高考數(shù)學一輪題型歸納(新高考地區(qū)專用)考點26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用10種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用10種常見考法歸類考點一平面向量的數(shù)量積運算（一）定義法（二）基底法（三）坐標法（四）投影法（五）極化恒等式法考點二平面向量的數(shù)量積的最值問題考點三平面向量數(shù)量積的應用考點四平面向量的垂直問題考點五平面向量的模長問題（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求參數(shù)考點六平面向量的夾角問題考點七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考點八平面向量與三角形“四心”考點九平面向量與其他知識的交匯考點十平面向量的應用1.向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的定義①向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②向量的平行與垂直：當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向；如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.③向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)向量的投影①定義：如圖，設a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，則稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②計算：設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．(3)平面向量數(shù)量積的幾何意義的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個向量在單位向量上的投影的數(shù)量. ②a⊥b?a·b＝0.注：可用于解決與兩個非零向量垂直有關的問題.③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：當兩個向量的相等時，這兩個向量的數(shù)量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夾角公式，實質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.⑤．注：可用于解決有關“向量不等式”的問題.(5)向量數(shù)量積運算的運算律對于向量a，b，c和實數(shù)λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)數(shù)量積的坐標表示已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系(當且僅當時等號成立)(7)數(shù)量積的有關結(jié)論(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0?a＝0且b＝0.2.向量數(shù)量積的易錯點（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且.（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有.當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但.（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項.（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當且（或，且3.計算向量數(shù)量積的五種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用條件：已知向量的一個模，未知的向量在已知向量上做投影（5）極化恒等式平面向量數(shù)量積的運算律：①②兩式相加，有即，其幾何表示為：在平行四邊形中，，即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。兩式相減：即①-②得：，上式就是極化恒等式，轉(zhuǎn)化為平行四邊形模式如下：，表述了數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為可度量的平行四邊形對角線的長度運算。它的幾何意義是：向量的數(shù)量積可以表示為這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一倍。進一步思考，可將數(shù)量積直接轉(zhuǎn)化為三角形的中線長來運算，可得極化恒等式的三角形模式。在中，為中點，則有極化恒等式——最顯著的特征是兩個向量必須能夠轉(zhuǎn)化為同起點的向量，它揭示了三角形的中線與邊長的關系，搭起了向量與數(shù)量之間的橋梁，實現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的完美結(jié)合．使用極化恒等式求數(shù)量積最值的方法總結(jié)：①把兩個向量轉(zhuǎn)化為同起點向量；②構(gòu)建三角形，取連接兩向量終點的線段的中點，把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為某個向量模的最值；③利用題目中的特殊條件找到動點的最佳位置，進而求最值.4.如何建立數(shù)量積問題與有效方法的對應關系？——“剪刀手”模型情況一：三個要素都缺失，一問三不知——轉(zhuǎn)基底總結(jié)：將兩個未知向量之間的數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為兩個確定模長和夾角的基底之間的四則運算情況二：知道一個向量，知道一個手指長——轉(zhuǎn)投影總結(jié)：知道模長的那個向量就是地平線，學會做投影。情況三：知道指尖連線長——轉(zhuǎn)極化總結(jié)：三角形模型：已知中線長或底邊長情況四：啥都不定可建系——轉(zhuǎn)坐標總結(jié)：建系只是選取了軸作為基底向量，用坐標運算而已坐標化通過計算可以彌補向量和幾何的缺失，但是運算上損失的時間在在考試上也自然會體現(xiàn)出來。5.平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計算出這兩個向量的坐標；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)．6.平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．7.向量夾角問題的解答方法：（1）兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角．（2）兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π.（3）在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．（4）求向量的夾角有兩種方法：①定義法：當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)①向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線（同向）．②向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．8.平面幾何中的向量方法(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.(2)常用充要條件①G為△ABC重心的一個充要條件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O為△ABC外心的一個充要條件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P為△ABC垂心的一個充要條件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量與平面幾何綜合的有關結(jié)論(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))為非零向量，則給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等價于已知MA⊥MB；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等價于已知∠AMB是鈍角或兩向量反向共線；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等價于已知∠AMB是銳角或兩向量同向共線.(2)給出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等價于已知MP是∠AMB的角平分線.(3)在?ABCD中，給出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等價于已知?ABCD是菱形；給出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等價于已知?ABCD是矩形.10.向量與平面幾何的綜合問題往往要數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的知識解題.根據(jù)數(shù)量積求模或參數(shù)的值(范圍)問題的一般方法：①基底法；②坐標法.11.平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.考點一平面向量的數(shù)量積運算（一）定義法1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？寄M預測）已知菱形的邊長為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，的夾角為，，，則______．3．（2023春·海南·高三海南中學?？茧A段練習）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72（二）基底法4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預測）在中，，點是的中點，則___________.5．（2023·全國·高三專題練習）在邊長為6的正中，若點滿足，則__________.6．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，邊長為2的正三角形ABC中，，，則（

