型典型例題例題1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，，故.故選：A例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：B例題3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于，故，故選：B．例題4．（2023春·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為第二象限角，且，求的值．【答案】【詳解】解：因為為第二象限角，且，則，原式.例題5．（2023春·安徽滁州·高一?？奸_學(xué)考試）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：.（2）由（1）可知：，則，∵，，則，，可得，故練透核心考點1．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意角的終邊經(jīng)過點，則，故，故，故選：C2．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為第一象限角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為為第一象限角，則，所以故為第一或第三象限角．且，則．當為第一象限角時，；當為第三象限角時，．故選：C．3．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知，β是第二象限角，則________．【答案】【詳解】由得，由于β是第二象限角，所以，故，進而，故，故答案為：4．（2023春·廣東湛江·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值，并確定的大?。敬鸢浮?1)(2)【詳解】（1），，，，，，；（2）由（1）得，，，，由，得，.5．（2023秋·浙江·高一期末）已知，滿足．(1)求的值；(2)若是銳角，且，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由誘導(dǎo)公式得，①∴,∴，而，∴，∴，∴，②由①②得：，∴.（2），∴，又，∴,∴．角度3：給值求角型典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，是方程的兩根，且，則（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【詳解】因為，是方程的兩根，所以所以，因為所以且，所以，所以，所以，故選:B.例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：由題意得，所以，所以的值可能為，．故選：AC例題3．（2023·高一單元測試）若，均為銳角，且，，則________．【答案】##45°【詳解】因為，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，因為，所以.故答案為：例題4．（2023秋·陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，角、的終邊分別與單位圓交于點、兩點，且點在直線上，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，因為，所以，所以，.因為，，所以，所以，..（2）因為且，所以，所以.又，，所以，所以.例題5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在條件：①；②；③中任選一個，補充在下面的題目中，并求解.已知，且滿足條件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)任選①②③，；(2)任選①②③，．【詳解】（1）選①，，由誘導(dǎo)公式得，則；選②，，兩邊平方得，所以，又，所以，即，，從而由解得，或（舍去），；選③，，因為，所以，即，，因此由可解得，或（舍去），以下同選②；（2）選①，因為，所以，即，，由（1），所以，所以（負值舍去），，，，，又，所以．選②或③，均由（1）得，，，，，又，所以．練透核心考點1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，而，從而或，當時，只有B符合；當時，四個選項均不符合.故答案為：B．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則______．【答案】##【詳解】依題意，，，所以，所以，所以，由于，所以.故答案為：3．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？计谀┤?，且，，則______.【答案】【詳解】因為，所以，，所以，所以，所以，，所以，因為，，則，，，所以所以，所以.故答案為：.4．（2023春·陜西安康·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知.(1)求的值；(2)求角的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1），解得或，；（2）由得，.,，.5．（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考期末）已知.(1)求的值;(2)若，且，求角.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，所以，解得；（2）解：因為，，則，解得，又，所以，又因，所以，則，所以.高頻考點三：半角公式典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點是角的終邊上一點，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，所以，.故選：A.例題2．（2023秋·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】方法一：∵，，∴.方法二：∵，，∴的終邊落在第一象限，的終邊落在第一或第三象限，即，∴故選：C例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則__________.【答案】【詳解】因為，且，所以，故答案為：.例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，平方得，所以，在中，，∴，．由，得，由，解得，．所以．（2）因為，所以，由正弦定理得，有，所以，可得．所以．練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，又因為，，所以，即，所以，又因為，所以，．故選：B．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，所以，因為，所以，，所以，，所以，則，故選：B.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則___________.【答案】5【詳解】由，得，解得或.當時，，不符合題意，舍去；當時，，，∴.故答案為：54．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，求和的值.【答案】；.【詳解】，又，，；，，，.高頻考點四：萬能公式典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角的大小如圖所示，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】由圖可知，，；故選：A.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，