高考數(shù)學一輪題型歸納與解題策略考點20同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式12種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點20同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式12種常見考法歸類考點一利用同角三角函數(shù)的基本關系求值（一）已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值（二）利用平方關系求參數(shù)（三）由條件等式求值考點二利用同角三角函數(shù)的基本關系化簡考點三正余弦齊次式的計算考點四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關系考點五利用同角三角函數(shù)的基本關系證明恒等式考點六給角求值問題考點七利用誘導公式化簡與求值考點八同角關系與誘導公式的綜合應用考點九利用互余互補關系求值考點十利用誘導公式和平方關系求解考點十一利用誘導公式證明三角恒等式考點十二新定義題1.同角三角函數(shù)的基本關系sin2α＋cos2α＝1.eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).這就是說，同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.2.同角關系的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα).(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1).(4)cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).3.sinα，cosα，tanα三者知一求二問題這類知一求二問題，注意判斷角的范圍，另外熟記以下常見勾股數(shù)，可以提高解題速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…4.同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進行變形、轉(zhuǎn)化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ5.正余弦齊次式處理技巧（1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分別稱為關于sinα，cosα的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解.如果分母為1，可考慮將1寫成sin2α＋cos2α.（2）已知①分式齊1次式=②分式齊2次式③齊2次整式6.與和有關的公式：對于已知sinα±cosα的求值問題，一般應用三角恒等式，利用整體代入的方法來解，涉及的三角恒等式有：(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α注：利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的關系可實現(xiàn)和積轉(zhuǎn)化．7.同角三角函數(shù)關系式的方程思想對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應用．8.利用同角三角函數(shù)基本關系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對含根號的，應先把被開方式化為完全平方，再去掉根號．(3)對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關系，以降冪化簡．9.誘導公式10.誘導公式的記憶方法①口訣記憶法：奇變偶不變，符號看象限“奇變偶不變，符號看象限”精析：（1）適用范圍：（即角中必須出現(xiàn)的整數(shù)倍才能使用誘導公式）（2）奇？偶？（使用誘導公式時先判斷是否需要變函數(shù)名）奇：指k是奇數(shù)（也即的系數(shù)是奇數(shù)）如變：指的是函數(shù)名發(fā)生改變，偶：指k是偶數(shù)（也即的系數(shù)是偶數(shù)）如，不變：函數(shù)名不發(fā)生變化三角函數(shù)在各個象限的符號口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各個角所在的象限（無論具體是什么角，都將其視為銳角）例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）確定符號：判斷符號時看原函數(shù)名，而非變化之后的函數(shù)名（6）實例：誘導公式1-6（7）補充：，，，，特殊：11.利用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；（2）“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；（3）“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；（4）“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.12.應用誘導公式要注意：①三角式的化簡通常先用誘導公式，將角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關系式，這可以避免交錯使用公式時導致的混亂；②在運用公式時正確判斷符號至關重要；③三角函數(shù)的化簡、求值是三角函數(shù)中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視；④正確理解“奇變偶不變，符號看象限”可以提高解題效率.13.三角函數(shù)式化簡的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依據(jù)所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).（2）切化弦：一般需將表達式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).提醒：注意分類討論思想的應用.14.解決條件求值問題的兩技巧（1）尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關運算之間的差異及聯(lián)系.（2）轉(zhuǎn)化：可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關鍵.（3）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（4）通過等誘導變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（5）等可利用誘導公式把的三角函數(shù)化考點一利用同角三角函數(shù)的基本關系求值（一）已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2023春·北京石景山·高三首師大附屬蘋果園中學校考階段練習）已知，，則_____.2．（2023春·四川甘孜·高三?？茧A段練習）已知，且是第二象限的角，則______．3．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市鐵路中學校校考階段練習）已知為第三象限角，，則___________．4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（

）A． B．C． D．（二）利用平方關系求參數(shù)5．（2023·高三課時練習）已知是第四象限角，則________．6．（2023秋·上海楊浦·高三復旦附中校考期末）已知、是關于的方程的兩個根.(1)求實數(shù)的值，(2)求的值.7．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．（三）由條件等式求值8．（2023·高三課時練習）若，且，則_____.9．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學?？计谀┮阎?，則___________10．（2023·全國·高三專題練習）已知是第三象限角，，則________．11．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則（