）A．-1 B．-2 C．1 D．27．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點，點E滿足，則（

）A． B．－1 C． D．8．（2023·北京朝陽·高三專題練習）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C．0 D．29．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.（三）坐標法10．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學?？既＃┮阎蛄浚瑒t______．11．（2023春·廣東韶關·高三南雄中學?？茧A段練習）在邊長為3的正方形ABCD中，點E滿足，則（

）A．3 B． C． D．412．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，點C在第一象限，且O為坐標原點，若，，則（

）A． B． C． D．13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點，則______；若為線段（含端點）上的動點，則的最小值為______.

14．【多選】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，若，點分別為邊的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．15．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰梯形中，，，，，，.則（

）A．62 B．38 C． D．（四）投影法16．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知菱形中，，則__________.17．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知為圓O的一條弦，且，則（

）A．4 B． C．2 D．18．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預測）在四邊形ABCD中，，作于點H．若，則（

）A． B．10 C． D．1219．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？茧A段練習）如圖，、是以為直徑的圓上的兩點，其中，，則（

）A．1 B．2 C． D．（五）極化恒等式法20．【多選】（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知點，點在上運動，邊長為的正方形的頂點位于圓外，則的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．1021．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\算.如圖所示的四邊形中，，為中點.(1)若，求的面積；(2)若，求的值.22．（2023·全國·高一專題練習）已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O所在平面上任意一點，則(＋)的最小值為（

）A． B． C． D．考點二平面向量的數(shù)量積的最值問題23．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值是_____________．24．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長為，，為菱形的中心，是線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．25．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．427．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量，，，滿足，，若對于任意實數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．828．（2023·全國·高三專題練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是__________.29．（2023·全國·高三專題練習）在中，，．設，且（），則當取最小值時，______．考點三平面向量數(shù)量積的應用30．（2023·云南·校聯(lián)考二模）在梯形中，，,，為的中點，，則（

）A． B． C． D．31．（2023·全國·高三專題練習）已知中，分別是角的對邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．32．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知點O是銳角的外心，，，，若，則______．33．（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預測）已知D為正三角形ABC中邊BC的中點，E在線段AC上且，若AD與BE交于M，若，則正三角形ABC的邊長為（

）A．6 B．12 C．18 D．2434．（2023·全國·高三專題練習）在中，已知，，在方向上的投影為，P為線段上的一點，且.則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．考點四平面向量的垂直問題35．（2023·全國·高三專題練習）設平面向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件36．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內(nèi)三個單位向量，，，滿足，若，則（

）A． B． C．2 D．37．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知兩個單位向量，滿足與垂直，則（

）A． B．

C．

D．38．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知，若，則______.39．（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知向量，若，則___________.40．（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或41．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學?？寄M預測）已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為__________．42．（2023·全國·高三專題練習）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則______考點五平面向量的模長問題（一）求向量的模43．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預測）已知向量的夾角為，，則（

）A． B． C． D．744．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學?？奸_學考試）已知向量，夾角為，且，，則（

）A．3 B． C．4 D．545．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）若向量，滿足，，，則（

）A．2 B． C．1 D．46．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）已知兩個非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．347．（2023·吉林長春·長春市第二中學?？寄M預測）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．48．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則______．49．（2023·河北衡水·模擬預測）已知平面向量滿足，則（

）A． B． C． D．3350．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，，M為線段BC的中點，則（

）A．3 B． C． D．（二）求模的最值51．（2023·全國·模擬預測）已知向量，的夾角為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．52．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．53．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．154．（2023秋·浙江寧波·高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（

）.A． B． C． D．（三）已知模求參數(shù)55．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知向量，，若，則________．56．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考模擬預測）非零向量滿足且與夾角為，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件57．（2023春·全國·高三競賽）已知平面向量，滿足，，并且當時，取得最小值，則（

