高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第29練數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

第29練數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P40練習(xí)T1變式）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．562.（人A選擇性必修二P55復(fù)習(xí)參考題4T8變式）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．3.（人A選擇性必修二P25習(xí)題4.2T12變式）北宋的數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才，善于觀察.據(jù)說有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”他想堆積的酒壇?棋子等雖然看起來像實(shí)體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把它們看成離散的量.經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)于上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共n層的堆積物(如圖)，可以用公式求出物體的總數(shù).這就是沈括的“隙積術(shù)”.利用“隙積術(shù)”求得數(shù)列的前n項(xiàng)和是________.4.（人A選擇性必修二P55復(fù)習(xí)參考題4T11變式）設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入（）個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.二、考點(diǎn)分類練(一)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和5.（2022屆河南省南陽市高三上學(xué)期期末）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，都有，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和等于（

）A． B．2021 C． D．20226.（2022屆云南省昭通一中等三校高三下學(xué)期聯(lián)考）某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1100萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要（

）A．2806萬元 B．2906萬元 C．3106萬元 D．3206萬元(二)裂項(xiàng)求和7．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.58.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，總有，，成等差數(shù)列，又記，數(shù)列的前項(xiàng)和______．(三)錯(cuò)位相減法求和9.（2022屆廣東省高三三模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．10.（2022屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市海拉爾高三下學(xué)期第四次模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.(四)分組求和與分段數(shù)列求和11.（2022屆安徽省合肥市第一中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）數(shù)列的前項(xiàng)和，首項(xiàng)為1．對(duì)于任意正整數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．12.（2022屆內(nèi)蒙古海拉爾高三上學(xué)期期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B．0C．1 D．101013.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.(五)數(shù)列的綜合應(yīng)用14.（2022屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（

）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．4415.在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④三、最新模擬練16.（2022屆江西省臨川第一中學(xué)高三5月沖刺）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．101117.（2022屆浙江省高三下學(xué)期高考沖刺）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．18.（多選）（2022屆河北省高三模擬演練）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為19.（多選）（2022屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期第三次聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得20.（2022屆廣東省高州市高三第二次模擬）某校有一社團(tuán)專門研究密碼問題，社團(tuán)活動(dòng)室用的也是一把密碼鎖，且定期更換密碼，都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為的小數(shù)點(diǎn)后前6位數(shù)字，編碼方式如下：①x為某社員的首拼聲母對(duì)應(yīng)的英文字母在26個(gè)英文字母中的位置；②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列，即2，3，4，6，8，，10，12，14，…；若x為奇數(shù)，則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列{an}，即1，2，3，，5，7，，9，11，13，…；③N為數(shù)列{an}的前x項(xiàng)和．如當(dāng)值社員姓康，則K在26個(gè)英文字母中排第11位，所以x＝11，前11項(xiàng)中有，所以有8個(gè)奇數(shù)，，所以密碼為282051，若今天當(dāng)值社員姓徐，則當(dāng)日密碼為_____．21.（2022屆江西省九江市高三第三次模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.（2022屆福建省福州第三中學(xué)高三下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.四、高考真題練23.(2020高考全國卷=2\*ROMANII)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．524．(2017年高考全國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,,再接下來的三項(xiàng)是,,,是 ()A． B． C． D．25．(2017高考全國卷Ⅱ)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．26.(2020高考全國卷Ⅰ)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．五、綜合提升練27.已知數(shù)列滿足：.若正整數(shù)使得成立，則A．16 B．17 C．18 D．1928.（多選）（2022屆湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．C．D．滿足的的最小正整數(shù)解為29.（2022浙江省寧波市北侖中學(xué)高三上學(xué)期考試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，()，(，).且?均為等差數(shù)列，則_________.30.（2022屆上海市進(jìn)才中學(xué)高三下學(xué)期期中）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入n個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列，求；(3)對(duì)于（2）中求得的，是否存在正整數(shù)m、n，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請說明理由.第29練數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P40練習(xí)T1變式）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對(duì)于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【解析】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，故選B2.（人A選擇性必修二P55復(fù)習(xí)參考題4T8變式）我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選D3.（人A選擇性必修二P25習(xí)題4.2T12變式）北宋的數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才，善于觀察.據(jù)說有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”他想堆積的酒壇?棋子等雖然看起來像實(shí)體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把它們看成離散的量.經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)于上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共n層的堆積物(如圖)，可以用公式求出物體的總數(shù).這就是沈括的“隙積術(shù)”.利用“隙積術(shù)”求得數(shù)列的前n項(xiàng)和是________.【答案】.【解析】因?yàn)樵跀?shù)列，，，…，中，，，項(xiàng)數(shù)為，，，所以．4.（人A選擇性必修二P55復(fù)習(xí)參考題4T11變式）設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，且，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入（）個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.(2)數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，.則所求的數(shù)列的前項(xiàng)和為.二、考點(diǎn)分類練(一)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和5.（2022屆河南省南陽市高三上學(xué)期期末）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，都有，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和等于（

）A． B．2021 C． D．2022【答案】D【解析】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，則，整理得，又為正項(xiàng)數(shù)列，故可得，又當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或，即數(shù)列是首項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列，則；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則.故選.6.（2022屆云南省昭通一中等三校高三下學(xué)期聯(lián)考）某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1100萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要（