）A． B． C． D．考點二利用同角三角函數(shù)的基本關系化簡12．（2023·全國·高三專題練習）__________.13．（2023·全國·高三專題練習）化簡得（

）A． B．C． D．14．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A．5 B． C．2 D．4考點三正余弦齊次式的計算15．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________16．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學?？茧A段練習）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．17．（2023·全國·高三專題練習）若，則的值是_____________．18．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．419．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？级＃┮阎瑒t的值是__________．20．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B．C． D．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______．22．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）若，則____________.23．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知方程，則（

）A． B． C． D．24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學?？茧A段練習）已知向量，，若，則的值為______.考點四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關系25．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B． C． D．26．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．27．（2023·全國·高三專題練習）已知，是關于x的一元二次方程的兩根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.28．【多選】（2023春·山東·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．29．【多選】（2023春·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中校考開學考試）已知，，則（

）A． B．C． D．考點五利用同角三角函數(shù)的基本關系證明恒等式30．（2023·高三課時練習）求證：＝.31．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且滿足．(1)證明：；(2)求的最大值．32．（2023春·安徽六安·高三?？茧A段練習）求證：=．33．（2023·全國·高三專題練習）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.考點六給角求值問題34．（2023·北京海淀·校考模擬預測）__________．35．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）（

）A．1 B． C． D．36．（2023·上海崇明·上海市崇明中學?？寄M預測）已知為等差數(shù)列，若，則的值為______.考點七利用誘導公式化簡與求值37．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）已知，則的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．38．（2023·高三課時練習）化簡的結(jié)果為______.39．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則______．40．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谀┮阎?(1)化簡；(2)若，，求的值.41．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．考點八同角關系與誘導公式的綜合應用42．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則_________．43．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知，，則______.44．（2023春·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）已知，則____________.45．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．46．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）若，，則（

）A． B． C． D．47．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為______.48．（2023·廣東·高三專題練習）若，則（

）A． B． C． D．考點九利用互余互補關系求值49．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）若，則（

）A． B． C． D．50．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．51．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？计谥校┮阎堑诙笙?，且，則（

）A． B． C． D．52．（2023春·河南信陽·高三河南省信陽市第二高級中學?？计谥校┮阎?，則的值是__________．考點十利用誘導公式和平方關系求解53．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知，且，則_______．54．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．55．（2023春·廣西欽州·高三?？茧A段練習）若是第四象限角，且,__________．56．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，，則________．考點十一利用誘導公式證明三角恒等式57．【多選】（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，下列關系式恒成立的有（

）A． B．C． D．58．（2023·高三課時練習）求證：．59．（2023·高三課時練習）求證：=.考點十二新定義題60．【多選】（2023春·遼寧鐵嶺·高三昌圖縣第一高級中學?？茧A段練習）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”.已知，則下列角中，可能與角“廣義互余”的是（

）A． B． C． D．61．【多選】（2023秋·江蘇·高三南京師大附中校聯(lián)考期末）在數(shù)學發(fā)展史上，曾經(jīng)定義過下列兩種函數(shù)：稱為角的正矢，記作；稱為角的余矢，記作.則（