）A． B． C． D．58．（2023·全國·高三專題練習）在中，，且對于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．考點六平面向量的夾角問題59．【多選】（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知單位向量的夾角為，則使為鈍角的一個充分條件是（

）A． B．C． D．60．（2023·全國·高三專題練習）在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件61．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．62．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．63．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）設是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．64．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知單位向量，滿足，若向量，則（

）．A． B． C． D．65．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知平面向量，滿足，若，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．66．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．67．（2023·全國·高三專題練習）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．68．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，且與的夾角為，則______.69．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)x的取值范圍是______．70．（2023·全國·高三專題練習）已知，且的夾角為鈍角，則實數(shù)的范圍_______71．（2023·山東東營·東營市第一中學?？级＃┮阎腔ハ啻怪钡膬蓚€單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，請寫出一個符合題意的的值：_____________．72．（2023·全國·高三專題練習）已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為___________.73．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）已知向量，，定義，則______．考點七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影74．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知向量，，則在方向上的投影是_______________.75．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，，則向量在上的投影等于（）A． B． C． D．776．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影為（

）A．2 B．4 C．-2 D．-477．（2023·全國·高三專題練習）平面上有兩個非零向量和，則“在方向上投影大于0”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件78．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）若向量滿足，且，則在方向上的投影的取值范圍是______.（二）求向量的投影向量79．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．80．（2023·全國·高三專題練習）已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．81．（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學?？既＃┤绻矫嫦蛄?，，則向量在上的投影向量為_____.82．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級中學?？茧A段練習）已知向量，且，則__________，在方向上的投影向量的坐標為__________.83．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）設兩個單位向量，的夾角為，若在上的投影向量為，則（

）.A． B． C． D．84．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，.若在方向上投影向量模長為，則實數(shù)為（

）A．-2 B．-1 C．±1 D．±2考點八平面向量與三角形“四心”85．（2023·全國·高三專題練習）已知點在所在平面內(nèi)，滿，，則點依次是的（

）A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心86．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)一點，，，是平面內(nèi)不共線的三點，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心87．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心88．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，、、是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心89．【多選】（2023春·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點的軌跡一定過的外心90．【多選】（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學?？茧A段練習）已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心91．（2023·全國·高三專題練習）已知是的外心，且，則______．考點九平面向量與其他知識的交匯92．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，則________.93．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知點，，點P為圓C：上的動點，則（

）A．面積的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為94．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左右焦點分別為，，P為橢圓上異于長軸端點的動點，分別為的重心和內(nèi)心，則（

）A． B． C． D．2考點十平面向量的應用95．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，，則（