）A．2806萬元 B．2906萬元 C．3106萬元 D．3206萬元【答案】A【解析】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬元，設(shè)備費(fèi)為萬元，則，且，解得，故.依題意，，即，所以，總費(fèi)用為：.故選A.(二)裂項(xiàng)求和7．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.5【答案】A【解析】由，∴，∴，故選A．8.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，總有，，成等差數(shù)列，又記，數(shù)列的前項(xiàng)和______．【答案】【解析】由對(duì)于任意的，總有，，成等差數(shù)列可得：，當(dāng)時(shí)可得，所以，所以，所以，由數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，又時(shí)，所以，所以，，.(三)錯(cuò)位相減法求和9.（2022屆廣東省高三三模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①-②得，則.于是.故選A．10.（2022屆內(nèi)蒙古呼倫貝爾市海拉爾高三下學(xué)期第四次模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：，，所以，所以①，①×得：②，兩式相減得：，所以(四)分組求和與分段數(shù)列求和11.（2022屆安徽省合肥市第一中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）數(shù)列的前項(xiàng)和，首項(xiàng)為1．對(duì)于任意正整數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)時(shí)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故且，所以，則，故時(shí)，是首項(xiàng)為14，公差為-2的等差數(shù)列，故且，所以.故選C．12.（2022屆內(nèi)蒙古海拉爾高三上學(xué)期期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B．0C．1 D．1010【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，，……，每4項(xiàng)之和為0，所以，故選A13.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，(五)數(shù)列的綜合應(yīng)用14.（2022屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%．每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（

）（單位：萬元，結(jié)果精確到萬元）（參考數(shù)據(jù)：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【解析】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為萬元，則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：，2年后投入再生產(chǎn)的資金為：，5年后投入再生產(chǎn)的資金為：∴，∴.故選B15.在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④【答案】②③④【解析】設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比數(shù)列，①錯(cuò)；因?yàn)?，所以，即，所以是等差?shù)列，③正確；又因?yàn)?，則，即，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，②正確；因?yàn)椋?，所以兩式相減得，所以，④正確.故答案為：②③④.三、最新模擬練16.（2022屆江西省臨川第一中學(xué)高三5月沖刺）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【解析】解：因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，所以，所以，所以；故選D17.（2022屆浙江省高三下學(xué)期高考沖刺）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，下證，即證，即證，即證，即證，即證令，即證，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.因此，，所以，又因?yàn)?，故選D.18.（多選）（2022屆河北省高三模擬演練）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】BD【解析】數(shù)列中的項(xiàng)為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，數(shù)列中的項(xiàng)為2，4，8，16，32，64，128，…，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，∴；∴，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，兩式相減：，∴.故選BD19.（多選）（2022屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期第三次聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于恒成立，若定義，，則以下說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．存在使得【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，故，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，所以，，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，由可得，則，，，，，將上式相加可得，又，則，故，即時(shí)也成立，故，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由知不成立，當(dāng)時(shí)，由C選項(xiàng)知：，則，，，，，上式相加得，又由上知，，則，可得，又由可得，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選BC.20.（2022屆廣東省高州市高三第二次模擬）某校有一社團(tuán)專門研究密碼問題，社團(tuán)活動(dòng)室用的也是一把密碼鎖，且定期更換密碼，都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為的小數(shù)點(diǎn)后前6位數(shù)字，編碼方式如下：①x為某社員的首拼聲母對(duì)應(yīng)的英文字母在26個(gè)英文字母中的位置；②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列，即2，3，4，6，8，，10，12，14，…；若x為奇數(shù)，則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項(xiàng)得到新數(shù)列{an}，即1，2，3，，5，7，，9，11，13，…；③N為數(shù)列{an}的前x項(xiàng)和．如當(dāng)值社員姓康，則K在26個(gè)英文字母中排第11位，所以x＝11，前11項(xiàng)中有，所以有8個(gè)奇數(shù)，，所以密碼為282051，若今天當(dāng)值社員姓徐，則當(dāng)日密碼為_____．【答案】199600【解析】當(dāng)值社員姓徐，則x在26個(gè)英文字母中排第24位，故，前24項(xiàng)中，所以有21個(gè)偶數(shù)，所以，計(jì)算，則當(dāng)日密碼為19960021.（2022屆江西省九江市高三第三次模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴(2)∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和22.（2022屆福建省福州第三中學(xué)高三下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)由于，所以①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，整理得，所以為常數(shù)數(shù)列，又，所以.(2)由（1）得，所以①，②，①-②得，故.四、高考真題練23.(2020高考全國卷=2\*ROMANII)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．故選C．24．(2017年高考全國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,,再接下來的三項(xiàng)是,,,是 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)(其中)則有,因?yàn)?所以由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得因?yàn)?所以所以即,因?yàn)樗?故所以,從而有,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),,不合題意當(dāng)時(shí),,故滿足題意的的最小值為．25．(2017高考全國卷Ⅱ)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有：，解得，數(shù)列的前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)有：，據(jù)此：。26.(2020高考全國卷Ⅰ)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，．五、綜合提升練27.已知數(shù)列滿足：.若正整數(shù)使得成立，則A．1