）A．B．函數(shù)的最大值為C．存在一個，使得函數(shù)的值為D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，可得到函數(shù)的圖像考點20同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式12種常見考法歸類考點一利用同角三角函數(shù)的基本關系求值（一）已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值（二）利用平方關系求參數(shù)（三）由條件等式求值考點二利用同角三角函數(shù)的基本關系化簡考點三正余弦齊次式的計算考點四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關系考點五利用同角三角函數(shù)的基本關系證明恒等式考點六給角求值問題考點七利用誘導公式化簡與求值考點八同角關系與誘導公式的綜合應用考點九利用互余互補關系求值考點十利用誘導公式和平方關系求解考點十一利用誘導公式證明三角恒等式考點十二新定義題1.同角三角函數(shù)的基本關系sin2α＋cos2α＝1.eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).這就是說，同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.2.同角關系的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα).(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(3)sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1).(4)cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1).3.sinα，cosα，tanα三者知一求二問題這類知一求二問題，注意判斷角的范圍，另外熟記以下常見勾股數(shù)，可以提高解題速度：①32＋42＝52，62＋82＝102，92＋122＝152，…；②52＋122＝132，82＋152＝172，72＋242＝252，…4.同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進行變形、轉(zhuǎn)化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ5.正余弦齊次式處理技巧（1）形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分別稱為關于sinα，cosα的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)化為正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解.如果分母為1，可考慮將1寫成sin2α＋cos2α.（2）已知①分式齊1次式=②分式齊2次式③齊2次整式6.與和有關的公式：對于已知sinα±cosα的求值問題，一般應用三角恒等式，利用整體代入的方法來解，涉及的三角恒等式有：(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α注：利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的關系可實現(xiàn)和積轉(zhuǎn)化．7.同角三角函數(shù)關系式的方程思想對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應用．8.利用同角三角函數(shù)基本關系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對含根號的，應先把被開方式化為完全平方，再去掉根號．(3)對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關系，以降冪化簡．9.誘導公式10.誘導公式的記憶方法①口訣記憶法：奇變偶不變，符號看象限“奇變偶不變，符號看象限”精析：（1）適用范圍：（即角中必須出現(xiàn)的整數(shù)倍才能使用誘導公式）（2）奇？偶？（使用誘導公式時先判斷是否需要變函數(shù)名）奇：指k是奇數(shù)（也即的系數(shù)是奇數(shù)）如變：指的是函數(shù)名發(fā)生改變，偶：指k是偶數(shù)（也即的系數(shù)是偶數(shù)）如，不變：函數(shù)名不發(fā)生變化三角函數(shù)在各個象限的符號口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各個角所在的象限（無論具體是什么角，都將其視為銳角）例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）確定符號：判斷符號時看原函數(shù)名，而非變化之后的函數(shù)名（6）實例：誘導公式1-6（7）補充：，，，，特殊：11.利用誘導公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；（2）“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；（3）“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；（4）“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.12.應用誘導公式要注意：①三角式的化簡通常先用誘導公式，將角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關系式，這可以避免交錯使用公式時導致的混亂；②在運用公式時正確判斷符號至關重要；③三角函數(shù)的化簡、求值是三角函數(shù)中的基本問題，也是高考?？嫉膯栴}，要予以重視；④正確理解“奇變偶不變，符號看象限”可以提高解題效率.13.三角函數(shù)式化簡的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依據(jù)所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).（2）切化弦：一般需將表達式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).提醒：注意分類討論思想的應用.14.解決條件求值問題的兩技巧（1）尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關運算之間的差異及聯(lián)系.（2）轉(zhuǎn)化：可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關鍵.（3）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（4）通過等誘導變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（5）等可利用誘導公式把的三角函數(shù)化考點一利用同角三角函數(shù)的基本關系求值（一）已知一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值1．（2023春·北京石景山·高三首師大附屬蘋果園中學校考階段練習）已知，，則_____.【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系及的范圍求出答案.【詳解】因為，且，所以，因為，所以.故答案為：2．（2023春·四川甘孜·高三?？茧A段練習）已知，且是第二象限的角，則______．【答案】【分析】根據(jù)同角的平方關系求得，從而得到結(jié)果.【詳解】因為是第二象限的角，則，所以，則.故答案為:3．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市鐵路中學校校考階段練習）已知為第三象限角，，則___________．