）A．1 B． C．2 D．396．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（

）A． B． C．13 D．2697．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形98．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是F1，F(xiàn)2，且F1，F(xiàn)2與水平夾角均為45°，，則物體的重力大小為_____．99．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上（與B、C不重合），延長射線AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則DB的長度為__．100．（2023·全國·高三專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.考點26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用10種常見考法歸類考點一平面向量的數(shù)量積運算（一）定義法（二）基底法（三）坐標法（四）投影法（五）極化恒等式法考點二平面向量的數(shù)量積的最值問題考點三平面向量數(shù)量積的應用考點四平面向量的垂直問題考點五平面向量的模長問題（一）求向量的模（二）求模的最值（三）已知模求參數(shù)考點六平面向量的夾角問題考點七平面向量的投影、投影向量（一）求向量的投影（二）求向量的投影向量考點八平面向量與三角形“四心”考點九平面向量與其他知識的交匯考點十平面向量的應用1.向量的數(shù)量積(1)向量數(shù)量積的定義①向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b(如圖所示)，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.②向量的平行與垂直：當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向；如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，我們說a與b垂直，記作a⊥b.③向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2)向量的投影①定義：如圖，設a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，作如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，則稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.②計算：設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.注：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．(3)平面向量數(shù)量積的幾何意義的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ.注：任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個向量在單位向量上的投影的數(shù)量. ②a⊥b?a·b＝0.注：可用于解決與兩個非零向量垂直有關的問題.③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).注：當兩個向量的相等時，這兩個向量的數(shù)量積等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.④．注：夾角公式，實質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩平面的夾角.⑤．注：可用于解決有關“向量不等式”的問題.(5)向量數(shù)量積運算的運算律對于向量a，b，c和實數(shù)λ，有①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(6)數(shù)量積的坐標表示已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系(當且僅當時等號成立)(7)數(shù)量積的有關結(jié)論(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)a2＋b2＝0?a＝0且b＝0.2.向量數(shù)量積的易錯點（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且.（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有.當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但.（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項.（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當且僅當且（或，且3.計算向量數(shù)量積的五種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數(shù)量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．(4)投影法：在方向上的投影：在方向上的投影：所以使用條件：已知向量的一個模，未知的向量在已知向量上做投影（5）極化恒等式平面向量數(shù)量積的運算律：①②兩式相加，有即，其幾何表示為：在平行四邊形中，，即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。兩式相減：即①-②得：，上式就是極化恒等式，轉(zhuǎn)化為平行四邊形模式如下：，表述了數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為可度量的平行四邊形對角線的長度運算。它的幾何意義是：向量的數(shù)量積可以表示為這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一倍。進一步思考，可將數(shù)量積直接轉(zhuǎn)化為三角形的中線長來運算，可得極化恒等式的三角形模式。在中，為中點，則有極化恒等式——最顯著的特征是兩個向量必須能夠轉(zhuǎn)化為同起點的向量，它揭示了三角形的中線與邊長的關系，搭起了向量與數(shù)量之間的橋梁，實現(xiàn)了向量與代數(shù)、幾何的完美結(jié)合．使用極化恒等式求數(shù)量積最值的方法總結(jié)：①把兩個向量轉(zhuǎn)化為同起點向量；②構(gòu)建三角形，取連接兩向量終點的線段的中點，把數(shù)量積的最值轉(zhuǎn)化為某個向量模的最值；③利用題目中的特殊條件找到動點的最佳位置，進而求最值.4.如何建立數(shù)量積問題與有效方法的對應關系？——“剪刀手”模型情況一：三個要素都缺失，一問三不知——轉(zhuǎn)基底總結(jié)：將兩個未知向量之間的數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為兩個確定模長和夾角的基底之間的四則運算情況二：知道一個向量，知道一個手指長——轉(zhuǎn)投影總結(jié)：知道模長的那個向量就是地平線，學會做投影。情況三：知道指尖連線長——轉(zhuǎn)極化總結(jié)：三角形模型：已知中線長或底邊長情況四：啥都不定可建系——轉(zhuǎn)坐標總結(jié)：建系只是選取了軸作為基底向量，用坐標運算而已坐標化通過計算可以彌補向量和幾何的缺失，但是運算上損失的時間在在考試上也自然會體現(xiàn)出來。5.平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計算出這兩個向量的坐標；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)．6.平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．7.向量夾角問題的解答方法：（1）兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角．（2）兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別地當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π.（3）在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．（4）求向量的夾角有兩種方法：①定義法：當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．②公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．（5）已知向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)①向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且向量a，b不共線（同向）．②向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且向量a，b不共線．8.平面幾何中的向量方法(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.(2)常用充要條件①G為△ABC重心的一個充要條件：eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②O為△ABC外心的一個充要條件：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))))；③P為△ABC垂心的一個充要條件：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)).9.平面向量與平面幾何綜合的有關結(jié)論(1)若eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))為非零向量，則給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，等價于已知MA⊥MB；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＜0，等價于已知∠AMB是鈍角或兩向量反向共線；給出eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＞0，等價于已知∠AMB是銳角或兩向量同向共線.(2)給出λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(MA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MA,\s\up6(→)))))＋\f(\o(MB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(MB,\s\up6(→)))))))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，等價于已知MP是∠AMB的角平分線.(3)在?ABCD中，給出(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，等價于已知?ABCD是菱形；給出|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，等價于已知?ABCD是矩形.10.向量與平面幾何的綜合問題往往要數(shù)形結(jié)合，借助平面幾何的知識解題.根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值(范圍)問題的一般方法：①基底法；②坐標法.11.平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.考點一平面向量的數(shù)量積運算（一）定義法1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校?？寄M預測）已知菱形的邊長為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運算律，結(jié)合菱形圖形特征，計算求解可得.【詳解】由條件可知，所以，在中，由余弦定理，可得，，菱形的對角線互相垂直，則向量與向量的夾角為，則.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，的夾角為，，，則______．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.【詳解】由及，夾角為可知，又，解得，則，故，故答案為：93．（2023春·海南·高三海南中學校考階段練習）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】運用平面向量的數(shù)量積運算可求得結(jié)果.【詳解】因為，且與夾角的余弦值為，所以.故選：A.（二）基底法4．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預測）在中，，點是的中點，則___________.【答案】【分析】利用向量的加法和減法法則，將，分別用，表示出來，然后代入結(jié)論計算即可.【詳解】在中，點是的中點，所以，，所以.故答案為：.5．（2023·全國·高三專題練習）在邊長為6的正中，若點滿足，則__________.【答案】【分析】以、作為一組基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：6．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，邊長為2的正三角形ABC中，，，則（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】由，，用表示，然后利用數(shù)量積的運算律和定義求解.【詳解】解：因為，，所以，，，所以，，，故選：D7．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）在△ABC中，已知，，，D是邊AB的中點，點E滿足，則（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】運用平面向量基本定理用基底、表示、，結(jié)合向量數(shù)量積運算即可求得結(jié)果.【詳解】∵D為AB的中點，∴，∵，∴，即：，∴，∴如圖所示，∴，∴.故選：C.8．（2023·北京朝陽·高三專題練習）已知O是的外心，外接圓半徑為2，且滿足，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由已知可得且，根據(jù)已知投影向量可得，進而有，再由即可得求結(jié)果.【詳解】由，故為中點，又O是的外心，易知：，且，由在上的投影向量，即，所以，由圖，.故選：A9．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【分析】利用向量線性運算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】因為，所以，所以，即，故答案為：-3（三）坐標法10．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學?？既＃┮阎蛄?，則______．【答案】【分析】利用數(shù)量積的坐標運算法則計算可得.【詳解】因為，，所以．故答案為：．11．（2023春·廣東韶關·高三南雄中學?？茧A段練習）在邊長為3的正方形ABCD中，點E滿足，則（

）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】建立直角坐標系，寫出相關點的坐標，得到，，利用數(shù)量積的坐標運算計算即可.【詳解】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標系，由題意得，所以，，所以.故選：A.12．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，點C在第一象限，且O為坐標原點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐標表示計算數(shù)量積即可.【詳解】如圖所示，由題意易得，故可得，所以，故選：B13．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學?？寄M預測）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點，則______；若為線段（含端點）上的動點，則的最小值為______.

【答案】/5.25【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為，，所以為等邊三角形，因為，，所以在和中，，，則，得，，因為在中，，則，得，又，所以，以為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，，，，則；設，，，則，因為，所以時，的最小值為.故答案為：；.

14．【多選】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，若，點分別為邊的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】建立平面直角坐標系，運用平面向量加法、數(shù)量積、向量夾角的坐標公式求解即可.【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴以A為原點，分別以AB、AD為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，∴，，，，，對于A項，設，則，∴，，∴，故A項正確；對于B項，因為，所以與不垂直，故B項不成立；對于C項，，故C項正確；對于D項，，故D項不成立.故選：AC.15．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰梯形中，，，，，，.則（

）A．62 B．38 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出，，過作，垂足為，過作，垂足為，求出、、、、，以為原點，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系：根據(jù)，求出和的坐標，從而得和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可求出結(jié)果.【詳解】在等腰梯形中，，，，所以，，過作，垂足為，過作，垂足為，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，，又，所以，以為原點，為軸，過且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系：則，，，，因為，所以，因為，所以，所以，，所以.故選：A（四）投影法16．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知菱形中，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設與交于，則且是線段的中點，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：17．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知為圓O的一條弦，且，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】運用數(shù)量積定義及幾何意義計算即可.【詳解】取AB的中點E，連接OE，則，如圖所示，因為，所以，所以.故選：D.18．（2023·甘肅蘭州·蘭化一中校考模擬預測）在四邊形ABCD中，，作于點H．若，則（

）A． B．10 C． D．12【答案】D【分析】設AC與BD交于點O，由已知可得，則，且即可求結(jié)果.【詳解】設AC與BD交于點O，因為，所以．又于點H，且，所以，所以．故選：D19．（2023春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？茧A段練習）如圖，、是以為直徑的圓上的兩點，其中，，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】連結(jié)、，則有，，根據(jù)求解即可.【詳解】解：連結(jié)、.則，.所以..因為，所以.故選：.（五）極化恒等式法20．【多選】（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知點，點在上運動，邊長為的正方形的頂點位于圓外，則的值可能是（