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關系以及平方和關系，可得答案.【詳解】由，則，，由，則，由為第三象限角，，，則.故答案為：.4．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，利用三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因為為銳角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.（二）利用平方關系求參數(shù)5．（2023·高三課時練習）已知是第四象限角，則________．【答案】【分析】由可求得，即可得出所求.【詳解】由，解得或8，是第四象限角，，.故答案為：.6．（2023秋·上海楊浦·高三復旦附中?？计谀┮阎?、是關于的方程的兩個根.(1)求實數(shù)的值，(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）計算，根據(jù)韋達定理得到，解得答案；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡得到原式為，代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】（1）、是關于的方程的兩個根，，解得或，則，，，解得或（舍），故；（2）.7．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【答案】【分析】由得，令，可解得，代入，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】由得，令，可解得，則，當時等號成立．故的最大值為.故答案為：.（三）由條件等式求值8．（2023·高三課時練習）若，且，則_____.【答案】【分析】根據(jù)同角平方和關系可解得，進而根據(jù)角的范圍可得，進而可求.【詳解】因為，所以即，∴解得或（舍去）．，，因此．故答案為：9．（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學?？计谀┮阎?，，則___________【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.【詳解】解：由題意，∵，∴，∵，∴，即，解得或，∵∴當時，，不符題意，舍去.∴，此時，，∴，故答案為：.10．（2023·全國·高三專題練習）已知是第三象限角，，則________．【答案】【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】因為，整理可得，解得，或，由于是第三象限角，（舍去）所以，．故答案為：．11．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用倍角公式將條件變形，然后結(jié)合列方程組求解.【詳解】,①,又②，由①②得.故選：D.考點二利用同角三角函數(shù)的基本關系化簡12．（2023·全國·高三專題練習）__________.【答案】2【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡求值即可.【詳解】因為，，，所以故答案為：2.13．（2023·全國·高三專題練習）化簡得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用求出，第一個根號分子分母同時乘以，第二個根號分子分母同時乘以，結(jié)合平方關系即可得到．【詳解】，，故選：A14．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A．5 B． C．2 D．4【答案】A【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】，所以，則，所以故選：A考點三正余弦齊次式的計算15．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________【答案】【分析】根據(jù)齊次式，由弦化切即可求值.【詳解】.故答案為：16．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學?？茧A段練習）曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計算作答.【詳解】因為，則，因此，所以.故選：C17．（2023·全國·高三專題練習）若，則的值是_____________．【答案】【分析】利用誘導公式、兩角差的正切公式和商數(shù)關系的齊次式計算求解.【詳解】解：因為，所以，即，解得，所以，故答案為：18．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】正、余弦齊次式的計算求值.【詳解】由，有，∴.故選：B19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？级＃┮阎?，則的值是__________．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.【詳解】因為，所以，故答案為：5.20．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知得，從而同號，即，然后由平方關系求得，進而求得，求值式應用二倍角公式和平方關系變形后可得結(jié)論．【詳解】因為，所以，所以同號，即，，，從而，，所以，．故選：C．21．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______．【答案】/【分析】利用二倍角公式并將所求寫成齊次式形式，再將弦化為切即可.【詳解】.故答案為：22．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）若，則____________.【答案】/【分析】利用倍角公式，和弦切互化即可求解.【詳解】依題意，.故答案為：.23．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知方程，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，用齊次式方法處理后得，將值代入即可得出答案.【詳解】方程，化簡得，則，分子分母同時除以可得：，將代入可得，故選：B.24．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學校考階段練習）已知向量，，若，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)題目條件可得，代入化簡即可.【詳解】已知向量，，若，則有，∴.故答案為：考點四sinα±cosα和sinα?cosα之間的關系25．（2023·全國·高三專題練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將題中式子平方即可求出，先計算出的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系計算出的值，最后根據(jù)公式求出，得出結(jié)果.【詳解】因為，所以．又，所以，故．所以．故選：D.26．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和的正弦公式將式子展開，然后平方得到，然后利用已知條件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.【詳解】由可得，則有，平方可得，則，因為，所以，則，所以，所以，故選：C.27．（2023·全國·高三專題練習）已知，是關于x的一元二次方程的兩根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關系可求出結(jié)果，（2）利用根與系數(shù)的關系列方程組，結(jié)合可求出m的值，（3）先判斷出，則，再代值計算即可【詳解】（1）因為，是關于x的一元二次方程的兩根，所以（2）因為，是關于x的一元二次方程的兩根，所以，，且，所以，所以，得，滿足，所以（3）由（2）可得，，因為，所以，所以，所以28．