）A．0 B． C．8 D．10【答案】ABC【分析】利用極化恒等式結(jié)合圖形求數(shù)量積最大值，再逐一判斷選項即可.【詳解】如圖所示，取CE中點F，連接BF，則由題意可得：，由極化恒等式可得當三點共線且時，，即，故C正確，且排除D項；對于B項，當三點共線且比較接近時，此時存在，故B正確；當重合時，易得，此時，故A正確；故選：ABC21．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）閱讀以下材料，解決本題：我們知道①；②.由①-②得，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現(xiàn)了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數(shù)量積化為“?！钡倪\算.如圖所示的四邊形中，，為中點.(1)若，求的面積；(2)若，求的值.【答案】(1)10(2)240【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求出，根據(jù)同角關系求出，代入三角形面積公式即可求解；（2）先利用極化恒等式得，由得，代入極化恒等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，又，所以，所以；（2）因為，，由極化恒等式得，所以，又，所以，由極化恒等式得.22．（2023·全國·高一專題練習）已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O所在平面上任意一點，則(＋)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用極化恒等式求解即可.【詳解】取OC中點D，由極化恒等式得又，∴的最小值為．故選:C.考點二平面向量的數(shù)量積的最值問題23．（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值是_____________．【答案】【分析】由題意，均在圓心為原點，半徑為的圓上，再根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】解：由題知，三點共圓，圓心為坐標原點，半徑為，所以，，設，數(shù)形結(jié)合可得在上的投影，所以，，即，故當，時有最小值，此時.當時，時有最大值，所以，綜上，的取值范圍是，所以，的最小值是故答案為：24．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知菱形的邊長為，，為菱形的中心，是線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，其中，將、用基底表示，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】設，其中，由平面向量數(shù)量積的定義可得，，因為為菱形的中心，則，所以，，因此，的最小值為.故選：C.25．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯用來構(gòu)造無理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由數(shù)量積的幾何意義，先求在上的投影的取值范圍，再乘以，則可得到的取值范圍.【詳解】如圖，延長，過點做交的延長線于點.因為，，,所以.由圖可知當在點處時，在上的投影有最大值1，當在點處時，在上的投影有最小值，又因為，所以的取值范圍是.故選：D26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E在邊BC上，，若G為線段DC上的動點，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.【詳解】由題意可知，如圖所示因為菱形ABCD的邊長為2，，所以,，設，則，因為，所以,,,當時，的最大值為.故選：B.【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是利用向量的線性運算求出，結(jié)合向量數(shù)量積定義和運算即可.27．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知平面向量，，，滿足，，若對于任意實數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】把三個向量平移到同起點，由向量運算及得，從而，又由得點在以為圓心半徑為1的圓面上（包括邊界），利用數(shù)量積的幾何意義求得，再利用三角形相似求OD長度即可求出最值.【詳解】設，，，，，則如圖所示，因為，所以，即，所以，因為，，所以，，由，可得點在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），過圓周上一點作的垂線，垂足為，且與相切，延長交于，則，此時∽，根據(jù)相似知識可得，所以，所以的最大值為，故選：D.28．（2023·全國·高三專題練習）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】由向量的運算得出，再由的范圍得出的取值范圍.【詳解】，且.即設與的夾角為，則.因為，所以.故答案為：29．（2023·全國·高三專題練習）在中，，．設，且（），則當取最小值時，______．【答案】7【分析】根據(jù)條件建立合適的直角坐標系，根據(jù)向量的坐標表示計算數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求參數(shù)即可.【詳解】由已知得點D是AC的中點．設，則由知．以為原點，分別以CB，CA所在直線為軸、軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，，，所以直線BD的方程為．易知點在直線BD上運動．設，則，，，所以，所以．故當時，取得最小值．此時，則，．由，得．故答案為：7考點三平面向量數(shù)量積的應用30．（2023·云南·校聯(lián)考二模）在梯形中，，,，為的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算在AB上的射影為AB中點可得.【詳解】如圖，為的中點，連接，，，，，所以在上的投影為，所以,又因，,所以四邊形為矩形.故，即.故選：C．31．（2023·全國·高三專題練習）已知中，分別是角的對邊，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用余弦定理得，再利用向量數(shù)量積公式求得，最后利用三角形面積公式即可.【詳解】由余弦定理得，因為，所以，又，所以，則，則，故選：C.32．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知點O是銳角的外心，，，，若，則______．【答案】【分析】先應用外心是垂直平分線的交點,再應用數(shù)量積的幾何意義求得和列出方程組求解即可.【詳解】如圖，點O在AB、AC上的射影是點D、E，它們分別為AB、AC的中點．由數(shù)量積的幾何意義，可得，．依題意有，即．同理，即．將兩式相加得，所以．故答案為:.33．（2023·四川德陽·統(tǒng)考模擬預測）已知D為正三角形ABC中邊BC的中點，E在線段AC上且，若AD與BE交于M，若，則正三角形ABC的邊長為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，利用向量共線和向量的數(shù)量積的坐標表示進行計算求解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設正三角形ABC的邊長為，則，因為，所以，，，設，所以，，因為點三點共線，所以，解得，所以，所以，，由有：，解得，所以的邊長為，故A，C，D錯誤.故選：B.34．（2023·全國·高三專題練習）在中，已知，，在方向上的投影為，P為線段上的一點，且.則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】先求出，，根據(jù)三點共線得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因為，在方向上的投影為，所以，解得：.因為，所以，即，所以，解得：.因為P為線段上的一點，且，所以，即.所以（當且僅當時取等號）.所以的最小值為4.故選：B考點四平面向量的垂直問題35．（2023·全國·高三專題練習）設平面向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用定義法進行判斷即可.【詳解】充分性：因為向量均為單位向量，且“”，所以，即，即所以，所以.即充分性滿足；必要性：因為，所以.而，所以，所以.即必要性滿足.故選：C36．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內(nèi)三個單位向量，，，滿足，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，后結(jié)合與可得答案.【詳解】由得，所以，即.因為，所以，又將代入，整理得，解得.故選：D．37．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知兩個單位向量，滿足與垂直，則（

）A． B．

C．

D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】依題意可得，即，則.故選：B38．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)建立等式即可求解.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.39．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知向量，若，則___________.【答案】/【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標運算公式即可求解.【詳解】由題意可得，因為，則，解得.故答案為：40．（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性計算和垂直的坐標表示即可求解.【詳解】所以，因為，所以，解得或，故選：D.41．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學?？寄M預測）已知平面向量，，若，則實數(shù)的值為__________．【答案】/【分析】由于，所以由構(gòu)成的平行四邊形對角線相等，故為矩形，所以，再運用數(shù)量積計算即可.【詳解】，由構(gòu)成的平行四邊形為矩形，即，則，解得；故答案為：.42．（2023·全國·高三專題練習）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若向量，，且，則______【答案】【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合余弦定理可得，由垂直向量的坐標表示，結(jié)合余弦定理可求得，結(jié)合內(nèi)角和為，即可得出答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，即，又由余弦定理，所以，則或．因為A，，且，所以，故．因為，所以，結(jié)合正弦定理得，即，由余弦定理可得，則，則有，解得．故答案為：.考點五平面向量的模長問題（一）求向量的模43．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預測）已知向量的夾角為，，則（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運算性質(zhì)求解.【詳解】因為向量的夾角為，，所以，所以．故選：C44．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學校考開學考試）已知向量，夾角為，且，，則（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】D【分析】將方程兩邊平方，然后結(jié)合數(shù)量積的定義可算出答案.【詳解】因為向量，夾角為，且，，所以，解得，故選：D45．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）若向量，滿足，，，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】由數(shù)量積運算和運算律求解即可.【詳解】，，，，，，，．故選：B．46．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）已知兩個非零向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由化簡可得，再由向量的模長公式代入化簡即可得出答案.【詳解】因為非零向量的夾角為，且，所以，即，化簡得：，.故選：C.47．（2023·吉林長春·長春市第二中學?？寄M預測）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對兩邊同時平方可得，由模長的計算公式代入可判斷A，B；由向量夾角計算公式可判斷C，D.【詳解】由可得：，可得：，，對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，，,故，故C正確；對于D，，,，故D不正確.故選：C.48．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求出，即可求出的坐標，再利用坐標法求出模.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案為：49．（2023·河北衡水·模擬預測）已知平面向量滿足，則（