【多選】（2023春·山東·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】將平方可得，判斷角的范圍，從而求得，即可求出，，的值，判斷A，B，C，利用二倍角正切公式求得，判斷D.【詳解】因為①，故，即，因為，故，可得，則，故②，①②聯(lián)立解得，，故A正確，B錯誤；，C錯誤；，D正確，故選：AD29．【多選】（2023春·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？奸_學考試）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】對兩邊平方得，結(jié)合的范圍得到，可判斷A；再對平方將代入可求出可判斷D；結(jié)合同角三角函數(shù)平方關系得到正弦和余弦值，進而求出正切值，BC錯誤.【詳解】，兩邊平方得：，解得：①，故異號，因為，所以，A正確；所以，，所以②，D正確；由①②可得，故，故B，C不正確.故選：AD.考點五利用同角三角函數(shù)的基本關系證明恒等式30．（2023·高三課時練習）求證：＝.【答案】證明見解析【分析】分子分母同乘以，再利用商數(shù)關系和平方關系即可得證.【詳解】證明：∵右邊＝＝＝＝＝＝左邊，∴＝.31．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且滿足．(1)證明：；(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由兩角和的余弦公式展開后變形，再由商數(shù)關系可證；（2）由（1）利用平方關系化右側(cè)為關于的二次齊次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．【詳解】（1）由已知，，∴；（2），則，，由（1）得，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是．32．（2023春·安徽六安·高三?？茧A段練習）求證：=．【答案】證明見解析【分析】由同角三角函數(shù)的平方關系化簡等式左邊證明即可【詳解】∵1–2（）2，由題意，≠0，∴左邊====右邊．∴原等式成立．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的平方關系及二倍角的正弦，熟記公式是關鍵，考查推理能力，是基礎題33．（2023·全國·高三專題練習）求證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)式關系,結(jié)合齊次式的化簡即可證明.【詳解】（1）證明:根據(jù)同角三角函數(shù)關系式,化簡等式左邊可得而右邊所以原式得證.（2）證明:根據(jù)同角三角函數(shù)關系式,可得而右邊原式得證.（3）證明:而右邊原式得證（4）證明:由同角三角函數(shù)關系式可知而右邊原式得證【點睛】本題考查了利用同角三角函數(shù)關系證明三角函數(shù)恒等式,屬于基礎題.考點六給角求值問題34．（2023·北京海淀·?？寄M預測）__________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解作答.【詳解】.故答案為：35．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合誘導公式和三角恒等變換公式即可求解.【詳解】因為所以故選：C.36．（2023·上海崇明·上海市崇明中學?？寄M預測）已知為等差數(shù)列，若，則的值為______.【答案】【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，進而得，再代入所求即可．【詳解】因為為等差數(shù)列，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，所以，故.故答案為：.考點七利用誘導公式化簡與求值37．（2023春·浙江杭州·高三?？计谥校┮阎?，則的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式及平方關系化簡即可.【詳解】因為，所以，，則，所以.故選：A38．（2023·高三課時練習）化簡的結(jié)果為______.【答案】【分析】利用誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系化簡即可.【詳解】.故答案為：.39．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則______．【答案】7【分析】由已知條件利用同角三角函數(shù)關系式求出，從而得出，再利用誘導公式，弦化切即可得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以，所以．所以．故答案為：7.40．（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中校考期末）已知.(1)化簡；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導公式化簡即可；（2）由條件得到，再由，結(jié)合角的范圍可得到最終結(jié)果.【詳解】（1）（2）若，則，41．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)誘導公式和正余弦齊次式的求法可將所求式子化為關于的式子，代入的值即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，又，所以.故答案為：.考點八同角關系與誘導公式的綜合應用42．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則_________．【答案】【分析】先利用誘導公式求出，再通過平方關系求出，最后利用誘導公式化簡計算.【詳解】，，即，，.故答案為：.43．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）已知，，則______.【答案】/【分析】根據(jù)誘導公式以及同角關系即可求解.【詳解】由得，由可得，故.故答案為：44．（2023春·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）已知，則____________.【答案】【分析】利用誘導公式、二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關系直接求解即可.【詳解】，，.故答案為：.45．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式以及同角三角函數(shù)的平方關系可得出關于、的方程組，求出這兩個量的值，即可求得的值.【詳解】因為，由題意可得，解得，因此，.故選：B.46．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導公式以及二倍角公式可得，整理可得，然后根據(jù)角的范圍得出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，所以有，整理可得，，所以.因為，所以，所以，.故選：C.47．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)誘導公式以及同角關系即可求解.【詳解】由可得，故答案為：48．（2023·廣東·高三專題練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】切化弦，結(jié)合得出，然后根據(jù)誘導公式及二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：D．考點九利用互余互補關系求值49．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式及誘導公式計算求解即可.【詳解】因為，所以，故選：B50．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構(gòu)角，再利用誘導公式即可求