）A． B． C． D．33【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量模長的計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，所以，即.故選：C.50．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，，M為線段BC的中點，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用數(shù)量積的定義及運算律求解作答.【詳解】在中，M為線段BC的中點，則有，由，，，得，所以.故選：B（二）求模的最值51．（2023·全國·模擬預測）已知向量，的夾角為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，由已知條件得，把等式改寫為關于的方程，方程有解，判別式，可求的最大值.【詳解】向量，的夾角為，，則有，設，，∴，即，存在，方程有解，則有，解得，則的最大值為.故選：B52．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．【答案】10【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設、的夾角為，因為在方向上的數(shù)量投影為，所以，因此，因此，所以，，因此有，因為，所以當時，有最小值，最小值為，故答案為：1053．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知向量，，滿足：，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】建立平面坐標系，用坐標表示，，，利用數(shù)量積的坐標運算計算即可.【詳解】由題意不妨設，則，且，解之得或，由，即的終點C在以為圓心，1為半徑的圓上，故，由圓的對稱性，不妨令，即，連接AD交圓于E，由點與圓的位置關系可知.故選：A

54．（2023秋·浙江寧波·高三期末）若單位向量滿足，向量滿足，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設出，由得到C在以為直徑的圓上，表達出，設，利用輔助角公式得到的最值.【詳解】令，不妨，所以中點坐標為，因為，所以C在以為直徑的圓上，即，所以，令，則，因為，所以，所以.故選：C.（三）已知模求參數(shù)55．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）已知向量，，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)向量模的展開計算，得出，從而進一步利用向量的線性計算求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，解得，故答案為：.56．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考模擬預測）非零向量滿足且與夾角為，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由題意，若，根據(jù)向量的數(shù)量積和模的計算公式，可得，得到，；反之也可求得，即可得到答案.【詳解】由題意，非零向量滿足且與夾角為，若，即，解得，又因為，可得，即充分性是成立的；若，由，可得，即必要性是成立的，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算，以及向量的模的運算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.57．（2023春·全國·高三競賽）已知平面向量，滿足，，并且當時，取得最小值，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知得出，即可根據(jù)二次函數(shù)最值問題得出時，取得最小值，即取得最小值，再根據(jù)已知列式解出，即可根據(jù)同角三角函數(shù)關系得出答案.【詳解】平面向量，滿足，，則，，，則時，取得最小值，即取得最小值，故，解得：，則，故選：B.58．（2023·全國·高三專題練習）在中，，且對于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直可得其數(shù)量積為零，即，易知當時，取最小值，聯(lián)立解方程組可得，，由余弦定理計算可得結(jié)果.【詳解】設中角所對的邊分別為，因為，所以．又因為，所以，故，即（1）．因為，所以當時，取最小值，即，所以，故，所以，負值舍去，則，代入（1）式得，所以．故選：D考點六平面向量的夾角問題59．【多選】（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知單位向量的夾角為，則使為鈍角的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】當時即可判斷A，將兩邊平方，得到，從而求出即可判斷B選項，利用向量數(shù)量積的運算展開即可判斷的值或范圍即可得到C選項，由得，當即可判斷選項D.【詳解】若，則可能為，A選項不是為鈍角的充分條件，故A不正確，若，兩邊平方得，即向量的余弦值為，所以，B選項是為鈍角的一個充分條件；故B選項正確，若，則，即向量的余弦值為，所以且為鈍角，，C選項是為鈍角的充分條件，故C選項正確，若，兩邊平方得，當時滿足題意所以不一定為鈍角，D不是為鈍角的充分條件，故D不正確，故選：BC.60．（2023·全國·高三專題練習）在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由得，充分性成立，是鈍角三角形，鈍角不一定是角，必要性不成立，即可得答案.【詳解】解：設與的夾角為，因為，即，所以，，又為內(nèi)角的補角，所以，是鈍角三角形；當為鈍角三角形時，不一定是鈍角．所以“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，考查向量數(shù)量積的概念，是基礎題.61．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的向量表示求出的表達式，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】因為與垂直，則，即，化簡得，而，則．又，有，所以與的夾角為.故選：B62．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.【詳解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故答案為：.63．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）設是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量公式以及向量夾角的余弦公式求得結(jié)果.【詳解】∵在上的投影向量為，，，又是兩個單位向量，即，.故選：.64．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知單位向量，滿足，若向量，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】計算出及，利用向量余弦夾角公式計算，再利用平方關系求出.【詳解】因為，是單位向量，所以，又因為，，所以，，所以，因為，所以.故選：A.65．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知平面向量，滿足，若，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，的夾角為，由數(shù)量積的定義和模長公式求解即可.【詳解】設，的夾角為，，則，由可得：，則，所以，解得：.因為，故.故選：D.66．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.67．（2023·全國·高三專題練習）已知向量、滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A．